Termodinamika példák - Ideális gáz kompresszibilitásai forrásának megtekintése

<noinclude>
[[Kategória:Kísérleti fizika 3. gyakorlat]]
[[Kategória:Szerkesztő:Stippinger]]
[[Kategória:Termodinamika]]
{{Kísérleti fizika gyakorlat
| tárgynév    = Kísérleti fizika 3. gyakorlat
| témakör     = Termodinamika - Állapotváltozás, I. főtétel
| rövid       = Állapotváltozás, I. főtétel
}}
== Feladat ==
</noinclude><wlatex># Mutassa meg, hogy ideális gáz izoterm összenyomásánál a kompresszibilitás $\kappa_T=\frac1p$, míg adiabatikus összenyomásnál $\kappa_{\text{ad}}=\frac{1}{\gamma p}$, ahol $\gamma =\frac{C_p}{C_V}$.
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használjuk a kompresszibilitás definícióját, és a megfelelő folyamatokat leíró egyenleteket.}}{{Végeredmény|content=$$\kappa_{\mathit{ad}}=\frac{1}{\gamma p}$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>
== Megoldás ==
<wlatex>A kompresszibilitás '''általános''' definíciója
$$ {\kappa }_{\substack{\text{állapot-}\\ \text{változás}}} = -\frac{1}{V} \left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_{\substack{\text{állapot-}\\ \text{változás}}},$$
ahol iránymenti deriváltat kell képezni az állapotváltozás egyenlete által meghatározott vonalon.

'''Izoterm''' esetben az állapotegyenlet
$$V(p) = NkT\cdot\frac{1}{p}, $$
amiből
$$ \left(\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}p}\right)_T = -\frac{NkT}{p^2}=-\frac{V}{p}, $$
azaz az izoterm kompresszibilitás
$$ \kappa_T = \frac{1}{p}. $$

'''Adiabatikus''' esetben az adiabata egyenletének egyik alakjából kell kiindulnunk:
$p V^\gamma = \mathrm{const.} $ egyenletet $V$ szerint deriválva
$$ \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}V}V^\gamma + \gamma p V^{\gamma-1} = 0, $$
amiből
$$ \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}V} = -\frac{\gamma p}{V},$$
aminek formálisan vehetjük a reciprokát, ha továbbra is az adiabata mentén számítjuk:
$$ \kappa_\text{ad} = -\frac{1}{V}\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}p} = \frac{1}{\gamma p}.$$

== Megjegyzés ==
'''Adiabatikus''' esetben a $p V^\gamma = \mathrm{const.} $ egyenletet $p$ szerint deriválva
$$ V^\gamma+\gamma p V^{\gamma-1}\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}p} = 0, $$
ami ismét az előző eredményre vezet:
$$ \kappa_\text{ad} = \frac{1}{\gamma p}. $$
</wlatex>
</noinclude>