Termodinamika példák - További differenciális összefüggések, általános változócsere forrásának megtekintése

<noinclude>
[[Kategória:Kísérleti fizika 3. gyakorlat]]
[[Kategória:Szerkesztő:Stippinger]]
[[Kategória:Termodinamika - Kinetikus gázelmélet, transzportfolyamatok]]
{{Kísérleti fizika gyakorlat
| tárgynév    = Kísérleti fizika 3. gyakorlat
| témakör     = Termodinamika - Homogén rendszerek
| rövid       = Homogén rendszerek
}}
== Feladat ==
</noinclude><wlatex># Állandó anyagmennyiségű homogén rendszerben termikus és mechanikai kölcsönhatás esetén fennáll a $\displaystyle {\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_T=T{\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V-p$ egyenlet. A fenti egyenlet levezetésének mintájára bizonyítsuk be, hogy ha a termikus kölcsönhatás mellett tetszőleges – $X$ intenzív- és $\xi$ extenzív mennyiségpárral jellemzett – kölcsönhatás lép fel, akkor a fenti egyenlet érvényes marad, ha végrehajtjuk a $p\to-X$ és a $V\to\xi$ változócserét!</wlatex><noinclude>

== Megoldás ==
<wlatex>Az első főtétel az új változókkal
$$ T\,\mathrm{d}S=\,\mathrm{d}U-X\,\mathrm{d}\xi. $$
Az $U(S,\xi)$ függvény teljes differenciálja
$$ \mathrm{d}U = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_\xi \,\mathrm{d}T + \left(\frac{\partial U}{\partial \xi}\right)_T \,\mathrm{d}\xi, $$ 
aminek segítségével
$$ \mathrm{d}S = \frac{1}{T} \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_\xi \,\mathrm{d}T
   + \frac{1}{T} \left( \left(\frac{\partial U}{\partial \xi}\right)_T - X \right) \,\mathrm{d}\xi. $$

A Young-tétel szerint $S(T,\xi)$ vegyes második parciális deriváltjai egyenlőek:
$$ \frac{\partial}{\partial \xi} \left(\frac{1}{T} \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_\xi \right) 
   = \frac{\partial}{\partial T} \left(\frac{1}{T} \left(\frac{\partial U}{\partial \xi}\right)_T - \frac{X}{T} \right), $$
$$ \frac{1}{T} \frac{\partial^2 U}{\partial \xi \partial T} 
   = -\frac{1}{T^2}\frac{\partial U}{\partial \xi} + \frac{1}{T} \frac{\partial^2 U}{\partial \xi \partial T}
     -\frac{1}{T} \frac{\partial X}{\partial T} + \frac{X}{T^2}, $$
azaz $T^2$-tel való szorzás után
$$ \left(\frac{\partial U}{\partial \xi }\right)_T = X - T \left(\frac{\partial X}{\partial T}\right)_\xi. $$

Természetesen a levezetés $X=-p$, $\xi=V$ esetben is igaz.

== Másik bizonyítás ==

Az első főtétel az új változókkal
$$ \mathrm{d}U = T\,\mathrm{d}S + X\,\mathrm{d}\xi $$
felírt alakját osszuk le formálisan $\mathrm{d}\xi$-vel állandó hőmérsékleten:

$$ \left(\frac{\partial U}{\partial \xi}\right)_T = T \left(\frac{\partial S}{\partial \xi}\right)_T + X, $$
ahol használjuk az új változókban $U(S,\xi)$ teljes differenciálból levezethető
$$ \left(\frac{\partial S}{\partial \xi}\right)_T = -\left(\frac{\partial X}{\partial T}\right)_\xi $$
[[Termodinamika példák - Maxwell-relációk|Maxwell-relációt]]:
$$ \left(\frac{\partial U}{\partial \xi }\right)_T = X - T \left(\frac{\partial X}{\partial T}\right)_\xi. $$

Természetesen a levezetés $X=-p$, $\xi=V$ esetben is igaz.
</wlatex>
</noinclude>