Termodinamika példák - Ideális gáz kompresszibilitásai
A Fizipedia wikiből
Feladat
- Mutassa meg, hogy ideális gáz izoterm összenyomásánál a kompresszibilitás
, míg adiabatikus összenyomásnál
, ahol
.
Megoldás
A kompresszibilitás általános definíciója
![\[ {\kappa }_{\substack{\text{állapot-}\\ \text{változás}}} = -\frac{1}{V} \left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_{\substack{\text{állapot-}\\ \text{változás}}},\]](/images/math/4/f/9/4f905ba248e5de17a5b5987ef1ec1911.png)
ahol iránymenti deriváltat kell képezni az állapotváltozás egyenlete által meghatározott vonalon.
Izoterm esetben az állapotegyenlet
![\[V(p) = NkT\cdot\frac{1}{p}, \]](/images/math/e/d/3/ed343df7b0072af0256e0dc470b9cfbc.png)
amiből
![\[ \left(\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}p}\right)_T = -\frac{NkT}{p^2}=-\frac{V}{p}, \]](/images/math/a/c/f/acfb1ee3172daacb69643e2c93a585a5.png)
azaz az izoterm kompresszibilitás
![\[ \kappa_T = \frac{1}{p}. \]](/images/math/d/c/0/dc00f5b0fb29ef984b6d9af4efc4d21f.png)
Adiabatikus esetben az adiabata egyenletének egyik alakjából kell kiindulnunk:
egyenletet
szerint deriválva
![\[ \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}V}V^\gamma + \gamma p V^{\gamma-1} = 0, \]](/images/math/1/2/6/12605718c8922f2d022b1c75ef5041fe.png)
amiből
![\[ \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}V} = -\frac{\gamma p}{V},\]](/images/math/e/3/6/e360ad197e5b09ce8dd33507378018aa.png)
aminek formálisan vehetjük a reciprokát, ha továbbra is az adiabata mentén számítjuk:
![\[ \kappa_\text{ad} = -\frac{1}{V}\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}p} = \frac{1}{\gamma p}.\]](/images/math/b/5/1/b51f46bb60b73c90d1599844b8838318.png)
Megjegyzés
Adiabatikus esetben a egyenletet
szerint deriválva
![\[ V^\gamma+\gamma p V^{\gamma-1}\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}p} = 0, \]](/images/math/3/d/d/3dda19d31e0349131dcf8d80aba373e4.png)
ami ismét az előző eredményre vezet:
![\[ \kappa_\text{ad} = \frac{1}{\gamma p}. \]](/images/math/7/8/c/78c3796f194465bf9f595e4b8622fabd.png)