Magnetosztatika példák - Fáziskésés váltakozó-áramú LR körben

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 2.
Gyakorlatok listája:
  1. Erőhatások elektromos erőtérben, elektromos térerősség
  2. Elektromos potenciál
  3. Dielektrikumok, Gauss-tétel. Kapacitás, kondenzátorok
  4. Kapacitás, kondenzátorok. Elrendezések energiája
  5. Vezetőképesség, áramsűrűség
  6. Biot-Savart törvény, gerjesztési törvény
  7. Erőhatások mágneses térben
  8. Mágneses térerősség. Kölcsönös és öninduktivitás
  9. Az indukció törvénye, mozgási indukció
  10. Mágneses tér energiája. Váltakozó áram, eltolási áram
Magnetosztatika - Mágneses tér energiája. Váltakozó áram, eltolási áram
Feladatok listája:
  1. Toroid energiája
  2. Légrésben és a vasmagban tárolt energia
  3. Tranziens jelenség LR körben
  4. Fáziskésés váltakozó-áramú LR körben
  5. Eltolási áram síkkondenzátorban
  6. Váltakozó áramra kapcsolt síkkondenzátorban a térerősség
  7. Eltolási áramsűrűség szolenoidban
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Egy \setbox0\hbox{$L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% induktivitású tekercset és egy \setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% ellenállást egy \setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% frekvenciával szinuszosan változó feszültségű forrásra kapcsolunk. Mekkora \setbox0\hbox{$\phi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szöggel késik az áram a feszültséghez képest?

Megoldás


Ha felírjuk a hurok-törvényt erre az áramkörre, akkor a következő differenciál egyenletet kapjuk:

\[U = RI + L\dot{I}\]

Egyszerűen kezelhetjük a problémát, ha bevezetjük a komplex áramot és feszültséget. A valóságban a mérhető áram és feszültség természetesen valós, időben harmonikus függvény szerint változik, de a fázisviszonyok egyszerű számítása érdekében érdemes komplex formalizmust alkalmazni. Tehát a forrás feszültsége legyen:

\[U = \tilde{U}e^{i\omega t}\]

ahol \setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a váltakozó áram körfrekvenciája. Keressük a megoldást a következő alakban:

\[I = \tilde{I}e^{i\omega t}\]

Ezt behelyettesítve és \setbox0\hbox{$e^{i\omega t}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-vel leegyszerűsítve:

\[\tilde{U} = \tilde{I}\left(R+iL\omega\right)\]

Amit ha \setbox0\hbox{$\tilde{I}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-re rendezünk, akkor:

\[\tilde{I}=\frac{\tilde{U}}{R+iL\omega}\]

Ha feszültség fázisát zérusnak vesszük (hiszen hozzá képest mérjük az áram fázisát), akkor a feszültséget vehetjük valós értékűnek:

\[\tilde{I} = \frac{U}{R+iL\omega} = \frac{U\left(R-iL\omega\right)}{R^2-L^2\omega^2}\]

Ebből látjuk, hogy

\[\text{Re}(\tilde{I}) =  \frac{U(R)}{R^2-L^2\omega^2}\]

és

\[\text{Im}(\tilde{I}) =  \frac{U(-L\omega)}{R^2-L^2\omega^2}\]
.

Innen \setbox0\hbox{$\tilde{I}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% fázisa a feszültséghez képest:

\[\phi =  -\arctan\left(\frac{\text{Im}(\tilde{I})}{\text{Re}(\tilde{I})}\right) = -\arctan\left(\frac{L\omega}{R}\right)\]

Tehát ennyivel késik az áram a feszültséghez képest.