Termodinamika példák - Ideális gáz egy körfolyamata adiabatával forrásának megtekintése

<noinclude>
[[Kategória:Kísérleti fizika 3. gyakorlat]]
[[Kategória:Szerkesztő:Stippinger]]
[[Kategória:Termodinamika]]
{{Kísérleti fizika gyakorlat
| tárgynév    = Kísérleti fizika 3. gyakorlat
| témakör     = Termodinamika - Fajhő, Körfolyamatok
| rövid       = Fajhő, Körfolyamatok
}}
== Feladat ==
</noinclude><wlatex># Az ábrán a $T_B$ és $T_A$ hőmérsékletekkel meghatározott körfolyamat látható. Mekkora annak a gépnek a hatásfoka, amelyik ezt a körfolyamatot mólnyi mennyiségű, adott $\gamma$ fajhőviszonyú ideális gázzal valósítja meg?<br />[[Fájl:Körfolyamat adiabatával.svg|200px]]
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$\eta=1-\gamma\frac{x^{1/gamma}-1}{x-1},$$ ahol $x=T_B/T_A.$}}</wlatex></includeonly><noinclude>[[Fájl:Körfolyamat adiabatával ötlet.svg|200px]]

== Megoldás ==
<wlatex>A hőerőgép hatásfoka
$$ \eta = \frac{\Delta W}{\Delta Q_\text{fel}}
    = \frac{\Delta Q_\text{fel} - |\Delta Q_\text{le}|}{\Delta Q_\text{fel}}
    = 1-\frac{|\Delta Q_\text{le}|}{\Delta  Q_\text{fel}}.$$

Adiabatától eltérő görbén mozgó rendszer, környezetével hőcserét végez. Jelen körüljárási iránnyal ez az izobár $CA$ szakaszon $\Delta Q_\text{le}$ hőleadás, az izochor $AB$ szakaszon pedig $Q_\text{fel}$ hőfelvétel:
$$ \Delta  Q_\text{le}=n C_p\left( T_C- T_A\right), $$
$$ \Delta  Q_\text{fel}=n C_V\left( T_B- T_A\right), $$
behelyettesítve a hatásfok definíciójába:
$$ \eta= 1-\gamma \frac{T_C-T_A}{T_B-T_A}. $$

$T_C$-t az adiabata egyenletéből a térfogat és a hőmérséklet segítségével kifejezhetjük:
$$ T_C V_2^{\gamma-1} = T_B V_1^{\gamma-1} \qquad \Rightarrow \qquad T_C = T_B{\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}^{\gamma -1}, $$
amit az izobár kompresszió $\frac{V_1}{V_2}=\frac{T_A}{T_C}$ paramétereinek ismeretében visszavezethetünk a megadott hőmérsékletekre:
$$ T_C^{\gamma }= T_B T_A^{\gamma -1}. $$

A hatásfok $T_C$ kifejezését behelyettesítve:
$$ \eta =1-\gamma \frac{T_B^{\frac 1{\gamma }} T_A^{\frac{\gamma -1}{\gamma }}- T_A}{T_B- T_A}=1-\gamma \frac{{\left(\frac{T_B}{T_A}\right)}^{\frac 1{\gamma }}-1}{\frac{T_B}{T_A}-1}.$$
</wlatex>
</noinclude>