„Piezoelektromos állandók mérése” változatai közötti eltérés
| 108. sor: | 108. sor: | ||
{{eq| S_{ij} {{=}} s_{ijkl} T_{kl} + \alpha_{ij}\Delta\Theta + d_{ijk} E_k |eq:14|(14)}} | {{eq| S_{ij} {{=}} s_{ijkl} T_{kl} + \alpha_{ij}\Delta\Theta + d_{ijk} E_k |eq:14|(14)}} | ||
| + | A továbbiakban ezek közül a jelenségek közül csak az inverz piezoelektromos effektussal foglalkozunk, és feltételezzük, hogy a deformáció egyedüli oka az elektromos tér, vagyis használhatjuk a speciális estre vonatkozó LINK (13) összefüggést. | ||
| + | A piezoelektromos effektusok (piezoelektromos- és inverz piezoelektromos effektus) gyakorlati felhasználása azon alapul, hogy egy test felületén külső mechanikai hatás következményeként megváltozik az elektromos töltéseloszlás, illetve a külső elektromos tér a testet deformálja. A gyakorlatban az ilyen anyagok egyre nagyobb szerepet kapnak, mint erő- és elmozdulás érzékelők, rezgéskeltők, nagypontosságú mechanikai helyzetbeállítók, stb. | ||
| + | A kristályos anyagok jelentős része mutat piezoelektromos tulajdonságokat, gyakorlati alkalmazhatóságuk e jelenség mértékétől függ, ami számszerűen a piezomodulusokkal jellemezhető. A $d_{ijk}$ piezoelektromos modulus-tenzornak 27 eleme van, de szerencsére egy anyag – még a legáltalánosabb esetben is – ennél jóval kevesebb számú piezomodulussal jellemezhető. Tudjuk, hogy a $T_{ij}$ feszültségtenzor és az $S_{ij}$ alakváltozási tenzor szimmetrikus, azaz érvényes a $T_{ij} = T_{ji}$ és az $S_{ij} = S_{ji}$ összefüggés. Ez azt jelenti, hogy a test egy pontjában a feszültség és az alakváltozás jellemzésére csak 6-6 mennyiségre van szükség, ezért bevezették a következő indexelési konvenciót: a főátló elemei rendre ''1, 2, 3,'' míg az azon kívüli elemek, tehát a vegyes indexű tagok a ''4, 5, 6,'' indexeket kapják. Ezáltal a két tenzor az alábbi, 6-6 különböző elemet tartalmazó két mátrix formájában írható fel: | ||
| + | $$\left[ \begin{array}{lcr} | ||
| + | T_{11} & T_{12} & T_{13}\\ | ||
| + | T_{21} & T_{22} & T_{23}\\ | ||
| + | T_{31} & T_{32} & T_{33} | ||
| + | \end{array} \right] \Rightarrow \left( \begin{array}{lcr} | ||
| + | T_{1} & T_{6} & T_{5}\\ | ||
| + | T_{6} & T_{2} & T_{4}\\ | ||
| + | T_{5} & T_{4} & T_{3} | ||
| + | \end{array} \right) | ||
| + | $$ | ||
| + | $$\left[ \begin{array}{lcr} | ||
| + | S_{11} & S_{12} & S_{13}\\ | ||
| + | S_{21} & S_{22} & S_{23}\\ | ||
| + | S_{31} & S_{32} & S_{33} | ||
| + | \end{array} \right] \Rightarrow \left( \begin{array}{lcr} | ||
| + | S_{1} & S_{6} & S_{5}\\ | ||
| + | S_{6} & S_{2} & S_{4}\\ | ||
| + | S_{5} & S_{4} & S_{3} | ||
| + | \end{array} \right) | ||
| + | $$ | ||
| + | A mátrixokból az átindexelés pontos sémája leolvasható. | ||
| + | Kimutatható, hogy a fenti két tenzor szimmetrikus volta miatt a piezomodulus-tenzor elemeire is fennáll egyfajta szimmetria (a második és harmadik indexek felcserélhetők): | ||
| + | |||
| + | {{eq| d_{ijk} {{=}} d_{ikj} |eq:15| (15) }} | ||
| + | |||
| + | aminek alapján az elemek száma itt is csökkenthető. A tenzorkomponensek második és harmadik indexeire alkalmazva a feszültség- és alakváltozási tenzornál megismert átindexelést (11→1, 22→2, 33→3, 23→4, 13→5, 12→6), a 27 elemet tartalmazó harmadrendű kétindexes mátrix formájába írható át: | ||
| + | |||
| + | $$\left( \begin{array}{lcr} | ||
| + | d_{11} & d_{12} & d_{13} & d_{14} & d_{15} & d_{16}\\ | ||
| + | d_{21} & d_{22} & d_{23} & d_{24} & d_{25} & d_{26}\\ | ||
| + | d_{31} & d_{32} & d_{33} & d_{34} & d_{35} & d_{36} \end{array} \right) | ||
| + | $$ | ||
*[[Media:Piezoelektromos_anyagokv2.pdf|Piezoelektromos_anyagok_v2]] | *[[Media:Piezoelektromos_anyagokv2.pdf|Piezoelektromos_anyagok_v2]] | ||
A lap 2013. augusztus 3., 17:42-kori változata
szerkeszt/-va/-ve/-ván/-vén alatt
A mérés célja:
- megismertetni a hallgatókat a piezoelektromos effektusokkal, a piezoelektromos állandók értelmezésével, illetve azok kísérleti meghatározási módszereivel.
A cél érdekében:
- értelmezzük a piezoelektromos állandókat,
- ismertetjük a kísérleti meghatározás lehetőségeit,
- ismertetjük a mérés során alkalmazott vizsgálati módszereket, a mérőkészülék felépítését és működését,
- megmérjük kerámia minták piezoelektromos állandóit.
Tartalomjegyzék |
Elméleti összefoglaló
Ha egy anyagot valamilyen külső hatás ér, akkor abban különböző változások jönnek létre, az anyag valamilyen módon „reagál” a külső hatásokra, amit megfigyelőként a hatástól függő jelenségként észlelünk. Mind az anyagot ért hatások, mind pedig az anyagban ilyenkor észlelhető jelenségek fizikai szempontból valamilyen fizikai mennyiséggel – illetve annak megváltozásával – jellemezhetők. Az, hogy meghatározott körülmények között egy hatás milyen erősségű változást (jelenséget) hoz létre, függ a vizsgált anyagtól, pontosabban az anyagnak az adott jelenség szempontjából fontos tulajdonságától.
Például: ha egy anyagot melegítünk, akkor az anyagot ért hatás a hőmérséklet változásával jellemezhető, a hőmérsékletváltozás által kiváltott egyik lehetséges jelenség pedig az, hogy megváltozik az anyag térfogata. Ugyanolyan hőmérsékletváltozás azonban különböző anyagokban különböző térfogatváltozást okoz, vagyis a jelenség „mértéke” az anyagi minőségtől függ és az anyag egy tulajdonságával – a térfogati hőtágulási együtthatóval – jellemezhető. Egy másikismert példa, hogy egy szigetelőanyag elektromos tér hatására polarizálódik. Itt a hatás az elektromos térerősség-vektorral, a jelenség a polarizáció-vertorral, a jelenségnek az anyagi minőségtől való függése pedig egy tenzorral, a dielektromos szuszceptibilitás tenzorával jellemezhető. Hasonlóan: egy test erőhatás következtében létrejövő alakváltozása esetén a hatás a feszültségtenzorral, a jelenség az alakváltozási tenzorral, az anyag tulajdonságai pedig a rugalmas együtthatókkal (amelyek ugyancsak tenzort alkotnak) jellemezhető.
A jelenségek számszerű leírásának alapvető feltétele az, hogy a vizsgált esetre vonatkozóan ismerjük a hatást, a jelenséget és a tulajdonságot jellemző fizikai mennyiségek közötti összefüggést. Szerencsére számos olyan jelenséget ismerünk amelynél – nem túl nagy hatások esetén – ez az összefüggés igen egyszerű formában írható fel. A pontos megfogalmazást egyelőre mellőzve, azt mondhatjuk, hogy a hatást és a jelenséget jellemző mennyiségek között egyfajta lineáris összefüggés áll fenn, amely szimbolikusan az alábbi alakban írhatunk fel:
![\[ \mbox{jelenség} = \mbox{tulajdonság}*\mbox{hatás} \]](/images/math/9/4/b/94bf79c538352fdcf88db52e9849d128.png)
Itt a „jelenség”, „tulajdonság”, „hatás” elnevezés fizikai mennyiségeket jelöl, amelyek matematikai szempontból skaláris- vektor- vagy tenzormennyiségek lehetnek. Ennek megfelelően a „ 
” jel is különböző műveleteket jelenthet.
Az említet példák közül az állandó nyomás (P) mellett végbemenő hőtágulás esetében a hatás a 
hőmérsékletváltozás, a jelenség a 
térfogatváltozás, a tulajdonság pedig az 
térfogati hőtágulási együttható. Az említett mennyiségek között az egyszerű
![\[ \Delta V = \alpha_P*\Delta\theta \]](/images/math/a/a/8/aa8cf10e17c0241010a33b715815e508.png)
tapasztalati összefüggés áll fenn (itt mindhárom mennyiség skalár). A másik példában a hatást jellemző E térerősség-vektor és a jelenséget jellemző P polarizáció-vektor kapcsolata – a vektorok derékszögű koordinátarendszerbeli komponenseit 1, 2, 3-mal jelölve – az alábbi lineáris egyenletekkel adható meg
![\[ \begin{array}{c} P_1 = \chi_{11}E_1+\chi_{12}E_2+\chi_{13}E_3 \\ P_2 = \chi_{21}E_1+\chi_{22}E_2+\chi_{23}E_3 \\ P_3 = \chi_{31}E_1+\chi_{32}E_2+\chi_{33}E_3 \end{array} \]](/images/math/9/b/2/9b23b3f01bd862fb21b882dfc4250896.png)
Az egyenletben szereplő 
mennyiségek egy másodrendű tenzor komponensei, amelyet a
![\[ \chi = \left[ \begin{array}{lcr} \chi_{11} & \chi_{12} & \chi_{13}\\ \chi_{21} & \chi_{22} & \chi_{23}\\ \chi_{31} & \chi_{32} & \chi_{33} \end{array} \right] \]](/images/math/2/7/d/27dde165eaeec44badb2482d9adb413d.png)
szimbólummal jelölhetünk. Ezzel a jelöléssel a LINK (3) egyenleteket sűrített formában gyakran az alábbi módón írják fel:
![\[ \textbf{P} = \underline{\underline{\chi} } \cdot \textbf{E} \]](/images/math/9/a/d/9ade21dd110f6af15ee589290e8c30d3.png)
Ez az írásmód egy ilyen – másodrendű tenzort – tartalmazó egyenletnél még egyértelmű, magasabb rendű tenzorok esetén azonban nem derül ki belőle a szereplő tenzorok rendje, ezért helyette rendszerint az egyenleteket – bizonyos megállapodásokkal – rövidített indexes alakban használják. A LINK (3) egyenlet ilyen indexes alakja:
![\[ P_i = \chi_{ij} \cdot E_j \]](/images/math/1/b/d/1bd00a6dc9d8642732a88f4aa98ed202.png)
azzal a megállapodással, hogy az egyenletben ugyanazon tagban előforduló, megegyező indexekre (a LINK (6) egyenletben tehát j-re) összegezni kell, a magában álló index (i) helyébe pedig az 1, 2, vagy 3 érték helyettesítendő be ( így kapunk 3 egyenletet).
Ugyanilyen alakban írható fel a másodrendű tenzorral jellemezhető mechanikai feszültség (
) és a deformáció (
) közötti kapcsolatot megadó általános Hooke-törvény is:
![\[ T_{ij} = c_{ijkl} \cdot S_{kl} \]](/images/math/6/0/b/60b7e58ddd0a8516b8168f58ea5888f8.png)
ahol a 
mennyiségek egy negyedrendű tenzor komponensei, amelyeket rugalmas állandóknak neveznek. Ugyanez a törvény úgy is felírható, hogy a deformációkat fejezzük ki a feszültségekkel, azaz
![\[ S_{ij} = s_{ijkl} \cdot T_{kl} \]](/images/math/9/b/0/9b04abb98835b0989f9f4c79981249d0.png)
Az itt szereplő mennyiségek szintén egy negyedrendű tenzort alkotnak, amelyeket merevségi együtthatóknak neveznek.
Mivel gyakran előfordul, hogy ugyanazt a jelenséget többféle hatás is létrehozhatja, fontos megadni, hogy a jelenség milyen feltételek között ment végbe. Ennek megfelelően a fenti egyenletek csak akkor érvényesek, ha a jelenséget a vizsgált esetekben csak az egyenletekben szereplő egyetlen hatás váltja ki. A továbbiakban vizsgálandó jelenségek éppen azzal kapcsolatosak, hogy bizonyos anyagokban elektromos polarizációt nem csak az elektromos tér, hanem más hatások is létrehozhatnak, illetve hogy egy anyag deformációja nem csak mechanikai feszültség, hanem más hatások eredménye is lehet, és ilyenkor a LINK (6) és a (8) egyenletet módosítani kell.
A tapasztalat azt mutatja, hogy polarizáció-változást – az elektromos tér mellett - létrehozhat hőmérsékletváltozás és mechanikai feszültség is.
Azt a jelenséget, melynek során egy anyag polarizációja megváltozik, piroelektromos effektusnak nevezik. A hőmérsékletváltozás (
) által létrehozott polarizáció a már említett lineáris séma szerint fejezhető ki a hőmérsékletváltozással:
![\[ P_i = \gamma_i \Delta\Theta \]](/images/math/4/9/f/49ff9c2eeeefb8025fd3165a0834d0b9.png)
ahol a 
mennyiségek a piroelektromos együtthatók, amelyek egy vektor (elsőrendű tenzor) komponensei.
Bizonyos anyagokban polarizáció-változást mechanikai feszültség is eredményezhet. Ezt a jelenséget piezoelektromos effektusnak nevezik, és a mechanikai feszültség által létrehozott polarizációra szintén a fentiekhez hasonló lineáris törvény érvényes:
![\[ P_i = d_{ijk}T_{jk} \]](/images/math/6/6/7/667b719d9d02829b203987d83a9c525c.png)
A 
mennyiségek egy harmadrendű tenzort alkotnak, amelyeket piezoelektromos modulusoknak neveznek. A piezoelektromos effektust mutatóanyagok a piezoelektromos anyagok.
Az elektromos tér, hőmérsékletváltozás és mechanikai feszültség együttes hatása miatt létrejött polarizációt a szuperpozíció elvének alkalmazásával a LINK (6), (9), és (10) egyenletekből kapjuk meg:
![\[ P_i = \chi_{ij} E_j + \gamma_i \Delta\Theta + d_{ijk}T_{jk} \]](/images/math/b/4/4/b4418510a362272cdc4b09f741213b2b.png)
A három effektus közül a továbbiakban a piezoelektromos effektussal foglalkozunk, és feltételezzük, hogy a másik két hatás által okozott polarizáció elhanyagolható, vagyis a LINK (11) általános egyenlet helyett a LINK (10) egyenlet használható.
Tapasztalatból tudjuk, hogy egy test deformációja nem csak mechanikai feszültség, hanem hőmérsékletváltozás és – bizonyos anyagokban – elektromos tér hatására is létrejöhet. A hőtágulás jelensége eléggé ismert, anizotróp anyagokban azonban a hőtágulás is irányfüggő lehet, így a jelenséget leíró egyenlet az alábbi alakban írható fel:
![\[ S_{ij} = \alpha_{ij} \Delta\Theta \]](/images/math/a/9/7/a9772d49cb30d5a921cf12102125b7f6.png)
Az 
konstansok hőtágulási együtthatók, amelyek egy másodrendű tenzort alkotnak.
Piezoelektromos anyagokban deformáció létrejöhet elektromos tér hatására is. Ez a jelenség az inverz piezoelektromos effektus, amelynek leírása a szokásos lineáris egyenletekkel történik:
![\[ S_{ij} = d_{ijk} E_k \]](/images/math/d/a/3/da3cd4ba30943fdb1628c384a8274f75.png)
Ebben az egyenletben ugyanazok az állandók szerepelnek, mint a piezoelektromos effektust leíró LINK (10) egyenletben. A három hatás együttes eredményeként létrejött deformációt az alábbi összefüggés adja meg
![\[ S_{ij} = s_{ijkl} T_{kl} + \alpha_{ij}\Delta\Theta + d_{ijk} E_k \]](/images/math/b/b/3/bb311088fb76b5b1a590e56691bf9f2e.png)
A továbbiakban ezek közül a jelenségek közül csak az inverz piezoelektromos effektussal foglalkozunk, és feltételezzük, hogy a deformáció egyedüli oka az elektromos tér, vagyis használhatjuk a speciális estre vonatkozó LINK (13) összefüggést.
A piezoelektromos effektusok (piezoelektromos- és inverz piezoelektromos effektus) gyakorlati felhasználása azon alapul, hogy egy test felületén külső mechanikai hatás következményeként megváltozik az elektromos töltéseloszlás, illetve a külső elektromos tér a testet deformálja. A gyakorlatban az ilyen anyagok egyre nagyobb szerepet kapnak, mint erő- és elmozdulás érzékelők, rezgéskeltők, nagypontosságú mechanikai helyzetbeállítók, stb.
A kristályos anyagok jelentős része mutat piezoelektromos tulajdonságokat, gyakorlati alkalmazhatóságuk e jelenség mértékétől függ, ami számszerűen a piezomodulusokkal jellemezhető. A piezoelektromos modulus-tenzornak 27 eleme van, de szerencsére egy anyag – még a legáltalánosabb esetben is – ennél jóval kevesebb számú piezomodulussal jellemezhető. Tudjuk, hogy a feszültségtenzor és az alakváltozási tenzor szimmetrikus, azaz érvényes a 
és az 
összefüggés. Ez azt jelenti, hogy a test egy pontjában a feszültség és az alakváltozás jellemzésére csak 6-6 mennyiségre van szükség, ezért bevezették a következő indexelési konvenciót: a főátló elemei rendre 1, 2, 3, míg az azon kívüli elemek, tehát a vegyes indexű tagok a 4, 5, 6, indexeket kapják. Ezáltal a két tenzor az alábbi, 6-6 különböző elemet tartalmazó két mátrix formájában írható fel:
![\[\left[ \begin{array}{lcr} T_{11} & T_{12} & T_{13}\\ T_{21} & T_{22} & T_{23}\\ T_{31} & T_{32} & T_{33} \end{array} \right] \Rightarrow \left( \begin{array}{lcr} T_{1} & T_{6} & T_{5}\\ T_{6} & T_{2} & T_{4}\\ T_{5} & T_{4} & T_{3} \end{array} \right) \]](/images/math/1/2/3/123fc4044a1a77534b76e41a2088717f.png)
![\[\left[ \begin{array}{lcr} S_{11} & S_{12} & S_{13}\\ S_{21} & S_{22} & S_{23}\\ S_{31} & S_{32} & S_{33} \end{array} \right] \Rightarrow \left( \begin{array}{lcr} S_{1} & S_{6} & S_{5}\\ S_{6} & S_{2} & S_{4}\\ S_{5} & S_{4} & S_{3} \end{array} \right) \]](/images/math/2/0/6/206718305f366e73ec78d8f24caede6c.png)
A mátrixokból az átindexelés pontos sémája leolvasható. Kimutatható, hogy a fenti két tenzor szimmetrikus volta miatt a piezomodulus-tenzor elemeire is fennáll egyfajta szimmetria (a második és harmadik indexek felcserélhetők):
![\[ d_{ijk} = d_{ikj} \]](/images/math/3/1/f/31f6909e63ec651c64a068d447a3ebf7.png)
aminek alapján az elemek száma itt is csökkenthető. A tenzorkomponensek második és harmadik indexeire alkalmazva a feszültség- és alakváltozási tenzornál megismert átindexelést (11→1, 22→2, 33→3, 23→4, 13→5, 12→6), a 27 elemet tartalmazó harmadrendű kétindexes mátrix formájába írható át:
\[\left( \begin{array}{lcr}
d_{11} & d_{12} & d_{13} & d_{14} & d_{15} & d_{16}\\
d_{21} & d_{22} & d_{23} & d_{24} & d_{25} & d_{26}\\
d_{31} & d_{32} & d_{33} & d_{34} & d_{35} & d_{36} \end{array} \right)
\]
