Kvantummechanikai bevezető példák - Izzólámpa látható tartományban kibocsátott teljesítménye forrásának megtekintése

<noinclude>
[[Kategória:Kísérleti fizika 3. gyakorlat]]
[[Kategória:Szerkesztő:Stippinger]]
[[Kategória:Kvantummechanikai bevezető]]
{{Kísérleti fizika gyakorlat
| tárgynév    = Kísérleti fizika 3. gyakorlat
| témakör     = Kvantummechanikai bevezető
| rövid       = Kvantummechanikai bevezető
}}
== Feladat ==
</noinclude><wlatex># Egy izzólámpában a volfrámszál hőmérséklete kb. $1800\,\mathrm{^\circ C}$. Az emberi szem a $(4-7)\cdot 10^{-7}\,\mathrm{m}$ hullámhossz tartományban lát. Becsülje meg az izzólámpa „hatásfokát”!
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használja a ''Planck''-féle sugárzási törvényt, a látható intervallumban alkalmazzon közelítést.}}{{Végeredmény|content=$$\frac{\Delta \mathcal{E}}{\mathcal{E}_t}=0{,}355\%$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>

== Megoldás ==
<wlatex>A ''Planck''-féle sugárzási törvény szerint a fekete test által a teljes térszögbe a $[\nu, \nu+\mathrm{d}\nu]$ frekvenciaintervallumban felületegységenként kisugárzott teljesítmény
$$ \mathcal{E}_\nu\,\mathrm{d}\nu = \frac{8\pi}{c^2} \frac{h\nu^3}{e^{\textstyle \frac{h\nu}{kT}}-1}\,\mathrm{d}\nu, $$
ahol bevezetjük az $x=\frac{h\nu}{kT}$ változót, és kiszámítjuk az összes kisugárzott teljesítményt:
$$ \mathcal{E}_t = \int_0^\infty \mathcal{E}_\nu \mathrm{d}\nu
    = \frac{8\pi}{c^2} \left(\frac{kT}{h}\right)^4 h \int_0^\infty \frac{x^3}{e^x-1} \,\mathrm{d}x, $$
ahol az integrál kifejezhető a [http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html ''Riemann''-féle $\zeta$-függvénnyel], értéke $\Gamma(4)\zeta(4)\approx 6{,}5$.

A teljes térszögbe a kicsi látható $[\nu_0-\frac12\Delta\nu,\nu_0+\frac12\Delta\nu]$ tartományban felületegységenként kisugárzott teljesítményt közelíthetjük:
$$ \Delta \mathcal{E} = \mathcal{E}_{\nu_0} \Delta\nu, $$
ahol $\nu_0=6 \cdot 10^{14}\,\mathrm{s^{-1}}$ és $\Delta \nu=4 \cdot 10^{14}\,\mathrm{s^{-1}}$ választással élünk ($c=\lambda\nu$, $\lambda_0=500\,\mathrm{nm}$ és $\Delta\lambda=375\,\mathrm{nm}$ amikor a referenciaérték intervallumközép).

Ezekkel a „hatásfok”
$$ \frac{\Delta \mathcal{E}}{\mathcal{E}_t}
    = \frac{4,976 \cdot 10^{-5}\,\mathrm{\frac{W}{m^2}}}{1,400 \cdot 10^{-2}\,\mathrm{\frac{W}{m^2}}} = 3{,}55 \cdot 10^{-3} = 0{,}355\%. $$
</wlatex>
</noinclude>