Termodinamika példák - Ideális gáz részecskéinek energia szerinti eloszlása

Feladat

1. Az $\setbox0\hbox{$F(v)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességeloszlási függvényből a $\setbox0\hbox{$w=mv^2/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ összefüggés felhasználásával vezessük le az $\setbox0\hbox{$f(w)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ energia-eloszlási függvényt, ahol $\setbox0\hbox{$f(w)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ azt mutatja meg, hogy az összes molekula hányadrésze rendelkezik $\setbox0\hbox{$w$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$w+\mathrm{d}w$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ közötti mozgási energiával! Mekkora a legvalószínűbb $\setbox0\hbox{$w_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ energia és mennyi az átlagos kinetikus energia?

Megoldás

Az előző feladatban taglaltaknak megfelelően az

$\[ F(v) = A \left(\frac{v}{v_0}\right)^2 \exp\left\{ -\left(\frac{v}{{v}_{0}}\right)^2 \right\} \]$

Maxwell-féle sebességeloszlás-függvény szigorúan véve egy valószínűségi sűrűségfüggvény, $\setbox0\hbox{$v_0=\sqrt{\frac{2kT}{\mu}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a legvalószínűbb sebesség és $\setbox0\hbox{$A=\frac{4}{v_0\sqrt{\pi}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a normáló tényező. Az energia szerinti eloszlás (matematikailag ismét csak sűrűségfüggvény) kiszámításához, egy mértéktranszformációt kell végrehajtanunk.

Ez fizikailag azt jelenti, hogy felírjuk a gázmolekulák $\setbox0\hbox{$[v,v+\mathrm{d}v)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességintervallumba eső hányadát és ezt megfeleltetjük a $\setbox0\hbox{$[w,w+\mathrm{d}w)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ energiaintervallumnak:

$\[ F(v)\,\mathrm{d}v = f(w)\,\mathrm{d}w, \]$

ahol az intervallum kezdőpontja a

$\[ w = \frac{1}{2}\mu {v}^{2} \qquad\Leftrightarrow\qquad v=\sqrt{\frac2\mu}\sqrt{w} \]$

sebesség–energia-összefüggésből, hossza pedig ebből differenciálás útján kapható:

$\[ \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}w} = \sqrt{\frac2\mu} \frac1{2\sqrt{w}} \qquad\Rightarrow\qquad \mathrm{d}v=\frac{\mathrm{d}w}{\sqrt{2\mu w}}. \]$

Behelyettesítés után:

$\[ f\left(w\right)\,\mathrm{d}w = F(v)\,\mathrm{d}v = A \frac{w}{w_v} \exp\left\{ -\frac{w}{w_v} \right\} \frac{1}{\sqrt{2\mu w}}\,\mathrm{d}w,\]$

azaz

$\[f\left(w\right) = B \sqrt{w} \exp\left\{ -\frac{w}{w_v} \right\} ,\]$

ahol $\setbox0\hbox{$w_v=\frac12 \mu v_0^2=kT$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a legvalószínűbb sebességhez tartozó energia és $\setbox0\hbox{$B=\frac{A}{w_v\sqrt{2\mu}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ normáló tényező.

Mivel $\setbox0\hbox{$f(w)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pozitív értékkészletű, $\setbox0\hbox{$0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ban és $\setbox0\hbox{$\infty$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ben lecseng, azért extrémuma egyben a $\setbox0\hbox{$w_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-lal jelölt legvalószínűbb energia:

$\[ \left.\frac{\mathrm{d}f(w)}{\mathrm{d}w}\right|_{w=w_0} = B \exp\left\{-\frac{w_0}{kT}\right\} \left(\frac1{2\sqrt{w_0}}-\frac{\sqrt{w_0}}{kT}\right) = 0. \]$

A kifejezés gyöke a legvalószínűbb energia, a kerek zárójeles részből kapjuk, és éppen a legvalószínűbb sebességhez tartozó energia fele:

$\[ w_0 = \frac12 kT = \frac12 w_v. \]$

Az átlagos energia az $\setbox0\hbox{$f(w)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvény első momentuma:

$\[ \langle w\rangle = \int_0^\infty w f(w)\,\mathrm{d}w = B \int_0^\infty w^{\frac32} \exp\left\{ -\frac{w}{kT} \right\} \,\mathrm{d}w. \]$

Ez parciális integrálással (első tényezőt deriváljuk, másodikat integráljuk) értékelhető ki:

$\[ \langle w\rangle = \left[-B \, kT \, w^{\frac32} \exp\left\{ -\frac{w}{kT} \right\} \right]_0^\infty - \frac32(-kT) \int_0^\infty B \sqrt{w}\exp\left\{ -\frac{w}{kT} \right\} \,\mathrm{d}w, \]$

az első tag a határokon eltűnik, az integrál pedig a teljes energiaeloszlás-függvény – egy normált sűrűségfüggvény – integrálja, azaz értéke $\setbox0\hbox{$1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Ezzel a részecskék átlagos energiája az ekvipartíció tételével összhangban

$\[ \langle w\rangle = \frac32 kT. \]$