Kvantummechanikai bevezető példák - Schrödinger-egyenlet megoldása hidrogénatomban forrásának megtekintése

<noinclude>
[[Kategória:Kísérleti fizika 3. gyakorlat]]
[[Kategória:Szerkesztő:Stippinger]]
[[Kategória:Kvantummechanikai bevezető]]
{{Kísérleti fizika gyakorlat
| tárgynév    = Kísérleti fizika 3. gyakorlat
| témakör     = Kvantummechanikai bevezető
| rövid       = Kvantummechanikai bevezető
}}
== Feladat ==
</noinclude><wlatex># Határozza meg a ''Schrödinger''-féle hidrogénatomban az elektron alapállapoti hullámfüggvényét! Számítsa ki, hogy protontól milyen távolságban található meg az elektron a legnagyobb valószínűséggel!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Az elektron sugárirányú megtalálási valószínűségének eloszlás $$ R(r) = A_n \left(\frac{r}{a_0}\right)^{n-1} e^{\textstyle -\frac{r}{n a_0}}.$$}}{{Végeredmény|content=$$r_\text{lv.}=n^2 a_0$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>

== Megoldás ==
<wlatex>A hidrogénatom ''Schrödinger''-egyenlete
$$ -\frac{\hbar^2}{2m}\triangle\Psi + V(r)\Psi = E\Psi, $$
aminek megoldását $\Psi(r,\vartheta,\varphi)=R(r)\Theta(\vartheta)\Phi(\varphi)$ alakban érdemes keresni. A megoldás abszolútértéknégyzete ($|\Psi|^2$) az elektron megtalálási valószínűsége egy adott térfogatelemben. A ''Schrödinger''-egyenlet megoldása a szögfüggő tényezők levezetésével megtalálható a [http://goliat.eik.bme.hu/~tothaf/Tananyagok/Letoltesek/atfiz_bev.pdf kibővített óravázlat] 34-38. oldalán.

A sugárirányú differenciálegyenletet $Q(r)=r\cdot R(r)$ helyettesítéssel megoldva a sugárirányú eloszlás
$$ R(r) = A_n \left(\frac{r}{a_0}\right)^{n-1} e^{\textstyle -\frac{r}{n a_0}}, $$
ahol $A_n$ egy, a pályára jellemző normáló tényező, hogy a megtalálási valószínűség teljes térre vett integrálja $1$ legyen.
A másik két eloszlás értéke a feladat megoldásában nem játszik szerepet, mert a szögek szerint kiintegrálva ugyanazt a sugártól független állandót adják.

Az elektron megtalálási valószínűsége $[r,r+\mathrm{d}r]$ intervallumban tehát
$$ \int_0^{2\pi} \int_0^\pi |\Psi(r,\vartheta,\varphi)|^2 r^2 \sin \vartheta \,\mathrm{d}r \,\mathrm{d}\vartheta \,\mathrm{d}\varphi 
    \sim \left[r\cdot R(r)\right]^2 \,\mathrm{d}r $$
A legvalószínűbb sugarat $r\cdot R(r)$ szélsőértékhelye adja:
$$ 0 = \left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r} \Big(r\cdot R(r)\Big) \right|_{r_\text{lv.}}
    = A_n \left[ n\left(\frac{r_\text{lv.}}{a_0}\right)^{n-1} - \frac{1}{n}\left(\frac{r_\text{lv.}}{a_0}\right)^n \right] e^{\textstyle -\frac{r_\text{lv.}}{n a_0}}, $$
ami alapján $r_\text{lv.}=n^2 a_0$. Az alapállapotú hidrogénatomban a legvalószínűbb sugár éppen a ''Bohr''-sugár.
</wlatex>
</noinclude>