Termodinamika példák - Ideális gáz részecskéinek energia szerinti eloszlása forrásának megtekintése

<noinclude>
[[Kategória:Kísérleti fizika 3. gyakorlat]]
[[Kategória:Szerkesztő:Stippinger]]
[[Kategória:Termodinamika]]
{{Kísérleti fizika gyakorlat
| tárgynév    = Kísérleti fizika 3. gyakorlat
| témakör     = Termodinamika - Kinetikus gázelmélet, transzportfolyamatok
| rövid       = Kinetikus gázelmélet, transzport
}}
== Feladat ==
</noinclude><wlatex># Az $F(v)$ sebességeloszlási függvényből a $w=mv^2/2$ összefüggés felhasználásával vezessük le az $f(w)$ energia-eloszlási függvényt, ahol $f(w)$ azt mutatja meg, hogy az összes molekula hányadrésze rendelkezik $w$ és $w+\mathrm{d}w$ közötti mozgási energiával! Mekkora a legvalószínűbb $w_0$ energia és mennyi az átlagos kinetikus energia?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$f(w)=\frac{4}{v_0\sqrt{\pi}}\frac{1}{w_v\sqrt{2\mu}}\sqrt{w} \exp\left\{ -\frac{w}{w_v} \right\}, \text{ ahol } w_v=\frac12 \mu v_0^2=kT$$<br />$$w_0=\frac12kT,\qquad \langle w\rangle=\frac32kT$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>

== Megoldás ==
<wlatex>Az [[Termodinamika példák - Stern-kísérlet|előző feladatban]] taglaltaknak megfelelően az
$$ F(v) = A \left(\frac{v}{v_0}\right)^2 \exp\left\{ -\left(\frac{v}{{v}_{0}}\right)^2 \right\} $$
''Maxwell''-féle sebességeloszlás-függvény szigorúan véve egy valószínűségi sűrűségfüggvény, $v_0=\sqrt{\frac{2kT}{\mu}}$ a legvalószínűbb sebesség és $A=\frac{4}{v_0\sqrt{\pi}}$ a normáló tényező. Az energia szerinti eloszlás (matematikailag ismét csak sűrűségfüggvény) kiszámításához, egy mértéktranszformációt kell végrehajtanunk.

Ez fizikailag azt jelenti, hogy felírjuk a gázmolekulák $[v,v+\mathrm{d}v)$ sebességintervallumba eső hányadát és ezt megfeleltetjük a $[w,w+\mathrm{d}w)$ energiaintervallumnak:
$$ F(v)\,\mathrm{d}v = f(w)\,\mathrm{d}w, $$
ahol az intervallum kezdőpontja a
$$ w = \frac{1}{2}\mu {v}^{2} \qquad\Leftrightarrow\qquad v=\sqrt{\frac2\mu}\sqrt{w} $$
sebesség–energia-összefüggésből, hossza pedig ebből differenciálás útján kapható:
$$ \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}w} = \sqrt{\frac2\mu} \frac1{2\sqrt{w}} \qquad\Rightarrow\qquad \mathrm{d}v=\frac{\mathrm{d}w}{\sqrt{2\mu w}}. $$

Behelyettesítés után:
$$ f\left(w\right)\,\mathrm{d}w = F(v)\,\mathrm{d}v
    = A \frac{w}{w_v} \exp\left\{ -\frac{w}{w_v} \right\} \frac{1}{\sqrt{2\mu w}}\,\mathrm{d}w,$$
azaz
$$f\left(w\right) = B \sqrt{w} \exp\left\{ -\frac{w}{w_v} \right\} ,$$
ahol $w_v=\frac12 \mu v_0^2=kT$ a legvalószínűbb sebességhez tartozó energia és $B=\frac{A}{w_v\sqrt{2\mu}}$ normáló tényező.

Mivel $f(w)$ pozitív értékkészletű, $0$-ban és $\infty$-ben lecseng, azért extrémuma egyben a $w_0$-lal jelölt legvalószínűbb energia:
$$ \left.\frac{\mathrm{d}f(w)}{\mathrm{d}w}\right|_{w=w_0} = B \exp\left\{-\frac{w_0}{kT}\right\} \left(\frac1{2\sqrt{w_0}}-\frac{\sqrt{w_0}}{kT}\right) = 0. $$
A kifejezés gyöke a legvalószínűbb energia, a kerek zárójeles részből kapjuk, és éppen a legvalószínűbb sebességhez tartozó energia fele:
$$ w_0 = \frac12 kT = \frac12 w_v. $$

Az átlagos energia az $f(w)$ függvény első momentuma:
$$ \langle w\rangle = \int_0^\infty w f(w)\,\mathrm{d}w
    = B \int_0^\infty w^{\frac32} \exp\left\{ -\frac{w}{kT} \right\} \,\mathrm{d}w. $$

Ez parciális integrálással (első tényezőt deriváljuk, másodikat integráljuk) értékelhető ki:
$$ \langle w\rangle = \left[-B \, kT \, w^{\frac32} \exp\left\{ -\frac{w}{kT} \right\} \right]_0^\infty - \frac32(-kT) \int_0^\infty B \sqrt{w}\exp\left\{ -\frac{w}{kT} \right\} \,\mathrm{d}w, $$
az első tag a határokon eltűnik, az integrál pedig a teljes energiaeloszlás-függvény – egy normált sűrűségfüggvény – integrálja, azaz értéke $1$. Ezzel a részecskék átlagos energiája az ekvipartíció tételével összhangban
$$ \langle w\rangle = \frac32 kT. $$
</wlatex>
</noinclude>