Magnetosztatika példák - Fáziskésés váltakozó-áramú LR körben forrásának megtekintése

<noinclude>
[[Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 2.]]
[[Kategória:Szerkesztő:Beleznai]]
[[Kategória:Magnetosztatika]]
{{Kísérleti fizika gyakorlat
| tárgynév    = Kísérleti fizika gyakorlat 2.
| témakör     = Magnetosztatika - Mágneses tér energiája. Váltakozó áram, eltolási áram
}}
== Feladat ==
</noinclude><wlatex>#Egy $L$ induktivitású tekercset és egy $R$ ellenállást egy $\omega$ frekvenciával szinuszosan változó feszültségű forrásra kapcsolunk. Mekkora $\phi$ szöggel késik az áram a feszültséghez képest? </wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$\phi = \arctan\left(\frac{L\omega}{R}\right)$$}}
</wlatex></includeonly><noinclude>

== Megoldás ==
<wlatex>
Ha felírjuk a hurok-törvényt erre az áramkörre, akkor a következő differenciál egyenletet kapjuk:
$$U = RI + L\dot{I}$$

Egyszerűen kezelhetjük a problémát, ha bevezetjük a komplex áramot és feszültséget. A valóságban a mérhető áram és feszültség természetesen valós, időben  harmonikus függvény szerint változik, de a fázisviszonyok egyszerű számítása érdekében érdemes komplex formalizmust alkalmazni. Tehát a forrás feszültsége legyen:
$$U = \tilde{U}e^{i\omega t}$$
ahol $\omega$ a váltakozó áram körfrekvenciája. Keressük a megoldást a következő alakban:
$$I = \tilde{I}e^{i\omega t}$$
Ezt behelyettesítve és $e^{i\omega t}$-vel leegyszerűsítve:
$$\tilde{U} = \tilde{I}\left(R+iL\omega\right)$$
Amit ha $\tilde{I}$-re rendezünk, akkor:
$$\tilde{I}=\frac{\tilde{U}}{R+iL\omega}$$
Ha feszültség fázisát zérusnak vesszük (hiszen hozzá képest mérjük az áram fázisát), akkor a feszültséget vehetjük valós értékűnek:
$$\tilde{I} = \frac{U}{R+iL\omega} = \frac{U\left(R-iL\omega\right)}{R^2-L^2\omega^2}$$
Ebből látjuk, hogy
$$\text{Re}(\tilde{I}) =  \frac{U(R)}{R^2-L^2\omega^2}$$
és
$$\text{Im}(\tilde{I}) =  \frac{U(-L\omega)}{R^2-L^2\omega^2}$$.
Innen $\tilde{I}$ fázisa a feszültséghez képest:
$$\phi =  -\arctan\left(\frac{\text{Im}(\tilde{I})}{\text{Re}(\tilde{I})}\right) = -\arctan\left(\frac{L\omega}{R}\right)$$
Tehát ennyivel késik az áram a feszültséghez képest. 
</wlatex>
</noinclude>