Munka, energia - 2.3.6

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Mechanika - Munka, energia
Feladatok listája:
  1. Munka, energia - 2.2.1
  2. Munka, energia - 2.2.3
  3. Munka, energia - 2.2.7
  4. Munka, energia - 2.2.9
  5. Munka, energia - 2.2.12
  6. Munka, energia - 2.2.13
  7. Munka, energia - 2.2.14
  8. Munka, energia - 2.3.2
  9. Munka, energia - 2.3.6
  10. Munka, energia - 2.3.11
  11. Munka, energia - 2.4.6
  12. Munka, energia - Munka számítás 1
  13. Munka, energia - Munka számítás 2
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. (*2.3.6 alapján)
    a.) Első kozmikus sebességnek nevezzük azt a sebességet, amennyivel a Föld felszínén vízszintesen el kell lőni egy testet, hogy körpályán megkerülje a Földet, feltéve hogy nincs légellenállás. Mekkora az első kozmikus sebesség a Földön?
    b.) Második kozmikus sebességnek nevezzük azt a sebességet, amennyivel elindítva egy testet a Föld felszínéről, el tud szabadulni a Földtől. Mekkora a második kozmikus sebesség?
    (Adatok: \setbox0\hbox{$R_{F} = 6370 km$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, \setbox0\hbox{$g_{0} = 9.81 m/s^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%)

Megoldás

  1. a.) A felszínen a gravitációs gyorsulás \setbox0\hbox{$g_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, ha éppen körbe repüli a Földet, úgy a centripetális gyorsulást az \setbox0\hbox{$m g_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% erő hozza létre:
    \[m g_0 = m \frac{v_1^2}{R} \, ,\]
    ebből \setbox0\hbox{$v_1 = \sqrt{g_0 R} \approx 7.9 \frac{km}{s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.
    b.) Bár nem szükséges a feladat megoldásához, de didaktikai okokból vezessük le a centrális gravitációs térerősség helyzeti energiáját! A gravitációs erő kifejezése a Föld középpontjától \setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% távolságban
    \[F = - \gamma \frac{m M}{r^2} \, ,\]
    ahol \setbox0\hbox{$M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a Föld tömege, \setbox0\hbox{$\gamma$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a gravitációs állandó. Bár ezeket megadhatnánk, de a kozmikus sebesség számításához elegendő lesz \setbox0\hbox{$g_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% ismerete. A negatív előjellel jelezzük, hogy az erő befelé, a Föld középpontja felé mutat.
    A gravitációs helyzeti energia felírásához meg kell adnunk egy \setbox0\hbox{$r_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% távolságot, ahol felvesszük a helyzeti energia nulla szintjét. A Föld középpontjától \setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% távolságra a helyzeti energia ezután megadható, ha kiszámítjuk a gravitációs erő munkáját, amíg \setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-ből \setbox0\hbox{$r_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-ba visszük a tömegpontot. Előadáson szerepelt, hogy ez független az úttól (ezért lehet egyáltalán helyzeti energiáról beszélni), ezért egyszerűen
    \[E_h = \int_{r}^{r_0} - \gamma \frac{m M}{r'^2} dr' = \left[ \gamma \frac{m M}{r'} \right]_{r}^{r_0} = +  \gamma \frac{m M}{r_0} -  \gamma \frac{m M}{r} \; .\]
    Mennyinek válasszuk \setbox0\hbox{$r_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-t? Látható, ha \setbox0\hbox{$r_0 \rightarrow \infty$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, akkor az első tag eltűnik, így ez egy kényelmes választás, és ez is a szokás. Azaz
    \[E_h = - \gamma \frac{m M}{r} \, .\]
    Nem adtuk meg \setbox0\hbox{$\gamma$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-t és \setbox0\hbox{$M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-et, de tudjuk, hogy a Föld felszínén
    \[\gamma \frac{m M}{R^2} = m g_0 \, ,\]
    ebből \setbox0\hbox{$\gamma M = R^2 g_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Ezzel
    \[E_h = - \frac{m R^2 g_0}{r} \; .\]
    Egy test akkor hagyhatja el a Föld gravitációs terét, ha az összenergiája (mozgási + helyzeti) elegendő ahhoz, hogy végtelen messze távolodhasson a Földtől. Mivel a helyzeti energia nulla szintjét a végtelenben vettük fel, ezért ez azzal ekvivalens, hogy az összenergiának pozitívnak kell lennie. A Föld felszínén (\setbox0\hbox{$R = r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) felírva ezt a feltételt, a második kozmikus sebességre
    \[ 0 = E = E_m + E_h = \frac{1}{2} m v_{2}^2 -  \frac{m R^2 g_0}{R} \; ,\]
    ebből
    \[v_{2} = \sqrt{2 g_0 R} \approx  11.2 \, km/s \; .\]