Kvantummechanikai bevezető példák - Relativisztikus tömegnövekedés Bohr-féle hidrogénmodellben forrásának megtekintése

<noinclude>
[[Kategória:Kísérleti fizika 3. gyakorlat]]
[[Kategória:Szerkesztő:Stippinger]]
[[Kategória:Kvantummechanikai bevezető]]
{{Kísérleti fizika gyakorlat
| tárgynév    = Kísérleti fizika 3. gyakorlat
| témakör     = Kvantummechanikai bevezető
| rövid       = Kvantummechanikai bevezető
}}
== Feladat ==
</noinclude><wlatex># Számítsa ki, hogy a hidrogénatom ''Bohr''-féle modelljében a relativisztikus tömegnövekedés milyen korrekciót jelentene az energiaszintekben!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Fejtse sorba a relativisztikus tömeget.}}{{Végeredmény|content=$$ E_n = -\frac{E_0}{n^2}-\frac{E_0}{2} \frac{\alpha_f^2}{n^4}+O\left[n^{-6}\right], $$ $n$-ben negyedrendű korrekciót kapunk. Megjegyzendő, hogy az együttható nem pontos, mert a klasszikus relativisztikus tárgyalás nem juthat el arra a helyes eredményre, ami a kvantummechanikában a ''Klein''–''Gordon''-formula néven ismert.}}</wlatex></includeonly><noinclude>

== Megoldás ==
<wlatex>A [[Kvantummechanikai bevezető példák - Bohr-féle hidrogénmodell|''Bohr''-modellről]] szóló feladatban levezetett $$ E_n = -\frac{e^4}{2\hbar^2(4\pi\varepsilon_0)^2} \cdot m \cdot \frac{1}{n^2} $$
energiakifejezésbe most az $m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\left(\textstyle \frac{v_n}{c}\right)^2}}$ relativisztikus tömeget helyettesítjük be és sorba fejtjük a nevezőt:
$$ E_n = -\frac{E_0}{\sqrt{1-\left(\textstyle \frac{v_n}{c}\right)^2}}\cdot \frac{1}{n^2}
    = -E_0\left(1+\frac12\left(\frac{v_n}{c}\right)^2+O\left[\left(\frac{v_n}{c}\right)^4\right]\right)\frac{1}{n^2} $$
vagy másként a relativisztikus tömegnövekedéssel korrigált energiaszintek
$$ E_n = -\frac{E_0}{n^2}-\frac{E_0}{2} \frac{\alpha_f^2}{n^4}+O\left[n^{-6}\right], $$
ahol $ E_0 = \frac{e^4}{2\hbar^2(4\pi\varepsilon_0)^2} $, $ \alpha_f = \frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0\hbar c} $ és $m_0=m_e$ az elektron nyugalmi tömege.

A mérések ezt nem támasztják alá, azaz a Bohr-modell csak egy közelítő leírása a hidrogénatomnak, mint kvantummechanikai objektumnak. A pontos eredmény a ''Klein''–''Gordon''-formula:
$$ E_n = m_0 c^2 - \frac{m_0 e^4}{2\hbar^2(4\pi\varepsilon_0)^2} \frac{1}{n^2} + \frac34 \frac{m_0 e^8}{2\hbar^4(4\pi\varepsilon_0)^2} \frac{1}{n^4} +O\left[n^{-6}\right] $$
az előző jelölésekkel
$$ E_n = mc^2 - \frac{E_0}{n^2} - \frac{3E_0}{4} \frac{\alpha_f^2}{n^4}+O\left[n^{-6}\right], $$
ahol az első tag az tömeg-energia megfeleltetésből adódó kifejezés, a második tag a nemrelativisztikus eredmény, a harmadik tagban, pedig már a klasszikus relativisztikus tárgyalás hibája jelenik meg.
</wlatex>
</noinclude>