Deriválás - Inverz függvény deriváltja

Feladat

1. * Tegyük fel, hogy ismerjük egy $\setbox0\hbox{$f(x)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvény deriváltját. Ekkor az $\setbox0\hbox{$f(x)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvény $\setbox0\hbox{$\phi(x)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ inverzének deriváltja
   $\[\frac{d\phi}{dx}=\frac{1}{f'(\phi(x))}\,.\]$
   Ennek segítségével számítsuk ki az alábbi függvények deriváltját.

   a) $\setbox0\hbox{$\mbox{ln}\,x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$

   b) $\setbox0\hbox{$\mbox{arcsin}\,x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$

   c) $\setbox0\hbox{$\mbox{arccos}\,x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$

   d) $\setbox0\hbox{$\mbox{arctg}\,x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$

   e) $\setbox0\hbox{$\mbox{arcctg}\,x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$

   f) $\setbox0\hbox{$\mbox{arcsin}\left(e^{x}+x^{2}\sin x\right)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$

   g) $\setbox0\hbox{$\mbox{arctg}\,\left[2\ln x+\sin(\cos x)\right]$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$

Megoldás

1. a)

   $\[\frac{d}{dx}\mbox{ln}\,x=\frac{1}{e^{\mbox{ln}\,x}}=\frac{1}{x}\]$

   b)

   $\[\frac{d}{dx}\mbox{arcsin}\,x=\frac{1}{\cos(\mbox{arcsin}\,x)}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\]$

   c)

   $\[\frac{d}{dx}\mbox{arccos}\,x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\]$

   d)

   $\[\frac{d}{dx}\mbox{arctg}\,x=\cos^{2}(\mbox{arctg}\,x)=\frac{1}{1+x^{2}}\]$

   e)

   $\[\frac{d}{dx}\mbox{arcctg}\,x=-\frac{1}{1+x^{2}}\]$

   f)

   $\[\frac{d}{dx}\mbox{arcsin}\left(e^{x}+x^{2}\sin x\right)=\frac{e^{x}+2x\sin x+x^{2}\cos x}{\sqrt{1-\left(e^{x}+x^{2}\sin x\right)^{2}}}\]$

   g)

   $\[\frac{d}{dx}\mbox{arctg}\,\left[2\ln x+\sin(\cos x)\right]=\frac{\frac{2}{x}-\sin x\cos(\cos x)}{1+\left[2\ln x+\sin(\cos x)\right]^{2}}\]$