Munka, energia - 2.4.6
A Fizipedia wikiből
Feladat
- (*2.4.6) Egy
tömegű,
hosszúságú matematikai ingát vízszintes helyzetéből elengedünk. Függőleges helyzetében a kötél egy csapocskán megakad, így az inga az ábrán látható módon lendül tovább.
- a) Mi a dinamikai feltétele annak, hogy az inga további mozgása során le tudjon írni egy teljes kört?
- b) Hova kell ehhez helyezni a csapocskát?
- c) Hogyan alakul a test pályája ellenkező esetben? (szöveges válasz)
- d) Hova kell helyezni a csapocskát, hogy a c) esetben ismét az indítás magasságába jusson fel?
Megoldás
- a) A kérdésre naivan azt válaszolhatnánk, hogy
, mert ekkor a körpálya legfelső pontja lejjebb lenne, mint a kezdeti állapot, tehát lenne elegendő energiája a testnek "felmászni" a körpálya legfelső pontjáig. A gondolatmenet azonban hibás, mert ha a test sebessége nagyon kicsi a körpálya legfelső pontja környékén, akkor a testre ható gravitációs erő hatására az letér a körpályáról és lényegében ferde hajítás szerint mozogna. Tegyük fel, hogy a test sebessége
a körpálya legmagasabb pontján. A körpálya sugara
. A testre ható erők a gravitációs erő és a kötélerő.
A kötélerő azonban nem lehet negatív, ígya dinamikai feltétele annak, hogy a test egy teljes körpályát írjon le. - b) A
sebesség energetikai megfontolásokkal határozható meg. A kezdeti állapot és a körpálya legmagasabb pontjának szintkülönbsége
, így
Ezzel behelyettesítve a dinamikai feltételbeadódik. Tehát legalábbtávolságban kell a csapocskát elhelyezni ahhoz, hogy egy teljes kört leírjon a test.
- c) Ha ennél kisebb az
távolság, akkor a továbblendülés után az inga egy ideig körpályán haladna, de a pályáról le fog térni egy ponton a gravitációs erő hatására és ferde hajító mozgással mozog tovább.
- d) Ha
, akkor nincs fizikai korlátja annak, hogy a test visszajusson az eredeti magasságig. Azonban a ferde hajítású mozgás legfelső pontján a testnek lesz egy vízszintes irányú sebessége, és egyúttal mozgási energiája. Ez azt jelenti, hogy a kezdeti energia nem elegendő ahhoz, hogy a test az eredeti magasságig jusson. Egyedül az
esetben lehetséges mégis, amikor a test egyszerűen csal átlendül a másik oldalra.
- a) A kérdésre naivan azt válaszolhatnánk, hogy