Kvantummechanikai bevezető példák - Bohr-féle hidrogénmodell forrásának megtekintése

<noinclude>
[[Kategória:Kísérleti fizika 3. gyakorlat]]
[[Kategória:Szerkesztő:Stippinger]]
[[Kategória:Kvantummechanikai bevezető]]
{{Kísérleti fizika gyakorlat
| tárgynév    = Kísérleti fizika 3. gyakorlat
| témakör     = Kvantummechanikai bevezető
| rövid       = Kvantummechanikai bevezető
}}
== Feladat ==
</noinclude><wlatex># Számítsa ki a hidrogénatom ''Bohr''-féle modelljében a „körpályán” keringő elektron pályasugarát, sebességét, perdületét és energiáját!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Írja fel a körpályán tartó ''Coulomb''-erőt és alkalmazza a kvantumhipotézist!}}{{Végeredmény|content=$$ v_n = \frac{v_0}{n}, \qquad r_n = a_0 n^2,$$ $$L_n = n\hbar, \qquad E_n = -\frac{E_0}{n^2}, $$ ahol $$v_0 = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar}, \qquad a_0 = \frac{\hbar^2 4 \pi \varepsilon_0}{m_e e^2}, $$ $$ E_0 = \frac{m_e e^4}{2\hbar^2(4\pi\varepsilon_0)^2}.$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>

== Megoldás ==
<wlatex>A ''Bohr''-féle hidrogénmodellben az elektron a rögzített atommag körül kering, impulzusmomentum a [[Kvantummechanikai bevezető példák - Fluxuskvantálás szemléletesen|3. posztulátum szerint kvantált]], az $n$. pályán:
$$ L_n \equiv m_e v_n r_n = n\hbar. $$
A pályasugarakat és sebességeket a klasszikus képben végzet számításokból kapjuk: az atommag $F_C=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}{e^2}{r^2}$ ''Coulomb''-vonzása az $F_{cp}=m_e a_{cp}$ centripetális erő, ami körpályán tartja az elektront:
$$ m_e \frac{v_n^2}{r_n} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r_n^2} . $$
Ha $r$-rel való egyszerűsítés után beírjuk a kvantumfeltételből kapott $r_n = \frac{n\hbar}{m_e v_n}$ összefüggést, akkor a sebesség, és így a sugár lehetséges értékei rendre
$$ v_n = \frac{v_0}{n} = \alpha_f \frac{c}{n}, \qquad r_n = a_0 n^2 = \frac{n^2\hbar}{\alpha_f m_e c}, $$
ahol a legnagyobb pályasebesség és a ''Bohr''-sugár rendre
$$ v_0 = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar}, \qquad a_0 = \frac{\hbar^2 4 \pi \varepsilon_0}{m_e e^2} $$
$$ v_0 \approx 2{,}187 \cdot 10^6\,\mathrm{\frac{m}{s}}, \qquad a_0 \approx 5{,}292 \cdot 10^{-11}\,\mathrm{m} $$
valamint bevezettük a
$$ \alpha_f = \frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0\hbar c} \approx \frac{1}{137{,}036} $$
jelölést a finomszerkezeti állandóra.

A hidrogénatomban az elektron energiája
$$ E_n = E^\text{kin}_n + E^\text{pot}_n
    = \frac12 m_e v_n^2 - \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r^2}, $$
az előző jelölésekkel
$$ E_n = - \frac{m_e e^4}{2\hbar^2(4\pi\varepsilon_0)^2} \cdot \frac{1}{n^2}
    = -\frac12 m_e c^2 \alpha_f^2 \frac{1}{n^2}
    = -\frac{E_0}{n^2}, $$
ahol $E_0\approx 13{,}6\,\mathrm{eV}$ a hidrogén ionizációs energiája. A negatív előjel a kötött állapotra utal.
</wlatex>
</noinclude>