Magnetosztatika példák - Gyűrű alakú vezető mágneses tere forrásának megtekintése

<noinclude>
[[Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 2.]]
[[Kategória:Szerkesztő:Beleznai]]
[[Kategória:Magnetosztatika]]
{{Kísérleti fizika gyakorlat
| tárgynév    = Kísérleti fizika gyakorlat 2.
| témakör     = Magnetosztatika - Biot-Savart törvény, gerjesztési törvény|Biot-Savart törvény, gerjesztési törvény
}}
== Feladat ==
</noinclude><wlatex>#Az ábra szerinti áramkör egy homogén vezető gyűrűből áll, amelyhez két sugárirányú vezeték csatlakozik. Az áramkört záró forrás a hozzávezetésekkel együtt olyan távoli, hogy a gyűrű helyén keltett mágneses tere elhanyagolható. Mekkora a mágneses térerősség a gyűrű középpontjában? [[Kép:KFGY2-6-7.png|none|350px]]</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$B=B_1+B_2=\dfrac{\mu_0 U}{4 \pi r^2 \rho}-\dfrac{\mu_0 U}{4 \pi r^2 \rho}=0$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>
== Megoldás ==
<wlatex>
Ha az $r$ sugarú gyűrű $\alpha$ szög alatt látszódó kapcsaira $U$ feszültséget kötünk, a kapcsok által kettéosztott ívdarab egyikében óramutató járásával megegyező, a másikban pedig óramutató járásával ellentétes áram indul. Először meghatározzuk az egyes ívelemek ellenállását, majd a bennük folyó áramot. Legvégül Biot-Savart törvénnyel kiszámítjuk az indukált mágneses teret.

Az ívek hossza:
$$L_1=\alpha r$$
$$L_2=(2\pi-\alpha) r$$
Legyen a vezeték egységnyi hosszára eső ellenállás nagysága $\rho$. Ekkor a két ív ellenállása:
$$R_1=L_1\rho=\alpha r\rho$$
$$R_2=(2\pi-\alpha) r\rho$$
A egyes vezetékekben folyó áramok:
$$I_1=\dfrac{U}{R_1}=\dfrac{U}{\alpha r\rho}$$
$$I_2=\dfrac{U}{R_2}=\dfrac{U}{(2\pi-\alpha) r\rho}$$

Az áramjárta vezetők mágneses terét a kör középpontjában a Biot-Savart törvénnyel határozhatjuk meg:

$$B=\frac{\mu_0 I}{4 \pi} \int \frac{\vec{dl} \times \vec{r}}{\vec{r}^3}$$

A vektorszorzatot egyszerűsíthetjük, hiszen az ívelemek mindig merőlegesek a hozzájuk húzott sugárra:

$$B=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi} \int \dfrac{dl r}{r^3}=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi} \int \dfrac{dl }{r^2}$$

Parametrizáljuk a $dl$ ívelemet a középponti szög szerint szerint mindkét ív esetén:

$$dl_1=-r d\varphi$$
$$dl_2=r d\varphi$$

$dl_1$-ben azért van negatív előjel, mert az áram folyási iránya ellentétes az $\alpha$ szög körüljárási irányával. Ezek alapján a két ív által keltett mágneses tér:

$$B_1=\dfrac{\mu_0 I_1}{4 \pi} \int_0^{\alpha} \dfrac{-r d\alpha}{r^2}=-\dfrac{\mu_0 I_1}{4 \pi r} \int_0^{\alpha} d\varphi$$

$$B_2=\dfrac{\mu_0 I_2}{4 \pi} \int_{\alpha}^{2\pi} \dfrac{r d\alpha}{r^2}=\dfrac{\mu_0 I_2}{4 \pi r} \int_{\alpha}^{2\pi} d\varphi$$

Az integrálásokat elvégezve:

$$B_1=-\dfrac{\mu_0 I_1}{4 \pi r} \alpha$$

$$B_2=\dfrac{\mu_0 I_2}{4 \pi r} ( 2\pi-\alpha)$$

Behelyettesítve az áramerősségeket:

$$B_1=-\dfrac{\mu_0 }{4 \pi r} \dfrac{U}{\alpha r\rho} \alpha=-\dfrac{\mu_0 U}{4 \pi r^2 \rho}$$

$$B_2=\dfrac{\mu_0 I_2}{4 \pi r} \dfrac{U}{(2\pi-\alpha) r\rho}( 2\pi-\alpha)=\dfrac{\mu_0 U}{4 \pi r^2 \rho}$$

Az eredő mágneses indukció:

$$B=B_1+B_2=\dfrac{\mu_0 U}{4 \pi r^2 \rho}-\dfrac{\mu_0 U}{4 \pi r^2 \rho}=0$$

A két komponens épp kioltja egymást, függetlenül a kontaktusok elhelyezésének $\alpha$ szögétől. 

Mivel a gyűrűt vákuum tölti ki, ezért a gyűrű középpontjában a mágneses térerősség zérus.

</wlatex>
</noinclude>