„Szilárdtestfizika” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
 
(egy szerkesztő 6 közbeeső változata nincs mutatva)
16. sor: 16. sor:
  
 
== A szilárd anyagok elektromos vezetésének kvantummechanikai alapjai ==
 
== A szilárd anyagok elektromos vezetésének kvantummechanikai alapjai ==
−
 
−
=== A háromdimenziós potenciáldoboz ===
 
−
 
−
A háromdimenziós potenciáldoboz az egydimenziósnak a kézenfekvő általánosítása. (TK:1060.-1062.oldal) Egy $L$ élhosszúságú kocka alakú tartomány belsejében a potenciális energia zérus, azon kívül pedig végtelen. Ez a legegyszerűbb háromdimenziós probléma, amely analitikus módon megoldható.
 
−
 
−
[[File:Potencialdoboz_3D.jpeg|közép|300px]]
 
−
 
−
Az egydimenziós esetben láttuk, hogy egy mikrorészecske (pl. az elektron) nem tud behatolni olyan térrészbe, ahol a potenciális energia végtelen nagy. Ez nyilván érvényes a jelen esetben is: $\psi({\bf r}) = 0$ az $L^3$ potenciáldobozon kívül (azaz, ha ${\bf r} \notin L^3$). Így a Schrödinger-egyenletet csak a dobozon belül kell megoldanunk. Mivel az $L^3$ dobozon belül a potenciál $V(x)=0$, ezért írható, hogy:
 
−
 
−
$$ \frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\psi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2\psi}{\partial z^2} \right) = E\psi. $$
 
−
 
−
A szimmetria miatt feltehetjük, hogy az egyenletet kielégítő $\psi(x,y,z)$ állapotfüggvény az egydimenziós potenciáldoboz általánosításaként adódó „állóhullámok” lesznek, azaz:
 
−
 
−
$$ \psi(x,y,z) = \sqrt{\frac{8}{L^3}} \cdot\sin\left( \frac{n_x \pi}{L}x \right) \cdot\sin\left( \frac{n_y \pi}{L}y \right) \cdot\sin\left( \frac{n_z \pi}{L}z \right), \quad n_x, n_y, n_z = 1,2,3,... . $$
 
−
 
−
Közvetlen behelyettesítéssel (a parciális deriválások elvégzése után) azt kapjuk, hogy ez az állapotfüggvény valóban megoldása a Schrödinger-egyenletnek és az energiára az
 
−
 
−
{| width = "100%"
 
−
|-
 
−
| width = "10%" |
 
−
| width = "80%" | $$ E = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2mL^2} \left( n_x^2 + n_y^2 + n_z^2 \right) \equiv E_0 \left( n_x^2 + n_y^2 + n_z^2 \right) $$
 
−
| align = "right" | <span id="eq1"> (1) </span>
 
−
|}
 
−
 
−
kifejezés adódik. Az egydimenziós doboznál tanultakhoz képest a hasonlóságokon túl van némi eltérés is. Az alapállapoti energiára most $3E_0$ adódik, hiszen ebben az esetben $n_x = n_y = n_z = 1$.
 
−
 
−
Nézzünk két egyszerű számszerű példát a szemléletesség végett!
 
−
 
−
Zárjuk be az elektron egy atomnyi méretű potenciáldobozba (azaz $L = 10^{-19} \, {\rm m}$)! Ekkor az elektron alapállapoti (kinetikus) energiája $3E_0$ lesz. Ennek értékére $112,5 \, {\rm eV}$ adódik. Ez az atomok és molekulák világában elég nagy érték. Szokásos még ún. „fél klasszikus” számolásokat is elvégezni. Jelen esetben kiszámolható, hogy mekkora lenne annak a pontszerű (klasszikus mechanika szerint mozgó elektron) sebessége, amelyiknek a kinetikus energiája éppen az imént kapott $3E_0$ volna. Erre a sebességére $0,02c$ adódik.
 
−
 
−
A középiskolai tanulmányainkból tudjuk, hogy az atommagok ún. $\beta$–bomlásakor a magból elektron távozik. Számítsuk ki, hogy mekkora lenne egy atommagnyi dobozba zárt elektron alapállapoti kinetikus energiája és a sebessége. [[#eq1|(1)]] alapján kapjuk, hogy:
 
−
 
−
$$ E_{\rm alap} = C_0 \frac{3}{L^2} = 1,13\cdot 10^{12} \, {\rm eV} = 1,13\cdot 10^6 \, {\rm MeV}. $$
 
−
 
−
Ez sokkal nagyobb, mint a $\beta$-sugárzás elektronjainak maximális energiája. (Ennek tipikus értéke $1-2 \, {\rm MeV}$!) Az elektron sebességére pedig:
 
−
 
−
$$ v_{\rm alap} = \sqrt{\frac{2E_{\rm alap}}{m}} \approx 1000 c $$
 
−
 
−
adódik. Ez nyilvánvalóan fizikailag lehetetlen. Az eredmény azt mutatja, hogy itt már a relativisztikus effektusok messze nem hanyagolhatóak el. Mivel a Schrödinger-egyenlet nem relativisztikus, így nyilván nem adhat még helyes becslést sem ebben az esetben.
 
−
 
−
Végül is arra a következtetésre kell jutnunk, hogy szabad elektron nem lehet az atommagban. Valójában a neutron bomlik el protonra, elektronra és antineutrinóra (TK:1117.oldal). Ez a jelenség azonban már nem magyarázható az eddig használt kvantummechanikai modellel. Itt már a „részecskefizika” fogalomrendszerét és matematikai eszközeit kell alkalmazni, amely (formáját tekintve) meglehetősen eltér az eddig tanultaktól. (TK:1141.oldal.)
 
−
 
−
Mint azt láttuk, egy dobozba zárt elektron állapotát és energiáját három egész (kvantum)számmal jellemezhetjük. Különböző $(n_x, n_y, n_z)$ kvantumszám-hármasok különböző állapotfüggvényeket adnak meg. Ugyanakkor [[#eq1|(1)]] alapján látható, hogy létezhetnek olyan különböző kvantumszám-hármasok, amelyek ugyanakkora energiát adnak. Azaz előfordulhat, hogy egy energiaértékhez (energiaszinthez) több különböző állapotfüggvény tartozik. Ezt nevezzük az <i>állapotok elfajulásának</i>, vagy <i>degenerációnak</i>. A degeneráció fokát pedig az adott energiaszinthez tartozó különböző állapotok számával definiáljuk.
 
−
 
−
<small>Erre már láttunk példát a hidrogén atom esetében. Itt az energiát az $n$ főkvantumszám határozza meg, de az elektronállapot megadásához az $n$-en kívül még az $l$ mellékkvantumszám és az $m_l$ mágneses kvantumszám is szükséges.
 
−
 
−
Egy adott energiájú héjhoz tehát többféle (nevezetesen $n^2$ db.) pályaállapot tartozik. Egy adott pályaállapothoz pedig két spinállapot ($m_s = \pm 1/2$) is tartozik. Ezért a degeneráció foka valójában $2n^2$ lesz. (TK:1083.oldal,44.2példa) </small>
 
−
 
−
Térjünk vissza a térbeli potenciáldobozhoz!
 
−
 
−
Az állapotfüggvények és az energiaszintek azonosítása a kvantumszámokon keresztül történik. Emiatt a szokásos jelölés az, hogy a három kvantumszám értékét az állapotfüggvény alsó indexébe írjuk, pl: $\psi_{325}({\bf r})$. Ez egy olyan állapotot jelöl, amelynek kvantumszámai rendre $n_x = 3$, $n_y = 2$, $n_z = 5$. Az energiája pedig nyilvánvalóan $E_{325} = E_0 (3^2 + 2^2 + 5^2) = 58 E_0$. Triviálisan adódik, hogy pl. a $\psi_{253}$ és a $\psi_{532}$ állapotok energiája is ennyi. Az is látható, hogy jelen esetben $3!=6$ ilyen különböző állapotot találhatunk, amelyek energiája $58 E_0$.
 
−
 
−
Az első öt energiaszinthez tartozó degenerált (elfajult) állapot:
 
−
 
−
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
 
−
|-
 
−
| $\Psi$
 
−
| $n_x$
 
−
| $n_y$
 
−
| $n_z$
 
−
| $E$
 
−
|-
 
−
| $\Psi_{111}$
 
−
| $1$
 
−
| $1$
 
−
| $1$
 
−
| $3E_0$
 
−
|-
 
−
| $\Psi_{211}$
 
−
| $2$
 
−
| $1$
 
−
| $1$
 
−
| $6E_0$
 
−
|-
 
−
| $\Psi_{121}$
 
−
| $1$
 
−
| $2$
 
−
| $1$
 
−
| $6E_0$
 
−
|-
 
−
| $\Psi_{112}$
 
−
| $1$
 
−
| $1$
 
−
| $2$
 
−
| $6E_0$
 
−
|-
 
−
| $\Psi_{122}$
 
−
| $1$
 
−
| $2$
 
−
| $2$
 
−
| $9E_0$
 
−
|-
 
−
| $\Psi_{212}$
 
−
| $2$
 
−
| $1$
 
−
| $2$
 
−
| $9E_0$
 
−
|-
 
−
| $\Psi_{221}$
 
−
| $2$
 
−
| $2$
 
−
| $1$
 
−
| $9E_0$
 
−
|-
 
−
| $\Psi_{311}$
 
−
| $3$
 
−
| $1$
 
−
| $1$
 
−
| $11E_0$
 
−
|-
 
−
| $\Psi_{131}$
 
−
| $1$
 
−
| $3$
 
−
| $1$
 
−
| $11E_0$
 
−
|-
 
−
| $\Psi_{113}$
 
−
| $1$
 
−
| $1$
 
−
| $3$
 
−
| $11E_0$
 
−
|-
 
−
| $\Psi_{222}$
 
−
| $2$
 
−
| $2$
 
−
| $2$
 
−
| $12E_0$
 
−
|}
 
−
 
−
Az egyes (degenerált) állapotokhoz tartozó megtalálási valószínűségsűrűség-függvényt ábrázoltuk a következő ábrákon.
 
−
 
−
Az egy- és kétdimenziós eseteket is közöltük, mert a többi struktúra megértéséhez fontos lesz. Mint azt láttuk, egy dimenzióban:
 
−
 
−
$$ \psi_n (x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left( n \frac{\pi}{L} x \right) \quad \text{és} \quad n = 1,2,3, ... . $$
 
−
 
−
Az ábrán a $\left| \psi_1(x) \right|^2$ és $\left| \psi_2(x) \right|^2$ valószínűségsűrűségek láthatók. A „csomópont(ok)” ($\left| \psi_1(x) \right|^2 = 0$) helyét is bejelöltük.
 
−
 
−
[[File:Allapotfuggvenyek1.jpeg|közép|300px]]
 
−
 
−
A kétdimenziós potenciáldobozban lévő elektron állapotfüggvényei a következők:
 
−
 
−
$$ \psi_{n_x,n_y}(x) = \sqrt{\frac{4}{L^2}} \sin\left( n_x \frac{\pi}{L} x \right) \sin\left( n_y \frac{\pi}{L} y \right) \quad \text{és} \quad n_x, n_y = 1,2,3, ... . $$
 
−
 
−
A 3.1./3. ábrán $\left| \psi_{11}(x,y) \right|^2$, valamint $\left| \psi_{12}(x,y) \right|^2$ és $\left| \psi_{21}(x,y) \right|^2$ találhatók. A csomóvonalak ($\left| \psi(x,y) \right|^2 = 0$) helyzete jól látható.
 
−
 
−
[[File:Allapotfuggvenyek2.jpeg|közép|200px]]
 
−
 
−
[[File:Allapotfuggvenyek3.jpeg|közép|450px]]
 
−
 
−
A háromdimenziós esetben az állapotfüggvények általános matematikai alakja a következő:
 
−
 
−
$$ \psi_{n_x,n_y,n_z}(x) = \sqrt{\frac{8}{L^3}} \sin\left( n_x \frac{\pi}{L} x \right) \sin\left( n_y \frac{\pi}{L} y \right) \sin\left( n_z \frac{\pi}{L} z \right) \quad \text{és} \quad n_x, n_y, n_z = 1,2,3, ... . $$
 
−
 
−
A háromdimenziós esetben az ábrázolás már nem ilyen egyszerű. Ekkor „alkalmasan” választott szintfelületeket használunk. Az ábrán az $\left| \psi_{111}(x,y,z) \right|^2$ alapállapot és a második energiaszint állapotai, $\left| \psi_{211}(x,y,z) \right|^2$, $\left| \psi_{121}(x,y,z) \right|^2$ és $\left| \psi_{112}(x,y,z) \right|^2$ láthatók.
 
−
 
−
A csomósíkok helyzete ($\left| \psi(x,y,z) \right|^2 = 0$) jól tükrözi az állapotok szimmetriatulajdonságait.
 
−
 
−
[[File:Allapotfuggvenyek4.jpeg|közép|200px]]
 
−
 
−
[[File:Allapotfuggvenyek5.jpeg|közép|550px]]
 
−
 
−
Nagyon magas energiaszintek degenerációs fokának a kiszámítása már nem egy egyszerű számelméleti feladat. Látható ugyanis, hogy a permutációkon kívül elvileg lehet más egész számhármas is, amelyek négyzetösszege ugyanazt az értéket adja (pl. $3^2 + 5^2 + 5^2 = 1^2 + 3^2 + 7^2 = 59$). Ezek megkeresése nem könnyű, de mint azt majd látni fogjuk, nem is szükséges.
 
−
 
−
A degeneráció fokának a közelítő megadása nagy energiaszintek esetén igen egyszerű. Erről a fémek szabadelektron elméletének a kapcsán fogunk beszélni.
 
  
 
=== A fémek szabadelektron-elmélete ===
 
=== A fémek szabadelektron-elmélete ===
  
−
A fémek jól vezetik az elektromos áramot. Tehát az elektromos áramot alkotó elektronok viszonylag „könnyedén” tudnak mozogni a fém belsejében. A fémes kötés ugyanis úgy alakul ki, hogy a fématomok egyesülésekor a vegyérték elektronok „közössé válnak”. Ez azt jelenti, hogy nincsenek a fémet alkotó atomokhoz kötve, hanem azokról mintegy „leszakadva” a fém teljes makroszkopikus térfogatában mozoghatnak. Első közelítésként azt mondjuk, hogy a fém elektronjai ún. <i>szabadelektron gázt</i> alkotnak.
+
A fémek jól vezetik az elektromos áramot. Tehát az elektromos áramot alkotó elektronok viszonylag „könnyedén” tudnak mozogni a fém belsejében. A fémes kötés ugyanis úgy alakul ki, hogy a fématomok egyesülésekor a vegyérték elektronok „közössé válnak”. Ez azt jelenti, hogy nincsenek a fémet alkotó atomokhoz kötve, hanem azokról mintegy „leszakadva” a fém teljes makroszkopikus térfogatában mozoghatnak. Első közelítésként azt mondjuk, hogy a fém elektronjai ún. ''szabadelektron gázt'' alkotnak.
  
−
Az elkövetkezőkben a nagyszámú ($N\gg 1$) elektront tartalmazó szabadelektron gáz kvantummechanikai tárgyalásával foglalkozunk. Ezt a modellt már pár évvel a Schrödinger-egyenlet felfedezése (1926) után Arnold Sommerfeld dolgozta ki (1927/28). Egyszerű volta ellenére választ tudott adni egy-két olyan mérési tapasztalatra (kontakt potenciál, fémek fajhője stb), amelyek magyarázatánál a klasszikus fizika csődöt mondott.
+
Az elkövetkezőkben a nagyszámú ($N\gg 1$) elektront tartalmazó szabadelektron gáz kvantummechanikai tárgyalásával foglalkozunk. Ezt a modellt már pár évvel a Schrödinger-egyenlet felfedezése (1926) után [http://en.wikipedia.org/wiki/Arnold_Sommerfeld Arnold Sommerfeld] dolgozta ki (1927/28). Egyszerű volta ellenére választ tudott adni egy-két olyan mérési tapasztalatra (kontakt potenciál, fémek fajhője stb), amelyek magyarázatánál a klasszikus fizika csődöt mondott.
  
−
Ennek a modellnek a lényege a következő. A fém vezetési elektronjai a fémrácsot alkotó iontörzsek terében mozognak, ugyanakkor egymással is kölcsönhatásban vannak. Ezt az igen bonyolultnak tűnő kvantummechanikai problémát alkalmas modellválasztással, egyszerűen meg lehet oldani.
+
Ennek a modellnek a lényege a következő. A fém vezetési elektronjai a fémrácsot alkotó iontörzsek terében mozognak, ugyanakkor egymással is kölcsönhatásban vannak. Ezt az igen bonyolultnak tűnő kvantummechanikai problémát alkalmas modellválasztással egyszerűen meg lehet oldani.
  
−
Tekintsük bármelyik fémelektront. Ez egyrészt az iontörzsekkel, másrészt a többi elektronnal van kölcsönhatásban. Vegyünk egyszerűségképpen egy egy-vegyértékű fémet! Ekkor az iontörzsek száma megegyezik a fémes kötést létrehozó elektronok $N$ számával. Tehát bármelyik elektront tekintve a pozitív töltésű iontörzsek és a többi, negatív töltésű elektron száma gyakorlatilag megegyezik ($N\approx N-1, N\gg 1$), ezért semlegesítik egymást. Tehát az elektron szabadon mozoghat az egész fém belsejében. Ugyanakkor tapasztalati tény, hogy normál körülmények között az elektron nem lép ki a fémből. Ezt úgy tudjuk modellezni, hogy az elektront egy potenciáldobozba lévőnek tekintjük. A doboz mérete a fém makroszkopikus méretével egyezik meg és az egyszerűség végett legyen kocka alakú.
+
Tekintsük bármelyik fémelektront. Ez egyrészt az iontörzsekkel, másrészt a többi elektronnal van kölcsönhatásban. Vegyünk egyszerűségképpen egy egy-vegyértékű fémet! Ekkor az iontörzsek száma megegyezik a fémes kötést létrehozó elektronok $N$ számával. Tehát bármelyik elektront tekintve a pozitív töltésű iontörzsek és a többi, negatív töltésű elektron száma gyakorlatilag megegyezik ($N\approx N-1, N\gg 1$), ezért semlegesítik egymást. Tehát az elektron szabadon mozoghat az egész fém belsejében. Ugyanakkor tapasztalati tény, hogy normál körülmények között az elektron nem lép ki a fémből. Ezt úgy tudjuk modellezni, hogy az elektront egy potenciáldobozban lévőnek tekintjük. A doboz mérete a fém makroszkopikus méretével egyezik meg és az egyszerűség végett legyen kocka alakú.
  
−
Az elektron pályaállapotait tehát egy dobozba zárt elektron Schrödinger-egyenlete határozza meg. Az előzőekben ezt az egyenletet már megoldottuk. Eszerint egy pályaállapot három kvantumszámmal ($n_x$, $n_y$, $n_z$) jellemezhető. Az energiaszinteket pedig e három kvantumszám négyzetösszege határozza meg, azaz:
+
Az elektron pályaállapotait tehát egy dobozba zárt elektron Schrödinger-egyenlete határozza meg. Az előzőekben ezt az egyenletet már megoldottuk. Eszerint egy pályaállapot három kvantumszámmal ($n_x$, $n_y$, $n_z$) jellemezhető. Az energiaszinteket pedig e három kvantumszám négyzetösszege határozza meg, azaz
  
 
$$ E = \frac{\hbar^2}{8mL^2} \left( n_x^2 + n_y^2 + n_z^2 \right). $$
 
$$ E = \frac{\hbar^2}{8mL^2} \left( n_x^2 + n_y^2 + n_z^2 \right). $$
  
−
Az is láttuk, hogy a pályaállapotok degeneráltak. (Azaz egy energiaszinthez több különböző állapot tartozik).
+
Az is láttuk, hogy a pályaállapotok ''degeneráltak'', azaz egy energiaszinthez több különböző állapot tartozik. Ezeket a pályaállapotokat kell a Pauli-elv szerint az $N$ számú elektronnal betölteni úgy, hogy minden pályaállapotba maximum két elektron lehet ellentétes spinnel. Mivel az $N$ nagyon nagy (Avogadro számnyi!), ezért a betöltött állapotok majd mindegyike relatíve magas energiaszintekhez fog tartozni. Ez azt jelenti, hogy betöltött energiaszintek relatív „távolsága” (azaz a relatív kvantáltság) igen kicsi lesz. Ennek bizonyítása egydimenziós doboz esetén igen egyszerű. Az eredmény pedig triviálisan általánosítható a háromdimenziós modellre is. Az energiaszintek közötti relatív távolság tehát
−
 
+
−
Ezeket a pályaállapotokat kell a Pauli-elv szerint az $N$ számú elektronnal betölteni úgy, hogy minden pályaállapotba maximum két elektron lehet ellentétes spinnel. Mivel az $N$ nagyon nagy (Avogadro számnyi!) ezért a betöltött állapotok majd mindegyike relatíve magas energiaszintekhez fog tartozni. Ez azt jelenti, hogy betöltött energiaszintek relatív „távolsága” (azaz a relatív kvantáltság) igen kicsi lesz. Ennek bizonyítása egydimenziós doboz esetén igen egyszerű. Az eredmény pedig triviálisan általánosítható a háromdimenziós modellre is. Az energiaszintek közötti relatív távolság tehát:
+
  
 
$$ \frac{\Delta E_n}{E_n} = \frac{E_{n+1} - E_n}{E_n} = \frac{(n+1)^2 - n^2}{n^2} = \frac{2n-1}{n^2} \to 0, \quad \text{ha} \quad n\to\infty, $$
 
$$ \frac{\Delta E_n}{E_n} = \frac{E_{n+1} - E_n}{E_n} = \frac{(n+1)^2 - n^2}{n^2} = \frac{2n-1}{n^2} \to 0, \quad \text{ha} \quad n\to\infty, $$
  
−
azaz az energiaszintek kvantáltsága mintegy „eltűnik”. Így folytonos energiaskálára ($E$) térhetünk át. Ekkor a „degeneráció foka” helyett bevezetjük a $g(E)$ <i>állapotsűrűség</i> fogalmát. Eszerint a $g(E){\rm d}E$ azon elektronállapotok számát jelenti, amelyeknek az energiája az $(E,E+{\rm d}E)$ tartományba esik. A Pauli-elv szerint minden pályaállapothoz két spin-állapot is tartozik. Tehát a teljes (spinpálya) $g(E)$ állapotsűrűség az ${\cal N}(E)$ pályaállapot-sűrűség kétszerese lesz, azaz:
+
azaz az energiaszintek kvantáltsága mintegy „eltűnik”. Így folytonos energiaskálára ($E$) térhetünk át. Ekkor a ''degeneráció foka'' helyett bevezetjük a $g(E)$ ''állapotsűrűség'' fogalmát. Eszerint a $g(E){\rm d}E$ azon elektronállapotok számát jelenti, amelyeknek az energiája az $(E,E+{\rm d}E)$ tartományba esik. A Pauli-elv szerint minden pályaállapothoz két spin-állapot is tartozik. Tehát a teljes (spinpálya) $g(E)$ állapotsűrűség az ${\cal N}(E)$ pályaállapot-sűrűség kétszerese lesz:
  
 
$$ g(e) = 2{\cal N}(E). $$
 
$$ g(e) = 2{\cal N}(E). $$
  
−
Határozzuk meg az ${\cal N}(E)$ pályaállapot-sűrűséget a potenciáldobozba zárt elektron esetén! Minden pályaállapotot három kvantumszám ($n_x$, $n_y$, $n_z$) határoz meg. Ezért egy $\lbrace n_x, n_y, n_z \rbrace$ koordinátarendszerben (azaz a kvantumszámok „terében”) egy pályaállapotot egy pont fog reprezentálni. Az ezen állapothoz tartozó energia értéke $E = E_0(n_x^2 + n_y^2 + n_z^2)$ lesz. Látható, hogy a kvantumszámok terében az összes $E$ energiájú állapot egy $R$ sugarú gömbön helyezkedik el, hiszen:
+
Határozzuk meg az ${\cal N}(E)$ pályaállapot-sűrűséget a potenciáldobozba zárt elektron esetén! Minden pályaállapotot három kvantumszám ($n_x$, $n_y$, $n_z$) határoz meg. Ezért egy $\lbrace n_x, n_y, n_z \rbrace$ koordinátarendszerben (azaz a kvantumszámok „terében”) egy pályaállapotot egy pont fog reprezentálni. Az ezen állapothoz tartozó energia értéke $E = E_0(n_x^2 + n_y^2 + n_z^2)$ lesz. Látható, hogy a kvantumszámok terében az összes $E$ energiájú állapot egy $R$ sugarú gömbön helyezkedik el, hiszen
  
 
$$ n_x^2 + n_y^2 + n_z^2 = \frac{E}{E_0} \equiv R^2. $$
 
$$ n_x^2 + n_y^2 + n_z^2 = \frac{E}{E_0} \equiv R^2. $$
211. sor: 45. sor:
 
[[File:Palyaallapot_suruseg1.jpg|közép|300px]]
 
[[File:Palyaallapot_suruseg1.jpg|közép|300px]]
  
−
Tekintsük azokat az állapotokat, amelyek energiája az $(E, E_{\rm d}E)$ tartományba esik! Mivel a kvantumszámok értéke csak pozitív szám lehet, így az ezen állapotokat reprezentáló pontok egy gömbhéj nyolcadban vannak. Mivel az $n_i$ kvantumszámok csak (pozitív) egész számokat vehetnek fel, ezért minden egyes egységnyi térfogatban csak egy reprezentáns pont van. Ezért az $(E, E_{\rm d}E)$ tartományban lévő állapotok száma megegyezik az említett gömbhéj-nyolcad térfogatával. Azaz:
+
Tekintsük azokat az állapotokat, amelyek energiája az $(E, E+{\rm d}E)$ tartományba esik! Mivel a kvantumszámok értéke csak pozitív szám lehet, így az ezen állapotokat reprezentáló pontok egy gömbhéj nyolcadban vannak. Mivel az $n_i$ kvantumszámok csak (pozitív) egész számokat vehetnek fel, ezért minden egyes egységnyi térfogatban csak egy reprezentáns pont van. Ezért az $(E, E+{\rm d}E)$ tartományban lévő állapotok száma megegyezik az említett gömbhéj-nyolcad térfogatával:
  
 
$$ {\cal N} (E) \, {\rm d} E = \frac{4\pi}{8} R^2 \, {\rm d} R. $$
 
$$ {\cal N} (E) \, {\rm d} E = \frac{4\pi}{8} R^2 \, {\rm d} R. $$
219. sor: 53. sor:
 
$$ R = \frac{\sqrt{E}}{\sqrt{E_0}} \quad \text{és} \quad {\rm d}R = \frac{1}{2\sqrt{E_0}} \frac{1}{\sqrt{E}} {\rm d} E, $$
 
$$ R = \frac{\sqrt{E}}{\sqrt{E_0}} \quad \text{és} \quad {\rm d}R = \frac{1}{2\sqrt{E_0}} \frac{1}{\sqrt{E}} {\rm d} E, $$
  
−
ezért a pályaállapot sűrűségre az adódik, hogy:
+
a pályaállapot sűrűségre az adódik, hogy:
  
 
$$ {\cal N}(E) \sim \sqrt{E}. $$
 
$$ {\cal N}(E) \sim \sqrt{E}. $$
225. sor: 59. sor:
 
[[File:Palyaallapot_suruseg2.jpg|közép|300px]]
 
[[File:Palyaallapot_suruseg2.jpg|közép|300px]]
  
−
A Sommefeld-féle fémmodell szerint tehát a „potenciál doboz állapotokat kell” $N$ darab elektronnal betölteni. Eredményül megkapjuk az elektronok energia szerinti eloszlását. Az ezt  megadó függvényt $n(E)$-vel fogjuk jelölni. Eszerint az $n(E) \, {\rm d} E$ megadja azon elektronok számát, amelyeknek az energiája az $(E, E+{\rm d}E)$ tartományban van. Az elektronok $n(E)$ eloszlásfüggvényének a meghatározása $T = 0 \, {\rm K}$ esetén (azaz alapállapotban) igen egyszerű. A Pauli-elv szerint ugyanis minden spin-pálya állapotban maximum egyetlen elektron lehet. Ezért az alapállapoti elektrongázban egy bizonyos energiaszint alatt minden állapot be van töltve, fölötte pedig minden állapot üres lesz. Ezt az energiaszintet $E_{F0}$-val jelöljük és <i>Fermi-energiának</i> nevezzük. Mivel a betöltött állapotok száma éppen $N$ kell, hogy legyen, így ez a feltétel a Fermi-szintet egyértelműen meghatározza.
+
A Sommefeld-féle fémmodell szerint tehát a „potenciáldoboz-állapotokat kell” $N$ darab elektronnal betölteni. Eredményül megkapjuk az elektronok energia szerinti eloszlását. Az ezt  megadó függvényt $n(E)$-vel fogjuk jelölni. Eszerint az $n(E) \, {\rm d} E$ megadja azon elektronok számát, amelyeknek az energiája az $(E, E+{\rm d}E)$ tartományban van. Az elektronok $n(E)$ eloszlásfüggvényének a meghatározása $T = 0 \, {\rm K}$ esetén (azaz alapállapotban) igen egyszerű. A Pauli-elv szerint ugyanis minden spin-pálya állapotban maximum egyetlen elektron lehet. Ezért az alapállapoti elektrongázban egy bizonyos energiaszint alatt minden állapot be van töltve, fölötte pedig minden állapot üres lesz. Ezt az energiaszintet $E_{F0}$-val jelöljük és ''Fermi-energiának'' nevezzük. Mivel a betöltött állapotok száma éppen $N$ kell, hogy legyen, így ez a feltétel a Fermi-szintet egyértelműen meghatározza.
  
 
Eredményül tehát az adódik, hogy az $E_{F0}$ érték alatt $n(E)=g(E)$ és fölötte $n(E)=0$. Ha a fém hőmérséklete emelkedik ($T>0$), akkor az elektronok magasabb energiaszintre kell, hogy kerüljenek. A Pauli-elv miatt ez csak úgy lehetséges, ha a Fermi-szint közelében lévő elektronok a Fermi-szint fölé jutnak, majd az így üresen maradt állapotok egy részét a mélyebb energiaszintről származó elektronok töltik be. Azaz végül is a Fermi-energia környékén lévő állapotok csak részben lesznek beöltve (ld. ábra).
 
Eredményül tehát az adódik, hogy az $E_{F0}$ érték alatt $n(E)=g(E)$ és fölötte $n(E)=0$. Ha a fém hőmérséklete emelkedik ($T>0$), akkor az elektronok magasabb energiaszintre kell, hogy kerüljenek. A Pauli-elv miatt ez csak úgy lehetséges, ha a Fermi-szint közelében lévő elektronok a Fermi-szint fölé jutnak, majd az így üresen maradt állapotok egy részét a mélyebb energiaszintről származó elektronok töltik be. Azaz végül is a Fermi-energia környékén lévő állapotok csak részben lesznek beöltve (ld. ábra).
233. sor: 67. sor:
 
</span>
 
</span>
  
−
Az állapotok betöltöttségét egy $f^{FD}(E,T)$ függvénnyel lehet megadni. Azaz:
+
Az állapotok betöltöttségét egy $f^{FD}(E,T)$ függvénnyel lehet megadni:
  
 
{| width = "100%"
 
{| width = "100%"
242. sor: 76. sor:
 
|}
 
|}
  
−
Az $f^{FD}(E,T)$-t <i>Fermi-Dirac-féle eloszlásfüggvénynek</i> hívjuk. Az előzőek szerint $T=0 \, {\rm K}$ hőmérsékleten ez egy „lépcsőfüggvény” kell, hogy legyen. Véges $T$ hőmérsékleten az eloszlásfüggvény kissé „lekerekedik”. A változás azonban az $E_{F0}$ értéknek csak körülbelül a $4kT$ nagyságú környezetére korlátozódik. Az elmondottakat kvalitatív szemléltetését a 3.2./3. ábrán mutattuk be.
+
Az $f^{FD}(E,T)$-t ''Fermi–Dirac-féle eloszlásfüggvénynek'' hívjuk. Az előzőek szerint $T=0 \, {\rm K}$ hőmérsékleten ez egy „lépcsőfüggvény” kell, hogy legyen. Véges $T$ hőmérsékleten az eloszlásfüggvény kissé „lekerekedik”. A változás azonban az $E_{F0}$ értéknek csak körülbelül a $4kT$ nagyságú környezetére korlátozódik. Az elmondottakat kvalitatív szemléltetését az ábrán mutattuk be.
  
 
További elemi ismereteket (a matematikai részletek mellőzésével) a következő fejezetben találhatunk.
 
További elemi ismereteket (a matematikai részletek mellőzésével) a következő fejezetben találhatunk.
  
−
Érdemes megvizsgálni azt, hogy az imént kapott $E_{F0}$ érték a „hétköznapi” energiákhoz képest mekkora? Az összehasonlítást azonban nem az energia skálán, hanem a nála sokkal szemléletesebb hőmérséklet skálán fogjuk elvégezni.
+
Érdemes megvizsgálni azt, hogy az imént kapott $E_{F0}$ érték a „hétköznapi” energiákhoz képest mekkora. Az összehasonlítást azonban nem az energiaskálán, hanem a nála sokkal szemléletesebb hőmérséklet skálán fogjuk elvégezni. Erre szolgál a ''Fermi hőmérséklet'' ($T_F$) fogalma.
−
 
+
−
Erre szolgál az ún. „Fermi hőmérséklet” ($T_F$) fogalma. Ismeretes, hogy a klasszikus ideális gáz átlagenergiája, az ekvipartíció törvénye szerint, a gáz hőmérsékletével arányos.
+
  
−
A $T_F$ Fermi hőmérsékleten értjük <b>annak az ideális gáznak a hőmérsékletét, amelynek az átlagenergiája megegyezik a nulla Kelvin fokos elektrongáz átlagenergiájával</b>. Azaz:
+
Ismeretes, hogy a klasszikus ideális gáz átlagenergiája, az ekvipartíció törvénye szerint, a gáz hőmérsékletével arányos. A $T_F$ Fermi hőmérsékleten értjük <b>annak az ideális gáznak a hőmérsékletét, amelynek az átlagenergiája megegyezik a nulla Kelvin fokos elektrongáz átlagenergiájával</b>. Azaz
  
 
$$ kT_F \approx E_{F0}. $$
 
$$ kT_F \approx E_{F0}. $$
  
−
A fémek esetén a $T_F$ kb. 10 000 Kelvinnek adódik. (Összehasonlításul, a napkorona hőmérséklete kb. 6000 Kelvin). Tehát a Pauli-elvből adódó Fermi energia a klasszikus fizikai energiaskálán meglehetősen nagy érték. Ez azt is jelenti, hogy ha a fém hőmérséklete (pár száz fokkal) megemelkedik, akkor a vezetési elektronjainak az átlagenergiája relatíve alig változik. Tehát a szobahőmérsékletű fém vezetési elektronjait nulla Kelvin fokos elektrongáznak lehet tekinteni. (Ugyanis a 300 Kelvin sokkal kisebb mint a 10 000 Kelvin!)
+
A fémek esetén $T_F$ kb. 10 000 Kelvinnek adódik (összehasonlításul, a napkorona hőmérséklete kb. 6000 Kelvin). Tehát a Pauli-elvből adódó Fermi-energia a klasszikus fizikai energiaskálán meglehetősen nagy érték. Ez azt is jelenti, hogy ha a fém hőmérséklete (pár száz fokkal) megemelkedik, akkor a vezetési elektronjainak az átlagenergiája relatíve alig változik. Tehát a szobahőmérsékletű fém vezetési elektronjait nulla Kelvin fokos elektrongáznak lehet tekinteni, ugyanis a 300 Kelvin sokkal kisebb mint a 10 000 Kelvin!
  
−
Mint azt már az imént említettük [ld. [[#eq2|(2)]] ], az elektronok $n(E)$ energia szerinti eloszlását a $g(E)$ állapotsűrűség függvény és az $f^{FD}(E,T)$ Fermi-Dirac eloszlásfüggvény szorzata adja meg. Az előzőekből következik, de a részletes számítás is azt bizonyítja, hogy a $T$ hőmérsékletű szabad elektrongáz $E_F(T)$ Fermi energiája a „hétköznapi” hőmérsékleti tartományban gyakorlatilag $E_{F0}$ értékűnek vehető. Ez fizikailag azt jelenti, hogy csak azok az elektronok kerülhetnek magasabb energiájú állapotba (azok gerjesztődnek), amelyeknek a kezdeti energiája a Fermi szint közelében volt. A $T$ hőmérsékleten a gerjesztett elektronok $N_g$ száma az $N$ összelektron számnak csak a töredéke, közelítőleg a $T/T_F$ hányada. A $T$ hőmérsékletű elektrongáz energiája tehát az alapállapoti energiától csak kevéssé ($\approx N_g kT$-vel) tér el. Ez azt is jelenti, hogy fémekben az elektronok fajhője elhanyagolható az iontörzsek fajhőjéhez képest. A Dulong-Petit törvénynek tehát <b>ez a kvantummechanikai magyarázata</b>.
+
Mint azt már az imént említettük [ld. [[#eq2|(2)]]], az elektronok $n(E)$ energia szerinti eloszlását a $g(E)$ állapotsűrűség függvény és az $f^{FD}(E,T)$ Fermi–Dirac eloszlásfüggvény szorzata adja meg. Az előzőekből következik, de a részletes számítás is azt bizonyítja, hogy a $T$ hőmérsékletű szabad elektrongáz $E_F(T)$ Fermi energiája a „hétköznapi” hőmérsékleti tartományban gyakorlatilag $E_{F0}$ értékűnek vehető. Ez fizikailag azt jelenti, hogy csak azok az elektronok kerülhetnek magasabb energiájú állapotba (azok gerjesztődnek), amelyeknek a kezdeti energiája a Fermi szint közelében volt. A $T$ hőmérsékleten a gerjesztett elektronok $N_g$ száma az $N$ összelektron-számnak csak a töredéke, közelítőleg a $T/T_F$ hányada. A $T$ hőmérsékletű elektrongáz energiája tehát az alapállapoti energiától csak kevéssé ($\approx N_g kT$-vel) tér el. Ez azt is jelenti, hogy fémekben az elektronok fajhője elhanyagolható az iontörzsek fajhőjéhez képest. A [http://en.wikipedia.org/wiki/Dulong%E2%80%93Petit_law Dulong-Petit törvénynek] tehát <b>ez a kvantummechanikai magyarázata</b>.
  
−
A fémek szabadelektron modellje túl egyszerű ahhoz, hogy a szilárd testek elektromos tulajdonságait részleteiben is leírja. Láttuk, hogy a fémelektronok dinamikai viselkedése csak az $E_F$ Fermi-szint környezetében számít. Szabadelektron gázról lévén szó, könnyen meghatározható a Fermi szinthez tartozó elektronállapotok $k_F$ Fermi hullámszáma és az ehhez tartozó $\lambda_F$ (Fermi) hullámhossz is. Ez utóbbira az adódik, hogy gyakorlatilag az atomi rácstávolsággal egyezik meg. Ugyanakkor ismeretes az is, hogy a fémek fizikai tulajdonságait éppen a Fermi-szint közelében lévő elektronok dinamikai tulajdonságai határozzák meg. Ez pedig azt jelenti, hogy pont ezen elektronok szempontjából nem hanyagolható el az atomi rácsszerkezet jelenléte. Így tehát a szabadelektron modellünket tovább kell fejleszteni.
+
A fémek szabadelektron-modellje túl egyszerű ahhoz, hogy a szilárd testek elektromos tulajdonságait részleteiben is leírja. Láttuk, hogy a fémelektronok dinamikai viselkedése csak az $E_F$ Fermi-szint környezetében számít. Szabadelektron gázról lévén szó, könnyen meghatározható a Fermi szinthez tartozó elektronállapotok $k_F$ Fermi hullámszáma és az ehhez tartozó $\lambda_F$ (Fermi) hullámhossz is. Ez utóbbira az adódik, hogy gyakorlatilag az atomi rácstávolsággal egyezik meg. Ugyanakkor ismeretes az is, hogy a fémek fizikai tulajdonságait éppen a Fermi-szint közelében lévő elektronok dinamikai tulajdonságai határozzák meg. Ez pedig azt jelenti, hogy pont ezen elektronok szempontjából nem hanyagolható el az atomi rácsszerkezet jelenléte. Így tehát a szabadelektron-modellünket tovább kell fejleszteni.
  
−
Ennek egyik lehetséges útja az, hogy valami módon figyelembe vesszük azt is, hogy a szilárd test atomjai szabályosan (kristályrácsot alkotva) helyezkednek el térben.
+
Ennek egyik lehetséges útja az, hogy valami módon figyelembe vesszük azt is, hogy a szilárd test atomjai térben szabályosan (kristályrácsot alkotva) helyezkednek el.
  
−
Ennek a szabályos rendnek az elektronokra gyakorolt hatása már egydimenziós modellben is megnyilvánul. Minden, e jelenségkörrel kapcsolatos fogalom már itt is megjelenik. Didaktikai előnye ugyanakkor az, hogy matematikailag könnyen kezelhető és így a modell viszonylag egyszerűen végigszámolható.
+
Ennek a szabályos rendnek az elektronokra gyakorolt hatása már az egydimenziós modellben is megnyilvánul. Minden, e jelenségkörrel kapcsolatos fogalom már itt is megjelenik. Didaktikai előnye ugyanakkor az, hogy matematikailag könnyen kezelhető és így a modell viszonylag egyszerűen végigszámolható.
  
 
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
 
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
277. sor: 109. sor:
 
1906-tól a Müncheni Egyetem professzora lett. Egyetemi előadásainak szerkesztett gyűjteménye az a 6 kötetes Elméleti Fizika tankönyv amelyen fizikus generációk nőttek fel.
 
1906-tól a Müncheni Egyetem professzora lett. Egyetemi előadásainak szerkesztett gyűjteménye az a 6 kötetes Elméleti Fizika tankönyv amelyen fizikus generációk nőttek fel.
  
−
Számtalan híressé vált tanítványa közül W.Heisenberg és W.Pauli nevét érdemes  most megemlítenünk. Hallgatóival és kollegáival közismerten közvetlen viszonyt alakított ki még magas hivatali beosztása esetén is.
+
Számtalan híressé vált tanítványa közül W. Heisenberg és W. Pauli nevét érdemes  most megemlítenünk. Hallgatóival és kollegáival közismerten közvetlen viszonyt alakított ki még magas hivatali beosztása esetén is.
  
−
<b>1914-től kezdve kapcsolódott be aktívan is a kor elméleti kvantum-mechanikai kutatásokba. Az ő nevéhez fűződik többek között a Bohr modell általánosítása (az ellipszis pályák kiszámításával és egy általános kvantálási hipotézis felállításával). 1927-től dolgozta ki a fémek (szabad) elektron modelljét, amely fontos elektromos és hővezetési problémákra adott korszerű választ.</b>
+
<b>1914-től kezdve kapcsolódott be aktívan is a kor elméleti kvantummechanikai kutatásaiba. Az ő nevéhez fűződik többek között a Bohr-modell általánosítása (az ellipszis pályák kiszámításával és egy általános kvantálási hipotézis felállításával). 1927-től dolgozta ki a fémek (szabad)elektron-modelljét, amely fontos elektromos és hővezetési problémákra adott korszerű választ.</b>
  
 
Munkáját számos nemzetközi díjjal és hivatalos kitüntetéssel ismerte el a kor fizikus közössége.
 
Munkáját számos nemzetközi díjjal és hivatalos kitüntetéssel ismerte el a kor fizikus közössége.
 
|}
 
|}
  
−
=== A Fermi-Dirac eloszlásfüggvény ===
+
=== A Fermi–Dirac eloszlásfüggvény ===
  
−
Ebben a fejezetben kissé részletesebben foglalkozunk az állapotok betöltésének a problémájával igen sok részecskét (elektront) tartalmazó rendszerek esetén. A korrekt megoldást először Enrico Fermi (olasz) és Paul Adrien Maurice Dirac (angol) fizikus dolgozta ki. Innen adódik a címbeli elnevezés is.
+
Ebben a fejezetben kissé részletesebben foglalkozunk az állapotok betöltésének a problémájával igen sok részecskét (elektront) tartalmazó rendszerek esetén. A korrekt megoldást először [http://en.wikipedia.org/wiki/Enrico_Fermi Enrico Fermi] (olasz) és [http://en.wikipedia.org/wiki/Paul_Dirac Paul Adrien Maurice Dirac] (angol) fizikus dolgozta ki. Innen adódik a címbeli elnevezés is.
  
 
Tekintsünk egy nagyon sok elektron tartalmazó rendszert (pl. egy makroszkopikus méretű szilárd testet, azaz fémet, félvezetőt, vagy szigetelőt). Tegyük fel, hogy az elektronállapotokat valamilyen módon sikerült már meghatároznunk. A következőkben azt fogjuk megvizsgálni, hogy egy adott $T$ hőmérsékleten ezek az állapotok hogyan vannak betöltve elektronokkal.
 
Tekintsünk egy nagyon sok elektron tartalmazó rendszert (pl. egy makroszkopikus méretű szilárd testet, azaz fémet, félvezetőt, vagy szigetelőt). Tegyük fel, hogy az elektronállapotokat valamilyen módon sikerült már meghatároznunk. A következőkben azt fogjuk megvizsgálni, hogy egy adott $T$ hőmérsékleten ezek az állapotok hogyan vannak betöltve elektronokkal.
  
−
Mint azt már tudjuk, a „betöltési szabályt” a Pauli-elv adja meg. (TK:1089.oldal) A háromdimenziós potenciáldoboz példáján láttuk, hogy az elektronállapotok általában olyanok, hogy több állapot is van, amelynek az energiája ugyanakkora. Ezt neveztük <i>degenerációnak</i>. Mivel a most tárgyalandó rendszerünk nagyon nagyszámú részecskét (elektront) tartalmaz ($N \approx 10^{23}$), így a viszonylag magas $E_i$ energiaszintek is be lesznek töltve. Mint azt már tudjuk, ez azt jelenti, hogy a lehetséges energiaszintek közötti távolság igen kicsi lesz magához az energiaszinthez képest. Azaz az energiaszintek „relatív kvantáltsága” elhanyagolhatóan kicsi lesz és így folytonos $E$ energiaskálán dolgozhatunk. Ez éppen megfelel a korrespondencia elvnek. Azaz makroszkopikus energiákon visszakapjuk a klasszikus mechanika folytonos energiaskáláját.
+
Mint azt már tudjuk, a „betöltési szabályt” a Pauli-elv adja meg (TK: 1089. oldal). A háromdimenziós potenciáldoboz példáján láttuk, hogy az elektronállapotok általában olyanok, hogy több állapot is van, amelynek az energiája ugyanakkora. Ezt neveztük ''degenerációnak''. Mivel a most tárgyalandó rendszerünk nagyon nagyszámú részecskét (elektront) tartalmaz ($N \approx 10^{23}$), így a viszonylag magas $E_i$ energiaszintek is be lesznek töltve. Mint azt már tudjuk, ez azt jelenti, hogy a lehetséges energiaszintek közötti távolság igen kicsi lesz magához az energiaszinthez képest. Azaz az energiaszintek „relatív kvantáltsága” elhanyagolhatóan kicsi lesz és így folytonos $E$ energiaskálán dolgozhatunk. Ez éppen megfelel a korrespondencia elvnek. Azaz makroszkopikus energiákon visszakapjuk a klasszikus mechanika folytonos energiaskáláját.
  
−
Ekkor a degeneráció fogalma helyett be lehet vezetni a $g(E)$ ún. <i>spinpálya-állapotsűrűséget</i>. Gyakran, ha ez nem okoz félreértést, egyszerűen csak állapotsűrűséget mondunk. Ez azt jelenti, hogy a $g(E){\rm d}E$ kifejezés megadja az $(E,E+{\rm d}E)$ tartományba tartozó spinpálya-állapotok számát. A $g(E)$ spinpálya-állapotok száma az ${\cal N}(E)$ pályaállapotok számának a kétszerese, hiszen egy adott (pálya)állapotban az elektron spinje kétféle lehet ($S_z = \pm\hbar/2$).
+
Ekkor a degeneráció fogalma helyett be lehet vezetni a $g(E)$ ún. ''spinpálya-állapotsűrűséget''. Gyakran, ha ez nem okoz félreértést, egyszerűen csak állapotsűrűséget mondunk. Ez azt jelenti, hogy a $g(E){\rm d}E$ kifejezés megadja az $(E,E+{\rm d}E)$ tartományba tartozó spinpálya-állapotok számát. A $g(E)$ spinpálya-állapotok száma az ${\cal N}(E)$ pályaállapotok számának a kétszerese, hiszen egy adott (pálya)állapotban az elektron spinje kétféle lehet ($S_z = \pm\hbar/2$).
  
−
Az előzőekben már bevezettük az elektronoknak az energia szerinti eloszlását megadó $n(E){\rm d}E$ kifejezést is. Ez (definíció szerit) megadja azon elektronok számát, amelyeknek az energiája ($T$ hőmérsékleten) az $(E, E+{\rm d}E)$ energiatartományba esik. Láttuk azt is, hogy ennek nyilvánvalóan függni kell attól is, hogy hány állapot van, amely elektronnal betölthető. Azaz formálisan felírtuk hogy:
+
Az előzőekben már bevezettük az elektronok energia szerinti eloszlását megadó $n(E){\rm d}E$ kifejezést is. Ez (definíció szerit) megadja azon elektronok számát, amelyeknek az energiája ($T$ hőmérsékleten) az $(E, E+{\rm d}E)$ energiatartományba esik. Láttuk azt is, hogy ennek nyilvánvalóan függni kell attól is, hogy hány állapot van, amely elektronnal betölthető. Azaz formálisan felírtuk, hogy
  
 
$$ n(E) = g(E) \cdot f^{FD}(E,T). $$
 
$$ n(E) = g(E) \cdot f^{FD}(E,T). $$
  
−
A Pauli-elv miatt nyilvánvaló, hogy:
+
A Pauli-elv miatt nyilvánvaló, hogy
  
 
$$ 0 \leq f^{FD}(E,T) \leq 1. $$
 
$$ 0 \leq f^{FD}(E,T) \leq 1. $$
  
−
Az elektronok energia szerinti eloszlását $T$ hőmérsékleten tehát az $f^{FD}(E,T)$ függvény határozza meg. Ezt először E. Fermi és P. A. M. Dirac határozta meg, ezért <i>Fermi-Dirac eloszlásfüggvénynek</i> nevezzük (erre utal az „FD” index is).
+
Az elektronok energia szerinti eloszlását $T$ hőmérsékleten tehát az $f^{FD}(E,T)$ függvény határozza meg. Ezt először E. Fermi és P. A. M. Dirac határozta meg, ezért ''Fermi–Dirac eloszlásfüggvénynek'' nevezzük (erre utal az „FD” index is).
  
−
Természetesen a részletes és matematikailag egzakt levezetéstől a BSc kurzusban el kell tekintenünk, erre csak az MSc tanulmányokban kerülhet majd sor. Az egzakt matematikai formula azonban igen szemléletes eredményt ad, ezért könnyen elfogadható lesz, a statisztikus fizika elméleti hátterének az ismerete nélkül is.
+
Természetesen, a részletes és matematikailag egzakt levezetéstől a BSc kurzusban el kell tekintenünk, erre csak az MSc tanulmányokban kerülhet majd sor. Az egzakt matematikai formula azonban igen szemléletes eredményt ad, ezért könnyen elfogadható lesz, a statisztikus fizika elméleti hátterének az ismerete nélkül is.
  
−
Az előző fejezetben bemutatott fizikai meggondolások alapján a Fermi-Dirac eloszlásfüggvényre egy „lekerekített lépcsőfüggvény” várható [ld. [[#abra323|ábra]]]. Ennek megfelelően, a szigorú elméleti számítások eredményeként a következő összefüggés adódik:
+
Az előző fejezetben bemutatott fizikai meggondolások alapján a Fermi–Dirac eloszlásfüggvényre egy „lekerekített lépcsőfüggvény” várható (ld. [[#abra323|ábra]]). Ennek megfelelően, a szigorú elméleti számítások eredményeként a következő összefüggés adódik:
  
−
$$ f^{FD} (E,T) = \frac{1}{\left[ \exp\left( \frac{E - E_F}{kT} \right) \right]} $$
+
$$ f^{FD} (E,T) = \frac{1}{\left[ \exp\left( \frac{E - E_F}{kT} \right) + 1 \right]} $$
  
−
Az $E_F$ paraméter neve <i>Fermi energia</i>. Látható, hogy $f^{FD}(E_F, T) = 0,5$. Ábrázolva a függvényt különböző hőmérsékleteken az alábbi görbék adódnak:
+
Az $E_F$ paraméter neve ''Fermi-energia''. Látható, hogy $f^{FD}(E_F, T) = 0,5$. Ábrázolva a függvényt különböző hőmérsékleteken az alábbi görbék adódnak:
  
 
[[File:Fermi_dirac_eof.jpg|közép|450px]]
 
[[File:Fermi_dirac_eof.jpg|közép|450px]]
  
−
Látható, hogy magas energiaszintek esetén ($E\gg E_F$) éppen a klasszikus statisztikus mechanikában tanult Maxwel-féle eloszláshoz jutunk (TK:500.oldal,20c-43.feladat):
+
Látható, hogy magas energiaszintek esetén ($E\gg E_F$) éppen a klasszikus statisztikus mechanikában tanult Maxwel-féle eloszláshoz jutunk (TK: 500. oldal, 20c-43. feladat):
  
 
$$ \lim_{\varepsilon\ll \varepsilon_F} f^{FD}(E,T) = \text{állandó}\cdot\exp\left( -\frac{E}{kT} \right) = f^{MB}(E,T). $$
 
$$ \lim_{\varepsilon\ll \varepsilon_F} f^{FD}(E,T) = \text{állandó}\cdot\exp\left( -\frac{E}{kT} \right) = f^{MB}(E,T). $$
324. sor: 156. sor:
 
[[File:Palyaallapot_suruseg4.jpg|közép|300px]]
 
[[File:Palyaallapot_suruseg4.jpg|közép|300px]]
  
−
Mint azt láttuk, szabadelektron gáz esetén az állapotsűrűségét a $g(E) = a\sqrt{E}$ függvény adja meg. Ha a rendszer alapállapotban van, azaz a hőmérséklete $T=0$ Kelvin, akkor az állapotok betöltöttségét megadó $f^{FD}(E,T)$ Fermi-Dirac eloszlásfüggvény egy lépcsőfüggvény lesz, hiszen látható, hogy:
+
Mint azt láttuk, szabadelektron gáz esetén az állapotsűrűségét a $g(E) = a\sqrt{E}$ függvény adja meg. Ha a rendszer alapállapotban van, azaz a hőmérséklete $T=0$ Kelvin, akkor az állapotok betöltöttségét megadó $f^{FD}(E,T)$ Fermi–Dirac eloszlásfüggvény egy lépcsőfüggvény lesz, hiszen látható, hogy
  
 
$$ \lim_{T\to 0} f^{FD} (E,T) = \lim_{T\to 0} \frac{1}{\exp\left( \frac{E - E_F}{kT} \right) + 1} = \begin{cases} 1, & \text{ha $E\leq E_F$}, \\ 0, & \text{ha $E \geq E_F$}. \end{cases} $$
 
$$ \lim_{T\to 0} f^{FD} (E,T) = \lim_{T\to 0} \frac{1}{\exp\left( \frac{E - E_F}{kT} \right) + 1} = \begin{cases} 1, & \text{ha $E\leq E_F$}, \\ 0, & \text{ha $E \geq E_F$}. \end{cases} $$
330. sor: 162. sor:
 
Ez azt jelenti, hogy alapállapotban az elektronok az $E_F$ energiaszintig minden állapotot betöltenek, azon felül pedig minden állapot üres lesz. Természetesen pontosan ezt vártuk a Pauli-elv alapján is. Nyilvánvaló, hogy az $E_F$ Fermi-energia értéke abból kell, hogy kiadódjon, hogy az állapotokat betöltő elektronok száma éppen $N$.
 
Ez azt jelenti, hogy alapállapotban az elektronok az $E_F$ energiaszintig minden állapotot betöltenek, azon felül pedig minden állapot üres lesz. Természetesen pontosan ezt vártuk a Pauli-elv alapján is. Nyilvánvaló, hogy az $E_F$ Fermi-energia értéke abból kell, hogy kiadódjon, hogy az állapotokat betöltő elektronok száma éppen $N$.
  
−
Ha növekszik a rendszer hőmérséklete, akkor ez azt jelenti, hogy az elektronok az alacsonyabb energiájú állapotokból magasabb energiájú állapotokba jutnak. Ez tükröződik az $f^{FD}(E,T)$ eloszlásfüggvény alakjában is. Fermi energiának most azt az $E_F$ energiaszintet hívjuk, amelynél az eloszlásfüggvény 1/2 értéket vesz fel.
+
Ha növekszik a rendszer hőmérséklete, akkor ez azt jelenti, hogy az elektronok az alacsonyabb energiájú állapotokból magasabb energiájú állapotokba jutnak. Ez tükröződik az $f^{FD}(E,T)$ eloszlásfüggvény alakjában is. ''Fermi energiának'' most azt az $E_F$ energiaszintet hívjuk, amelynél az eloszlásfüggvény az 1/2 értéket vesz fel.
  
−
Az eloszlásfüggvény „szimmetrikus” a Fermi szint környezetében. Ez azt jelenti, hogy ha a $g(E)$ állapotsűrűség állandó volna, akkor a hőmérséklet emelkedésével az $E_F$ Fermi-szint alatt kiürülő állapotok száma éppen megegyezne az $E_F$ fölött betöltődő állapotok számával. Az elektronok $N$ száma tehát nem változna, ahogyan annak lennie is kell. Ha a $g(E)$ állapotsűrűség (mint a mi példánkban is) egy monoton növekvő függvény, akkor a Fermi-szintet csökkenteni kell ahhoz, hogy a kiürülő és az újonnan betöltődő állapotok száma megegyezzen. Azaz ahhoz, hogy az $N$ összelektronszám állandó maradjon az kell, hogy az $E_F$ függjön a hőmérséklettől. Jelen esetben az $E_F(T)$ csökkenjen az alapállapotban ($T=0$) adódott $E_F(0)$-hoz képest. Megmutatható, hogy ez a hőmérsékletfüggés a szabadelektron gáz esetén olyan kicsi, hogy nyugodtan elhanyagolható, így a Fermi-szintet (szobahőmérsékletű tartományban) állandónak vehetjük, azaz
+
Az eloszlásfüggvény „szimmetrikus” a Fermi szint környezetében. Ez azt jelenti, hogy ha a $g(E)$ állapotsűrűség állandó volna, akkor a hőmérséklet emelkedésével az $E_F$ Fermi-szint alatt kiürülő állapotok száma éppen megegyezne az $E_F$ fölött betöltődő állapotok számával. Az elektronok $N$ száma tehát nem változna, ahogyan annak lennie is kell. Ha a $g(E)$ állapotsűrűség (mint a mi példánkban is) egy monoton növekvő függvény, akkor a Fermi-szintet csökkenteni kell ahhoz, hogy a kiürülő és az újonnan betöltődő állapotok száma megegyezzen. Azaz ahhoz, hogy az $N$ összelektronszám állandó maradjon az kell, hogy az $E_F$ függjön a hőmérséklettől. Jelen esetben az $E_F(T)$ csökkenjen az alapállapotban ($T=0$) adódott $E_F(0)$-hoz képest. Megmutatható, hogy ez a hőmérsékletfüggés a szabadelektron gáz esetén olyan kicsi, hogy nyugodtan elhanyagolható, így a Fermi-szintet (szobahőmérsékletű tartományban) állandónak vehetjük, azaz $E_F(T) = E_F(0)$.
  
−
Ezek után megadható a szabadelektron gázban az elektronok energia szerinti eloszlása. A tárgyaltak szerint adódik tehát, hogy:
+
Ezek után megadható a szabadelektron gázban az elektronok energia szerinti eloszlása. A tárgyaltak szerint adódik tehát, hogy
  
 
$$ n(E) {\rm d}E = a\sqrt{E} f(E,T) \, {\rm d}E = a\sqrt{E} \frac{1}{\exp\left( \frac{E - E_F}{kT} \right) + 1} \, {\rm d}E. $$
 
$$ n(E) {\rm d}E = a\sqrt{E} f(E,T) \, {\rm d}E = a\sqrt{E} \frac{1}{\exp\left( \frac{E - E_F}{kT} \right) + 1} \, {\rm d}E. $$
342. sor: 174. sor:
 
=== Fotonokból álló rendszer (a fotongáz) ===
 
=== Fotonokból álló rendszer (a fotongáz) ===
  
−
A fentiekben bevezetett $f^{FD}(E,T)$ eloszlásfüggvényből adódó $n(E)$ matematikai alakja nagyon hasonlít a fekete test sugárázásakor megismert formulához (TK:1026.oldal). Láttuk, hogy a $T$ hőmérsékletű (fekete) test által, az $f$ és $f+{\rm d}f$ frekvenciatartományban kisugárzott elektromágneses hullámok összenergiáját az alábbi formula adta meg:
+
A fentiekben bevezetett $f^{FD}(E,T)$ eloszlásfüggvényből adódó $n(E)$ matematikai alakja nagyon hasonlít a feketetest sugárázásakor megismert formulához (TK: 1026. oldal). Láttuk, hogy a $T$ hőmérsékletű (fekete) test által, az $f$ és $f+{\rm d}f$ frekvenciatartományban kisugárzott elektromágneses hullámok összenergiáját az alábbi formula adta meg:
  
 
$$ u(f) \, {\rm d}f = a \frac{hf^3}{\exp(hf / kT) - 1} \, {\rm d}f. $$
 
$$ u(f) \, {\rm d}f = a \frac{hf^3}{\exp(hf / kT) - 1} \, {\rm d}f. $$
  
−
A kellő összehasonlítás végett írjuk át ezt olyan alakba, amelyik fizikai tartalmát tekintve azonos a szabadelektron gáz esetén kapottal. A térben lévő $E = hf$ energiájú fotonok $n(E)$ számának eloszlása könnyen definiálható a fent megadott $u(f)$ segítségével, hiszen írható, hogy:
+
A kellő összehasonlítás végett írjuk át ezt olyan alakba, amelyik fizikai tartalmát tekintve azonos a szabadelektron gáz esetén kapottal. A térben lévő $E = hf$ energiájú fotonok $n(E)$ számának eloszlása könnyen definiálható a fent megadott $u(f)$ segítségével, hiszen írható, hogy
  
 
{| width = "100%"
 
{| width = "100%"
359. sor: 191. sor:
 
$$ \Psi({\bf r}, t) = A \sin({\bf kr} - \omega t). $$
 
$$ \Psi({\bf r}, t) = A \sin({\bf kr} - \omega t). $$
  
−
Azaz egy (hullám)állapotot a ${\bf k}$ <i>hullámszám-vektor</i> jellemez, ahol (mint azt láttuk) $k = 2\pi / \lambda$. Az elektromágneses hullámok esetén $\omega = ck$. Látható tehát, hogy minden olyan $\bf k$, amelynek a nagysága ugyanakkora, egyforma $\omega$ frekvenciájú hullámot ad meg. Azaz a különböző irányba haladó, de azonos hullámhosszú hullámok frekvenciája megegyezik. Ugyanakkor a „különböző irányba való haladás” különböző „hullámállapotot” (idegen szóval „módust”) is jelent. Így van értelme annak a kérdésnek, hogy vajon hány (hullám)állapot van, amelynek a frekvenciája megegyezik?
+
Azaz egy (hullám)állapotot a ${\bf k}$ ''hullámszám-vektor'' jellemez, ahol $k = 2\pi / \lambda$. Az elektromágneses hullámok esetén $\omega = ck$. Látható tehát, hogy minden olyan $\bf k$, amelynek a nagysága ugyanakkora, egyforma $\omega$ frekvenciájú hullámot ad meg. Azaz a különböző irányba haladó, de azonos hullámhosszú hullámok frekvenciája megegyezik. Ugyanakkor a „különböző irányba való haladás” különböző ''hullámállapotot'' (idegen szóval ''módust'') is jelent. Így van értelme annak a kérdésnek, hogy vajon hány (hullám)állapot van, amelynek a frekvenciája megegyezik?
  
−
Erre könnyen lehet válaszolni, hiszen azon állapotok száma, amelyeknek a frekvenciája $f$ és $f+{\rm d}f$ az egy $k$ sugarú és ${\rm d}k$ vastagságú gömbhéj térfogatával kell, hogy arányos legyen. Mivel pedig $k = \omega/c$, valamint ${\rm d} k = (1/c){\rm d}\omega$, ezért adódik, hogy:
+
Erre könnyen lehet válaszolni, hiszen azon állapotok száma, amelyeknek a frekvenciája $f$ és $f+{\rm d}f$, egy $k$ sugarú és ${\rm d}k$ vastagságú gömbhéj térfogatával kell, hogy arányos legyen. Mivel pedig $k = \omega/c$, valamint ${\rm d} k = (1/c){\rm d}\omega$, adódik, hogy
  
 
$$ g(\omega){\rm d}\omega \sim \omega^2 {\rm d}\omega, \quad \text{azaz} \quad g(f){\rm d}f \sim f^2{\rm d} f. $$
 
$$ g(\omega){\rm d}\omega \sim \omega^2 {\rm d}\omega, \quad \text{azaz} \quad g(f){\rm d}f \sim f^2{\rm d} f. $$
  
−
Látható, tehát, hogy [[#eq3|(3)]] második része úgy írható, hogy:
+
Látható tehát, hogy [[#eq3|(3)]] második része úgy írható, hogy
  
−
$$ n(f) = af^2 \frac{1}{\exp(hf/kT) - 1} = g(f) \frac{1}{\exp(hf/kT)} \equiv g(f)\cdot f^{\rm foton}(f,T). $$
+
$$ n(f) = af^2 \frac{1}{\exp(hf/kT) - 1} = g(f) \frac{1}{\exp(hf/kT) - 1} \equiv g(f)\cdot f^{\rm foton}(f,T). $$
  
−
Összevetve az elektrongáz esetén látottakkal, az $E = hf$ energiájú fotonállapotok betöltöttségét a
+
Összevetve ezt az elektrongáz esetén látottakkal, az $E = hf$ energiájú fotonállapotok betöltöttségét a
  
 
$$ f^{\rm foton}(E,T) = \frac{1}{\exp(E/kT) - 1} $$
 
$$ f^{\rm foton}(E,T) = \frac{1}{\exp(E/kT) - 1} $$
  
−
függvénnyel lehet definiálni. Ez már alkalmas arra, hogy összehasonlítsuk a jól ismert $f^{FD}(E,T)$ Fermi-Dirac-féle eloszlásfüggvénnyel.
+
függvénnyel lehet definiálni. Ez már alkalmas arra, hogy összehasonlítsuk a jól ismert $f^{FD}(E,T)$ Fermi–Dirac-féle eloszlásfüggvénnyel. Mivel $E = hf > 0$, ezért $f^{\rm foton}(E,T) > 0$, amint annak lennie is kell.
  
−
Mivel $E = hf > 0$, ezért $f^{\rm foton}(E,T) > 0$. Amint annak lennie is kell.
+
„Alacsony” frekvenciákon (ha $E = hf < kT\cdot\ln 2$) az adódik, hogy $f^{\rm foton}(E,T) > 1$, ami azt jelenti, hogy egy adott „fotonállapotban” (módusban) több foton is lehet. <b>A fotonokra tehát nem érvényes a Pauli-elv!</b>
  
−
„Alacsony” frekvenciákon (ha $E = hf < kT\cdot\ln 2$) az adódik, hogy $f^{\rm foton}(E,T) > 1$. Ami azt jelenti, hogy egy adott „fotonállapotban” (módusban) több foton is lehet.
+
Mivel az $f^{\rm foton}(E,T)$ kifejezés ezen matematikai alakját (a statisztikus fizika elvei alapján) [http://en.wikipedia.org/wiki/Satyendra_Nath_Bose Satyendra Nath Bose] és [http://en.wikipedia.org/wiki/Albert_Einstein Albert Einstein] határozták meg, ezért ezt ''Bose–Einstein-féle eloszlásfüggvénynek'' szokták nevezni.
−
 
+
−
:<b>A fotonokra tehát nem érvényes a Pauli-elv!</b>
+
−
 
+
−
Mivel az $f^{\rm foton}(E,T)$ kifejezés ezen matematikai alakját (a statisztikus fizika elvei alapján) Satyendra Nath Bose és Albert Einstein határozták meg, ezért ezt <i>Bose-Einstein-féle eloszlásfüggvénynek</i> szokták nevezni.
+
  
 
Érdemes összehasonlítani a megismert eloszlásfüggvényeket. Ezek mindegyike különböző statisztikai meggondolásokat tartalmaznak, amelyeknek jól definiált fizikai alapjuk van. Ezekkel és az igen fontos és érdekes további részletekkel, valamint a lehetséges fizikai alkalmazásokkal azonban már csak az MSc Fizika kurzusban fogunk megismerkedni.
 
Érdemes összehasonlítani a megismert eloszlásfüggvényeket. Ezek mindegyike különböző statisztikai meggondolásokat tartalmaznak, amelyeknek jól definiált fizikai alapjuk van. Ezekkel és az igen fontos és érdekes további részletekkel, valamint a lehetséges fizikai alkalmazásokkal azonban már csak az MSc Fizika kurzusban fogunk megismerkedni.
  
−
Célszerű lesz az eloszlásfüggvényeket egy közös matematikai alakban felírni. Azaz:
+
Célszerű lesz az eloszlásfüggvényeket egy közös matematikai alakban felírni:
  
 
$$ f^X (E,T) = \frac{1}{\exp\left( \frac{E - E_0}{kT} \right) + \delta}, $$
 
$$ f^X (E,T) = \frac{1}{\exp\left( \frac{E - E_0}{kT} \right) + \delta}, $$
  
−
ahol:
+
ahol
  
 
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
 
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
 
|-
 
|-
−
| Fermi-Dirac eloszlás esetén
+
| Fermi–Dirac eloszlás esetén
 
| $X = FD$
 
| $X = FD$
 
| $E_0 = E_F$
 
| $E_0 = E_F$
−
| $\delta = 1$
+
| $\delta = 1$,
 
|-
 
|-
−
| Bose-Einstein eloszlás esetén
+
| Bose–Einstein eloszlás esetén
 
| $X = BE$
 
| $X = BE$
 
| $E_0 = \mu$
 
| $E_0 = \mu$
−
| $\delta = -1$
+
| $\delta = -1$,
 
|-
 
|-
−
| Maxwell-Boltzmann eloszlás esetén
+
| Maxwell–Boltzmann eloszlás esetén
 
| $X = MB$
 
| $X = MB$
 
| $E_0 = \mu$
 
| $E_0 = \mu$
−
| $\delta = 0$
+
| $\delta = 0$.
 
|}
 
|}
  
−
(Természetesen az $x$ csak egy jelölő index, amely az egyes eloszlásfüggvényeket különbözteti meg egymástól.)
+
(Természetesen az $X$ csak egy jelölő index, amely az egyes eloszlásfüggvényeket különbözteti meg egymástól.)
  
−
A közös formulában megjelenő $E_0$ paramétert <i?kémiai potenciálnak</i> hívjuk. Az elnevezés jogosságának megértetése igen messze vezetne, ezért ezzel nem is próbálkozunk. Fogadjuk el ezt csupán egy „családnévnek” és ne firtassuk az eredetét!
+
A közös formulában megjelenő $E_0$ paramétert ''kémiai potenciálnak'' hívjuk. Az elnevezés jogosságának megértetése igen messze vezetne, ezért ezzel nem is próbálkozunk. Fogadjuk el ezt csupán egy „családnévnek” és ne firtassuk az eredetét!
  
−
Amint azt láttuk, a fotonok a Bose-Einsten statisztikát követik. Az is kiderült, hogy ebben az esetben $\mu = 0$ kell, hogy legyen.
+
Amint azt láttuk, a fotonok a Bose–Einsten statisztikát követik. Az is kiderült, hogy ebben az esetben $\mu = 0$ kell, hogy legyen.
  
 
<small><b>Megjegyzés</b>. Azt tapasztaljuk, hogy vannak olyan fizikai rendszerek, amelyek esetén a $\mu$ egy véges érték. Ekkor azonban az $E\geq\mu$ feltételnek is teljesülnie kell, hiszen az eloszlásfüggvény soha nem lehet negatív! Ugyanis „negatív számú részecskéről” beszélni teljesen értelmetlen dolog lenne! Az evvel kapcsolatos további ismereteket az MSc Fizika tantárgy tartalmazza.</small>
 
<small><b>Megjegyzés</b>. Azt tapasztaljuk, hogy vannak olyan fizikai rendszerek, amelyek esetén a $\mu$ egy véges érték. Ekkor azonban az $E\geq\mu$ feltételnek is teljesülnie kell, hiszen az eloszlásfüggvény soha nem lehet negatív! Ugyanis „negatív számú részecskéről” beszélni teljesen értelmetlen dolog lenne! Az evvel kapcsolatos további ismereteket az MSc Fizika tantárgy tartalmazza.</small>
  
−
A közös $f^X(E,T)$ függvényt célszerű lesz úgy felrajzolni, hogy a vízszintes tengely mentén  az $(E - E_0)/kT$ értéket mérjük fel.
+
A közös $f^X(E,T)$ függvényt célszerű lesz úgy felrajzolni, hogy a vízszintes tengely mentén  az $(E - E_0)/kT$ értéket mérjük fel. Az eredményt az alábbi ábrán mutattuk be, ahol (a) a Fermi–Dirac, (b) a Maxwell–Boltzmann és (c) a Bose–Einstein statisztika eloszlásfüggvényét jelenti.
−
 
+
−
Az eredményt a 3.3./3. ábrán mutattuk be, ahol
+
−
a.) a Fermi-Dirac,  
+
−
b.) a Maxwell-Boltzmann,
+
−
c.) a Bose-Einstein statisztika eloszlásfüggvényét jelenti.
+
  
 
[[File:Eloszlasfuggvenyek.jpg|közép|300px]]
 
[[File:Eloszlasfuggvenyek.jpg|közép|300px]]
  
−
Látható, hogy nagy energiákon mindhárom függvény ugyanúgy viselkedik, azaz mind a két kvantumstatisztika átmegy a klasszikus Maxwell-Boltzmann statisztikába. Alacsony energiákon az eltérések igen karakterisztikussá válnak.
+
Látható, hogy nagy energiákon mindhárom függvény ugyanúgy viselkedik, azaz mind a két kvantumstatisztika átmegy a klasszikus Maxwell–Boltzmann statisztikába. Alacsony energiákon az eltérések igen karakterisztikussá válnak.
  
−
:<b>A Pauli-elvet egyedül csak a Fermi-Dirac statisztika teljesíti!</b>
+
:<b>A Pauli-elvet egyedül csak a Fermi–Dirac statisztika teljesíti!</b>
  
 
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
 
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
440. sor: 263. sor:
 
| width="350" | <b>Enrico Fermi (1901-1954)</b>
 
| width="350" | <b>Enrico Fermi (1901-1954)</b>
  
−
Nobel díj: 1938  
+
Nobel-díj (1938): „''az újabb radioaktív elemek neutron besugárzással történő létrehozásáért és a lassú neutronokkal előidézett magreakciók felfedezéséért''”.
−
„<i>az újabb radioaktív elemek neutron besugárzással történő létrehozásáért és a lassú neutronokkal előidézett magreakciók felfedezéséért.</i>”
+
  
−
Rómában született.
+
Rómában született. Egyetemi diplomáját és doktorátusát (20 évesen!) Pisában szerezte meg.
−
Egyetemi diplomáját, és a doktorátusát (20 évesen!) Pisában szerezte meg.
+
 
1924-től a római egyetem Fizika Intézetének a tanára, majd igazgatója lett.
 
1924-től a római egyetem Fizika Intézetének a tanára, majd igazgatója lett.
−
1938-ban (Nobel díja átvétele után) az USA-ba emigrált. A Columbia Egyetem és a Chicago Egyetem tanára lett. Vezetése alatt itt (a Stagg Field stadion lelátója alatt) épült meg a világ első működő atom-reaktora. A (grafit rudakkal) szabályozott láncreakció
+
1938-ban (Nobel-díja átvétele után) az USA-ba emigrált. A Columbia Egyetem és a Chicago Egyetem tanára lett. Vezetése alatt itt (a Stagg Field stadion lelátója alatt) épült meg a világ első működő atomreaktora. A (grafit rudakkal) szabályozott láncreakció
  
−
<center><b>1942. december 02.
+
<center><b>1942. december 2-án du. 3 óra 42 perckor</b></center>
−
du. 3 óra 42 perckor</b></center>
+
  
 
indult el. Ezzel a „második tűzgyújtással” kezdetét vette az „Atomkorszak”.
 
indult el. Ezzel a „második tűzgyújtással” kezdetét vette az „Atomkorszak”.
 
   
 
   
−
A II-ik világháború alatt Los Alamosban részt vett az atombomba előállításában.
+
A II. világháború alatt Los Alamosban részt vett az atombomba előállításában.
 
   
 
   
 
Halála után a Chicagoi Egyetem Fizika Intézet neve:  
 
Halála után a Chicagoi Egyetem Fizika Intézet neve:  
 
<center><b>Enrico Fermi Institute for Nuclear Studies</b></center>
 
<center><b>Enrico Fermi Institute for Nuclear Studies</b></center>
−
lett. Tiszteletére a 100-as rendszámú mesterséges elemet „<i>Fermiumnak</i>” nevezték el.
+
lett. Tiszteletére a 100-as rendszámú mesterséges elemet ''Fermiumnak'' nevezték el.
 
|-
 
|-
 
| align="center" | [[File:Pam_dirac.png|300px]]
 
| align="center" | [[File:Pam_dirac.png|300px]]
468. sor: 288. sor:
 
| width="350" | <b>Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984)</b>
 
| width="350" | <b>Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984)</b>
  
−
Nobel díj 1933 (Schrödingerrel megosztva): „<i>az atomelmélet új és gyümölcsöző megfogalmazásáért.</i>”
+
Nobel-díj 1933 (Schrödingerrel megosztva): „''az atomelmélet új és gyümölcsöző megfogalmazásáért.''”
  
 
Az angliai Bristolban született.
 
Az angliai Bristolban született.
−
 
 
A város egyetemének villamosmérnöki karán tanult, de doktorátusát (Cambridge-ben) már elméleti fizikából szerezte.
 
A város egyetemének villamosmérnöki karán tanult, de doktorátusát (Cambridge-ben) már elméleti fizikából szerezte.
  
478. sor: 297. sor:
 
1937-ben feleségül vette (a magyar származású Nobel-díjas) Wigner Jenő nővérét
 
1937-ben feleségül vette (a magyar származású Nobel-díjas) Wigner Jenő nővérét
  
−
1932-69 között Cambridgeben, Newton matematikai tanszékének professzora volt.
+
1932-69 között Cambridge-ben Newton matematikai tanszékének professzora volt.
  
 
Ezután az USA-ba költözött, hogy idősebb nővére közelében élhessen. Utolsó évtizedeit a Floridai Állami Egyetem (Tallahassee) professzoraként élte le.
 
Ezután az USA-ba költözött, hogy idősebb nővére közelében élhessen. Utolsó évtizedeit a Floridai Állami Egyetem (Tallahassee) professzoraként élte le.
  
−
Legfőbb érdeme az elektronok relativisztikus hullámegyenletének a megalkotása. Ennek egyenes következménye az elektronspin megjelenése a (linearizált)  egyenletben. A kapott energiaspektrum alapján megjósolta „pozitron” létezését valamint az (elektron-pozitron) párképződést és az annihilációt is. Ennek kapcsán névéhez fűződik az „anti-részecskék” világának a megsejtése is.
+
Legfőbb érdeme az elektronok relativisztikus hullámegyenletének a megalkotása. Ennek egyenes következménye az elektronspin megjelenése a (linearizált)  egyenletben. A kapott energiaspektrum alapján megjósolta [http://en.wikipedia.org/wiki/Positron ''pozitron''] létezését, valamint az (elektron-pozitron) ''párképződést'' és az ''annihilációt'' is. Ennek kapcsán névéhez fűződik az ''antirészecskék'' világának a megsejtése is.
  
 
Őt tekintjük a Kvantumelektrodinamika megalapozójának is.  
 
Őt tekintjük a Kvantumelektrodinamika megalapozójának is.  
−
 
+
Egy villamosmérnök számára nevét a [http://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_delta_function ''Dirac-delta''] őrzi.
−
Egy villamosmérnök számára nevét a „Dirac-delta” őrzi.
+
 
|-
 
|-
 
| align="center" | [[File:Sn_bose.jpeg|300px]]
 
| align="center" | [[File:Sn_bose.jpeg|300px]]
492. sor: 310. sor:
  
 
Az indiai Kalkuttában született.
 
Az indiai Kalkuttában született.
−
1921-től Calcutta University Fizika Tanszékén dolgozott.  
+
1921-től a Calcutta University Fizika Tanszékén dolgozott.  
 
   
 
   
−
1924-ben írt cikkében a <b>Planck-féle sugárzási törvény klasszikus fizikai fogalmakra történő utalás nélküli levezetését adta meg</b>. A kezdeti visszautasítások után a cikkét közvetlenül Einsteinnek küldte el. Ő rögtön felismerte az eredmény jelentőségét. Maga fordította le német nyelvre és Bose nevében beküldte a kor vezető rangos fizikai folyóiratához a Zeitschriftfür Physik-hez.
+
1924-ben írt cikkében a <b>Planck-féle sugárzási törvény klasszikus fizikai fogalmakra történő utalás nélküli levezetését adta meg</b>. A kezdeti visszautasítások után a cikkét közvetlenül Einsteinnek küldte el. Ő rögtön felismerte az eredmény jelentőségét. Maga fordította le német nyelvre és Bose nevében beküldte a kor vezető rangos fizikai folyóiratához, a Zeitschrift für Physik-hez.
  
 
A cikk megjelenésének köszönhetően ezután Bose Európába látogatott. Itt olyan neves fizikusokkal dolgozhatott, mint Louis de Broglie, Marie Curie és A. Einstein.
 
A cikk megjelenésének köszönhetően ezután Bose Európába látogatott. Itt olyan neves fizikusokkal dolgozhatott, mint Louis de Broglie, Marie Curie és A. Einstein.
  
−
Bár Nobel-díjat nem kapott, a róla elnevezett Bose-Einstein statisztika révén minden fizikus- és mérnökhallgató megismeri a nevét.
+
Bár Nobel-díjat nem kapott, a róla elnevezett Bose–Einstein statisztika révén minden fizikus- és mérnökhallgató megismeri a nevét.
  
 
Ezzel örökre beírta magát a Fizika tudományába
 
Ezzel örökre beírta magát a Fizika tudományába
507. sor: 325. sor:
 
=== A (kovalens) kémiai kötés egyszerű kvantummechanikai modellje ===
 
=== A (kovalens) kémiai kötés egyszerű kvantummechanikai modellje ===
  
−
A kovalens kémiai kötésről, már a középiskolai (sőt az általános iskolai!) Kémia tantárgyban szó volt. Ennek a fejezetnek az egyik célja, hogy megteremtse a kapcsolatot az eddig tárgyalt kvantummechanikai ismereteink és a kémiában tanultak között.
+
A kovalens kémiai kötésről már a középiskolai (sőt az általános iskolai) Kémia tantárgyban szó volt. Ennek a fejezetnek az egyik célja, hogy megteremtse a kapcsolatot az eddig tárgyalt kvantummechanikai ismereteink és a kémiában tanultak között.
  
 
Két atom között létrejövő kovalens kémiai kötés fizikai lényegét már egydimenziós modellen is szemléltetni tudjuk.
 
Két atom között létrejövő kovalens kémiai kötés fizikai lényegét már egydimenziós modellen is szemléltetni tudjuk.
  
−
<small><b>Megjegyzés</b>. Tudatosan olyan modellt választottunk, amely elég egyszerű ahhoz, hogy viszonylag kis erővel numerikusan is végigszámolható legyen, ugyanakkor elegendően „bonyolult” ahhoz, hogy a kívánt effektust leírja. (Azaz követtük az „Occam borotvája” elvet, amely a modellalkotás egyik igen fontos ismeretelméleti eszköze.) Természetesen magát a számolást nem hajtjuk végre, de megadjuk azon a gondolatmenetet, amelyet követve a numerikus számításokat bárki elvégezheti (még a BSc szak szintjén is).</small>
+
<small><b>Megjegyzés</b>. Tudatosan olyan modellt választottunk, amely elég egyszerű ahhoz, hogy viszonylag kis erővel numerikusan is végigszámolható legyen, ugyanakkor elegendően „bonyolult” ahhoz, hogy a kívánt effektust leírja. (Azaz követtük az „Occam borotvája” elvet, amely a modellalkotás egyik igen fontos ismeretelméleti eszköze.) Természetesen, magát a számolást nem hajtjuk végre, de megadjuk azon a gondolatmenetet, amelyet követve a numerikus számításokat bárki elvégezheti (még a BSc szak szintjén is).</small>
 
   
 
   
−
Megtanultuk már, hogy milyen az atomok ún. „(elektron)konfigurációja”, azaz miképpen töltik be az elektronok a lehetséges állapotokat. (TK:1090.oldal) A Pauli-elv segítségével az atomok elektronszerkezete megkonstruálható.
+
Megtanultuk már, hogy milyen az atomok ''(elektron)konfigurációja'', azaz miképpen töltik be az elektronok a lehetséges állapotokat. (TK: 1090. oldal) A Pauli-elv segítségével az atomok elektronszerkezete megkonstruálható.
  
−
A teljesen betöltött héjak (ún. <i>lezárt héjak</i>) alkotják az ún. <i>iontörzset</i>. A részben betöltött (al)héjak (ún. <i>nyílt héjak</i>) elektronjait <i>vegyértékelektronoknak</i> nevezzük. Ennek oka az, hogy ha az atom kölcsönhatásba lép egy másik atommal (pl. vegyülés történik), akkor a folyamat során az iontörzsek gyakorlatilag változatlanok maradnak. Ugyanis a zárt héj „feltöréséhez” viszonylag „nagy” energia kell. (TK:1092.oldal) Azaz a vegyület kialakulásában csak a (nyílt héjon lévő) vegyértékelektronok vesznek részt. Legalábbis a „természetes” körülmények között. A vegyértékelektronok (a Pauli-elv miatt) csak a lezárt héjak feletti energiaszinteket foglalhatják el. Ezt úgy „modellezhetjük”, mintha a vegyérték elektron egy $V_{\rm eff} (x)$ potenciálgödörbe lenne bezárva, melynek első energiaszintje éppen a nyílt héj energiaszintje. <b>Egydimenziós</b>, <b>kvalitatív</b> modell esetén ez egy „négyszögletes potenciálgödörrel” jellemezhető. Mindezt a következő ábrán szemléltettük.
+
A teljesen betöltött héjak (''lezárt héjak'') alkotják az ''iontörzset''. A részben betöltött (al)héjak (''nyílt héjak'') elektronjait ''vegyérték elektronoknak'' nevezzük. Ennek oka az, hogy ha az atom kölcsönhatásba lép egy másik atommal (pl. vegyülés történik), akkor a folyamat során az iontörzsek gyakorlatilag változatlanok maradnak. Ugyanis a zárt héj „feltöréséhez” viszonylag „nagy” energia kell (TK: 1092. oldal). Azaz a vegyület kialakulásában csak a (nyílt héjon lévő) vegyérték elektronok vesznek részt, legalábbis a „természetes” körülmények között. A vegyérték elektronok (a Pauli-elv miatt) csak a lezárt héjak feletti energiaszinteket foglalhatják el. Ezt úgy „modellezhetjük”, mintha a vegyérték elektron egy $V_{\rm eff} (x)$ potenciálgödörbe lenne bezárva, melynek első energiaszintje éppen a nyílt héj energiaszintje. <b>Egydimenziós</b>, <b>kvalitatív</b> modell esetén ez egy „négyszögletes potenciálgödörrel” jellemezhető. Mindezt a következő ábrán szemléltettük.
  
 
[[File:Effektiv_potencial_godor.png|közép|400px]]
 
[[File:Effektiv_potencial_godor.png|közép|400px]]
  
−
Az ún. <i>négyszögletes potenciálgödörhöz</i> (vagy <i>potenciálvölgyhöz</i>) akkor jutunk, ha a $V(x)$ potenciális energia olyan, hogy egy $L$ hosszúságú szakaszon állandó, azon kívül pedig ennél nagyobb, szintén állandó értékű. Azaz például:
+
A ''négyszögletes potenciálgödörhöz'' (vagy ''potenciálvölgyhöz'') akkor jutunk, ha a $V(x)$ potenciális energia olyan, hogy egy $L$ hosszúságú szakaszon állandó, azon kívül pedig ennél nagyobb, szintén állandó értékű. Azaz például
  
 
$$ V(x) = \begin{cases} V_0 & \text{ha $x\notin L$}, \\ V_0 - V_L & \text{ha $x\in L$}. \end{cases} $$
 
$$ V(x) = \begin{cases} V_0 & \text{ha $x\notin L$}, \\ V_0 - V_L & \text{ha $x\in L$}. \end{cases} $$
  
−
Itt a potenciálgödör „mélységét” a $V_L$, a szélességét az $L$ adja meg. Ebben az igen egyszerű modellben ez a két paraméter definiálja az elektron fizikai környezetét. Természetesen a potenciális energia „nulla szintje” akárhol megválasztható, azaz a $V_0$ érték bármekkora lehet. Az 3.4./1. ábrán az atomoknál megszokott módon a $V_0 = 0$ esetet mutattuk be. A matematikai formulák egyszerűsítése végett gyakran élünk a $V_0 = V_L$ választással. A későbbiekben is ezt fogjuk használni.
+
Itt a potenciálgödör „mélységét” a $V_L$, a szélességét az $L$ adja meg. Ebben az igen egyszerű modellben ez a két paraméter definiálja az elektron fizikai környezetét. Természetesen a potenciális energia „nulla szintje” akárhol megválasztható, azaz a $V_0$ érték bármekkora lehet. A következő ábrán az atomoknál megszokott módon a $V_0 = 0$ esetet mutattuk be. A matematikai formulák egyszerűsítése végett gyakran élünk a $V_0 = V_L$ választással. A későbbiekben is ezt fogjuk használni.
  
−
Az alábbi ábra alapján látható, hogy kötött állapotról csak akkor beszélhetünk, ha a részecske $E$ energiájára fennáll, hogy $V_0 - V_L < E < V_0$. A klasszikus mozgás tartománya tehát az $L$ hosszúságú szakasz. A Schrödinger-egyenlet megoldása nélkül, pusztán az általános ismereteink alapján fel tudjuk rajzolni a hullámfüggvények várható alakját.
+
Az ábra alapján látható, hogy kötött állapotról csak akkor beszélhetünk, ha a részecske $E$ energiájára fennáll, hogy $V_0 - V_L < E < V_0$. A klasszikus mozgás tartománya tehát az $L$ hosszúságú szakasz. A Schrödinger-egyenlet megoldása nélkül, pusztán az általános ismereteink alapján fel tudjuk rajzolni a hullámfüggvények várható alakját:
  
 
[[File:Potencial_godor_hullamfuggvenyek.jpeg|közép|400px]]
 
[[File:Potencial_godor_hullamfuggvenyek.jpeg|közép|400px]]
533. sor: 351. sor:
 
Azért választottunk ilyen egyszerű modellt, hogy bemutassuk azt, hogy a tárgyalásra kerülő jelenség numerikusan is végigszámolható. Ha a modellre jellemző paramétereket „ügyesen” választjuk meg, akkor (a modellen belül) „reális” számszerű eredményeket kaphatunk. A szükséges matematikai formulákhoz a Schrödinger-egyenlet felírásával jutunk. Ez szinte minden elemi Kvantummechanika könyvben benne van. A megoldás elvi menetét az előzőekben már részletesen mi is megtárgyaltuk. Mivel amúgy is eléggé „durva” modellről van szó, a „kvantitatív” (számszerű) tárgyalásnak jelen esetben nem sok értelme lenne. Elegendő „csak” kvalitatív eredményekre szorítkoznunk. Azaz be szeretnénk látni, hogy egy ilyen elnagyolt modell esetén is „létrejön” a kémiai kötés két atom között.
 
Azért választottunk ilyen egyszerű modellt, hogy bemutassuk azt, hogy a tárgyalásra kerülő jelenség numerikusan is végigszámolható. Ha a modellre jellemző paramétereket „ügyesen” választjuk meg, akkor (a modellen belül) „reális” számszerű eredményeket kaphatunk. A szükséges matematikai formulákhoz a Schrödinger-egyenlet felírásával jutunk. Ez szinte minden elemi Kvantummechanika könyvben benne van. A megoldás elvi menetét az előzőekben már részletesen mi is megtárgyaltuk. Mivel amúgy is eléggé „durva” modellről van szó, a „kvantitatív” (számszerű) tárgyalásnak jelen esetben nem sok értelme lenne. Elegendő „csak” kvalitatív eredményekre szorítkoznunk. Azaz be szeretnénk látni, hogy egy ilyen elnagyolt modell esetén is „létrejön” a kémiai kötés két atom között.
  
−
Az egyszerűség végett legyen ebben az „atomban” csupán csak egy (vegyérték)elektron, amelynek energiáját jelöljük $E_A$-val. Legyen ez most éppen ($E_1$) az alapállapoti energia. Az elektron az ennek megfelelő állapotban van.
+
Az egyszerűség végett legyen ebben az „atomban” csupán csak egy (vegyérték) elektron, amelynek energiáját jelöljük $E_A$-val. Legyen ez most éppen az $E_1$ alapállapoti energia. Az elektron az ennek megfelelő állapotban van.
  
 
Tekintsünk két atomot ($A$ és $B$), amelyek egymástól nagyon nagy távolságra vannak. Ekkor a két vegyérték elektron állapotfüggvénye ($\Psi_A$ és $\Psi_B$) nem „fedi át” egymást (azaz az „elektronfelhők nem zavarják egymást”), így két független atomunk van. Mindkettőben az elektron energiája ugyanakkora, nevezetesen $E_A$. Szemléltetés:
 
Tekintsünk két atomot ($A$ és $B$), amelyek egymástól nagyon nagy távolságra vannak. Ekkor a két vegyérték elektron állapotfüggvénye ($\Psi_A$ és $\Psi_B$) nem „fedi át” egymást (azaz az „elektronfelhők nem zavarják egymást”), így két független atomunk van. Mindkettőben az elektron energiája ugyanakkora, nevezetesen $E_A$. Szemléltetés:
539. sor: 357. sor:
 
[[File:Atomok_kozelitese_modell1.jpeg|közép|550px]]
 
[[File:Atomok_kozelitese_modell1.jpeg|közép|550px]]
  
−
Közelítsük egymáshoz a két atomot! Tovább egyszerűsödik a modellünk, ha <b>a két vegyérték elektron közötti Coulomb-taszítástól eltekintünk</b>. Ekkor az atomok közelítésekor mindkét elektron csak az iontörzsekkel lép kölcsönhatásba. Mint azt láttuk, ezek szerkezete elégé stabil, és így a „vegyülés során” a potenciálgödrök alakja nem változik. Ha a két „atom” elegendően közel kerül egymáshoz, akkor a (vegyérték) elektronok (pl.:alagúteffektussal, TK:1063.oldal) „átjuthatnak” a két atomot elválasztó potenciálgáton és így mind a két atomhoz tartozni fognak. Azaz, ekkor a két atomot már egy kvantummechanikai rendszernek kell tekinteni.
+
Közelítsük egymáshoz a két atomot! Tovább egyszerűsödik a modellünk, ha <b>a két vegyérték elektron közötti Coulomb-taszítástól eltekintünk</b>. Ekkor az atomok közelítésekor mindkét elektron csak az iontörzsekkel lép kölcsönhatásba. Mint azt láttuk, ezek szerkezete elégé stabil és így a „vegyülés során” a potenciálgödrök alakja nem változik. Ha a két „atom” elegendően közel kerül egymáshoz, akkor a (vegyérték) elektronok (pl. alagúteffektussal, TK: 1063. oldal) „átjuthatnak” a két atomot elválasztó potenciálgáton és így mind a két atomhoz tartozni fognak. Azaz ekkor a két atomot már egy kvantummechanikai rendszernek kell tekinteni.
  
 
[[File:Atomok_kozelitese_modell2.png|közép|400px]]
 
[[File:Atomok_kozelitese_modell2.png|közép|400px]]
545. sor: 363. sor:
 
A Coulomb-taszítás hiánya miatt a két elektron egymástól függetlenül vizsgálható. Ezt úgy tudjuk modellezni, hogy bármelyik elektron ugyanazt a „kettős potenciálvölgyet” fogja érzékelni. Ez durva modellnek tűnik ugyan, de a kvalitatív fizikai eredmények lényegén nem változtat. Ugyanakkor a „számolást” igen leegyszerűsíti.
 
A Coulomb-taszítás hiánya miatt a két elektron egymástól függetlenül vizsgálható. Ezt úgy tudjuk modellezni, hogy bármelyik elektron ugyanazt a „kettős potenciálvölgyet” fogja érzékelni. Ez durva modellnek tűnik ugyan, de a kvalitatív fizikai eredmények lényegén nem változtat. Ugyanakkor a „számolást” igen leegyszerűsíti.
  
−
Az egydimenziós Schrödinger-egyenlet általános matematikai tulajdonságainak az ismeretében könnyen felrajzolhatjuk a lehetséges állapotfüggvényeket. Ezeket, mivel most már az $AB$ molekulában lévő elektronok lehetséges állapotait adja meg, <i>molekulapályáknak</i> szoktuk nevezni és (jelen esetben) $\Psi_{AB}$–vel fogjuk jelölni.
+
Az egydimenziós Schrödinger-egyenlet általános matematikai tulajdonságainak az ismeretében könnyen felrajzolhatjuk a lehetséges állapotfüggvényeket. Ezeket, mivel most már az $AB$ molekulában lévő elektronok lehetséges állapotait adja meg, ''molekulapályáknak'' szoktuk nevezni és (jelen esetben) $\Psi_{AB}$–vel fogjuk jelölni.
  
−
Ezeket az állapotokat veheti fel aztán a molekulában lévő (most) összesen két darab elektron. Természetesen ezen molekulapályák „betöltésénél” is alkalmaznunk kell az atomok elektronszerkezeténél megismert Pauli-elvet!
+
Ezeket az állapotokat veheti fel aztán a molekulában lévő (most összesen) két darab elektron. Természetesen ezen molekulapályák „betöltésénél” is alkalmaznunk kell az atomok elektronszerkezeténél megismert Pauli-elvet!
  
−
Látható, hogy a rendszer a két (egyforma) atommagot összekötő egyenes szakasz ($D$) felezősíkára nézve tükörszimmetrikus. Legyen a $D$ szakasz felezőpontja $x_0$! Ekkor az említett tükörszimmetria matematikai kifejezése a következő:
+
Látható, hogy a rendszer a két (egyforma) atommagot összekötő egyenes szakasz ($D$) felezősíkjára nézve tükörszimmetrikus. Legyen a $D$ szakasz felezőpontja $x_0$! Ekkor az említett tükörszimmetria matematikai kifejezése a következő:
  
 
$$ V(x_0 - x) = V(x - x_0). $$
 
$$ V(x_0 - x) = V(x - x_0). $$
557. sor: 375. sor:
 
$$ \left| \Psi_{AB}(x_0 - x) \right|^2 = \left| \Psi_{AB}(x - x_0) \right|^2. $$
 
$$ \left| \Psi_{AB}(x_0 - x) \right|^2 = \left| \Psi_{AB}(x - x_0) \right|^2. $$
  
−
Ebből viszont az következik, hogy:
+
Ebből viszont az következik, hogy
  
 
$$ \Psi_{AB}(x_0 - x) = \pm \Psi_{AB}(x - x_0). $$
 
$$ \Psi_{AB}(x_0 - x) = \pm \Psi_{AB}(x - x_0). $$
563. sor: 381. sor:
 
Látható tehát, hogy a molekulapályákat megadó állapotfüggvények (az $x_0$ szimmetriapontra nézve) vagy páros, vagy pedig páratlan függvények lehetnek. Ennek megfelelően az $x_0$ pontban nyilvánvalóan teljesül az alábbi két feltétel:
 
Látható tehát, hogy a molekulapályákat megadó állapotfüggvények (az $x_0$ szimmetriapontra nézve) vagy páros, vagy pedig páratlan függvények lehetnek. Ennek megfelelően az $x_0$ pontban nyilvánvalóan teljesül az alábbi két feltétel:
  
−
$$ \begin{cases} \Psi_{AB}(x_0) = 0, & \text{ha páratlan függvényről van szó és} \\ \left. \frac{\rm d}{{\rm d}x} \Psi_{AB}(x) \right|_{x_0} & \text{ha páros függvényről van szó.} \end{cases} $$
+
$$ \begin{cases} \Psi_{AB}(x_0) = 0, & \text{ha páratlan függvényről van szó, és} \\ \left. \frac{\rm d}{{\rm d}x} \Psi_{AB}(x) \right|_{x_0} = 0 & \text{ha páros függvényről van szó.} \end{cases} $$
  
−
<small>Akinek a megadott szimmetria kifejezés idegennek tűnik, az éljen az $x_0 = 0$ választással és akkor már a középiskolás matematikából ismerős összefüggéseket kap.</small>
+
<small>Akinek a megadott szimmetria kifejezés idegennek tűnik, az éljen az $x_0 = 0$ választással, és akkor már a középiskolás matematikából ismerős összefüggéseket kap.</small>
  
−
A lehetséges molekulapályák a Schrődinger egyenlet általános (matematikai) tulajdonságai alapján megkonstruálhatók és közben megkapjuk az állapotokhoz tartozó energiaszintek értékét is. A molekulapályák meghatározásának igen egyszerű a módja. A megoldás a fentiekben tárgyalt szimmetria kihasználásán, nevezetesen az állapotfüggvények $x_0$ szimmetria pontban mutatott viselkedésén alapszik (ld. előző formula).  
+
A lehetséges molekulapályák a Schrödinger-egyenlet általános (matematikai) tulajdonságai alapján megkonstruálhatók, és közben megkapjuk az állapotokhoz tartozó energiaszintek értékét is. A molekulapályák meghatározásának igen egyszerű a módja. A megoldás a fentiekben tárgyalt szimmetria kihasználásán, nevezetesen az állapotfüggvények $x_0$ szimmetriapontban mutatott viselkedésén alapszik (ld. előző formula).  
  
−
Tekintsük először a szabad atom imént definiált egydimenziós (potenciálgödör) modelljét! Az előzőekben láttuk (Kvantummechanikai kiegészítés 1.5./4 ábra), hogy egydimenziós kötött állapot esetén a lehetséges állapotfüggvények megkeresése az igen szemléletes „próbálgatásos módszerrel” történhet.
+
Tekintsük először a szabad atom imént definiált egydimenziós (potenciálgödör) modelljét! A [[Kvantummechanika]] részben láttuk, hogy egydimenziós kötött állapot esetén a lehetséges állapotfüggvények megkeresése az igen szemléletes „próbálgatásos módszerrel” történhet.
  
 
<span id="abra341">
 
<span id="abra341">
575. sor: 393. sor:
 
</span>
 
</span>
  
−
Tegyük fel, hogy sikerült megoldanunk a Schrödinger-egyenletet és megkaptuk az $E$ alapállapoti energiaszintet és az ehhez tartozó $\Psi(x)$ állapotfüggvényt.
+
Tegyük fel, hogy sikerült megoldanunk a Schrödinger-egyenletet és megkaptuk az $E$ alapállapoti energiaszintet és az ehhez tartozó $\Psi(x)$ állapotfüggvényt. Látható, hogy az $E_{-} < E$ nem lesz az atomban lévő elektron „jó” energiaszintje. Ez igen személetesen megérthető. Mivel $E_{-}$ valamivel kisebb, mint a „jó” $E$ energia, ezért a potenciálgödörben az elektron impulzusa kisebb, a hozzá tartozó lokális de Broglie-hullámhossz nagyobb, tehát a $\Psi_{-}(x)$ hullámfüggvény lassabban fog változni, mint a $\Psi(x)$. De ez azt jelenti, hogy ($x\to +\infty$ esetén) nem tart a zérushoz. Így nem képezhető belőle egy valószínűségsűrűség-függvény. Teljesen hasonló a helyzet $\Psi(x)$ esetében.
  
−
Látható, hogy az $E_{-} < E$ nem lesz az atomban lévő elektron „jó” energiaszintje. Ez igen személetesen megérthető. Mivel $E_{-}$ valamivel kisebb, mint a „jó” $E$ energia, ezért a potenciálgödörben az elektron impulzusa kisebb, a hozzá tartozó lokális de Broglie-hullámhossz nagyobb, tehát a $\Psi_{-}(x)$ hullámfüggvény lassabban fog változni, mint a $\Psi(x)$. De ez azt jelenti, hogy ($x\to +\infty$ esetén) nem tart a zérushoz. Így nem képezhető belőle egy valószínűségsűrűség-függvény. Teljesen hasonló a helyzet $\Psi(x)$ esetében.
+
Ekkor azonban a gödör belsejében a lokális impulzus megnő, és így a de Broglie-hullámhossz lecsökken, ezért a $\Psi_{+}$ a $\Psi(x)$-hez képest gyorsabban fog változni. Ezért aztán a klasszikusan tiltott tartományban véges távolságon belül eléri az $x$ tengelyt, aminek következtében ($x\to +\infty$ esetén) „elszáll” a végtelenbe. Azaz nem lesz „jó” állapotfüggvény! Mindezt már megtárgyaltuk a [[Kvantummechanika#A_hull.C3.A1mf.C3.BCggv.C3.A9ny_matematikai_tulajdons.C3.A1gai|hullámfüggvények általános matematikai viselkedésének a vizsgálatakor]]. Lásd [[#abra341|ábra]].
  
−
Ekkor azonban a gödör belsejében a lokális impulzus megnő és így a de Broglie-hullámhossz lecsökken és ezért a $\Psi_{+}$ a $\Psi(x)$-hez képest gyorsabban fog változni. Ezért aztán a klasszikusan tiltott tartományban véges távolságon belül eléri az $x$ tengelyt, aminek következtében ($x\to +\infty$ esetén) „elszáll” a végtelenbe. Azaz nem lesz „jó” állapotfüggvény! Mindezt már megtárgyaltuk az hullámfüggvények általános matematikai viselkedésének a vizsgálatakor (Kvantummechanikai kiegészítés, 1.5 fejezet). Lásd [[#abra341|ábra]].
+
A bemutatott „effektus” igen jól használható a kétatomos molekulapályák kvalitatív meghatározására. Ennek egy olyan (szimmetriameggondolásokon alapuló) „módját” választjuk, amelynél elkerülhető a Schrödinger-egyenlet teljes megoldása és ugyanakkor igen szemléletes.
−
 
+
−
A bemutatott „effektus” igen jól használható a kétatomos molekulapályák kvalitatív meghatározására. Ennek egy olyan (szimmetria meggondolásokon alapuló) „módját” választjuk, amelynél elkerülhető a Schrödinger-egyenlet teljes megoldása és ugyanakkor igen szemléletes.
+
 
 
 
Tekintsük az iménti atomi potenciálvölgyet és válasszunk ki egy $x_0$ pontot a jobboldali „klasszikusan tiltott” tartományban. Ez lesz majd az $AB$ molekula szimmetriasíkjának a helye, azaz az $A$ és a $B$ atommagot összekötő $D$ egyenes szakasz felezőpontja.
 
Tekintsük az iménti atomi potenciálvölgyet és válasszunk ki egy $x_0$ pontot a jobboldali „klasszikusan tiltott” tartományban. Ez lesz majd az $AB$ molekula szimmetriasíkjának a helye, azaz az $A$ és a $B$ atommagot összekötő $D$ egyenes szakasz felezőpontja.
589. sor: 405. sor:
 
[[File:Hullamfv_kereses2.jpeg|közép|300px]]
 
[[File:Hullamfv_kereses2.jpeg|közép|300px]]
  
−
„Takarjuk ki” a kapott ábra $x > x_0$ részét, majd tükrözzük az egészet az $x_0$ pontra. A művelet elvégzése után megkapjuk a keresett molekulapályákat, hiszen:
+
„Takarjuk ki” a kapott ábra $x > x_0$ részét, majd tükrözzük az egészet az $x_0$ pontra. A művelet elvégzése után megkapjuk a keresett molekulapályákat, hiszen
  
 
$$ \Psi_{-}(x)\to\Psi_K(x), \quad \Psi_{+}\to\Psi_L(x), \quad \Psi_{AB} = \begin{cases} \Psi_K & \text{páros függvény} \\ \Psi_L & \text{páratlan függvény} \end{cases} $$
 
$$ \Psi_{-}(x)\to\Psi_K(x), \quad \Psi_{+}\to\Psi_L(x), \quad \Psi_{AB} = \begin{cases} \Psi_K & \text{páros függvény} \\ \Psi_L & \text{páratlan függvény} \end{cases} $$
595. sor: 411. sor:
 
[[File:Hullamfv_kereses3.jpeg|közép|400px]]
 
[[File:Hullamfv_kereses3.jpeg|közép|400px]]
  
−
Az alkalmazott „geometriai” módszer lényegéből adódik, hogy az így „megkonstruált” („összeszabott”) függvények a ($-\infty < x < +\infty$) tartományban mindenhol kielégítik a Schrödinger-egyenletet. Valamint pontosan teljesítik a hullámfüggvényekre kirótt általános követelményeket, azaz a Born-féle definícióval megtalálási valószínűség sűrűség függvényeket adnak. Természetesen most az $E_A$ energiaszinthez tartozó hajdani $\psi(x)$ atomi állapotfüggvény „nem lesz jó”, hiszen a másik atom hatására „elszáll a $+\infty$-be”.
+
Az alkalmazott „geometriai” módszer lényegéből adódik, hogy az így „megkonstruált” („összeszabott”) függvények a ($-\infty < x < +\infty$) tartományban mindenhol kielégítik a Schrödinger-egyenletet, valamint pontosan teljesítik a hullámfüggvényekre kirótt általános követelményeket, azaz a Born-féle definícióval megtalálási valószínűségsűrűség-függvényeket adnak. Természetesen most az $E_A$ energiaszinthez tartozó hajdani $\psi(x)$ atomi állapotfüggvény „nem lesz jó”, hiszen a másik atom hatására „elszáll a $+\infty$-be”.
  
−
$\Psi_K$ állapot esetén a $\left| \Psi_K \right|^2$ a két atom közötti térben (a potenciálgátban) véges értékű, azaz az elektron itt véges valószínűséggel megtalálható. Szemléletesen szólva az elektron mintegy összetartja a két iontörzset. Ezért ez egy ún. <i>kötőpálya</i> lesz. A $\Psi_L$ állapot esetén a $\left| \Psi_L \right|^2$ a potenciálgát középpontjában (most $x_0 = 0$) zérus értékű, ezért ez nem hozhat létre kötést. Ezt hívják <i>lazítópályának</i>.
+
$\Psi_K$ állapot esetén a $\left| \Psi_K \right|^2$ a két atom közötti térben (a potenciálgátban) véges értékű, azaz az elektron itt véges valószínűséggel megtalálható. Szemléletesen szólva az elektron mintegy összetartja a két iontörzset. Ezért ez egy ún. ''kötőpálya'' lesz. A $\Psi_L$ állapot esetén a $\left| \Psi_L \right|^2$ a potenciálgát középpontjában (most $x_0 = 0$) zérus értékű, ezért ez nem hozhat létre kötést. Ezt hívják ''lazítópályának''.
  
 
[[File:Hullamfv_kereses4.png|közép|400px]]
 
[[File:Hullamfv_kereses4.png|közép|400px]]
607. sor: 423. sor:
 
Ennek nagyon hasznos és szemléletes következményeit majd az MSc szintű Fizika tantárgyban fogjuk megtárgyalni. Az elmondottakhoz még csak annyit kell hozzátennünk, hogy a középiskolai Kémia órákon a „molekulakötéseknél” előkerült $\sigma$ és $\pi$ pályák esetén is ugyanerről van szó!</small>
 
Ennek nagyon hasznos és szemléletes következményeit majd az MSc szintű Fizika tantárgyban fogjuk megtárgyalni. Az elmondottakhoz még csak annyit kell hozzátennünk, hogy a középiskolai Kémia órákon a „molekulakötéseknél” előkerült $\sigma$ és $\pi$ pályák esetén is ugyanerről van szó!</small>
  
−
Általánosságban is elmondhatjuk, hogy két atom közelítésekor a szabad atomi energiaszint két közeli energiaszintre hasad fel. Az alacsonyabb energiájú a kötő pályákat, a magasabb energiájú a lazító pályákat adja.
+
Általánosságban is elmondhatjuk, hogy két atom közelítésekor a szabad atomi energiaszint két közeli energiaszintre hasad fel. Az alacsonyabb energiájú a kötőpályákat, a magasabb energiájú a lazítópályákat adja.
  
 
$$ \begin{cases} E_{+} \equiv E_L > E_A & \text{$\Psi_L(x)$, lazító pálya}, \\ E_{-} \equiv E_K < E_A & \text{$\Psi_K(x)$ kötő pálya}. \end{cases} $$
 
$$ \begin{cases} E_{+} \equiv E_L > E_A & \text{$\Psi_L(x)$, lazító pálya}, \\ E_{-} \equiv E_K < E_A & \text{$\Psi_K(x)$ kötő pálya}. \end{cases} $$
621. sor: 437. sor:
 
|}
 
|}
  
−
A „felhasadás mértéke” nagyon kicsi az atomi energiaszintek közötti (${\rm eV}$-nyi) különbségekhez képest. Ezért, ha $N = 10^{23}$ nagyságrendű, akkor a felhasadt energiaszintek közötti távolság nagyságrendje $10^{-23} \, {\rm eV}$ körül van, ami gyakorlatilag „folytonosnak” tekinthető. Így szemléletesen azt mondjuk, hogy az atomi energiaszintek <i>energiasávokká</i> alakulnak.
+
A „felhasadás mértéke” nagyon kicsi az atomi energiaszintek közötti (${\rm eV}$-nyi) különbségekhez képest. Ezért, ha $N = 10^{23}$ nagyságrendű, akkor a felhasadt energiaszintek közötti távolság nagyságrendje $10^{-23} \, {\rm eV}$ körül van, ami gyakorlatilag „folytonosnak” tekinthető. Így szemléletesen azt mondjuk, hogy az atomi energiaszintek ''energiasávokká'' alakulnak.
  
−
A sávokat „tiltott energiatartományok”, ún. <i>tiltott energiasávok</i> (angol szóval <i>gap</i>-ek) választják el egymástól. Ha a felhasadás mértéke akkora, hogy a sávok egymásba nyúlnak, akkor „sávátfedésről” beszélünk.
+
A sávokat „tiltott energiatartományok”, ún. ''tiltott energiasávok'' (angol szóval ''gap''-ek) választják el egymástól. Ha a felhasadás mértéke akkora, hogy a sávok egymásba nyúlnak, akkor ''sávátfedésről'' beszélünk.
  
 
[[File:Savszerkezet3.jpeg|közép|450px]]
 
[[File:Savszerkezet3.jpeg|közép|450px]]
  
−
Természetesen egy valódi, háromdimenziós kristályban a dolog kissé bonyolultabb. Ezen a szinten azonban ez az elvi lényeget nem érinti. Ennek matematikailag precíz és fogalmaiban árnyalt tanulmányozása azonban már csak az MSc. kurzus keretei között lehetséges. Itt meg kell elégednünk az eddig bemutatott „kvalitatív képekkel”.
+
Természetesen egy valódi, háromdimenziós kristályban a dolog kissé bonyolultabb. Ezen a szinten azonban ez az elvi lényeget nem érinti. Ennek matematikailag precíz és fogalmaiban árnyalt tanulmányozása azonban már csak az MSc kurzus keretei között lehetséges. Itt meg kell elégednünk az eddig bemutatott „kvalitatív képekkel”.
  
 
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
 
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
635. sor: 451. sor:
 
|}
 
|}
  
−
A szilícium kristályban a négy vegyértékű ${\rm Si}$ atomok ún. „gyémánt rácsban” kristályosodnak. Ekkor a szomszédos atomok a fenti ábrán bemutatott formációban helyezkednek el. Az atomi vegyértékelektronok $s$ illetve $p$ állapotúak. Az elemek periódusos rendszerének a magyarázatánál láttuk, hogy az elektronok közötti kölcsönhatás miatt az $s$ és a $p$ állapotokhoz tartozó energiák kissé eltérnek egymástól. Ezen energiaszintek „sávokká történő” felhasadása látható a fenti ábrán.
+
A szilícium kristályban a négy vegyértékű ${\rm Si}$ atomok ún. ''gyémántrácsban'' kristályosodnak. Ekkor a szomszédos atomok a fenti ábrán bemutatott formációban helyezkednek el. Az atomi vegyérték elektronok $s$ illetve $p$ állapotúak. Az elemek periódusos rendszerének a magyarázatánál láttuk, hogy az elektronok közötti kölcsönhatás miatt az $s$ és a $p$ állapotokhoz tartozó energiák kissé eltérnek egymástól. Ezen energiaszintek „sávokká történő” felhasadása látható a fenti ábrán.
 
 
 
<small><b>Megjegyzés</b>. A háromdimenziós részletes elméleti számítások szerint továbbra is fennáll az, hogy egy adott energiasávhoz tartozó (pálya)állapotok száma éppen a rácsban lévő atomok $N$ számával egyezik meg. Ezek közül azonban soknak ugyanaz lesz az energiája (ebben pl. különbözik az egydimenziós esettől). Ez a körülmény azonban a Pauli-elv teljesülésekor nem játszik szerepet. Hiszen ez az elv az állapotok betöltésére vonatkozik és ez nem függ attól, hogy ezek az állapotok milyen energiákhoz tartoznak.</small>
 
<small><b>Megjegyzés</b>. A háromdimenziós részletes elméleti számítások szerint továbbra is fennáll az, hogy egy adott energiasávhoz tartozó (pálya)állapotok száma éppen a rácsban lévő atomok $N$ számával egyezik meg. Ezek közül azonban soknak ugyanaz lesz az energiája (ebben pl. különbözik az egydimenziós esettől). Ez a körülmény azonban a Pauli-elv teljesülésekor nem játszik szerepet. Hiszen ez az elv az állapotok betöltésére vonatkozik és ez nem függ attól, hogy ezek az állapotok milyen energiákhoz tartoznak.</small>
  
−
Az energiasávok egymáshoz képesti elhelyezkedéséből következtethetünk ez illető szilárd test elektromos vezetési tulajdonságaira is.
+
Az energiasávok egymáshoz képesti elhelyezkedéséből következtethetünk az illető szilárd test elektromos vezetési tulajdonságaira is.
  
−
Azok az elemek, amelyeknek az atomjai páratlan számú vegyértékelektronnal rendelkeznek biztosan elektromos vezetők lesznek. Ennek a kvalitatív magyarázata könnyen megérthető. Mint azt már említettük, minden energiasávhoz $N$ darab pályaállapot tartozik. A Pauli-elv miatt minden pályaállapotot maximum két elektron tölthet be (ellentétes spinnel). Erre azt szoktuk mondani, hogy „egy energiasávban éppen $2N$ darab elektronnak van hely”. Mármost minket elsősorban az érdekel, hogy a kristályban lévő elektronok energiája mekkora. A meghonosodott szóhasználat szerint azt akarjuk tudni, hogy „az elektronok az egyes energiasávokat hogyan töltik be?” Erre választ kapunk, ha tudjuk, hogy az elektronok a lehetséges állapotokat miként töltik be.
+
Azok az elemek, amelyeknek az atomjai páratlan számú vegyérték elektronnal rendelkeznek, biztosan elektromos vezetők lesznek. Ennek a kvalitatív magyarázata könnyen megérthető. Mint azt már említettük, minden energiasávhoz $N$ darab pályaállapot tartozik. A Pauli-elv miatt minden pályaállapotot maximum két elektron tölthet be (ellentétes spinnel). Erre azt szoktuk mondani, hogy „egy energiasávban éppen $2N$ darab elektronnak van hely”. Mármost minket elsősorban az érdekel, hogy a kristályban lévő elektronok energiája mekkora. A meghonosodott szóhasználat szerint azt akarjuk tudni, hogy „az elektronok az egyes energiasávokat hogyan töltik be?” Erre választ kapunk, ha tudjuk, hogy az elektronok a lehetséges állapotokat miként töltik be.
  
−
Ezen „energiacentrikus” szemlélet igen egyszerű és ugyanakkor jól használható képet ad a szilárd test minket érdeklő (elsősorban elektromos és optikai) tulajdonságok megértéséhez. Tehát, ha atomonként páratlan számú vegyérték elektron vesz részt a kristály kialakulásában, akkor az állapotok betöltése után a „legfelső” még betöltésre kerülő energiasáv csak félig lesz feltöltve elektronokkal. Ezért, ha külső elektromos teret kapcsolunk a kristályra, akkor ezek az elektronok magasabb energiaszintre tudnak kerülni, azaz az elektromos tér hatására növekszik a kristálybeli kinetikus energiájuk. Ezt makroszkopikusan úgy észleljük, hogy a kristály vezeti az elektromos áramot. Ezért a félig (részlegesen) betöltött sávot <i>vezetési sávnak</i> hívjuk.
+
Ezen „energiacentrikus” szemlélet igen egyszerű, és ugyanakkor jól használható képet ad a szilárd test minket érdeklő (elsősorban elektromos és optikai) tulajdonságok megértéséhez. Tehát, ha atomonként páratlan számú vegyérték elektron vesz részt a kristály kialakulásában, akkor az állapotok betöltése után a „legfelső” még betöltésre kerülő energiasáv csak félig lesz feltöltve elektronokkal. Ezért, ha külső elektromos teret kapcsolunk a kristályra, akkor ezek az elektronok magasabb energiaszintre tudnak kerülni, azaz az elektromos tér hatására növekszik a kristálybeli kinetikus energiájuk. Ezt makroszkopikusan úgy észleljük, hogy a kristály vezeti az elektromos áramot. Ezért a félig (részlegesen) betöltött sávot ''vezetési sávnak'' hívjuk.
  
 
<small>További, precíz részletekkel az MSc tanulmányainkban fogunk foglalkozni.</small>
 
<small>További, precíz részletekkel az MSc tanulmányainkban fogunk foglalkozni.</small>
653. sor: 469. sor:
 
</span>
 
</span>
  
−
Az előzőek alapján azt várjuk, hogy a páros vegyértékű kristályok energiasávjai (alapállapotban) teljesen betöltöttek lesznek. Ha a tiltott sáv elegendően nagy ($5-10 \, {\rm eV}$), akkor a betöltött sávban lévő elektronok még szobahőmérsékleten sem rendelkeznek annyi energiával, hogy „átugorják” a tiltott sávot. Hiszen pl. szobahőmérsékleten ($T = 300 \, {\rm K}$) a termikus mozgásra jellemző átlagos energia $kT \approx eV$ és ez sokkal kisebb, mint a már említett $5-10 \, {\rm eV}$. Így a legfelső (teljesen) betöltött sávot követő energiasáv üres lesz. Ha külső elektromos teret kapcsolunk a kristályra, akkor az elektronok energiája nem tud megnövekedni. Energetikailag mintegy „bezárva maradnak” a sávokba. Így a rendszer egészét tekintve „nem történik semmi”. Makroszkopikus skálán ez úgy jelentkezik, hogy a külső elektromos tér semmilyen hatással nincsen a kristályra. Azaz a kristály <i>szigetelőként</i> viselkedik. A teljesen betöltött sávokat „vegyérték sávnak” (sokszor „valencia sávnak”) nevezzük (utalva a vegyérték elektronokkal való betöltöttségre).
+
Az előzőek alapján azt várjuk, hogy a páros vegyértékű kristályok energiasávjai (alapállapotban) teljesen betöltöttek lesznek. Ha a tiltott sáv elegendően nagy ($5-10 \, {\rm eV}$), akkor a betöltött sávban lévő elektronok még szobahőmérsékleten sem rendelkeznek annyi energiával, hogy „átugorják” a tiltott sávot. Hiszen pl. szobahőmérsékleten ($T = 300 \, {\rm K}$) a termikus mozgásra jellemző átlagos energia $kT \approx eV$, és ez sokkal kisebb, mint a már említett $5-10 \, {\rm eV}$. Így a legfelső (teljesen) betöltött sávot követő energiasáv üres lesz. Ha külső elektromos teret kapcsolunk a kristályra, akkor az elektronok energiája nem tud megnövekedni. Energetikailag mintegy „bezárva maradnak” a sávokba. Így a rendszer egészét tekintve „nem történik semmi”. Makroszkopikus skálán ez úgy jelentkezik, hogy a külső elektromos tér semmilyen hatással nincsen a kristályra. Azaz a kristály ''szigetelőként'' viselkedik. A teljesen betöltött sávokat ''vegyérték sávnak'' (sokszor ''valenciasávnak'') nevezzük (utalva a vegyérték elektronokkal való betöltöttségre).
  
−
A várakozásunkkal ellentétben azonban vannak páros vegyértékű atomokból felépülő vezetők is. Ennek oka is szemléletesen megérthető. Ha ugyanis az atomi energiaszintek felhasadása olyan nagy, hogy a felhasadt sávok egymásba nyúlnak, akkor nem alakulhat ki tiltott sáv. Ez a már említett <i>sávátfedés</i> jelensége. Ekkor a keletkező új (eredő) sáv csak részlegesen lesz betöltve elektronokkal. Így a helyzet ugyanaz lesz, mint a fémek esetében volt. Tehát (páros vegyértékű) elektromos vezető alakul ki. Emiatt az átfedett sávot most is <i>vezetési sávnak</i> hívjuk.
+
A várakozásunkkal ellentétben azonban vannak páros vegyértékű atomokból felépülő vezetők is. Ennek oka is szemléletesen megérthető. Ha ugyanis az atomi energiaszintek felhasadása olyan nagy, hogy a felhasadt sávok egymásba nyúlnak, akkor nem alakulhat ki tiltott sáv. Ez a már említett ''sávátfedés'' jelensége. Ekkor a keletkező új (eredő) sáv csak részlegesen lesz betöltve elektronokkal. Így a helyzet ugyanaz lesz, mint a fémek esetében volt. Tehát (páros vegyértékű) elektromos vezető alakul ki. Emiatt az átfedett sávot most is ''vezetési sávnak'' hívjuk.
  
−
Ha a sávfelhasadás mértéke olyan, hogy a „gap” mérete kb. $1 \, {\rm eV}$ lesz, akkor az eddigiekhez képest egy új jelenséggel találkozunk. Alapállapotban (makroszkopikusan ez a $T = 0 \, {\rm K}$-es esetet jelenti) az elektront tartalmazó (valencia-, vegyérték) sávok mindegyike  teljesen be van töltve. Ha emeljük a kristály hőmérsékletét, akkor a legfelső vegyérték sávban lévő elektronok egy kis hányada át tudja ugorni a tiltott sávot. Így elektronok kerülnek az eddig üres vezetési sávba. Ezek a külső elektromos térre ugyanúgy reagálnak, mint azt már a fémeknél megbeszéltük. Mivel viszonylag kevés az ilyen módon gerjesztett elektronok száma, így a kevés töltéshordozó csak kis áramot jelenthet. Azaz a kristály „enyhe” vezetőképességgel fog rendelkezni. Az ilyen anyagokat <i>szerkezeti félvezetőknek</i> nevezzük.
+
Ha a sávfelhasadás mértéke olyan, hogy a „gap” mérete kb. $1 \, {\rm eV}$ lesz, akkor az eddigiekhez képest egy új jelenséggel találkozunk. Alapállapotban (makroszkopikusan ez a $T = 0 \, {\rm K}$-es esetet jelenti) az elektront tartalmazó (valencia-, vegyérték) sávok mindegyike  teljesen be van töltve. Ha emeljük a kristály hőmérsékletét, akkor a legfelső vegyérték sávban lévő elektronok egy kis hányada át tudja ugorni a tiltott sávot. Így elektronok kerülnek az eddig üres vezetési sávba. Ezek a külső elektromos térre ugyanúgy reagálnak, mint azt már a fémeknél megbeszéltük. Mivel viszonylag kevés az ilyen módon gerjesztett elektronok száma, így a kevés töltéshordozó csak kis áramot jelenthet. Azaz a kristály „enyhe” vezetőképességgel fog rendelkezni. Az ilyen anyagokat ''szerkezeti félvezetőknek'' nevezzük.
  
−
Ha külső elektromos teret kapcsolunk a félvezetőre, akkor nem csak a vezetési sávban lévő elektronok reagálnak erre, hanem a vegyérték sáv elektronjai is. Ugyanis a külső elektromos tér hatására ezek az elektronok is magasabb energiaszintre képesek kerülni. Hiszen az alacsonyabb energiájú betöltött állapotokból az elektronok a magasabb energiájú üres állapotokba juthatnak. Azaz a vegyérték sávban az „üres állapotok” mintegy „lefelé vándorolnak” az energiaskálán. Tudjuk, hogy a vegyérték sávban lehetséges, betölthető állapotok száma $10^{23}$ körül van. Szobahőmérsékleten ezeknek csak a töredéke üres. Egy $-e$ (negatív) töltésű elektron eltávolítása a rendszerből ekvivalens egy $+e$ (pozitív töltés) hozzáadásával. Ezért a betöltött állapotok elektronjai együttes hatásukban úgy viselkednek, mintha néhány pozitív töltésű részecske lenne jelen a félvezetőben. Ezeket a pozitív töltésű részecskéket <i>lyukaknak</i> nevezzük. Azt mondjuk, hogy ha felkerül egy elektron a vezetési sávba, akkor egy lyukat hagy hátra a vegyérték sávban. A vezetésben pedig mind az elektronok, mind pedig a lyukak részt vesznek.
+
Ha külső elektromos teret kapcsolunk a félvezetőre, akkor nem csak a vezetési sávban lévő elektronok reagálnak erre, hanem a vegyérték sáv elektronjai is. Ugyanis a külső elektromos tér hatására ezek az elektronok is magasabb energiaszintre képesek kerülni, hiszen az alacsonyabb energiájú betöltött állapotokból az elektronok a magasabb energiájú üres állapotokba juthatnak. Azaz a vegyérték sávban az „üres állapotok” mintegy „lefelé vándorolnak” az energiaskálán. Tudjuk, hogy a vegyérték sávban lehetséges, betölthető állapotok száma $10^{23}$ körül van. Szobahőmérsékleten ezeknek csak a töredéke üres. Egy $-e$ (negatív) töltésű elektron eltávolítása a rendszerből ekvivalens egy $+e$ (pozitív töltés) hozzáadásával. Ezért a betöltött állapotok elektronjai együttes hatásukban úgy viselkednek, mintha néhány pozitív töltésű részecske lenne jelen a félvezetőben. Ezeket a pozitív töltésű részecskéket ''lyukaknak'' nevezzük. Azt mondjuk, hogy ha felkerül egy elektron a vezetési sávba, akkor egy lyukat hagy hátra a vegyérték sávban. A vezetésben pedig mind az elektronok, mind pedig a lyukak részt vesznek.
  
−
A hőmérséklet emelésével növekedni fog a vezetési sávban lévő elektronok és a vegyértéksávban lévő lyukak száma, hiszen egyre több elektronnak lesz elegendő energiája ahhoz, hogy a tiltott sávot átugorja. A félvezetők vezetőképessége tehát $T = 0 \, {\rm K}$-en zérus (hiszen üres a vezetési sáv). A hőmérséklet emelkedésével pedig a vezetési töltéshordozók (elektronok és lyukak) számának növekedése miatt a vezetőképesség is nőni fog. Mindezeket a kísérleti eredmények számszerűen is fényesen igazolják.
+
A hőmérséklet emelésével növekedni fog a vezetési sávban lévő elektronok és a vegyérték sávban lévő lyukak száma, hiszen egyre több elektronnak lesz elegendő energiája ahhoz, hogy a tiltott sávot átugorja. A félvezetők vezetőképessége tehát $T = 0 \, {\rm K}$-en zérus (hiszen üres a vezetési sáv). A hőmérséklet emelkedésével pedig a vezetési töltéshordozók (elektronok és lyukak) számának növekedése miatt a vezetőképesség is nőni fog. Mindezeket a kísérleti eredmények számszerűen is fényesen igazolják.
  
−
Az elektronállapotok betöltöttsége és így a vezetési elektronok $n$ számának a kvantitatív számítása az $f^{FD}$ ún. <i>Fermi-Dirac-féle eloszlásfüggvény</i> segítségével történik. Ehhez ismerni kell még az állapotoknak az energiaszintek szerinti ${\cal N}(E)$ eloszlását is. Ezt <i>állapotsűrűségnek</i> hívják. Ezzel írható, hogy:
+
Az elektronállapotok betöltöttsége és így a vezetési elektronok $n$ számának a kvantitatív számítása az $f^{FD}$ ''Fermi–Dirac-féle eloszlásfüggvény'' segítségével történik. Ehhez ismerni kell még az állapotoknak az energiaszintek szerinti ${\cal N}(E)$ eloszlását is. Ezt ''állapotsűrűségnek'' hívják. Ezzel írható, hogy:
  
 
$$ n(E) = {\cal N}(E) f^{FD} (E,T). $$
 
$$ n(E) = {\cal N}(E) f^{FD} (E,T). $$
669. sor: 485. sor:
 
Az Elektronika c. tantárgyban ez az összefüggés számtalanszor fog szerepelni.
 
Az Elektronika c. tantárgyban ez az összefüggés számtalanszor fog szerepelni.
  
−
Az $f^{FD}(E,T)$ Fermi-Dirac-féle eloszlásfüggvény jellegzetességeit az előző fejezetben  vázlatosan már megtárgyaltuk. A jelen estben történő alkalmazása így semmi gondot nem jelenthet.
+
Az $f^{FD}(E,T)$ Fermi–Dirac-féle eloszlásfüggvény jellegzetességeit az előző fejezetben  vázlatosan már megtárgyaltuk. A jelen estben történő alkalmazása így semmi gondot nem jelenthet.
  
−
Az elmondottaknak megfelelően az [[#abra342|előző ábrán]] a megbeszélt betöltési viszonyok Fermi-Dirac-függvény szerinti magyarázatát láthatjuk. Az állapotsűrűség és az $f^{FD}(E,T)$ eloszlásfüggvény pontos ismeretében a töltéshordozók számát elegendő pontossággal, numerikusan is meg tudjuk határozni.
+
Az elmondottaknak megfelelően az [[#abra342|előző ábrán]] a megbeszélt betöltési viszonyok Fermi–Dirac-függvény szerinti magyarázatát láthatjuk. Az állapotsűrűség és az $f^{FD}(E,T)$ eloszlásfüggvény pontos ismeretében a töltéshordozók számát elegendő pontossággal, numerikusan is meg tudjuk határozni.
  
 
[[File:Savszerkezet7.jpeg|közép|380px]]
 
[[File:Savszerkezet7.jpeg|közép|380px]]
683. sor: 499. sor:
 
=== Adalékolt félvezetők ===
 
=== Adalékolt félvezetők ===
  
−
Eddig az ún. szerkezeti félvezetővel foglalkoztunk. Ez egy homogén félvezető egykristályt jelentett. $T = 0$ Kelvin fokos hőmérsékleten a félvezetőben csak olyan elektron van, amelynek az állapota a vegyérték sáv valamelyik energiaszintjéhez tarozik és nincsen olyan vegyérték sávhoz tartozó állapot, amelyet elektron ne venne fel. Ugyanakkor olyan elektron nincsen a rendszerben, amelynek energiája a vezetési sáv valamelyik energiaszintjével egyezne meg.
+
Eddig ''szerkezeti félvezetőkkel'' foglalkoztunk. Ez egy homogén félvezető egykristályt jelentett. $T = 0$ Kelvin fokos hőmérsékleten a félvezetőben csak olyan elektron van, amelynek az állapota a vegyérték sáv valamelyik energiaszintjéhez tarozik és nincsen olyan vegyérték sávhoz tartozó állapot, amelyet elektron ne venne fel. Ugyanakkor olyan elektron nincsen a rendszerben, amelynek energiája a vezetési sáv valamelyik energiaszintjével egyezne meg.
  
−
Mint azt már az előzőekben megbeszéltük, ez a mondat precíz ugyan, de túl körülményes és hosszú. Ezért kialakult egy „szóhasználat” (egy „szakzsargon”) amelyet mondani szoktunk. Így az előbbi állítás röviden így hangzik: <i>a vegyérték sáv állapotai mind be vannak töltve és a vezetési sáv minden állapota üres</i>. Vagy még rövidebben: <i>s vegyérték sáv teljesen tele van és a vezetési sáv üres</i>. A továbbiakban ez utóbbi szóhasználattal fogunk élni.
+
Mint azt már az előzőekben megbeszéltük, ez a mondat precíz ugyan, de túl körülményes és hosszú. Ezért kialakult egy „szóhasználat” (egy „szakzsargon”) amelyet mondani szoktunk. Így az előbbi állítás röviden így hangzik: ''a vegyérték sáv állapotai mind be vannak töltve és a vezetési sáv minden állapota üres''. Vagy még rövidebben: ''a vegyérték sáv teljesen tele van és a vezetési sáv üres''. A továbbiakban ez utóbbi szóhasználattal fogunk élni.
  
 
Ha az alapállapotban lévő ($T = 0 \, {\rm K}$) rendszerhez hozzáadnánk egy elektront, akkor az csak a vezetési sávba kerülhetne, hiszen a vegyérték sávban már nincsen több hely (hiszen az alapállapotban teljesen tele van).
 
Ha az alapállapotban lévő ($T = 0 \, {\rm K}$) rendszerhez hozzáadnánk egy elektront, akkor az csak a vezetési sávba kerülhetne, hiszen a vegyérték sávban már nincsen több hely (hiszen az alapállapotban teljesen tele van).
  
−
A vezetési elektronok számát azonban a gyakorlatban ilyen módon megnövelni nem tudjuk, mert így a félvezető kristály eredő elektromos töltése megváltozna. A kristály feltöltődne, ami makroszkopikus szinten is éreztetné nem kívánatos hatásait. Az ötlet azonban nem elvetendő és egy egyszerű „trükkel” megvalósítható. Eszerint az elektronnal együtt adjunk egy protont is a rendszerhez! Ezt legegyszerűbben úgy érhetjük el, hogy egy szilícium (${\rm Si}$) atomot pl. egy foszfor (${\rm P}$) atomra cserélünk ki. Ezt nevezzük <i>adalékolásnak</i> (néha <i>szennyezésnek</i>).
+
A vezetési elektronok számát azonban a gyakorlatban ilyen módon megnövelni nem tudjuk, mert így a félvezető kristály eredő elektromos töltése megváltozna. A kristály feltöltődne, ami makroszkopikus szinten is éreztetné nem kívánatos hatásait. Az ötlet azonban nem elvetendő és egy egyszerű „trükkel” megvalósítható. Eszerint az elektronnal együtt adjunk egy protont is a rendszerhez! Ezt legegyszerűbben úgy érhetjük el, hogy egy szilícium (${\rm Si}$) atomot pl. egy foszfor (${\rm P}$) atomra cserélünk ki. Ezt nevezzük ''adalékolásnak'' (néha ''szennyezésnek'').
  
 
Hasonlítsuk össze a két atom elektronszerkezetét!
 
Hasonlítsuk össze a két atom elektronszerkezetét!
696. sor: 512. sor:
 
$$ {\rm P}(15): (1s)^2 (2s)^2 (2p)^6 | (3s)^2 (3p)^3 $$
 
$$ {\rm P}(15): (1s)^2 (2s)^2 (2p)^6 | (3s)^2 (3p)^3 $$
  
−
A kétféle atom elektronszerkezetéből látszik, hogy az iontörzsük felépítése teljesen azonos, nevezetesen $(1s)^2 (2s)^2 (2p)^6$.
+
A kétféle atom elektronszerkezetéből látszik, hogy az iontörzsük felépítése teljesen azonos, nevezetesen $(1s)^2 (2s)^2 (2p)^6$. A vegyérték elektronok állapotai is egyformák, csak számuk különböző (4 és 5). Joggal feltételezhetjük (ismerve a protonok és az atomok egymáshoz viszonyított méretét), hogy a kétféle iontörzs mérete gyakorlatilag megegyezik. Tehát ez az „atomcsere” elhanyagolható rácsdeformációt fog okozni.
  
−
A vegyérték elektronok állapotai is egyformák, csak számuk különböző (4 és 5). Joggal feltételezhetjük (ismerve a protonok és az atomok egymáshoz viszonyított méretét), hogy a kétféle iontörzs mérete gyakorlatilag megegyezik. Tehát ez az „atomcsere” elhanyagolható rácsdeformációt fog okozni.
+
Mivel ezáltal a kristályba egy többlet elektron került, a foszfor atomokat ''donor atomoknak'' nevezzük. A többletelektron neve a ''donor elektron''. (''Donor'' = valamit adó.)
−
 
+
−
Mivel ezáltal a kristályba egy többlet elektron került, a foszfor atomokat <i>donor atomoknak</i> nevezzük. A többlet elektron neve a <i>donor elektron</i>. (<i>Donor</i> = valamit adó.)
+
  
 
A foszfor atom környezetében azonban a fizikai viszonyok megváltoznak. Ennek oka az, hogy a foszfor iontörzs a környezetéhez képest egy protonnyi (pozitív) töltéstöbblettel rendelkezik. Ez az első pillanatra bonyolultnak tűnő rendszer egy egyszerű „hidrogénszerű modellel” közelítőleg egészen jól leírható.
 
A foszfor atom környezetében azonban a fizikai viszonyok megváltoznak. Ennek oka az, hogy a foszfor iontörzs a környezetéhez képest egy protonnyi (pozitív) töltéstöbblettel rendelkezik. Ez az első pillanatra bonyolultnak tűnő rendszer egy egyszerű „hidrogénszerű modellel” közelítőleg egészen jól leírható.
  
−
Tekintsük, ugyanis a szilícium kristályt folytonos (kontinuum) közegnek. Ekkor a foszfor atom helyén egy pontszerű pozitív (többlet)töltés fog megjelenni. A foszfor atom ötödik (többlet) vegyérték (donor) elektronja pedig ennek a terében kötött állapotba fog kerülni. Ha a donor elektron energiája elegendően nagy, akkor az „leszakadva” a pozitív ponttöltéstől, attól nagyon „eltávolodik”. Ha az elektron olyan messze került a pozitív töltéstől, hogy annak hatása már elhanyagolható, akkor ő már csak a tiszta szilícium kristályt érzékeli maga körül. Az elektron ekkor a szilícium kristályban immáron „szabadon” fog mozogni és így részt vesz a kristály elektromos vezetésében. De mint tudjuk ebben az esetben az energiájának a szilícium kristály vezetési sávjába kell esnie.
+
Tekintsük ugyanis a szilícium kristályt folytonos (kontinuum) közegnek. Ekkor a foszfor atom helyén egy pontszerű pozitív (többlet)töltés fog megjelenni. A foszfor atom ötödik (többlet) vegyérték (donor) elektronja pedig ennek a terében kötött állapotba fog kerülni. Ha a donor elektron energiája elegendően nagy, akkor az „leszakadva” a pozitív ponttöltéstől, attól nagyon „eltávolodik”. Ha az elektron olyan messze került a pozitív töltéstől, hogy annak hatása már elhanyagolható, akkor ő már csak a tiszta szilícium kristályt érzékeli maga körül. Az elektron ekkor a szilícium kristályban immáron „szabadon” fog mozogni és így részt vesz a kristály elektromos vezetésében. De mint tudjuk ebben az esetben az energiájának a szilícium kristály vezetési sávjába kell esnie.
  
 
Mindebből következik, hogy a foszfor atom jelenléte a szilícium kristályban úgy modellezhető, mint egy (folytonos) szilícium közegben lévő hidrogén atom, amelynek ionizációs energiaszintje (a vákuum szint helyett) a szilícium kristály vezetési sávjának az alja.
 
Mindebből következik, hogy a foszfor atom jelenléte a szilícium kristályban úgy modellezhető, mint egy (folytonos) szilícium közegben lévő hidrogén atom, amelynek ionizációs energiaszintje (a vákuum szint helyett) a szilícium kristály vezetési sávjának az alja.
710. sor: 524. sor:
 
Nyilvánvalóan, ennek a hidrogén atomnak az elektronja is érzékeli azt, hogy ő egy szilícium kristályba van „beágyazva”. Például úgy, hogy az elektromos töltése polarizálja a környezetében lévő kristályt, amit a szilícium dielektromos állandóján keresztül lehet figyelembe venni.  Mindez azt jelenti, hogy a foszfor atom körül kialakuló kötött állapotok energiaszintjeit úgy kell meghatározni, hogy a hidrogén atom energiaszintjeit megadó összefüggésbe a vákuum $\varepsilon_0$ dielektromos állandója helyett a szilícium $\varepsilon_0\varepsilon_r$ dielektromos állandóját írjuk.
 
Nyilvánvalóan, ennek a hidrogén atomnak az elektronja is érzékeli azt, hogy ő egy szilícium kristályba van „beágyazva”. Például úgy, hogy az elektromos töltése polarizálja a környezetében lévő kristályt, amit a szilícium dielektromos állandóján keresztül lehet figyelembe venni.  Mindez azt jelenti, hogy a foszfor atom körül kialakuló kötött állapotok energiaszintjeit úgy kell meghatározni, hogy a hidrogén atom energiaszintjeit megadó összefüggésbe a vákuum $\varepsilon_0$ dielektromos állandója helyett a szilícium $\varepsilon_0\varepsilon_r$ dielektromos állandóját írjuk.
  
−
<small><b>Megjegyzés</b>. A részletesebb modell szerint a kristályrács jelenléte egy összetett kvantummechanikai kölcsönhatás révén is megnyilvánul. Ezt az elektron „tömegének” a módosításával tudunk figyelembe venni (ezt nevezzük „effektív tömeg közelítésnek”). A részleteket azonban csak az MSc kurzuson fogjuk tárgyalni.</small>
+
<small><b>Megjegyzés</b>. A részletesebb modell szerint a kristályrács jelenléte egy összetett kvantummechanikai kölcsönhatás révén is megnyilvánul. Ezt az elektron „tömegének” a módosításával tudunk figyelembe venni (ezt nevezzük ''effektív tömeg közelítésnek''). A részleteket azonban csak az MSc kurzuson fogjuk tárgyalni.</small>
  
−
Tanultuk, hogy a hidrogén atom kötött elektronjának a lehetséges energiaszintjeit a következő formula adja meg (TK:1051.oldal) és (TK:1078.oldal):
+
Tanultuk, hogy a hidrogén atom kötött elektronjának a lehetséges energiaszintjeit a következő formula adja meg (TK: 1051. és 1078. oldal):
  
 
$$ E_n = -\frac{m{\rm e}^4}{8h^2\varepsilon_0^2} \frac{1}{n^2} = -\frac{13,6 \, {\rm eV}}{n^2}, \quad \text{ahol} \quad n = 1,2,3,... . $$
 
$$ E_n = -\frac{m{\rm e}^4}{8h^2\varepsilon_0^2} \frac{1}{n^2} = -\frac{13,6 \, {\rm eV}}{n^2}, \quad \text{ahol} \quad n = 1,2,3,... . $$
722. sor: 536. sor:
 
kifejezés adja meg. Mivel szilícium esetén $\varepsilon_r \approx 12$, így az ionizációs energiára
 
kifejezés adja meg. Mivel szilícium esetén $\varepsilon_r \approx 12$, így az ionizációs energiára
  
−
$$ \frac{13,6}{12^2} \, {\rm eV} = 0,09 \, {\rm eV} \, \text{érték adódik.} $$
+
$$ \frac{13,6}{12^2} \, {\rm eV} = 0,09 \, {\rm eV} $$
  
−
<small><b>Megjegyzés</b>. A valódi érték ennek a fele, azaz $0.045 \, {\rm eV}$ (Lásd 3.5./1. ábra). A különbség abból adódik, hogy a ${\rm Si}$ háttér valójában nem folytonos közeg. A kristályrács kvantummechanikai hatását is figyelembe kell venni. Erre szolgál az <i>effektív tömeg</i> fogalma. Ez hozza be e hiányzó %0.5%-ös faktort. A részleteket az MSc szinten tárgyaljuk majd.</small>
+
érték adódik.
 +
 
 +
<small><b>Megjegyzés</b>. A valódi érték ennek a fele, azaz $0.045 \, {\rm eV}$. A különbség abból adódik, hogy a ${\rm Si}$ háttér valójában nem folytonos közeg. A kristályrács kvantummechanikai hatását is figyelembe kell venni. Erre szolgál az ''effektív tömeg'' fogalma. Ez hozza be e hiányzó $0.5$-ös faktort. A részleteket az MSc szinten tárgyaljuk majd.</small>
  
 
Mivel a szilícium esetén a tiltott sáv szélessége $1,1 \, {\rm eV}$, így valójában azt kaptuk, hogy a kötött állapotok energiaszintjei a vezetési sáv alja alatt, ahhoz nagyon közel, a tiltott sávban helyezkednek el.
 
Mivel a szilícium esetén a tiltott sáv szélessége $1,1 \, {\rm eV}$, így valójában azt kaptuk, hogy a kötött állapotok energiaszintjei a vezetési sáv alja alatt, ahhoz nagyon közel, a tiltott sávban helyezkednek el.
730. sor: 546. sor:
 
[[File:Szilicium12.jpg|közép|550px]]
 
[[File:Szilicium12.jpg|közép|550px]]
  
−
Alapállapotban (0 Kelvin hőmérsékleten) tehát az adalékolt félvezetők elektronszerkezete úgy néz ki, hogy a vegyérték sáv teljesen tele van, a vezetési sáv teljesen üres és a (donor) elektronok a foszfor atomok környezetében kötött állapotban vannak. Már nagyon kis hőmérséklet emelkedésre a kötött állapotban lévő donor elektronok leszakadnak a donor atomokról és felkerülnek a vezetési sávba. Sikerült tehát megnövelni a vezetésben résztvevő elektronok („n” típusú, negatív töltéshordozók) számát. Ezért ezt a félvezetőt <i>n-típusú félvezetőnek</i> szoktuk hívni.
+
Alapállapotban (0 Kelvin hőmérsékleten) tehát az adalékolt félvezetők elektronszerkezete úgy néz ki, hogy a vegyérték sáv teljesen tele van, a vezetési sáv teljesen üres és a (donor) elektronok a foszfor atomok környezetében kötött állapotban vannak. Már nagyon kis hőmérsékletemelkedésre a kötött állapotban lévő donor elektronok leszakadnak a donor atomokról és felkerülnek a vezetési sávba. Sikerült tehát megnövelni a vezetésben résztvevő elektronok („n” típusú, negatív töltéshordozók) számát. Ezért ezt a félvezetőt ''n-típusú félvezetőnek'' szoktuk hívni.
  
−
Számoljuk ki a donor atomot modellező hidrogén atom „méretét”. Az ezt jellemző adat lehet az első Bohr sugár. Mint azt láttuk, vákuumban lévő hidrogén atom esetében ez (TK:1050.oldal)
+
Számoljuk ki a donor atomot modellező hidrogén atom „méretét”. Az ezt jellemző adat lehet az első Bohr-sugár. Mint azt láttuk, vákuumban lévő hidrogén atom esetében ez (TK: 1050. oldal)
  
 
$$ r_n = a_0 n^2, \quad \text{ahol} \quad a_0 = \frac{h^2}{\pi n {\rm e}^2} \varepsilon_0 = 0,0529 \, {\rm nm}. $$
 
$$ r_n = a_0 n^2, \quad \text{ahol} \quad a_0 = \frac{h^2}{\pi n {\rm e}^2} \varepsilon_0 = 0,0529 \, {\rm nm}. $$
  
−
Ha most a megbeszéltek szerint a dielektromos állandó helyére $\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r$-t írunk, akkor azt kapjuk eredményül, hogy a „modell hidrogén” atomunk sugara kb. 12-ször akkora, mint egy szabad hidrogén atomé. Tételezzük fel, hogy a kristályrácsban az atomok távolsága a szabad hidrogén atom sugarának kb. 3-4 szerese. Ebből az következik, hogy a szilícium kristályban lévő hidrogénszerű atom kb. 60 db kristályatomot foglal magába. Ez a modell kiindulásául szolgáló „folytonos anyag” feltételezésével nagyjában összhangban van.
+
Ha most a megbeszéltek szerint a dielektromos állandó helyére $\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r$-t írunk, akkor azt kapjuk eredményül, hogy a „modell hidrogén” atomunk sugara kb. 12-szer akkora, mint egy szabad hidrogén atomé. Tételezzük fel, hogy a kristályrácsban az atomok távolsága a szabad hidrogén atom sugarának kb. 3–4-szerese. Ebből az következik, hogy a szilícium kristályban lévő hidrogénszerű atom kb. 60 db. kristályatomot foglal magába. Ez a modell kiindulásául szolgáló „folytonos anyag” feltételezésével nagyjában összhangban van.
  
 
Teljesen hasonló a helyzet akkor, ha egy szilícium atomot pl. egy alumínium (${\rm Al}$) atomra cserélünk ki.
 
Teljesen hasonló a helyzet akkor, ha egy szilícium atomot pl. egy alumínium (${\rm Al}$) atomra cserélünk ki.
742. sor: 558. sor:
 
$$ {\rm Al}(13): \quad (1s)^2 (2s)^2 (2p)^6 | (3s)^2 (3p)^1. $$
 
$$ {\rm Al}(13): \quad (1s)^2 (2s)^2 (2p)^6 | (3s)^2 (3p)^1. $$
  
−
Most a rendszerből elvettünk egy elektront és egy protont is. Ezért az alumínium atomot <i>akceptor atomnak</i>, a kristályt <i>akceptor félvezetőnek</i> nevezzük. (<i>Akceptor</i> = valamit elfogadó, itt elvevő.) Az egy elektron elvétele azt jelenti, hogy a vegyérték sávban egy üres hely jelenik meg. Megmutatható (MSc kurzus) hogy a vegyérték sáv elektronjainak együttes viselkedése (az elektron hiány miatt) egyetlen, pozitív töltésű részecskeként írható le. Ennek a „fiktív részecskének” a neve <i>lyuk</i>.
+
Most a rendszerből elvettünk egy elektront és egy protont is. Ezért az alumínium atomot ''akceptor atomnak'', a kristályt ''akceptor félvezetőnek'' nevezzük. (''Akceptor'' = valamit elfogadó, itt elvevő.) Az egy elektron elvétele azt jelenti, hogy a vegyérték sávban egy üres hely jelenik meg. Megmutatható (MSc kurzus) hogy a vegyérték sáv elektronjainak együttes viselkedése (az elektron hiány miatt) egyetlen, pozitív töltésű részecskeként írható le. Ennek a „fiktív részecskének” a neve ''lyuk''. Ez a pozitív lyuk lép kölcsönhatásba a hiányzó protont modellező negatív ponttöltéssel.
−
 
+
−
Ez a pozitív lyuk lép kölcsönhatásba a hiányzó protont modellező negatív ponttöltéssel.
+
  
 
[[File:Szilicium3.jpg|közép|250px]]
 
[[File:Szilicium3.jpg|közép|250px]]
  
−
Akceptor atom adalékolása esetén a kötött állapotok számítása pontosan úgy történik mint a donor adalékolás esetén volt. A „negatív töltésű mag” terében a pozitív lyuk kötött állapotba kerül, amelynek az energiaszintjei a tiltott sávban lévő, „vegyértéksáv feletti” energiaszintekként jelennek meg.
+
Akceptor atom adalékolása esetén a kötött állapotok számítása pontosan úgy történik, mint a donor adalékolás esetén volt. A „negatív töltésű mag” terében a pozitív lyuk kötött állapotba kerül, amelynek az energiaszintjei a tiltott sávban lévő, „vegyérték sáv feletti” energiaszintekként jelennek meg.
  
 
[[File:Szilicium45.jpg|közép|600px]]
 
[[File:Szilicium45.jpg|közép|600px]]
  
−
Az elektronok eloszlása vegyérték sávban fizikailag  ekvivalens a „lyukak” eloszlásával a „lyuk sávban”. Azért, hogy ne kellejen külön mindig egy „lyuk sávot” is felrajzolni (ez egy „kényelmi szempont”!) a „lyukak” energia szerinti eloszlásának a szemléltetésére továbbra is az elektronok vegyérték sávját fogjuk használni. Azaz a vegyérték sáv be nem töltött állapotait fogjuk a „lyukakkal” azonosítani.
+
Az elektronok eloszlása a vegyérték sávban fizikailag  ekvivalens a lyukak eloszlásával a ''lyuk sávban''. Azért, hogy ne kellejen külön mindig egy „lyuk sávot” is felrajzolni (ez egy „kényelmi szempont”) a lyukak energia szerinti eloszlásának a szemléltetésére továbbra is az elektronok vegyérték sávját fogjuk használni. Azaz a vegyérték sáv be nem töltött állapotait fogjuk a lyukakkal azonosítani.
  
−
Tehát pl. alapállapotban (amikor a vegyérték sáv minden állapota be van töltve elektronnal) azt mondjuk, hogy „a vegyérték sávban nincsen egy lyuk sem”. Azaz a lyukmodell alapján a lyuk szempontjából nézve a vegyértéksáv teljesen „üres”. A lyukak a negatív töltésű rögzített „mag” körül kötött állapotban vannak. Azaz a „lyukak betöltik az akceptor nívókat”.
+
Tehát pl. alapállapotban (amikor a vegyérték sáv minden állapota be van töltve elektronnal) azt mondjuk, hogy „a vegyérték sávban nincsen egy lyuk sem”. Azaz a lyukmodell alapján a lyuk szempontjából nézve a vegyérték sáv teljesen „üres”. A lyukak a negatív töltésű rögzített „mag” körül kötött állapotban vannak. Azaz ''a lyukak betöltik az akceptor nívókat''.
  
−
A rendszer hőmérsékletének emelkedésével nő a rendszer energiája. A lyukak leszakadnak a „negatív magokról” és szabaddá válnak, azaz újabb szabad lyukak („p” típusú, pozitív töltéshordozók) jelennek meg amelyek részt vesznek félvezető elektromos vezetésében. Ezért ezt a félvezetőt <i>p-típusú félvezetőnek</i> szoktuk nevezni. Az elektronok nyelvén ez azt jelenti, hogy a vegyérték sávból elektronok „ugranak fel az akceptor nívóra” (ld. fenti ábra). Ennek megfelelően a vegyérték sávban üres állapotok keletkeznek. Ez a lyukmodellben azt jelenti, hogy a lyukak felkerültek a „lyuk sávba”, de ehelyett azt szoktuk mondani, hogy „lyukak jelentek meg a vegyérték sávban” (ld. fenti ábra). Tovább növelve a hőmérsékletet, a vegyértéksávot újabb elektronok hagyják el, azaz újabb lyukak jelennek meg és vesznek részt a vezetésben.
+
A rendszer hőmérsékletének emelkedésével nő a rendszer energiája. A lyukak leszakadnak a „negatív magokról” és szabaddá válnak, azaz újabb szabad lyukak („p” típusú, pozitív töltéshordozók) jelennek meg amelyek részt vesznek félvezető elektromos vezetésében. Ezért ezt a félvezetőt ''p-típusú félvezetőnek'' szoktuk nevezni. Az elektronok nyelvén ez azt jelenti, hogy a vegyérték sávból elektronok „ugranak fel az akceptor nívóra” (ld. fenti ábra). Ennek megfelelően a vegyérték sávban üres állapotok keletkeznek. Ez a lyukmodellben azt jelenti, hogy a lyukak felkerültek a „lyuk sávba”, de ehelyett azt szoktuk mondani, hogy „lyukak jelentek meg a vegyérték sávban” (ld. fenti ábra). Tovább növelve a hőmérsékletet, a vegyérték sávot újabb elektronok hagyják el, azaz újabb lyukak jelennek meg és vesznek részt a vezetésben.
  
−
A lyukak és az elektronok számát (többek között) a Fermi-Dirac eloszlásfüggvény segítségével tudjuk numerikusan is meghatározni. További praktikus, számítás-technikai részletekkel a szakmai tantárgyaknál illetve az MSc Fizika kurzusban találkozhatunk.
+
A lyukak és az elektronok számát (többek között) a Fermi–Dirac eloszlásfüggvény segítségével tudjuk numerikusan is meghatározni. További praktikus, számítás-technikai részletekkel a szakmai tantárgyaknál illetve az MSc Fizika kurzusban találkozhatunk.
  
 
Az alábbi két táblázatban a legfontosabb adalékolt félvezető adatokat mutatjuk be.
 
Az alábbi két táblázatban a legfontosabb adalékolt félvezető adatokat mutatjuk be.
  
−
Szilícium kristály esetén:
+
<b>Szilícium kristály esetén:</b>
  
 
[[File:Szilicium_felvezetok.jpg|közép|450px]]
 
[[File:Szilicium_felvezetok.jpg|közép|450px]]
  
−
Gallium-Arzenid kristály esetében pedig:
+
<b>Gallium-Arzenid kristály esetében pedig:</b>
  
 
[[File:Galliumarzenid_felvezetok.jpg|közép|450px]]
 
[[File:Galliumarzenid_felvezetok.jpg|közép|450px]]
  
−
A félvezető alapú elektronikai alkatrészekben lejátszódó jelenségek fizikai alapja az ún. <i>p-n átmenet</i>. Ez úgy állítható elő, hogy egy <i>p</i>-típusú és egy <i>n</i>-típusú félvezetőt szorosan „összeillesztünk”. A kialakult struktúra elektronszerkezete a következő gondolatmenettel érthető meg.
+
A félvezető alapú elektronikai alkatrészekben lejátszódó jelenségek fizikai alapja az ún. ''p-n átmenet''. Ez úgy állítható elő, hogy egy ''p''-típusú és egy ''n''-típusú félvezetőt szorosan „összeillesztünk”. A kialakult struktúra elektronszerkezete a következő gondolatmenettel érthető meg.
  
 
A szilárd testek energia-sávszerkezetének tárgyalásakor nem beszéltünk arról, hogy milyen fizikai viszonyok uralkodnak a félvezető szélénél. Mivel az elektronok „önmaguktól” nem lépnek ki a szilárd anyagból ezt úgy modellezhetjük, hogy az elektronok egy potenciálgödörben vannak. A potenciálgödör valójában az elektron potenciális energia függvényét jelenti. Ebben a „potenciálgödörben” lévő elektronok lehetséges energiaszintjei a tanult „sávokba” rendeződnek.  A potenciálgödör „teteje” a vákuum szintet jelenti.
 
A szilárd testek energia-sávszerkezetének tárgyalásakor nem beszéltünk arról, hogy milyen fizikai viszonyok uralkodnak a félvezető szélénél. Mivel az elektronok „önmaguktól” nem lépnek ki a szilárd anyagból ezt úgy modellezhetjük, hogy az elektronok egy potenciálgödörben vannak. A potenciálgödör valójában az elektron potenciális energia függvényét jelenti. Ebben a „potenciálgödörben” lévő elektronok lehetséges energiaszintjei a tanult „sávokba” rendeződnek.  A potenciálgödör „teteje” a vákuum szintet jelenti.
 
 
−
Ha a <i>p</i>-típusú és az <i>n</i>-típusú félvezető felület egymástól nagyon távol van, akkor szükségképpen a vákuumszintjük megegyezik.
+
Ha a ''p''-típusú és az ''n''-típusú félvezető felület egymástól nagyon távol van, akkor szükségképpen a vákuumszintjük megegyezik.
  
−
Ha két félvezető elegendően közel kerül egymáshoz, akkor a két felület egy potenciálgátat fog alkotni. A vákuumszintek egyenlősége miatt a vezetési sáv egy $E$ energiaszintjén a <i>p</i> oldalon sokkal kevesebb elektron van, mint az <i>n</i> oldalon. Így (mivel az elektronok egyforma valószínűséggel mennek „jobbra” vagy „balra”) elektronok lépnek át az <i>n</i>-típusú félvezetőből a <i>p</i>-típusúba.
+
Ha két félvezető elegendően közel kerül egymáshoz, akkor a két felület egy potenciálgátat fog alkotni. A vákuumszintek egyenlősége miatt a vezetési sáv egy $E$ energiaszintjén a ''p'' oldalon sokkal kevesebb elektron van, mint az ''n'' oldalon. Így (mivel az elektronok egyforma valószínűséggel mennek „jobbra” vagy „balra”) elektronok lépnek át az ''n''-típusú félvezetőből a ''p''-típusúba.
  
 
[[File:Pn_felvezeto1.jpg|közép|400px]]
 
[[File:Pn_felvezeto1.jpg|közép|400px]]
  
−
Ennek következtében az érintkező felület két oldala között töltésmegosztás keletkezik, amely potenciálkülönbséget hoz létre a két félvezető között és ez csökkenti az eredeti Fermi-szintek közötti különbséget.
+
Ennek következtében az érintkező felület két oldala között töltésmegosztás keletkezik, amely potenciálkülönbséget hoz létre a két félvezető között, és ez csökkenti az eredeti Fermi-szintek közötti különbséget.
  
−
Ez a töltésmegosztás addig folytatódik, ameddig a rendszer egyensúlyi állapotba nem jut, azaz két Fermi szint egyenlő nem lesz. Ugyanis egyetlen kvantummechanikai rendszerről lévén szó, csak egyetlen Fermi szint lehet. Mivel az átment elektronok $\Delta N$ száma sokkal kisebb mint a két félvezetőben lévő elektronok ($N_p$ és $N_n$) száma, ezért a Fermi-szintnek a saját energiasávjukhoz viszonyított helyzete gyakorlatilag nem változik meg. A (pozitív illetve a negatív) többlettöltések (a dielektrikumoknak megfelelően) a határoló felület környezetében oszlanak el. A kialakult térfogati töltéssűrűség alakítja ki az eredő elektromos teret és így az elektronok potenciális energia függvényét. A kialakult energiaviszonyokat az alábbi 3.5./6. ábrán szemléltettük. A szokásoknak megfelelően ezen egy $E(x)$ függvényt ábrázoltunk, ahol $x$ a <i>p-n</i> átmenetre merőleges irányt jelenti.
+
Ez a töltésmegosztás addig folytatódik, ameddig a rendszer egyensúlyi állapotba nem jut, azaz két Fermi szint egyenlő nem lesz. Ugyanis egyetlen kvantummechanikai rendszerről lévén szó, csak egyetlen Fermi szint lehet. Mivel az átment elektronok $\Delta N$ száma sokkal kisebb mint a két félvezetőben lévő elektronok ($N_p$ és $N_n$) száma, ezért a Fermi-szintnek a saját energiasávjukhoz viszonyított helyzete gyakorlatilag nem változik meg. A (pozitív, illetve a negatív) többlettöltések (a dielektrikumoknak megfelelően) a határoló felület környezetében oszlanak el. A kialakult térfogati töltéssűrűség alakítja ki az eredő elektromos teret és így az elektronok potenciális energia függvényét. A kialakult energiaviszonyokat az alábbi ábrán szemléltettük. A szokásoknak megfelelően ezen egy $E(x)$ függvényt ábrázoltunk, ahol $x$ a ''p-n'' átmenetre merőleges irányt jelenti.
 
 
−
<small><b>Megjegyzés</b>. Általában az $x$-et nem szokták kiírni, ezért mi sem tesszük. Az $E(x)$ közelítő kiszámítására az Elektronika-c. tantárgy kereteiben kerül sor.</small>
+
<small><b>Megjegyzés</b>. Általában az $x$-et nem szokták kiírni, ezért mi sem tesszük. Az $E(x)$ közelítő kiszámítására az Elektronika tantárgy kereteiben kerül sor.</small>
  
 
[[File:Pn_felvezeto2.jpg|közép|550px]]
 
[[File:Pn_felvezeto2.jpg|közép|550px]]
  
−
Az elektronok energia szerinti eloszlását a Fermi-Dirac eloszlásfüggvény határozza meg.
+
Az elektronok energia szerinti eloszlását a Fermi–Dirac eloszlásfüggvény határozza meg.
  
 
Ha beállt a termikus egyensúly, akkor már nincsen töltésáramlás. Ennek az az oka, hogy az adott energiájú elektronok sűrűsége „mindkét oldalon” ugyanakkora. Ezt az ábrán úgy szimbolizáljuk, hogy egy adott energiaszintre mindkét oldalon ugyanannyi elektront és lyukat rajzoltunk.
 
Ha beállt a termikus egyensúly, akkor már nincsen töltésáramlás. Ennek az az oka, hogy az adott energiájú elektronok sűrűsége „mindkét oldalon” ugyanakkora. Ezt az ábrán úgy szimbolizáljuk, hogy egy adott energiaszintre mindkét oldalon ugyanannyi elektront és lyukat rajzoltunk.
  
−
Kapcsoljunk a <i>p</i> oldalra pozitív és az <i>n</i> oldalra negatív feszültséget. Ekkor a <i>p-n</i> ,átmenetben egy olyan („külsőnek” nevezett) ${\bf E}$ elektromos tér alakul ki, amely a <i>p</i>-től az <i>n</i> irányába mutat! Így az elektronok vezetési sávbeli energiaszintjei az <i>n</i> oldalon a magasabb energiák irányába tolódnak el. Ezáltal az <i>n</i> oldali betöltött energiaszintek a <i>p</i> oldali csak kevéssé betöltött (mondhatni üres) energiaszintekkel kerülnek azonos nívóra. Ezáltal az <i>n</i> oldali „többségi” töltéshordozók (ezek most az elektronok) átmennek a <i>p</i> oldalra. Így egy erős $I$ (diffúziós) áram indul meg. Ez folyamatosan fennmarad, hiszen az áramkörből állandóan pótlódnak a töltések. Ezt a jelenséget <i>nyitásnak</i> nevezzük. Az ábráról az is leolvasható, hogy ugyanez az effektus igaz a vegyértéksávban lévő pozitív töltéshordozókra azaz a lyukakra is. Ugyanis a „nyitó irányú” tér hatására a <i>p</i> oldalon többségben lévő lyukak átáramlanak az <i>n</i> oldalra, ezzel is növelve a nyitó áram nagyságát. A teljes áram tehát a (többségi töltéshordozókból) elektronokból és lyukakból fog állni. A <i>p-n</i> átmenetre kapcsolt $U$ feszültséget <i>nyitó feszültségnek</i>, a folyó áramot <i>nyitó irányú áramnak</i> hívjuk. Mindezt az alábbi, 3.5./7. ábrán szemléltettük.
+
Kapcsoljunk a ''p'' oldalra pozitív és az ''n'' oldalra negatív feszültséget. Ekkor a ''p-n'' ,átmenetben egy olyan („külsőnek” nevezett) ${\bf E}$ elektromos tér alakul ki, amely a ''p''-től az ''n'' irányába mutat! Így az elektronok vezetési sávbeli energiaszintjei az ''n'' oldalon a magasabb energiák irányába tolódnak el. Ezáltal az ''n'' oldali betöltött energiaszintek a ''p'' oldali csak kevéssé betöltött (mondhatni üres) energiaszintekkel kerülnek azonos nívóra. Ezáltal az ''n'' oldali „többségi” töltéshordozók (ezek most az elektronok) átmennek a ''p'' oldalra. Így egy erős $I$ (diffúziós) áram indul meg. Ez folyamatosan fennmarad, hiszen az áramkörből állandóan pótlódnak a töltések. Ezt a jelenséget ''nyitásnak'' nevezzük. Az ábráról az is leolvasható, hogy ugyanez az effektus igaz a vegyérték sávban lévő pozitív töltéshordozókra azaz a lyukakra is. Ugyanis a „nyitó irányú” tér hatására a ''p'' oldalon többségben lévő lyukak átáramlanak az ''n'' oldalra, ezzel is növelve a nyitó áram nagyságát. A teljes áram tehát a (többségi töltéshordozókból) elektronokból és lyukakból fog állni. A ''p-n'' átmenetre kapcsolt $U$ feszültséget ''nyitó feszültségnek'', a folyó áramot ''nyitó irányú áramnak'' hívjuk. Mindezt az alábbi ábrán szemléltettük.
  
 
[[File:Pn_felvezeto3.jpg|közép|300px]]
 
[[File:Pn_felvezeto3.jpg|közép|300px]]
  
−
Ha most az <i>n</i> oldalra kapcsoljuk a pozitív és a <i>p</i> oldalra a negatív feszültséget, akkor (az ellenkező irányú ${\bf E}$ elektromos tér hatására) az <i>n</i> oldalon lévő elektronok energiája lecsökken. Ezáltal az <i>p</i> oldali kevéssé betöltött energiaszintek az <i>n</i> oldali (gyakorlatilag) üres energiaszintekkel kerülnek azonos nívóra. Ezáltal a <i>p</i> oldali „kisebbségi” töltéshordozók (ezek most is az elektronok) átmennek az <i>n</i> oldalra. Azaz egy igen kicsi $I$ áram lép csak fel. Ez szintén folyamatosan fennmarad. Ezt a jelenséget <i>zárásnak</i> nevezzük. A <i>p-n</i> átmenetre kapcsolt ilyen irányú $U$ feszültséget <i>záró feszültségnek</i>, a folyó kicsi áramot pedig <i>záró irányú áramnak</i> hívjuk. Hasonlóan magyarázható a vegyérték sávban lévő kisebbségi lyukak áramlása is.
+
Ha most az ''n'' oldalra kapcsoljuk a pozitív és a ''p'' oldalra a negatív feszültséget, akkor (az ellenkező irányú ${\bf E}$ elektromos tér hatására) az ''n'' oldalon lévő elektronok energiája lecsökken. Ezáltal az ''p'' oldali kevéssé betöltött energiaszintek az ''n'' oldali (gyakorlatilag) üres energiaszintekkel kerülnek azonos nívóra. Ezáltal a ''p'' oldali „kisebbségi” töltéshordozók (ezek most is az elektronok) átmennek az ''n'' oldalra. Azaz egy igen kicsi $I$ áram lép csak fel. Ez szintén folyamatosan fennmarad. Ezt a jelenséget ''zárásnak'' nevezzük. A ''p-n'' átmenetre kapcsolt ilyen irányú $U$ feszültséget ''záró feszültségnek'', a folyó kicsi áramot pedig ''záró irányú áramnak'' hívjuk. Hasonlóan magyarázható a vegyérték sávban lévő kisebbségi lyukak áramlása is.
  
 
[[File:Pn_felvezeto4.jpg|közép|300px]]
 
[[File:Pn_felvezeto4.jpg|közép|300px]]
  
−
A tárgyalt <i>p-n</i> átmenet az ún. <i>félvezető dióda</i>.
+
A tárgyalt ''p-n'' átmenet az ún. [http://en.wikipedia.org/wiki/Diode ''félvezető dióda''].
  
−
A jellegzetes $I(U)$ dióda (karakterisztika) függvény matematikai formában történő meghatározására szintén az Elektronika-c. tantárgy bevezető fejezeteiben kerül majd sor. Az elmondottak alapján kialakuló dióda karakterisztikát az alábbi ábra szemlélteti.
+
A jellegzetes $I(U)$ dióda (karakterisztika) függvény matematikai formában történő meghatározására szintén az Elektronika tantárgy bevezető fejezeteiben kerül majd sor. Az elmondottak alapján kialakuló dióda karakterisztikát az alábbi ábra szemlélteti.
  
 
[[File:Dioda_karakterisztika.jpg|közép|250px]]
 
[[File:Dioda_karakterisztika.jpg|közép|250px]]
810. sor: 624. sor:
 
[[File:Zener_effektus.jpg|közép|300px]]
 
[[File:Zener_effektus.jpg|közép|300px]]
  
−
Elegendően nagy feszültség esetén ugyanis a <i>p</i> oldal vegyérték sávja az <i>n</i> oldal vezetési sávjával energetikailag azonos szintre kerül. Így az igen sok elektront tartalmazó <i>p</i> oldali vegyérték sávot, az igen kevés elektront tartalmazó <i>n</i> oldali vezetési sávtól csak egy keskeny potenciálgát választja el. Nyilvánvaló, hogy ez a „meredeken megdőlt” tiltott sáv annál keskenyebb, minél nagyobb a záró irányú feszültség. Ez a tiltott sáv az elektron számára „ugyanolyan” tartományt jelent, mintha egy „klasszikusan tiltott tartomány” volna. Azaz egy potenciálgátként funkcionál. Ezen a gáton az elektronok alagút effektussal átjuthatnak. Így (mivel igen sok elektronunk van ezeken az energiaszinteken) egy igen erős ún. „letörési áram” indul el. Ezt a jelenséget felfedezőjéről <i>Zener-effektusnak</i> nevezik.
+
Elegendően nagy feszültség esetén ugyanis a ''p'' oldal vegyérték sávja az ''n'' oldal vezetési sávjával energetikailag azonos szintre kerül. Így az igen sok elektront tartalmazó ''p'' oldali vegyérték sávot az igen kevés elektront tartalmazó ''n'' oldali vezetési sávtól csak egy keskeny potenciálgát választja el. Nyilvánvaló, hogy ez a „meredeken megdőlt” tiltott sáv annál keskenyebb, minél nagyobb a záró irányú feszültség. Ez a tiltott sáv az elektron számára „ugyanolyan” tartományt jelent, mintha egy „klasszikusan tiltott tartomány” volna. Azaz egy potenciálgátként funkcionál. Ezen a gáton az elektronok alagút effektussal átjuthatnak. Így (mivel igen sok elektronunk van ezeken az energiaszinteken) egy igen erős, ún. ''letörési áram'' indul el. Ezt a jelenséget felfedezőjéről ''Zener-effektusnak'' nevezik.
  
 
Az alábbi ábrán bemutatunk egy valódi mért Zener $I-U$ karakterisztikát is a nagyságrendi adatok érzékeltetése végett.
 
Az alábbi ábrán bemutatunk egy valódi mért Zener $I-U$ karakterisztikát is a nagyságrendi adatok érzékeltetése végett.
816. sor: 630. sor:
 
[[File:Zener_karakterisztika.jpg|közép|600px]]
 
[[File:Zener_karakterisztika.jpg|közép|600px]]
  
−
== Az „erősen adalékolt” félvezetők és technikai alkalmazásai ==
+
== Az erősen adalékolt félvezetők és technikai alkalmazásai ==
  
 
=== Az alagút dióda ===
 
=== Az alagút dióda ===
  
−
C. Zener 1934-ben ajánlotta először egy olyan effektus kísérleti létrehozását, amelyben igen erős (belső) elektromos tér hatására az elektronok a vegyérték sávból a tiltott sávon keresztül a vezetési sávba jutnak. Ő volt az első, aki kiszámította ennek az „átugrásnak” a valószínűségét.
+
[http://en.wikipedia.org/wiki/Clarence_Zener Clarence Zener]s 1934-ben ajánlotta először egy olyan effektus kísérleti létrehozását, amelyben igen erős (belső) elektromos tér hatására az elektronok a vegyérték sávból a tiltott sávon keresztül a vezetési sávba jutnak. Ő volt az első, aki kiszámította ennek az „átugrásnak” a valószínűségét.
  
−
Az effektus kísérleti megvalósítása kb. 30 évet váratott magára. 1957-ben L. Esaki kísérleti úton igazolta Zener elméleti jóslatát. Kísérleteit a Sony Co. laboratóriumában, Galliummal és Arzénnel erősen adagolt Germániummal végezte. Az eredményei alapján fejlesztette ki a róla elnevezett „tunnel diodát”.
+
Az effektus kísérleti megvalósítása kb. 30 évet váratott magára. 1957-ben Leo Esaki kísérleti úton igazolta Zener elméleti jóslatát. Kísérleteit a Sony Co. laboratóriumában, Galliummal és Arzénnel erősen adagolt Germániummal végezte. Az eredményei alapján fejlesztette ki a róla elnevezett [http://en.wikipedia.org/wiki/Tunnel_diode ''tunnel diodát'']s.
  
−
Munkássága elismeréseként 1973-ban elnyerte a fizikai Nobel- díjat. (Mindezt a Kvantummechanikai kiegészítő 1.5 fejezetében, az alagúteffektus kapcsán már elmondtuk)   
+
Munkássága elismeréseként 1973-ban elnyerte a fizikai Nobel-díjat. (Mindezt az [[Kvantummechanika#Az_alag.C3.BAteffektus_elm.C3.A9leti_h.C3.A1ttere_.28nem_k.C3.B6t.C3.B6tt_.C3.A1llapotok_t.C3.A1rgyal.C3.A1sa.29|alagúteffektus]] kapcsán már elmondtuk.)   
  
 
A következőkben erről az effektusról lesz szó. Mi történik, ha az adalékolás mértékét erősen megnöveljük?
 
A következőkben erről az effektusról lesz szó. Mi történik, ha az adalékolás mértékét erősen megnöveljük?
  
−
Egy bizonyos „szennyezési” koncentráció felett az adalékolt atomok olyan közel kerülnek egymáshoz, hogy kölcsönhatásba lépnek egymással. Az előzőekben láttuk, hogy egy (szerkezeti) félvezetőbe ágyazott idegen (adalékolt) atom körüli „kötött állapot térbeli mérete” jócskán megnő. Így az adalékolt atomok közötti kölcsönhatás könnyebben létrejön. Ekkor (az előzőekben már bemutatott effektus miatt) a kötött állapotok energiaszintjei sávokká hasadnak fel. Ez a sáv aztán „egybeolvad” a vezetési illetve a vegyérték sávval, mintegy kiszélesítve azt. A Fermi szint ekkor adalékolt atomok sávja és a félvezető sáv elválasztó határán van.
+
Egy bizonyos „szennyezési” koncentráció felett az adalékolt atomok olyan közel kerülnek egymáshoz, hogy kölcsönhatásba lépnek egymással. Az előzőekben láttuk, hogy egy (szerkezeti) félvezetőbe ágyazott idegen (adalékolt) atom körüli „kötött állapot térbeli mérete” jócskán megnő. Így az adalékolt atomok közötti kölcsönhatás könnyebben létrejön. Ekkor (az előzőekben már bemutatott effektus miatt) a kötött állapotok energiaszintjei sávokká hasadnak fel. Ez a sáv aztán „egybeolvad” a vezetési illetve a vegyérték sávval, mintegy kiszélesítve azt. A Fermi-szint ekkor adalékolt atomok sávja és a félvezető sáv elválasztó határán van.
  
−
Az alábbi 3.6./1.ábrán mind a donor, mind pedig az akceptor nívók sávvá szélesedését mutatjuk be. (Ezt gyakran a <i>szennyezési nívók elfajulásának</i> is nevezik.)
+
Az alábbi ábrán mind a donor, mind pedig az akceptor nívók sávvá szélesedését mutatjuk be. (Ezt gyakran a ''szennyezési nívók elfajulásának'' is nevezik.)
  
 
[[File:Nivok_savva_szelesedese.jpg|közép|650px]]
 
[[File:Nivok_savva_szelesedese.jpg|közép|650px]]
  
−
Természetesen ezekből a félvezetőkből is csinálhatunk egy <i>p-n</i> átmenetet. Így jutunk el az Esaki-féle alagút diodához. A „szokványos” <i>p-n</i>-átmneteknél alkalmazott záró- és nyitó irányú feszültségeket kell alkalmazni most is.
+
Természetesen ezekből a félvezetőkből is csinálhatunk egy ''p-n'' átmenetet. Így jutunk el az Esaki-féle alagút diodához. A „szokványos” ''p-n'' átmeneteknél alkalmazott záró- és nyitó irányú feszültségeket kell alkalmazni most is.
  
−
Kapcsoljunk záró feszültséget a diodánkra. Mint az az alábbi ábrán látható, egy igen erős záró irányú alagút áram ($I_{AZ}$) indul el.
+
Kapcsoljunk záró feszültséget a diodánkra. Mint az az alábbi ábrán látható, egy igen erős, záró irányú alagút áram ($I_{AZ}$) indul el.
  
 
[[File:Dioda_alagut_aram_zaro.jpg|közép|300px]]
 
[[File:Dioda_alagut_aram_zaro.jpg|közép|300px]]
842. sor: 656. sor:
 
Ennek oka nyilvánvalóan az, hogy a vegyérték sáv sok elektront tartalmazó energiaszintjei a vezetési sáv majdnem üres energianívóival kerülnek egy szintre. A „tiltott sáv jelentette” viszonylag keskeny potenciálgáton az elektronok könnyen „átalagutaznak”. (A jelenség fizikai lényege „ugyanaz”, mint ami a Zener effektusnál volt.)  
 
Ennek oka nyilvánvalóan az, hogy a vegyérték sáv sok elektront tartalmazó energiaszintjei a vezetési sáv majdnem üres energianívóival kerülnek egy szintre. A „tiltott sáv jelentette” viszonylag keskeny potenciálgáton az elektronok könnyen „átalagutaznak”. (A jelenség fizikai lényege „ugyanaz”, mint ami a Zener effektusnál volt.)  
  
−
Kis nyitó irányú feszültségek esetén egy igen erős ($I_{ANy}$) alagút áram lép fel. (ld. <i>b</i>. ábra)
+
Kis nyitó irányú feszültségek esetén egy igen erős ($I_{\rm ANy}$) alagút áram lép fel (ld. ''b''. ábra).
  
 
[[File:Dioda_alagut_aram_nyito.jpg|közép|650px]]
 
[[File:Dioda_alagut_aram_nyito.jpg|közép|650px]]
848. sor: 662. sor:
 
Ennek oka az, hogy a vegyérték sáv üres energiazónája (amely a sávvá szélesedett akceptor nívókból áll) az energiaskálán mintegy „fedésbe” kerül a vezetési sáv betöltött energiazónájával (azaz a donor nívók sávjával). A maximális alagútáram természetesen a maximális „átfedés” esetén lép fel.
 
Ennek oka az, hogy a vegyérték sáv üres energiazónája (amely a sávvá szélesedett akceptor nívókból áll) az energiaskálán mintegy „fedésbe” kerül a vezetési sáv betöltött energiazónájával (azaz a donor nívók sávjával). A maximális alagútáram természetesen a maximális „átfedés” esetén lép fel.
 
 
−
Tovább növelve a nyitófeszültséget, a sávok egyre jobban eltolódnak és a kívánt „átfedés” lassan megszűnik. Így az alagútáram csökkeni kezd majd meg is szűnik. A diódán azonban továbbra is folyik egy igen kicsiny $I_{Ny}$ áram, hiszen a többségi töltéshordozók (a véges $T$ hőmérséklet miatt) már megjelentek a magasabb energiaszinteken is. (Lásd 3.6./2c. ábra).
+
Tovább növelve a nyitófeszültséget, a sávok egyre jobban eltolódnak és a kívánt „átfedés” lassan megszűnik. Így az alagútáram csökkeni kezd majd meg is szűnik. A diódán azonban továbbra is folyik egy igen kicsiny $I_{\rm Ny}$ áram, hiszen a többségi töltéshordozók (a véges $T$ hőmérséklet miatt) már megjelentek a magasabb energiaszinteken is (lásd ''c''. ábra, fennebb).
  
−
Még tovább növelve a nyitófeszültséget ez a nyitóirányú $I_{Ny}$ áram is növekedni fog. A helyzet pontosan ugyanaz, mint az a „hagyományos” <i>p-n</i> átmenetnél volt (ld. <i>d</i>. ábra, fennebb). Így a mostani nyitóirányú $I-U$ függvény is ugyanolyan jellegűvé válik, mint amilyent már láttunk a „normális” diodáknál.
+
Még tovább növelve a nyitófeszültséget, ez a nyitó irányú $I_{\rm Ny}$ áram is növekedni fog. A helyzet pontosan ugyanaz, mint az a „hagyományos” ''p-n'' átmenetnél volt (ld. ''d''. ábra, fennebb). Így a mostani nyitóirányú $I-U$ függvény is ugyanolyan jellegűvé válik, mint amilyent már láttunk a „normális” diodáknál.
  
 
[[File:Nyito_karakterisztika.jpg|közép|350px]]
 
[[File:Nyito_karakterisztika.jpg|közép|350px]]
  
−
A teljes „áram-feszültség” karakterisztikát a fenti ábra mutatja. Az $I-U$ függvény jellegzetessége az a negatív ellenállású tartomány, amelyik a nyitó irányban lép fel akkor, amikor a növekvő nyitófeszültség ellenére az áram csökken. Pontosan ez a jelenség adja az „alagút dióda” technikai különlegességét. A karakterisztikának ezt a tartományát pl. „gyorsműködésű” oszcillátorok készítésére szokták felhasználni.
+
A teljes „áram-feszültség” karakterisztikát a fenti ábra mutatja. Az $I-U$ függvény jellegzetessége az a negatív ellenállású tartomány, amelyik a nyitó irányban lép fel akkor, amikor a növekvő nyitófeszültség ellenére az áram csökken. Pontosan ez a jelenség adja az alagút dióda technikai különlegességét. A karakterisztikának ezt a tartományát pl. „gyorsműködésű” oszcillátorok készítésére szokták felhasználni.
  
 
=== Fénykibocsátó diódák ===
 
=== Fénykibocsátó diódák ===
  
−
Az erősen adalékolt <i>p-n</i> átmenetek másik, igen fontos alkalmazási területe a fénykibocsátó félvezetők. Ezek lehetnek
+
Az erősen adalékolt ''p-n'' átmenetek másik, igen fontos alkalmazási területe a fénykibocsátó félvezetők. Ezek lehetnek
  
−
a.) egyszerű fényforrások (LED = Light Emitting Diode) vagy
+
a.) egyszerű fényforrások ([http://en.wikipedia.org/wiki/Light-emitting_diode LED] = Light Emitting Diode) vagy
  
−
b.) koherens fényt szolgáltató félvezető LASER-ek.
+
b.) koherens fényt szolgáltató félvezető [http://en.wikipedia.org/wiki/Laser LASER]-ek.
  
−
Az alapeffektus mindkettőnél lényegében ugyanaz, „csak” a megvalósító félvezető és a kiegészítő „struktúra” más. A részleteket az Elektronika tantárgy idevonatkozó fejezeteiből tudhatjuk (majd) meg. Itt most csak a jelenség fizikai lényegét tudjuk bemutatni, annak is a „sávszerkezetből adódó” (energetikai) részletét.
+
Az alapeffektus mindkettőnél lényegében ugyanaz, „csak” a megvalósító félvezető és a kiegészítő „struktúra” más. A részleteket az Elektronika tantárgy idevonatkozó fejezeteiből tudhatjuk majd meg. Itt most csak a jelenség fizikai lényegét tudjuk bemutatni, annak is a „sávszerkezetből adódó” (energetikai) részletét.
  
 
<b>A LED működési elve</b> az energiasáv-ábra alapján érthető meg.
 
<b>A LED működési elve</b> az energiasáv-ábra alapján érthető meg.
870. sor: 684. sor:
 
[[File:Led_elve.jpg|közép|500px]]
 
[[File:Led_elve.jpg|közép|500px]]
  
−
a.)   b.)
+
Ha a nyitó irányú feszültség elegendően nagy, akkor (szemléletesen szólva) a vegyérték sáv üres zónája és a vegyérték sáv betöltött donor sávja a ''p-n'' átmenet $L$ tartományában kerül egymással „térbeli átfedésbe”. Ez azt jelenti, hogy a ''p'' és az ''n'' típusú félvezetőket elválasztó (térbeli) átmeneti tartományban elektronok és lyukak halmozódnak fel. Mivel ezek a tér egy adott térfogatában együtt vannak jelen, így egymással kölcsönhatásba lépve „rekombinálódnak”. Azaz az „állapotok” nyelvén mondva, az $L$ tartományban lévő elektronok a vezetési sávból visszaugranak a vegyérték sáv üres állapotaiba, így csökkentve a rendszer energiáját. Az elektronok az energiájukat egy foton kibocsátásával „vesztik el”. Ezáltal elektronok és lyukak tűnnek el az $L$ zónából. Erre mondjuk azt, hogy „egy elektron-lyuk pár egy foton kibocsátásával rekombinálódott”. A rekombinációk egymástól függetlenül zajlanak le.
−
 
+
−
Ha a nyitó irányú feszültség elegendően nagy, akkor (szemléletesen szólva) a vegyérték sáv üres zónája és a vegyérték sáv betöltött donor sávja a <i>p-n</i> átmenet $L$ tartományában kerül egymással „térbeli átfedésbe”. Ez azt jelenti, hogy a <i>p</i> és az <i>n</i> típusú félvezetőket elválasztó (térbeli) átmeneti tartományban elektronok és lyukak halmozódnak fel. Mivel ezek a tér egy adott térfogatában együtt vannak jelen, így egymással kölcsönhatásba lépve „rekombinálódnak”. Azaz az „állapotok” nyelvén mondva, az $L$ tartományban lévő elektronok a vezetési sávból visszaugranak a vegyérték sáv üres állapotaiba, így csökkentve a rendszer energiáját. Az elektronok az energiájukat egy foton kibocsátásával „vesztik el”. Ezáltal elektronok és lyukak tűnnek el az $L$ zónából. Erre mondjuk azt, hogy „egy elektron-lyuk pár egy foton kibocsátásával rekombinálódott”. A rekombinációk egymástól függetlenül zajlanak le.
+
  
−
A folyamat állandósul, hiszen a fellépő nyitóáram állandóan gondoskodik az újabb elektron-lyuk párok megjelenéséről az $L$ zónában. (Ezt a folyamatot <i>injektálásnak</i> nevezi a szakirodalom.) Amíg a megfelelő nyitófeszültég be van kapcsolva, a dióda fényt bocsát ki. A fény frekvenciáját a sávszélesség, a nyitófeszültség és a hőmérséklet (azaz a sávok betöltöttsége) együttesen (de nem egyforma mértékben) határozza meg. A részletek megértse azonban már túlhaladja egy BSc Fizika kurzus kereteit, hiszen mint az bizonyára látszik, komolyabb félvezető-(szilárdtest)-fizikai ismereteket igényel.
+
A folyamat állandósul, hiszen a fellépő nyitóáram állandóan gondoskodik az újabb elektron-lyuk párok megjelenéséről az $L$ zónában. (Ezt a folyamatot ''injektálásnak'' nevezi a szakirodalom.) Amíg a megfelelő nyitófeszültég be van kapcsolva, a dióda fényt bocsát ki. A fény frekvenciáját a sávszélesség, a nyitófeszültség és a hőmérséklet (azaz a sávok betöltöttsége) együttesen (de nem egyforma mértékben) határozza meg. A részletek megértse azonban már túlhaladja egy BSc Fizika kurzus kereteit, hiszen mint az bizonyára látszik, komolyabb félvezető-(szilárdtest)-fizikai ismereteket igényel.
  
 
[[File:Ledek.jpeg|közép|300px]]
 
[[File:Ledek.jpeg|közép|300px]]
  
−
<small><b>Megjegyzés</b>. A <i>p-n</i> átmenet térbeli $L$ tartományát <i>kiürített rétegnek</i> nevezik. Az amúgy igen „szemléletes” elnevezés részletes fizikai okait az MSc fizika kurzus tárgyalja majd. De az Elektronika tantárgy idevonatkozó részeinél is lesz (van) róla szó.</small>
+
<small><b>Megjegyzés</b>. A ''p-n'' átmenet térbeli $L$ tartományát ''kiürített rétegnek'' nevezik. Az amúgy igen „szemléletes” elnevezés részletes fizikai okait az MSc fizika kurzus tárgyalja majd. De az Elektronika tantárgy idevonatkozó részeinél is lesz van szó.</small>
  
 
<b>A félvezető LASER működési elvét</b> az energiasáv-ábra alapján lehet elmagyarázni.
 
<b>A félvezető LASER működési elvét</b> az energiasáv-ábra alapján lehet elmagyarázni.
888. sor: 700. sor:
 
A LASER működés alapelveinél tanultak értelmében, a félvezetőben valami módon egy ún. „inverz populációt” kell létrehozni. Erre elvileg a LED-nél látott $L$ réteghez hasonló tartomány lehetne alkalmas. Ennek technikai megvalósítsa azonban (a LASER működés biztosításának a követelménye miatt) már komplikáltabb feladat. A (bonyolult) elméleti ismereteknek a hiányában fogadjuk el tényként az alábbiakat.
 
A LASER működés alapelveinél tanultak értelmében, a félvezetőben valami módon egy ún. „inverz populációt” kell létrehozni. Erre elvileg a LED-nél látott $L$ réteghez hasonló tartomány lehetne alkalmas. Ennek technikai megvalósítsa azonban (a LASER működés biztosításának a követelménye miatt) már komplikáltabb feladat. A (bonyolult) elméleti ismereteknek a hiányában fogadjuk el tényként az alábbiakat.
  
−
A félvezető lézerek (egy lehetséges) felépítése a következő. ${\rm Ga \, As}$ (gallium-arzenid) kristály <i>p</i> illetve <i>n</i> típusú ${\rm Ga \, Al \, As}$ (gallium-alumínium-arzenid) réteg között „helyezkedik” el. Ezt az ún. <i>rétegszerkezetet</i> (szendvics szerkezetet) ma már rutinszerűen létre lehet hozni az ún. <i>epitaxiális rétegnövesztés</i> technológiájának az alkalmazásával. Ennek az a lényege, hogy a megadott struktúrát (alakzatot) atomi rétegenként lehet létrehozni. Így a különböző félvezető típusú tartományokat csupán csak atomrácsnyi szélességű átmenetek választják el egymástól. Így a ${\rm Ga \, As}$ réteg igen jól lokalizált lesz.
+
A félvezető lézerek (egy lehetséges) felépítése a következő. ${\rm Ga \, As}$ (gallium-arzenid) kristály ''p'' illetve ''n'' típusú ${\rm Ga \, Al \, As}$ (gallium-alumínium-arzenid) réteg között „helyezkedik” el. Ezt az ún. ''rétegszerkezetet'' (szendvics szerkezetet) ma már rutinszerűen létre lehet hozni az ún. ''epitaxiális rétegnövesztés'' technológiájának az alkalmazásával. Ennek az a lényege, hogy a megadott struktúrát (alakzatot) atomi rétegenként lehet létrehozni, így a különböző félvezető típusú tartományokat csupán csak atomrácsnyi szélességű átmenetek választják el egymástól. Így a ${\rm Ga \, As}$ réteg igen jól lokalizált lesz.
  
 
Ez a réteg (itt nem részletezhető elvi okok miatt) már alkalmas arra, hogy benne a szükséges inverz populáció létrejöjjön.
 
Ez a réteg (itt nem részletezhető elvi okok miatt) már alkalmas arra, hogy benne a szükséges inverz populáció létrejöjjön.
 
   
 
   
−
A $p{\rm Ga \, Al \, As} – {\rm Ga \, As}-n{\rm Ga \, Al \, As}$ „hármas réteget” egy <i>p-n</i> átmenetnek is tekinthetjük. Ha reá nyitó feszültséget kapcsolunk, akkor a ${\rm Ga \, As}$ rétegben inverz populáció alakul ki.
+
A $p{\rm Ga \, Al \, As} – {\rm Ga \, As}-n{\rm Ga \, Al \, As}$ „hármas réteget” egy ''p-n'' átmenetnek is tekinthetjük. Ha reá nyitó feszültséget kapcsolunk, akkor a ${\rm Ga \, As}$ rétegben inverz populáció alakul ki.
  
−
A LASER effektus létrejöttéhez minden körülmény rendelkezésre áll. Mindez a 3.6./5 energiasáv ábrán látható.  
+
A LASER effektus létrejöttéhez minden körülmény rendelkezésre áll. Mindez az energiasáv ábrán látható (ld. fennebb).
  
−
Az indukált emisszió létrejöttéhez szükséges „optikai rezonátort” a ${\rm Ga \, As}$ „külső felületén” alakítják ki. Sokszor ez nem is igényel külön tehnológiát, mert a ${\rm Ga \, As}$ félvezető törésmutatója elég nagy (kb. 2-3) és így a felület kristálysikja elegendően jó visszaverő felületet szolgáltat. Természetese vigyázni kell a felület kellő megmunkálására.
+
Az indukált emisszió létrejöttéhez szükséges „optikai rezonátort” a ${\rm Ga \, As}$ „külső felületén” alakítják ki. Sokszor ez nem is igényel külön tehnológiát, mert a ${\rm Ga \, As}$ félvezető törésmutatója elég nagy (kb. 2-3), és így a felület kristálysikja elegendően jó visszaverő felületet szolgáltat. Természetesen vigyázni kell a felület kellő megmunkálására.
  
 
Így tehát ez a ${\rm Ga \, As}$ réteg lesz az az aktív tartomány, amelyben az elektronok, a lyukak és a fotonok kölcsönható keveréke a LASER effektust produkálni fogja.
 
Így tehát ez a ${\rm Ga \, As}$ réteg lesz az az aktív tartomány, amelyben az elektronok, a lyukak és a fotonok kölcsönható keveréke a LASER effektust produkálni fogja.
  
 
</wlatex>
 
</wlatex>

A lap jelenlegi, 2011. szeptember 1., 13:15-kori változata



Tartalomjegyzék


Szilfiz tabla 11.png Szilfiz tabla 12.jpeg
Szilfiz tabla 21.jpeg Szilfiz tabla 22.png
Szilfiz tabla 31.jpeg Szilfiz tabla 32.jpeg

A szilárd anyagok elektromos vezetésének kvantummechanikai alapjai

A fémek szabadelektron-elmélete

A fémek jól vezetik az elektromos áramot. Tehát az elektromos áramot alkotó elektronok viszonylag „könnyedén” tudnak mozogni a fém belsejében. A fémes kötés ugyanis úgy alakul ki, hogy a fématomok egyesülésekor a vegyérték elektronok „közössé válnak”. Ez azt jelenti, hogy nincsenek a fémet alkotó atomokhoz kötve, hanem azokról mintegy „leszakadva” a fém teljes makroszkopikus térfogatában mozoghatnak. Első közelítésként azt mondjuk, hogy a fém elektronjai ún. szabadelektron gázt alkotnak.

Az elkövetkezőkben a nagyszámú (\setbox0\hbox{$N\gg 1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) elektront tartalmazó szabadelektron gáz kvantummechanikai tárgyalásával foglalkozunk. Ezt a modellt már pár évvel a Schrödinger-egyenlet felfedezése (1926) után Arnold Sommerfeld dolgozta ki (1927/28). Egyszerű volta ellenére választ tudott adni egy-két olyan mérési tapasztalatra (kontakt potenciál, fémek fajhője stb), amelyek magyarázatánál a klasszikus fizika csődöt mondott.

Ennek a modellnek a lényege a következő. A fém vezetési elektronjai a fémrácsot alkotó iontörzsek terében mozognak, ugyanakkor egymással is kölcsönhatásban vannak. Ezt az igen bonyolultnak tűnő kvantummechanikai problémát alkalmas modellválasztással egyszerűen meg lehet oldani.

Tekintsük bármelyik fémelektront. Ez egyrészt az iontörzsekkel, másrészt a többi elektronnal van kölcsönhatásban. Vegyünk egyszerűségképpen egy egy-vegyértékű fémet! Ekkor az iontörzsek száma megegyezik a fémes kötést létrehozó elektronok \setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% számával. Tehát bármelyik elektront tekintve a pozitív töltésű iontörzsek és a többi, negatív töltésű elektron száma gyakorlatilag megegyezik (\setbox0\hbox{$N\approx N-1, N\gg 1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%), ezért semlegesítik egymást. Tehát az elektron szabadon mozoghat az egész fém belsejében. Ugyanakkor tapasztalati tény, hogy normál körülmények között az elektron nem lép ki a fémből. Ezt úgy tudjuk modellezni, hogy az elektront egy potenciáldobozban lévőnek tekintjük. A doboz mérete a fém makroszkopikus méretével egyezik meg és az egyszerűség végett legyen kocka alakú.

Az elektron pályaállapotait tehát egy dobozba zárt elektron Schrödinger-egyenlete határozza meg. Az előzőekben ezt az egyenletet már megoldottuk. Eszerint egy pályaállapot három kvantumszámmal (\setbox0\hbox{$n_x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, \setbox0\hbox{$n_y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, \setbox0\hbox{$n_z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) jellemezhető. Az energiaszinteket pedig e három kvantumszám négyzetösszege határozza meg, azaz

\[ E = \frac{\hbar^2}{8mL^2} \left( n_x^2 + n_y^2 + n_z^2 \right). \]

Az is láttuk, hogy a pályaállapotok degeneráltak, azaz egy energiaszinthez több különböző állapot tartozik. Ezeket a pályaállapotokat kell a Pauli-elv szerint az \setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% számú elektronnal betölteni úgy, hogy minden pályaállapotba maximum két elektron lehet ellentétes spinnel. Mivel az \setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% nagyon nagy (Avogadro számnyi!), ezért a betöltött állapotok majd mindegyike relatíve magas energiaszintekhez fog tartozni. Ez azt jelenti, hogy betöltött energiaszintek relatív „távolsága” (azaz a relatív kvantáltság) igen kicsi lesz. Ennek bizonyítása egydimenziós doboz esetén igen egyszerű. Az eredmény pedig triviálisan általánosítható a háromdimenziós modellre is. Az energiaszintek közötti relatív távolság tehát

\[ \frac{\Delta E_n}{E_n} = \frac{E_{n+1} - E_n}{E_n} = \frac{(n+1)^2 - n^2}{n^2} = \frac{2n-1}{n^2} \to 0, \quad \text{ha} \quad n\to\infty, \]

azaz az energiaszintek kvantáltsága mintegy „eltűnik”. Így folytonos energiaskálára (\setbox0\hbox{$E$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) térhetünk át. Ekkor a degeneráció foka helyett bevezetjük a \setbox0\hbox{$g(E)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% állapotsűrűség fogalmát. Eszerint a \setbox0\hbox{$g(E){\rm d}E$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% azon elektronállapotok számát jelenti, amelyeknek az energiája az \setbox0\hbox{$(E,E+{\rm d}E)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tartományba esik. A Pauli-elv szerint minden pályaállapothoz két spin-állapot is tartozik. Tehát a teljes (spinpálya) \setbox0\hbox{$g(E)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% állapotsűrűség az \setbox0\hbox{${\cal N}(E)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pályaállapot-sűrűség kétszerese lesz:

\[ g(e) = 2{\cal N}(E). \]

Határozzuk meg az \setbox0\hbox{${\cal N}(E)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pályaállapot-sűrűséget a potenciáldobozba zárt elektron esetén! Minden pályaállapotot három kvantumszám (\setbox0\hbox{$n_x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, \setbox0\hbox{$n_y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, \setbox0\hbox{$n_z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) határoz meg. Ezért egy \setbox0\hbox{$\lbrace n_x, n_y, n_z \rbrace$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% koordinátarendszerben (azaz a kvantumszámok „terében”) egy pályaállapotot egy pont fog reprezentálni. Az ezen állapothoz tartozó energia értéke \setbox0\hbox{$E = E_0(n_x^2 + n_y^2 + n_z^2)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% lesz. Látható, hogy a kvantumszámok terében az összes \setbox0\hbox{$E$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% energiájú állapot egy \setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú gömbön helyezkedik el, hiszen

\[ n_x^2 + n_y^2 + n_z^2 = \frac{E}{E_0} \equiv R^2. \]
Palyaallapot suruseg1.jpg

Tekintsük azokat az állapotokat, amelyek energiája az \setbox0\hbox{$(E, E+{\rm d}E)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tartományba esik! Mivel a kvantumszámok értéke csak pozitív szám lehet, így az ezen állapotokat reprezentáló pontok egy gömbhéj nyolcadban vannak. Mivel az \setbox0\hbox{$n_i$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kvantumszámok csak (pozitív) egész számokat vehetnek fel, ezért minden egyes egységnyi térfogatban csak egy reprezentáns pont van. Ezért az \setbox0\hbox{$(E, E+{\rm d}E)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tartományban lévő állapotok száma megegyezik az említett gömbhéj-nyolcad térfogatával:

\[ {\cal N} (E) \, {\rm d} E = \frac{4\pi}{8} R^2 \, {\rm d} R. \]

Mivel pedig látható, hogy

\[ R = \frac{\sqrt{E}}{\sqrt{E_0}} \quad \text{és} \quad {\rm d}R = \frac{1}{2\sqrt{E_0}} \frac{1}{\sqrt{E}} {\rm d} E, \]

a pályaállapot sűrűségre az adódik, hogy:

\[ {\cal N}(E) \sim \sqrt{E}. \]
Palyaallapot suruseg2.jpg

A Sommefeld-féle fémmodell szerint tehát a „potenciáldoboz-állapotokat kell” \setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% darab elektronnal betölteni. Eredményül megkapjuk az elektronok energia szerinti eloszlását. Az ezt megadó függvényt \setbox0\hbox{$n(E)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-vel fogjuk jelölni. Eszerint az \setbox0\hbox{$n(E) \, {\rm d} E$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% megadja azon elektronok számát, amelyeknek az energiája az \setbox0\hbox{$(E, E+{\rm d}E)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tartományban van. Az elektronok \setbox0\hbox{$n(E)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% eloszlásfüggvényének a meghatározása \setbox0\hbox{$T = 0 \, {\rm K}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% esetén (azaz alapállapotban) igen egyszerű. A Pauli-elv szerint ugyanis minden spin-pálya állapotban maximum egyetlen elektron lehet. Ezért az alapállapoti elektrongázban egy bizonyos energiaszint alatt minden állapot be van töltve, fölötte pedig minden állapot üres lesz. Ezt az energiaszintet \setbox0\hbox{$E_{F0}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-val jelöljük és Fermi-energiának nevezzük. Mivel a betöltött állapotok száma éppen \setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kell, hogy legyen, így ez a feltétel a Fermi-szintet egyértelműen meghatározza.

Eredményül tehát az adódik, hogy az \setbox0\hbox{$E_{F0}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% érték alatt \setbox0\hbox{$n(E)=g(E)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és fölötte \setbox0\hbox{$n(E)=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Ha a fém hőmérséklete emelkedik (\setbox0\hbox{$T>0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%), akkor az elektronok magasabb energiaszintre kell, hogy kerüljenek. A Pauli-elv miatt ez csak úgy lehetséges, ha a Fermi-szint közelében lévő elektronok a Fermi-szint fölé jutnak, majd az így üresen maradt állapotok egy részét a mélyebb energiaszintről származó elektronok töltik be. Azaz végül is a Fermi-energia környékén lévő állapotok csak részben lesznek beöltve (ld. ábra).

Palyaallapot suruseg3.jpg

Az állapotok betöltöttségét egy \setbox0\hbox{$f^{FD}(E,T)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvénnyel lehet megadni:

\[ n(E) = g(E) f^{FD}(E,T). \]
 (2)

Az \setbox0\hbox{$f^{FD}(E,T)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-t Fermi–Dirac-féle eloszlásfüggvénynek hívjuk. Az előzőek szerint \setbox0\hbox{$T=0 \, {\rm K}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hőmérsékleten ez egy „lépcsőfüggvény” kell, hogy legyen. Véges \setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hőmérsékleten az eloszlásfüggvény kissé „lekerekedik”. A változás azonban az \setbox0\hbox{$E_{F0}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% értéknek csak körülbelül a \setbox0\hbox{$4kT$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% nagyságú környezetére korlátozódik. Az elmondottakat kvalitatív szemléltetését az ábrán mutattuk be.

További elemi ismereteket (a matematikai részletek mellőzésével) a következő fejezetben találhatunk.

Érdemes megvizsgálni azt, hogy az imént kapott \setbox0\hbox{$E_{F0}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% érték a „hétköznapi” energiákhoz képest mekkora. Az összehasonlítást azonban nem az energiaskálán, hanem a nála sokkal szemléletesebb hőmérséklet skálán fogjuk elvégezni. Erre szolgál a Fermi hőmérséklet (\setbox0\hbox{$T_F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) fogalma.

Ismeretes, hogy a klasszikus ideális gáz átlagenergiája, az ekvipartíció törvénye szerint, a gáz hőmérsékletével arányos. A \setbox0\hbox{$T_F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% Fermi hőmérsékleten értjük annak az ideális gáznak a hőmérsékletét, amelynek az átlagenergiája megegyezik a nulla Kelvin fokos elektrongáz átlagenergiájával. Azaz

\[ kT_F \approx E_{F0}. \]

A fémek esetén \setbox0\hbox{$T_F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kb. 10 000 Kelvinnek adódik (összehasonlításul, a napkorona hőmérséklete kb. 6000 Kelvin). Tehát a Pauli-elvből adódó Fermi-energia a klasszikus fizikai energiaskálán meglehetősen nagy érték. Ez azt is jelenti, hogy ha a fém hőmérséklete (pár száz fokkal) megemelkedik, akkor a vezetési elektronjainak az átlagenergiája relatíve alig változik. Tehát a szobahőmérsékletű fém vezetési elektronjait nulla Kelvin fokos elektrongáznak lehet tekinteni, ugyanis a 300 Kelvin sokkal kisebb mint a 10 000 Kelvin!

Mint azt már az imént említettük [ld. (2)], az elektronok \setbox0\hbox{$n(E)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% energia szerinti eloszlását a \setbox0\hbox{$g(E)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% állapotsűrűség függvény és az \setbox0\hbox{$f^{FD}(E,T)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% Fermi–Dirac eloszlásfüggvény szorzata adja meg. Az előzőekből következik, de a részletes számítás is azt bizonyítja, hogy a \setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hőmérsékletű szabad elektrongáz \setbox0\hbox{$E_F(T)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% Fermi energiája a „hétköznapi” hőmérsékleti tartományban gyakorlatilag \setbox0\hbox{$E_{F0}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% értékűnek vehető. Ez fizikailag azt jelenti, hogy csak azok az elektronok kerülhetnek magasabb energiájú állapotba (azok gerjesztődnek), amelyeknek a kezdeti energiája a Fermi szint közelében volt. A \setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hőmérsékleten a gerjesztett elektronok \setbox0\hbox{$N_g$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% száma az \setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% összelektron-számnak csak a töredéke, közelítőleg a \setbox0\hbox{$T/T_F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hányada. A \setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hőmérsékletű elektrongáz energiája tehát az alapállapoti energiától csak kevéssé (\setbox0\hbox{$\approx N_g kT$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-vel) tér el. Ez azt is jelenti, hogy fémekben az elektronok fajhője elhanyagolható az iontörzsek fajhőjéhez képest. A Dulong-Petit törvénynek tehát ez a kvantummechanikai magyarázata.

A fémek szabadelektron-modellje túl egyszerű ahhoz, hogy a szilárd testek elektromos tulajdonságait részleteiben is leírja. Láttuk, hogy a fémelektronok dinamikai viselkedése csak az \setbox0\hbox{$E_F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% Fermi-szint környezetében számít. Szabadelektron gázról lévén szó, könnyen meghatározható a Fermi szinthez tartozó elektronállapotok \setbox0\hbox{$k_F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% Fermi hullámszáma és az ehhez tartozó \setbox0\hbox{$\lambda_F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% (Fermi) hullámhossz is. Ez utóbbira az adódik, hogy gyakorlatilag az atomi rácstávolsággal egyezik meg. Ugyanakkor ismeretes az is, hogy a fémek fizikai tulajdonságait éppen a Fermi-szint közelében lévő elektronok dinamikai tulajdonságai határozzák meg. Ez pedig azt jelenti, hogy pont ezen elektronok szempontjából nem hanyagolható el az atomi rácsszerkezet jelenléte. Így tehát a szabadelektron-modellünket tovább kell fejleszteni.

Ennek egyik lehetséges útja az, hogy valami módon figyelembe vesszük azt is, hogy a szilárd test atomjai térben szabályosan (kristályrácsot alkotva) helyezkednek el.

Ennek a szabályos rendnek az elektronokra gyakorolt hatása már az egydimenziós modellben is megnyilvánul. Minden, e jelenségkörrel kapcsolatos fogalom már itt is megjelenik. Didaktikai előnye ugyanakkor az, hogy matematikailag könnyen kezelhető és így a modell viszonylag egyszerűen végigszámolható.

A sommerfeld1.jpeg

A sommerfeld2.jpeg

Arnold Sommerfeld (1868-1951)

A Königsbergi Egyetem hallgatója volt. Itt szerzett PhD fokozatot is. Végzése után pár évig ő is az egyetem oktatója lett.

1893-tól Göttingenben a német matematika fellegvárában tanított. Elsősorban matematikai és matematikai-fizika kurzusokat tartott.

1906-tól a Müncheni Egyetem professzora lett. Egyetemi előadásainak szerkesztett gyűjteménye az a 6 kötetes Elméleti Fizika tankönyv amelyen fizikus generációk nőttek fel.

Számtalan híressé vált tanítványa közül W. Heisenberg és W. Pauli nevét érdemes most megemlítenünk. Hallgatóival és kollegáival közismerten közvetlen viszonyt alakított ki még magas hivatali beosztása esetén is.

1914-től kezdve kapcsolódott be aktívan is a kor elméleti kvantummechanikai kutatásaiba. Az ő nevéhez fűződik többek között a Bohr-modell általánosítása (az ellipszis pályák kiszámításával és egy általános kvantálási hipotézis felállításával). 1927-től dolgozta ki a fémek (szabad)elektron-modelljét, amely fontos elektromos és hővezetési problémákra adott korszerű választ.

Munkáját számos nemzetközi díjjal és hivatalos kitüntetéssel ismerte el a kor fizikus közössége.

A Fermi–Dirac eloszlásfüggvény

Ebben a fejezetben kissé részletesebben foglalkozunk az állapotok betöltésének a problémájával igen sok részecskét (elektront) tartalmazó rendszerek esetén. A korrekt megoldást először Enrico Fermi (olasz) és Paul Adrien Maurice Dirac (angol) fizikus dolgozta ki. Innen adódik a címbeli elnevezés is.

Tekintsünk egy nagyon sok elektron tartalmazó rendszert (pl. egy makroszkopikus méretű szilárd testet, azaz fémet, félvezetőt, vagy szigetelőt). Tegyük fel, hogy az elektronállapotokat valamilyen módon sikerült már meghatároznunk. A következőkben azt fogjuk megvizsgálni, hogy egy adott \setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hőmérsékleten ezek az állapotok hogyan vannak betöltve elektronokkal.

Mint azt már tudjuk, a „betöltési szabályt” a Pauli-elv adja meg (TK: 1089. oldal). A háromdimenziós potenciáldoboz példáján láttuk, hogy az elektronállapotok általában olyanok, hogy több állapot is van, amelynek az energiája ugyanakkora. Ezt neveztük degenerációnak. Mivel a most tárgyalandó rendszerünk nagyon nagyszámú részecskét (elektront) tartalmaz (\setbox0\hbox{$N \approx 10^{23}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%), így a viszonylag magas \setbox0\hbox{$E_i$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% energiaszintek is be lesznek töltve. Mint azt már tudjuk, ez azt jelenti, hogy a lehetséges energiaszintek közötti távolság igen kicsi lesz magához az energiaszinthez képest. Azaz az energiaszintek „relatív kvantáltsága” elhanyagolhatóan kicsi lesz és így folytonos \setbox0\hbox{$E$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% energiaskálán dolgozhatunk. Ez éppen megfelel a korrespondencia elvnek. Azaz makroszkopikus energiákon visszakapjuk a klasszikus mechanika folytonos energiaskáláját.

Ekkor a degeneráció fogalma helyett be lehet vezetni a \setbox0\hbox{$g(E)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% ún. spinpálya-állapotsűrűséget. Gyakran, ha ez nem okoz félreértést, egyszerűen csak állapotsűrűséget mondunk. Ez azt jelenti, hogy a \setbox0\hbox{$g(E){\rm d}E$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kifejezés megadja az \setbox0\hbox{$(E,E+{\rm d}E)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tartományba tartozó spinpálya-állapotok számát. A \setbox0\hbox{$g(E)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% spinpálya-állapotok száma az \setbox0\hbox{${\cal N}(E)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pályaállapotok számának a kétszerese, hiszen egy adott (pálya)állapotban az elektron spinje kétféle lehet (\setbox0\hbox{$S_z = \pm\hbar/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%).

Az előzőekben már bevezettük az elektronok energia szerinti eloszlását megadó \setbox0\hbox{$n(E){\rm d}E$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kifejezést is. Ez (definíció szerit) megadja azon elektronok számát, amelyeknek az energiája (\setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hőmérsékleten) az \setbox0\hbox{$(E, E+{\rm d}E)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% energiatartományba esik. Láttuk azt is, hogy ennek nyilvánvalóan függni kell attól is, hogy hány állapot van, amely elektronnal betölthető. Azaz formálisan felírtuk, hogy

\[ n(E) = g(E) \cdot f^{FD}(E,T). \]

A Pauli-elv miatt nyilvánvaló, hogy

\[ 0 \leq f^{FD}(E,T) \leq 1. \]

Az elektronok energia szerinti eloszlását \setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hőmérsékleten tehát az \setbox0\hbox{$f^{FD}(E,T)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvény határozza meg. Ezt először E. Fermi és P. A. M. Dirac határozta meg, ezért Fermi–Dirac eloszlásfüggvénynek nevezzük (erre utal az „FD” index is).

Természetesen, a részletes és matematikailag egzakt levezetéstől a BSc kurzusban el kell tekintenünk, erre csak az MSc tanulmányokban kerülhet majd sor. Az egzakt matematikai formula azonban igen szemléletes eredményt ad, ezért könnyen elfogadható lesz, a statisztikus fizika elméleti hátterének az ismerete nélkül is.

Az előző fejezetben bemutatott fizikai meggondolások alapján a Fermi–Dirac eloszlásfüggvényre egy „lekerekített lépcsőfüggvény” várható (ld. ábra). Ennek megfelelően, a szigorú elméleti számítások eredményeként a következő összefüggés adódik:

\[ f^{FD} (E,T) = \frac{1}{\left[ \exp\left( \frac{E - E_F}{kT} \right) + 1 \right]} \]

Az \setbox0\hbox{$E_F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% paraméter neve Fermi-energia. Látható, hogy \setbox0\hbox{$f^{FD}(E_F, T) = 0,5$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Ábrázolva a függvényt különböző hőmérsékleteken az alábbi görbék adódnak:

Fermi dirac eof.jpg

Látható, hogy magas energiaszintek esetén (\setbox0\hbox{$E\gg E_F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) éppen a klasszikus statisztikus mechanikában tanult Maxwel-féle eloszláshoz jutunk (TK: 500. oldal, 20c-43. feladat):

\[ \lim_{\varepsilon\ll \varepsilon_F} f^{FD}(E,T) = \text{állandó}\cdot\exp\left( -\frac{E}{kT} \right) = f^{MB}(E,T). \]

Ez azért megnyugtató, mert így teljesül a korrespondencia-elv. Azaz az elektronok „kvantumstatisztikája” határesetben (magas energiaszinteken) visszaadja a klasszikus fizikában (tömegpontok esetén) tapasztalt eredményeket.

Az \setbox0\hbox{$E_F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% paraméter fizikai tartalmának a megértése nagyon lényeges. Ezért ezt egy egyszerű elektron-rendszer példáján keresztül próbáljuk tisztázni. Legyen ez a már részletesen is tárgyalt szabadelektron gáz (ld. ábra).

Palyaallapot suruseg4.jpg

Mint azt láttuk, szabadelektron gáz esetén az állapotsűrűségét a \setbox0\hbox{$g(E) = a\sqrt{E}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvény adja meg. Ha a rendszer alapállapotban van, azaz a hőmérséklete \setbox0\hbox{$T=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% Kelvin, akkor az állapotok betöltöttségét megadó \setbox0\hbox{$f^{FD}(E,T)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% Fermi–Dirac eloszlásfüggvény egy lépcsőfüggvény lesz, hiszen látható, hogy

\[ \lim_{T\to 0} f^{FD} (E,T) = \lim_{T\to 0} \frac{1}{\exp\left( \frac{E - E_F}{kT} \right) + 1} = \begin{cases} 1, & \text{ha $E\leq E_F$}, \\ 0, & \text{ha $E \geq E_F$}. \end{cases} \]

Ez azt jelenti, hogy alapállapotban az elektronok az \setbox0\hbox{$E_F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% energiaszintig minden állapotot betöltenek, azon felül pedig minden állapot üres lesz. Természetesen pontosan ezt vártuk a Pauli-elv alapján is. Nyilvánvaló, hogy az \setbox0\hbox{$E_F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% Fermi-energia értéke abból kell, hogy kiadódjon, hogy az állapotokat betöltő elektronok száma éppen \setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.

Ha növekszik a rendszer hőmérséklete, akkor ez azt jelenti, hogy az elektronok az alacsonyabb energiájú állapotokból magasabb energiájú állapotokba jutnak. Ez tükröződik az \setbox0\hbox{$f^{FD}(E,T)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% eloszlásfüggvény alakjában is. Fermi energiának most azt az \setbox0\hbox{$E_F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% energiaszintet hívjuk, amelynél az eloszlásfüggvény az 1/2 értéket vesz fel.

Az eloszlásfüggvény „szimmetrikus” a Fermi szint környezetében. Ez azt jelenti, hogy ha a \setbox0\hbox{$g(E)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% állapotsűrűség állandó volna, akkor a hőmérséklet emelkedésével az \setbox0\hbox{$E_F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% Fermi-szint alatt kiürülő állapotok száma éppen megegyezne az \setbox0\hbox{$E_F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% fölött betöltődő állapotok számával. Az elektronok \setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% száma tehát nem változna, ahogyan annak lennie is kell. Ha a \setbox0\hbox{$g(E)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% állapotsűrűség (mint a mi példánkban is) egy monoton növekvő függvény, akkor a Fermi-szintet csökkenteni kell ahhoz, hogy a kiürülő és az újonnan betöltődő állapotok száma megegyezzen. Azaz ahhoz, hogy az \setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% összelektronszám állandó maradjon az kell, hogy az \setbox0\hbox{$E_F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függjön a hőmérséklettől. Jelen esetben az \setbox0\hbox{$E_F(T)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% csökkenjen az alapállapotban (\setbox0\hbox{$T=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) adódott \setbox0\hbox{$E_F(0)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-hoz képest. Megmutatható, hogy ez a hőmérsékletfüggés a szabadelektron gáz esetén olyan kicsi, hogy nyugodtan elhanyagolható, így a Fermi-szintet (szobahőmérsékletű tartományban) állandónak vehetjük, azaz \setbox0\hbox{$E_F(T) = E_F(0)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.

Ezek után megadható a szabadelektron gázban az elektronok energia szerinti eloszlása. A tárgyaltak szerint adódik tehát, hogy

\[ n(E) {\rm d}E = a\sqrt{E} f(E,T) \, {\rm d}E = a\sqrt{E} \frac{1}{\exp\left( \frac{E - E_F}{kT} \right) + 1} \, {\rm d}E. \]

Ez tehát megadja azon elektronok számát, amelyek energiája \setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hőmérsékleten \setbox0\hbox{$E$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$E+{\rm d}E$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% közé esik.

Fotonokból álló rendszer (a fotongáz)

A fentiekben bevezetett \setbox0\hbox{$f^{FD}(E,T)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% eloszlásfüggvényből adódó \setbox0\hbox{$n(E)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% matematikai alakja nagyon hasonlít a feketetest sugárázásakor megismert formulához (TK: 1026. oldal). Láttuk, hogy a \setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hőmérsékletű (fekete) test által, az \setbox0\hbox{$f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$f+{\rm d}f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% frekvenciatartományban kisugárzott elektromágneses hullámok összenergiáját az alábbi formula adta meg:

\[ u(f) \, {\rm d}f = a \frac{hf^3}{\exp(hf / kT) - 1} \, {\rm d}f. \]

A kellő összehasonlítás végett írjuk át ezt olyan alakba, amelyik fizikai tartalmát tekintve azonos a szabadelektron gáz esetén kapottal. A térben lévő \setbox0\hbox{$E = hf$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% energiájú fotonok \setbox0\hbox{$n(E)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% számának eloszlása könnyen definiálható a fent megadott \setbox0\hbox{$u(f)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% segítségével, hiszen írható, hogy

\[ u(f) = hf\cdot n(f), \quad \text{azaz} \quad n(f) = af^2\frac{1}{\exp(hf/kT) - 1}. \]
 (3)

Mint azt a hullámtani ismereteink alapján tudjuk, egy (térbeli) síkhullámot az alábbi matematikai függvény ad meg:

\[ \Psi({\bf r}, t) = A \sin({\bf kr} - \omega t). \]

Azaz egy (hullám)állapotot a \setbox0\hbox{${\bf k}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hullámszám-vektor jellemez, ahol \setbox0\hbox{$k = 2\pi / \lambda$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Az elektromágneses hullámok esetén \setbox0\hbox{$\omega = ck$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Látható tehát, hogy minden olyan \setbox0\hbox{$\bf k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, amelynek a nagysága ugyanakkora, egyforma \setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% frekvenciájú hullámot ad meg. Azaz a különböző irányba haladó, de azonos hullámhosszú hullámok frekvenciája megegyezik. Ugyanakkor a „különböző irányba való haladás” különböző hullámállapotot (idegen szóval módust) is jelent. Így van értelme annak a kérdésnek, hogy vajon hány (hullám)állapot van, amelynek a frekvenciája megegyezik?

Erre könnyen lehet válaszolni, hiszen azon állapotok száma, amelyeknek a frekvenciája \setbox0\hbox{$f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$f+{\rm d}f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, egy \setbox0\hbox{$k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú és \setbox0\hbox{${\rm d}k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% vastagságú gömbhéj térfogatával kell, hogy arányos legyen. Mivel pedig \setbox0\hbox{$k = \omega/c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, valamint \setbox0\hbox{${\rm d} k = (1/c){\rm d}\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, adódik, hogy

\[ g(\omega){\rm d}\omega \sim \omega^2 {\rm d}\omega, \quad \text{azaz} \quad g(f){\rm d}f \sim f^2{\rm d} f. \]

Látható tehát, hogy (3) második része úgy írható, hogy

\[ n(f) = af^2 \frac{1}{\exp(hf/kT) - 1} = g(f) \frac{1}{\exp(hf/kT) - 1} \equiv g(f)\cdot f^{\rm foton}(f,T). \]

Összevetve ezt az elektrongáz esetén látottakkal, az \setbox0\hbox{$E = hf$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% energiájú fotonállapotok betöltöttségét a

\[ f^{\rm foton}(E,T) = \frac{1}{\exp(E/kT) - 1} \]

függvénnyel lehet definiálni. Ez már alkalmas arra, hogy összehasonlítsuk a jól ismert \setbox0\hbox{$f^{FD}(E,T)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% Fermi–Dirac-féle eloszlásfüggvénnyel. Mivel \setbox0\hbox{$E = hf > 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, ezért \setbox0\hbox{$f^{\rm foton}(E,T) > 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, amint annak lennie is kell.

„Alacsony” frekvenciákon (ha \setbox0\hbox{$E = hf < kT\cdot\ln 2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) az adódik, hogy \setbox0\hbox{$f^{\rm foton}(E,T) > 1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, ami azt jelenti, hogy egy adott „fotonállapotban” (módusban) több foton is lehet. A fotonokra tehát nem érvényes a Pauli-elv!

Mivel az \setbox0\hbox{$f^{\rm foton}(E,T)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kifejezés ezen matematikai alakját (a statisztikus fizika elvei alapján) Satyendra Nath Bose és Albert Einstein határozták meg, ezért ezt Bose–Einstein-féle eloszlásfüggvénynek szokták nevezni.

Érdemes összehasonlítani a megismert eloszlásfüggvényeket. Ezek mindegyike különböző statisztikai meggondolásokat tartalmaznak, amelyeknek jól definiált fizikai alapjuk van. Ezekkel és az igen fontos és érdekes további részletekkel, valamint a lehetséges fizikai alkalmazásokkal azonban már csak az MSc Fizika kurzusban fogunk megismerkedni.

Célszerű lesz az eloszlásfüggvényeket egy közös matematikai alakban felírni:

\[ f^X (E,T) = \frac{1}{\exp\left( \frac{E - E_0}{kT} \right) + \delta}, \]

ahol

Fermi–Dirac eloszlás esetén \setbox0\hbox{$X = FD$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% \setbox0\hbox{$E_0 = E_F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% \setbox0\hbox{$\delta = 1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%,
Bose–Einstein eloszlás esetén \setbox0\hbox{$X = BE$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% \setbox0\hbox{$E_0 = \mu$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% \setbox0\hbox{$\delta = -1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%,
Maxwell–Boltzmann eloszlás esetén \setbox0\hbox{$X = MB$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% \setbox0\hbox{$E_0 = \mu$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% \setbox0\hbox{$\delta = 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.

(Természetesen az \setbox0\hbox{$X$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% csak egy jelölő index, amely az egyes eloszlásfüggvényeket különbözteti meg egymástól.)

A közös formulában megjelenő \setbox0\hbox{$E_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% paramétert kémiai potenciálnak hívjuk. Az elnevezés jogosságának megértetése igen messze vezetne, ezért ezzel nem is próbálkozunk. Fogadjuk el ezt csupán egy „családnévnek” és ne firtassuk az eredetét!

Amint azt láttuk, a fotonok a Bose–Einsten statisztikát követik. Az is kiderült, hogy ebben az esetben \setbox0\hbox{$\mu = 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kell, hogy legyen.

Megjegyzés. Azt tapasztaljuk, hogy vannak olyan fizikai rendszerek, amelyek esetén a \setbox0\hbox{$\mu$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% egy véges érték. Ekkor azonban az \setbox0\hbox{$E\geq\mu$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% feltételnek is teljesülnie kell, hiszen az eloszlásfüggvény soha nem lehet negatív! Ugyanis „negatív számú részecskéről” beszélni teljesen értelmetlen dolog lenne! Az evvel kapcsolatos további ismereteket az MSc Fizika tantárgy tartalmazza.

A közös \setbox0\hbox{$f^X(E,T)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvényt célszerű lesz úgy felrajzolni, hogy a vízszintes tengely mentén az \setbox0\hbox{$(E - E_0)/kT$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% értéket mérjük fel. Az eredményt az alábbi ábrán mutattuk be, ahol (a) a Fermi–Dirac, (b) a Maxwell–Boltzmann és (c) a Bose–Einstein statisztika eloszlásfüggvényét jelenti.

Eloszlasfuggvenyek.jpg

Látható, hogy nagy energiákon mindhárom függvény ugyanúgy viselkedik, azaz mind a két kvantumstatisztika átmegy a klasszikus Maxwell–Boltzmann statisztikába. Alacsony energiákon az eltérések igen karakterisztikussá válnak.

A Pauli-elvet egyedül csak a Fermi–Dirac statisztika teljesíti!
E fermi.jpeg

A Stagg Field Stadion (1927-ben)

Stagg field stadion.jpeg

Enrico Fermi (1901-1954)

Nobel-díj (1938): „az újabb radioaktív elemek neutron besugárzással történő létrehozásáért és a lassú neutronokkal előidézett magreakciók felfedezéséért”.

Rómában született. Egyetemi diplomáját és doktorátusát (20 évesen!) Pisában szerezte meg. 1924-től a római egyetem Fizika Intézetének a tanára, majd igazgatója lett. 1938-ban (Nobel-díja átvétele után) az USA-ba emigrált. A Columbia Egyetem és a Chicago Egyetem tanára lett. Vezetése alatt itt (a Stagg Field stadion lelátója alatt) épült meg a világ első működő atomreaktora. A (grafit rudakkal) szabályozott láncreakció

1942. december 2-án du. 3 óra 42 perckor

indult el. Ezzel a „második tűzgyújtással” kezdetét vette az „Atomkorszak”.

A II. világháború alatt Los Alamosban részt vett az atombomba előállításában.

Halála után a Chicagoi Egyetem Fizika Intézet neve:

Enrico Fermi Institute for Nuclear Studies

lett. Tiszteletére a 100-as rendszámú mesterséges elemet Fermiumnak nevezték el.

Pam dirac.png

A Dirac-egyenlet:

Dirac egyenlet.png

Dirac kepeslap.jpeg

Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984)

Nobel-díj 1933 (Schrödingerrel megosztva): „az atomelmélet új és gyümölcsöző megfogalmazásáért.”

Az angliai Bristolban született. A város egyetemének villamosmérnöki karán tanult, de doktorátusát (Cambridge-ben) már elméleti fizikából szerezte.

1929-32-ig Wisconsin, Michigan, Princeton USA egyetemei hívták meg.

1937-ben feleségül vette (a magyar származású Nobel-díjas) Wigner Jenő nővérét

1932-69 között Cambridge-ben Newton matematikai tanszékének professzora volt.

Ezután az USA-ba költözött, hogy idősebb nővére közelében élhessen. Utolsó évtizedeit a Floridai Állami Egyetem (Tallahassee) professzoraként élte le.

Legfőbb érdeme az elektronok relativisztikus hullámegyenletének a megalkotása. Ennek egyenes következménye az elektronspin megjelenése a (linearizált) egyenletben. A kapott energiaspektrum alapján megjósolta pozitron létezését, valamint az (elektron-pozitron) párképződést és az annihilációt is. Ennek kapcsán névéhez fűződik az antirészecskék világának a megsejtése is.

Őt tekintjük a Kvantumelektrodinamika megalapozójának is. Egy villamosmérnök számára nevét a Dirac-delta őrzi.

Sn bose.jpeg Satyendra Nath Bose (1894-1974)

Az indiai Kalkuttában született. 1921-től a Calcutta University Fizika Tanszékén dolgozott.

1924-ben írt cikkében a Planck-féle sugárzási törvény klasszikus fizikai fogalmakra történő utalás nélküli levezetését adta meg. A kezdeti visszautasítások után a cikkét közvetlenül Einsteinnek küldte el. Ő rögtön felismerte az eredmény jelentőségét. Maga fordította le német nyelvre és Bose nevében beküldte a kor vezető rangos fizikai folyóiratához, a Zeitschrift für Physik-hez.

A cikk megjelenésének köszönhetően ezután Bose Európába látogatott. Itt olyan neves fizikusokkal dolgozhatott, mint Louis de Broglie, Marie Curie és A. Einstein.

Bár Nobel-díjat nem kapott, a róla elnevezett Bose–Einstein statisztika révén minden fizikus- és mérnökhallgató megismeri a nevét.

Ezzel örökre beírta magát a Fizika tudományába

A félvezetők energiasáv szerkezete és az elektronika alapjai

A (kovalens) kémiai kötés egyszerű kvantummechanikai modellje

A kovalens kémiai kötésről már a középiskolai (sőt az általános iskolai) Kémia tantárgyban szó volt. Ennek a fejezetnek az egyik célja, hogy megteremtse a kapcsolatot az eddig tárgyalt kvantummechanikai ismereteink és a kémiában tanultak között.

Két atom között létrejövő kovalens kémiai kötés fizikai lényegét már egydimenziós modellen is szemléltetni tudjuk.

Megjegyzés. Tudatosan olyan modellt választottunk, amely elég egyszerű ahhoz, hogy viszonylag kis erővel numerikusan is végigszámolható legyen, ugyanakkor elegendően „bonyolult” ahhoz, hogy a kívánt effektust leírja. (Azaz követtük az „Occam borotvája” elvet, amely a modellalkotás egyik igen fontos ismeretelméleti eszköze.) Természetesen, magát a számolást nem hajtjuk végre, de megadjuk azon a gondolatmenetet, amelyet követve a numerikus számításokat bárki elvégezheti (még a BSc szak szintjén is).

Megtanultuk már, hogy milyen az atomok (elektron)konfigurációja, azaz miképpen töltik be az elektronok a lehetséges állapotokat. (TK: 1090. oldal) A Pauli-elv segítségével az atomok elektronszerkezete megkonstruálható.

A teljesen betöltött héjak (lezárt héjak) alkotják az iontörzset. A részben betöltött (al)héjak (nyílt héjak) elektronjait vegyérték elektronoknak nevezzük. Ennek oka az, hogy ha az atom kölcsönhatásba lép egy másik atommal (pl. vegyülés történik), akkor a folyamat során az iontörzsek gyakorlatilag változatlanok maradnak. Ugyanis a zárt héj „feltöréséhez” viszonylag „nagy” energia kell (TK: 1092. oldal). Azaz a vegyület kialakulásában csak a (nyílt héjon lévő) vegyérték elektronok vesznek részt, legalábbis a „természetes” körülmények között. A vegyérték elektronok (a Pauli-elv miatt) csak a lezárt héjak feletti energiaszinteket foglalhatják el. Ezt úgy „modellezhetjük”, mintha a vegyérték elektron egy \setbox0\hbox{$V_{\rm eff} (x)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% potenciálgödörbe lenne bezárva, melynek első energiaszintje éppen a nyílt héj energiaszintje. Egydimenziós, kvalitatív modell esetén ez egy „négyszögletes potenciálgödörrel” jellemezhető. Mindezt a következő ábrán szemléltettük.

Effektiv potencial godor.png

A négyszögletes potenciálgödörhöz (vagy potenciálvölgyhöz) akkor jutunk, ha a \setbox0\hbox{$V(x)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% potenciális energia olyan, hogy egy \setbox0\hbox{$L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hosszúságú szakaszon állandó, azon kívül pedig ennél nagyobb, szintén állandó értékű. Azaz például

\[ V(x) = \begin{cases} V_0 & \text{ha $x\notin L$}, \\ V_0 - V_L & \text{ha $x\in L$}. \end{cases} \]

Itt a potenciálgödör „mélységét” a \setbox0\hbox{$V_L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, a szélességét az \setbox0\hbox{$L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% adja meg. Ebben az igen egyszerű modellben ez a két paraméter definiálja az elektron fizikai környezetét. Természetesen a potenciális energia „nulla szintje” akárhol megválasztható, azaz a \setbox0\hbox{$V_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% érték bármekkora lehet. A következő ábrán az atomoknál megszokott módon a \setbox0\hbox{$V_0 = 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% esetet mutattuk be. A matematikai formulák egyszerűsítése végett gyakran élünk a \setbox0\hbox{$V_0 = V_L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% választással. A későbbiekben is ezt fogjuk használni.

Az ábra alapján látható, hogy kötött állapotról csak akkor beszélhetünk, ha a részecske \setbox0\hbox{$E$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% energiájára fennáll, hogy \setbox0\hbox{$V_0 - V_L < E < V_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. A klasszikus mozgás tartománya tehát az \setbox0\hbox{$L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hosszúságú szakasz. A Schrödinger-egyenlet megoldása nélkül, pusztán az általános ismereteink alapján fel tudjuk rajzolni a hullámfüggvények várható alakját:

Potencial godor hullamfuggvenyek.jpeg

Mint azt tudjuk, az állapotfüggvények „egy púpú”, „két púpú” stb. függvények lesznek.

Azért választottunk ilyen egyszerű modellt, hogy bemutassuk azt, hogy a tárgyalásra kerülő jelenség numerikusan is végigszámolható. Ha a modellre jellemző paramétereket „ügyesen” választjuk meg, akkor (a modellen belül) „reális” számszerű eredményeket kaphatunk. A szükséges matematikai formulákhoz a Schrödinger-egyenlet felírásával jutunk. Ez szinte minden elemi Kvantummechanika könyvben benne van. A megoldás elvi menetét az előzőekben már részletesen mi is megtárgyaltuk. Mivel amúgy is eléggé „durva” modellről van szó, a „kvantitatív” (számszerű) tárgyalásnak jelen esetben nem sok értelme lenne. Elegendő „csak” kvalitatív eredményekre szorítkoznunk. Azaz be szeretnénk látni, hogy egy ilyen elnagyolt modell esetén is „létrejön” a kémiai kötés két atom között.

Az egyszerűség végett legyen ebben az „atomban” csupán csak egy (vegyérték) elektron, amelynek energiáját jelöljük \setbox0\hbox{$E_A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-val. Legyen ez most éppen az \setbox0\hbox{$E_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% alapállapoti energia. Az elektron az ennek megfelelő állapotban van.

Tekintsünk két atomot (\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%), amelyek egymástól nagyon nagy távolságra vannak. Ekkor a két vegyérték elektron állapotfüggvénye (\setbox0\hbox{$\Psi_A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$\Psi_B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) nem „fedi át” egymást (azaz az „elektronfelhők nem zavarják egymást”), így két független atomunk van. Mindkettőben az elektron energiája ugyanakkora, nevezetesen \setbox0\hbox{$E_A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Szemléltetés:

Atomok kozelitese modell1.jpeg

Közelítsük egymáshoz a két atomot! Tovább egyszerűsödik a modellünk, ha a két vegyérték elektron közötti Coulomb-taszítástól eltekintünk. Ekkor az atomok közelítésekor mindkét elektron csak az iontörzsekkel lép kölcsönhatásba. Mint azt láttuk, ezek szerkezete elégé stabil és így a „vegyülés során” a potenciálgödrök alakja nem változik. Ha a két „atom” elegendően közel kerül egymáshoz, akkor a (vegyérték) elektronok (pl. alagúteffektussal, TK: 1063. oldal) „átjuthatnak” a két atomot elválasztó potenciálgáton és így mind a két atomhoz tartozni fognak. Azaz ekkor a két atomot már egy kvantummechanikai rendszernek kell tekinteni.

Atomok kozelitese modell2.png

A Coulomb-taszítás hiánya miatt a két elektron egymástól függetlenül vizsgálható. Ezt úgy tudjuk modellezni, hogy bármelyik elektron ugyanazt a „kettős potenciálvölgyet” fogja érzékelni. Ez durva modellnek tűnik ugyan, de a kvalitatív fizikai eredmények lényegén nem változtat. Ugyanakkor a „számolást” igen leegyszerűsíti.

Az egydimenziós Schrödinger-egyenlet általános matematikai tulajdonságainak az ismeretében könnyen felrajzolhatjuk a lehetséges állapotfüggvényeket. Ezeket, mivel most már az \setbox0\hbox{$AB$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% molekulában lévő elektronok lehetséges állapotait adja meg, molekulapályáknak szoktuk nevezni és (jelen esetben) \setbox0\hbox{$\Psi_{AB}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%–vel fogjuk jelölni.

Ezeket az állapotokat veheti fel aztán a molekulában lévő (most összesen) két darab elektron. Természetesen ezen molekulapályák „betöltésénél” is alkalmaznunk kell az atomok elektronszerkezeténél megismert Pauli-elvet!

Látható, hogy a rendszer a két (egyforma) atommagot összekötő egyenes szakasz (\setbox0\hbox{$D$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) felezősíkjára nézve tükörszimmetrikus. Legyen a \setbox0\hbox{$D$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szakasz felezőpontja \setbox0\hbox{$x_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%! Ekkor az említett tükörszimmetria matematikai kifejezése a következő:

\[ V(x_0 - x) = V(x - x_0). \]

Ez azt jelenti, hogy ha a rendszert tükrözzük a felező síkra, akkor fizikailag valójában „nem történik semmi”. Így nem változhat meg a rendszerben lévő elektronok valószínűségi eloszlása sem. Tehát:

\[ \left| \Psi_{AB}(x_0 - x) \right|^2 = \left| \Psi_{AB}(x - x_0) \right|^2. \]

Ebből viszont az következik, hogy

\[ \Psi_{AB}(x_0 - x) = \pm \Psi_{AB}(x - x_0). \]

Látható tehát, hogy a molekulapályákat megadó állapotfüggvények (az \setbox0\hbox{$x_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szimmetriapontra nézve) vagy páros, vagy pedig páratlan függvények lehetnek. Ennek megfelelően az \setbox0\hbox{$x_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pontban nyilvánvalóan teljesül az alábbi két feltétel:

\[ \begin{cases} \Psi_{AB}(x_0) = 0, & \text{ha páratlan függvényről van szó, és} \\ \left. \frac{\rm d}{{\rm d}x} \Psi_{AB}(x) \right|_{x_0} = 0 & \text{ha páros függvényről van szó.} \end{cases} \]

Akinek a megadott szimmetria kifejezés idegennek tűnik, az éljen az \setbox0\hbox{$x_0 = 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% választással, és akkor már a középiskolás matematikából ismerős összefüggéseket kap.

A lehetséges molekulapályák a Schrödinger-egyenlet általános (matematikai) tulajdonságai alapján megkonstruálhatók, és közben megkapjuk az állapotokhoz tartozó energiaszintek értékét is. A molekulapályák meghatározásának igen egyszerű a módja. A megoldás a fentiekben tárgyalt szimmetria kihasználásán, nevezetesen az állapotfüggvények \setbox0\hbox{$x_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szimmetriapontban mutatott viselkedésén alapszik (ld. előző formula).

Tekintsük először a szabad atom imént definiált egydimenziós (potenciálgödör) modelljét! A Kvantummechanika részben láttuk, hogy egydimenziós kötött állapot esetén a lehetséges állapotfüggvények megkeresése az igen szemléletes „próbálgatásos módszerrel” történhet.

Hullamfv kereses1.jpeg

Tegyük fel, hogy sikerült megoldanunk a Schrödinger-egyenletet és megkaptuk az \setbox0\hbox{$E$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% alapállapoti energiaszintet és az ehhez tartozó \setbox0\hbox{$\Psi(x)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% állapotfüggvényt. Látható, hogy az \setbox0\hbox{$E_{-} < E$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% nem lesz az atomban lévő elektron „jó” energiaszintje. Ez igen személetesen megérthető. Mivel \setbox0\hbox{$E_{-}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% valamivel kisebb, mint a „jó” \setbox0\hbox{$E$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% energia, ezért a potenciálgödörben az elektron impulzusa kisebb, a hozzá tartozó lokális de Broglie-hullámhossz nagyobb, tehát a \setbox0\hbox{$\Psi_{-}(x)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hullámfüggvény lassabban fog változni, mint a \setbox0\hbox{$\Psi(x)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. De ez azt jelenti, hogy (\setbox0\hbox{$x\to +\infty$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% esetén) nem tart a zérushoz. Így nem képezhető belőle egy valószínűségsűrűség-függvény. Teljesen hasonló a helyzet \setbox0\hbox{$\Psi(x)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% esetében.

Ekkor azonban a gödör belsejében a lokális impulzus megnő, és így a de Broglie-hullámhossz lecsökken, ezért a \setbox0\hbox{$\Psi_{+}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a \setbox0\hbox{$\Psi(x)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-hez képest gyorsabban fog változni. Ezért aztán a klasszikusan tiltott tartományban véges távolságon belül eléri az \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tengelyt, aminek következtében (\setbox0\hbox{$x\to +\infty$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% esetén) „elszáll” a végtelenbe. Azaz nem lesz „jó” állapotfüggvény! Mindezt már megtárgyaltuk a hullámfüggvények általános matematikai viselkedésének a vizsgálatakor. Lásd ábra.

A bemutatott „effektus” igen jól használható a kétatomos molekulapályák kvalitatív meghatározására. Ennek egy olyan (szimmetriameggondolásokon alapuló) „módját” választjuk, amelynél elkerülhető a Schrödinger-egyenlet teljes megoldása és ugyanakkor igen szemléletes.

Tekintsük az iménti atomi potenciálvölgyet és válasszunk ki egy \setbox0\hbox{$x_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pontot a jobboldali „klasszikusan tiltott” tartományban. Ez lesz majd az \setbox0\hbox{$AB$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% molekula szimmetriasíkjának a helye, azaz az \setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és a \setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% atommagot összekötő \setbox0\hbox{$D$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% egyenes szakasz felezőpontja.

Emeljük meg az energiát arra az \setbox0\hbox{$E = E_{+}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% energia szintre amikor a hozzátartozó hullámfüggvényre teljesül, hogy \setbox0\hbox{$\psi_{+}(x_0) = 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Ezek után csökkentsük le az energiát egy olyan \setbox0\hbox{$E = E_{-}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% értékre, amikor a hullámfüggvénynek az \setbox0\hbox{$x_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pontban vízszintes érintője van, azaz a deriváltja kielégíti a \setbox0\hbox{$\psi_{-}'(x_0) = 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% összefüggést.

Hullamfv kereses2.jpeg

„Takarjuk ki” a kapott ábra \setbox0\hbox{$x > x_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% részét, majd tükrözzük az egészet az \setbox0\hbox{$x_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pontra. A művelet elvégzése után megkapjuk a keresett molekulapályákat, hiszen

\[ \Psi_{-}(x)\to\Psi_K(x), \quad \Psi_{+}\to\Psi_L(x), \quad \Psi_{AB} = \begin{cases} \Psi_K & \text{páros függvény} \\ \Psi_L & \text{páratlan függvény} \end{cases} \]
Hullamfv kereses3.jpeg

Az alkalmazott „geometriai” módszer lényegéből adódik, hogy az így „megkonstruált” („összeszabott”) függvények a (\setbox0\hbox{$-\infty < x < +\infty$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) tartományban mindenhol kielégítik a Schrödinger-egyenletet, valamint pontosan teljesítik a hullámfüggvényekre kirótt általános követelményeket, azaz a Born-féle definícióval megtalálási valószínűségsűrűség-függvényeket adnak. Természetesen most az \setbox0\hbox{$E_A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% energiaszinthez tartozó hajdani \setbox0\hbox{$\psi(x)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% atomi állapotfüggvény „nem lesz jó”, hiszen a másik atom hatására „elszáll a \setbox0\hbox{$+\infty$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-be”.

\setbox0\hbox{$\Psi_K$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% állapot esetén a \setbox0\hbox{$\left| \Psi_K \right|^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a két atom közötti térben (a potenciálgátban) véges értékű, azaz az elektron itt véges valószínűséggel megtalálható. Szemléletesen szólva az elektron mintegy összetartja a két iontörzset. Ezért ez egy ún. kötőpálya lesz. A \setbox0\hbox{$\Psi_L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% állapot esetén a \setbox0\hbox{$\left| \Psi_L \right|^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a potenciálgát középpontjában (most \setbox0\hbox{$x_0 = 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) zérus értékű, ezért ez nem hozhat létre kötést. Ezt hívják lazítópályának.

Hullamfv kereses4.png

Megjegyzés. Látható, hogy mind a kötő, mind pedig a lazító molekulapályák a molekulát alkotó két atom \setbox0\hbox{$\Psi_A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$\Psi_B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% atompályáiból alkalmas lineáris kombinációval közelítőleg létrehozhatók (szuperpozíció elve!), hiszen:

\[ \Psi_K \approx \Psi_A + \Psi_B, \quad \text{valamint} \quad \Psi_L \approx \Psi_A - \Psi_B. \]

Ennek nagyon hasznos és szemléletes következményeit majd az MSc szintű Fizika tantárgyban fogjuk megtárgyalni. Az elmondottakhoz még csak annyit kell hozzátennünk, hogy a középiskolai Kémia órákon a „molekulakötéseknél” előkerült \setbox0\hbox{$\sigma$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$\pi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pályák esetén is ugyanerről van szó!

Általánosságban is elmondhatjuk, hogy két atom közelítésekor a szabad atomi energiaszint két közeli energiaszintre hasad fel. Az alacsonyabb energiájú a kötőpályákat, a magasabb energiájú a lazítópályákat adja.

\[ \begin{cases} E_{+} \equiv E_L > E_A & \text{$\Psi_L(x)$, lazító pálya}, \\ E_{-} \equiv E_K < E_A & \text{$\Psi_K(x)$ kötő pálya}. \end{cases} \]

Az „energiasáv szerkezet” kialakulásának fizikai okai

Maradva továbbra is az egydimenziós modellnél, az előzőekben elmondottak alapján „könnyen elfogadható” az, hogy ha \setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% darab egyforma atomot helyezünk el egy egyenes mentén (és így lépnek egymással kölcsönhatásba), akkor az atomi energiaszintek \setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% részre hasadnak fel.

Savszerkezet1.jpeg
Savszerkezet2.jpeg

A „felhasadás mértéke” nagyon kicsi az atomi energiaszintek közötti (\setbox0\hbox{${\rm eV}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-nyi) különbségekhez képest. Ezért, ha \setbox0\hbox{$N = 10^{23}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% nagyságrendű, akkor a felhasadt energiaszintek közötti távolság nagyságrendje \setbox0\hbox{$10^{-23} \, {\rm eV}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% körül van, ami gyakorlatilag „folytonosnak” tekinthető. Így szemléletesen azt mondjuk, hogy az atomi energiaszintek energiasávokká alakulnak.

A sávokat „tiltott energiatartományok”, ún. tiltott energiasávok (angol szóval gap-ek) választják el egymástól. Ha a felhasadás mértéke akkora, hogy a sávok egymásba nyúlnak, akkor sávátfedésről beszélünk.

Savszerkezet3.jpeg

Természetesen egy valódi, háromdimenziós kristályban a dolog kissé bonyolultabb. Ezen a szinten azonban ez az elvi lényeget nem érinti. Ennek matematikailag precíz és fogalmaiban árnyalt tanulmányozása azonban már csak az MSc kurzus keretei között lehetséges. Itt meg kell elégednünk az eddig bemutatott „kvalitatív képekkel”.

Savszerkezet4.jpeg
Savszerkezet5.jpeg

A szilícium kristályban a négy vegyértékű \setbox0\hbox{${\rm Si}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% atomok ún. gyémántrácsban kristályosodnak. Ekkor a szomszédos atomok a fenti ábrán bemutatott formációban helyezkednek el. Az atomi vegyérték elektronok \setbox0\hbox{$s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% illetve \setbox0\hbox{$p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% állapotúak. Az elemek periódusos rendszerének a magyarázatánál láttuk, hogy az elektronok közötti kölcsönhatás miatt az \setbox0\hbox{$s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és a \setbox0\hbox{$p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% állapotokhoz tartozó energiák kissé eltérnek egymástól. Ezen energiaszintek „sávokká történő” felhasadása látható a fenti ábrán.

Megjegyzés. A háromdimenziós részletes elméleti számítások szerint továbbra is fennáll az, hogy egy adott energiasávhoz tartozó (pálya)állapotok száma éppen a rácsban lévő atomok \setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% számával egyezik meg. Ezek közül azonban soknak ugyanaz lesz az energiája (ebben pl. különbözik az egydimenziós esettől). Ez a körülmény azonban a Pauli-elv teljesülésekor nem játszik szerepet. Hiszen ez az elv az állapotok betöltésére vonatkozik és ez nem függ attól, hogy ezek az állapotok milyen energiákhoz tartoznak.

Az energiasávok egymáshoz képesti elhelyezkedéséből következtethetünk az illető szilárd test elektromos vezetési tulajdonságaira is.

Azok az elemek, amelyeknek az atomjai páratlan számú vegyérték elektronnal rendelkeznek, biztosan elektromos vezetők lesznek. Ennek a kvalitatív magyarázata könnyen megérthető. Mint azt már említettük, minden energiasávhoz \setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% darab pályaállapot tartozik. A Pauli-elv miatt minden pályaállapotot maximum két elektron tölthet be (ellentétes spinnel). Erre azt szoktuk mondani, hogy „egy energiasávban éppen \setbox0\hbox{$2N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% darab elektronnak van hely”. Mármost minket elsősorban az érdekel, hogy a kristályban lévő elektronok energiája mekkora. A meghonosodott szóhasználat szerint azt akarjuk tudni, hogy „az elektronok az egyes energiasávokat hogyan töltik be?” Erre választ kapunk, ha tudjuk, hogy az elektronok a lehetséges állapotokat miként töltik be.

Ezen „energiacentrikus” szemlélet igen egyszerű, és ugyanakkor jól használható képet ad a szilárd test minket érdeklő (elsősorban elektromos és optikai) tulajdonságok megértéséhez. Tehát, ha atomonként páratlan számú vegyérték elektron vesz részt a kristály kialakulásában, akkor az állapotok betöltése után a „legfelső” még betöltésre kerülő energiasáv csak félig lesz feltöltve elektronokkal. Ezért, ha külső elektromos teret kapcsolunk a kristályra, akkor ezek az elektronok magasabb energiaszintre tudnak kerülni, azaz az elektromos tér hatására növekszik a kristálybeli kinetikus energiájuk. Ezt makroszkopikusan úgy észleljük, hogy a kristály vezeti az elektromos áramot. Ezért a félig (részlegesen) betöltött sávot vezetési sávnak hívjuk.

További, precíz részletekkel az MSc tanulmányainkban fogunk foglalkozni.

Savszerkezet6.jpeg

Az előzőek alapján azt várjuk, hogy a páros vegyértékű kristályok energiasávjai (alapállapotban) teljesen betöltöttek lesznek. Ha a tiltott sáv elegendően nagy (\setbox0\hbox{$5-10 \, {\rm eV}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%), akkor a betöltött sávban lévő elektronok még szobahőmérsékleten sem rendelkeznek annyi energiával, hogy „átugorják” a tiltott sávot. Hiszen pl. szobahőmérsékleten (\setbox0\hbox{$T = 300 \, {\rm K}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) a termikus mozgásra jellemző átlagos energia \setbox0\hbox{$kT \approx eV$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, és ez sokkal kisebb, mint a már említett \setbox0\hbox{$5-10 \, {\rm eV}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Így a legfelső (teljesen) betöltött sávot követő energiasáv üres lesz. Ha külső elektromos teret kapcsolunk a kristályra, akkor az elektronok energiája nem tud megnövekedni. Energetikailag mintegy „bezárva maradnak” a sávokba. Így a rendszer egészét tekintve „nem történik semmi”. Makroszkopikus skálán ez úgy jelentkezik, hogy a külső elektromos tér semmilyen hatással nincsen a kristályra. Azaz a kristály szigetelőként viselkedik. A teljesen betöltött sávokat vegyérték sávnak (sokszor valenciasávnak) nevezzük (utalva a vegyérték elektronokkal való betöltöttségre).

A várakozásunkkal ellentétben azonban vannak páros vegyértékű atomokból felépülő vezetők is. Ennek oka is szemléletesen megérthető. Ha ugyanis az atomi energiaszintek felhasadása olyan nagy, hogy a felhasadt sávok egymásba nyúlnak, akkor nem alakulhat ki tiltott sáv. Ez a már említett sávátfedés jelensége. Ekkor a keletkező új (eredő) sáv csak részlegesen lesz betöltve elektronokkal. Így a helyzet ugyanaz lesz, mint a fémek esetében volt. Tehát (páros vegyértékű) elektromos vezető alakul ki. Emiatt az átfedett sávot most is vezetési sávnak hívjuk.

Ha a sávfelhasadás mértéke olyan, hogy a „gap” mérete kb. \setbox0\hbox{$1 \, {\rm eV}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% lesz, akkor az eddigiekhez képest egy új jelenséggel találkozunk. Alapállapotban (makroszkopikusan ez a \setbox0\hbox{$T = 0 \, {\rm K}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-es esetet jelenti) az elektront tartalmazó (valencia-, vegyérték) sávok mindegyike teljesen be van töltve. Ha emeljük a kristály hőmérsékletét, akkor a legfelső vegyérték sávban lévő elektronok egy kis hányada át tudja ugorni a tiltott sávot. Így elektronok kerülnek az eddig üres vezetési sávba. Ezek a külső elektromos térre ugyanúgy reagálnak, mint azt már a fémeknél megbeszéltük. Mivel viszonylag kevés az ilyen módon gerjesztett elektronok száma, így a kevés töltéshordozó csak kis áramot jelenthet. Azaz a kristály „enyhe” vezetőképességgel fog rendelkezni. Az ilyen anyagokat szerkezeti félvezetőknek nevezzük.

Ha külső elektromos teret kapcsolunk a félvezetőre, akkor nem csak a vezetési sávban lévő elektronok reagálnak erre, hanem a vegyérték sáv elektronjai is. Ugyanis a külső elektromos tér hatására ezek az elektronok is magasabb energiaszintre képesek kerülni, hiszen az alacsonyabb energiájú betöltött állapotokból az elektronok a magasabb energiájú üres állapotokba juthatnak. Azaz a vegyérték sávban az „üres állapotok” mintegy „lefelé vándorolnak” az energiaskálán. Tudjuk, hogy a vegyérték sávban lehetséges, betölthető állapotok száma \setbox0\hbox{$10^{23}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% körül van. Szobahőmérsékleten ezeknek csak a töredéke üres. Egy \setbox0\hbox{$-e$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% (negatív) töltésű elektron eltávolítása a rendszerből ekvivalens egy \setbox0\hbox{$+e$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% (pozitív töltés) hozzáadásával. Ezért a betöltött állapotok elektronjai együttes hatásukban úgy viselkednek, mintha néhány pozitív töltésű részecske lenne jelen a félvezetőben. Ezeket a pozitív töltésű részecskéket lyukaknak nevezzük. Azt mondjuk, hogy ha felkerül egy elektron a vezetési sávba, akkor egy lyukat hagy hátra a vegyérték sávban. A vezetésben pedig mind az elektronok, mind pedig a lyukak részt vesznek.

A hőmérséklet emelésével növekedni fog a vezetési sávban lévő elektronok és a vegyérték sávban lévő lyukak száma, hiszen egyre több elektronnak lesz elegendő energiája ahhoz, hogy a tiltott sávot átugorja. A félvezetők vezetőképessége tehát \setbox0\hbox{$T = 0 \, {\rm K}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-en zérus (hiszen üres a vezetési sáv). A hőmérséklet emelkedésével pedig a vezetési töltéshordozók (elektronok és lyukak) számának növekedése miatt a vezetőképesség is nőni fog. Mindezeket a kísérleti eredmények számszerűen is fényesen igazolják.

Az elektronállapotok betöltöttsége és így a vezetési elektronok \setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% számának a kvantitatív számítása az \setbox0\hbox{$f^{FD}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% Fermi–Dirac-féle eloszlásfüggvény segítségével történik. Ehhez ismerni kell még az állapotoknak az energiaszintek szerinti \setbox0\hbox{${\cal N}(E)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% eloszlását is. Ezt állapotsűrűségnek hívják. Ezzel írható, hogy:

\[ n(E) = {\cal N}(E) f^{FD} (E,T). \]

Az Elektronika c. tantárgyban ez az összefüggés számtalanszor fog szerepelni.

Az \setbox0\hbox{$f^{FD}(E,T)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% Fermi–Dirac-féle eloszlásfüggvény jellegzetességeit az előző fejezetben vázlatosan már megtárgyaltuk. A jelen estben történő alkalmazása így semmi gondot nem jelenthet.

Az elmondottaknak megfelelően az előző ábrán a megbeszélt betöltési viszonyok Fermi–Dirac-függvény szerinti magyarázatát láthatjuk. Az állapotsűrűség és az \setbox0\hbox{$f^{FD}(E,T)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% eloszlásfüggvény pontos ismeretében a töltéshordozók számát elegendő pontossággal, numerikusan is meg tudjuk határozni.

Savszerkezet7.jpeg
Savszerkezet8.jpeg
Savszerkezet9.jpeg

Az elméleti modell(ek) helyességét a tervezett félvezető alkatrészek kellően pontos működése egyértelműen igazolja.

Adalékolt félvezetők

Eddig szerkezeti félvezetőkkel foglalkoztunk. Ez egy homogén félvezető egykristályt jelentett. \setbox0\hbox{$T = 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% Kelvin fokos hőmérsékleten a félvezetőben csak olyan elektron van, amelynek az állapota a vegyérték sáv valamelyik energiaszintjéhez tarozik és nincsen olyan vegyérték sávhoz tartozó állapot, amelyet elektron ne venne fel. Ugyanakkor olyan elektron nincsen a rendszerben, amelynek energiája a vezetési sáv valamelyik energiaszintjével egyezne meg.

Mint azt már az előzőekben megbeszéltük, ez a mondat precíz ugyan, de túl körülményes és hosszú. Ezért kialakult egy „szóhasználat” (egy „szakzsargon”) amelyet mondani szoktunk. Így az előbbi állítás röviden így hangzik: a vegyérték sáv állapotai mind be vannak töltve és a vezetési sáv minden állapota üres. Vagy még rövidebben: a vegyérték sáv teljesen tele van és a vezetési sáv üres. A továbbiakban ez utóbbi szóhasználattal fogunk élni.

Ha az alapállapotban lévő (\setbox0\hbox{$T = 0 \, {\rm K}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) rendszerhez hozzáadnánk egy elektront, akkor az csak a vezetési sávba kerülhetne, hiszen a vegyérték sávban már nincsen több hely (hiszen az alapállapotban teljesen tele van).

A vezetési elektronok számát azonban a gyakorlatban ilyen módon megnövelni nem tudjuk, mert így a félvezető kristály eredő elektromos töltése megváltozna. A kristály feltöltődne, ami makroszkopikus szinten is éreztetné nem kívánatos hatásait. Az ötlet azonban nem elvetendő és egy egyszerű „trükkel” megvalósítható. Eszerint az elektronnal együtt adjunk egy protont is a rendszerhez! Ezt legegyszerűbben úgy érhetjük el, hogy egy szilícium (\setbox0\hbox{${\rm Si}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) atomot pl. egy foszfor (\setbox0\hbox{${\rm P}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) atomra cserélünk ki. Ezt nevezzük adalékolásnak (néha szennyezésnek).

Hasonlítsuk össze a két atom elektronszerkezetét!

\[ {\rm Si}(14): (1s)^2 (2s)^2 (2p)^6 | (3s)^2 (3p)^2 \]
\[ {\rm P}(15): (1s)^2 (2s)^2 (2p)^6 | (3s)^2 (3p)^3 \]

A kétféle atom elektronszerkezetéből látszik, hogy az iontörzsük felépítése teljesen azonos, nevezetesen \setbox0\hbox{$(1s)^2 (2s)^2 (2p)^6$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. A vegyérték elektronok állapotai is egyformák, csak számuk különböző (4 és 5). Joggal feltételezhetjük (ismerve a protonok és az atomok egymáshoz viszonyított méretét), hogy a kétféle iontörzs mérete gyakorlatilag megegyezik. Tehát ez az „atomcsere” elhanyagolható rácsdeformációt fog okozni.

Mivel ezáltal a kristályba egy többlet elektron került, a foszfor atomokat donor atomoknak nevezzük. A többletelektron neve a donor elektron. (Donor = valamit adó.)

A foszfor atom környezetében azonban a fizikai viszonyok megváltoznak. Ennek oka az, hogy a foszfor iontörzs a környezetéhez képest egy protonnyi (pozitív) töltéstöbblettel rendelkezik. Ez az első pillanatra bonyolultnak tűnő rendszer egy egyszerű „hidrogénszerű modellel” közelítőleg egészen jól leírható.

Tekintsük ugyanis a szilícium kristályt folytonos (kontinuum) közegnek. Ekkor a foszfor atom helyén egy pontszerű pozitív (többlet)töltés fog megjelenni. A foszfor atom ötödik (többlet) vegyérték (donor) elektronja pedig ennek a terében kötött állapotba fog kerülni. Ha a donor elektron energiája elegendően nagy, akkor az „leszakadva” a pozitív ponttöltéstől, attól nagyon „eltávolodik”. Ha az elektron olyan messze került a pozitív töltéstől, hogy annak hatása már elhanyagolható, akkor ő már csak a tiszta szilícium kristályt érzékeli maga körül. Az elektron ekkor a szilícium kristályban immáron „szabadon” fog mozogni és így részt vesz a kristály elektromos vezetésében. De mint tudjuk ebben az esetben az energiájának a szilícium kristály vezetési sávjába kell esnie.

Mindebből következik, hogy a foszfor atom jelenléte a szilícium kristályban úgy modellezhető, mint egy (folytonos) szilícium közegben lévő hidrogén atom, amelynek ionizációs energiaszintje (a vákuum szint helyett) a szilícium kristály vezetési sávjának az alja.

Nyilvánvalóan, ennek a hidrogén atomnak az elektronja is érzékeli azt, hogy ő egy szilícium kristályba van „beágyazva”. Például úgy, hogy az elektromos töltése polarizálja a környezetében lévő kristályt, amit a szilícium dielektromos állandóján keresztül lehet figyelembe venni. Mindez azt jelenti, hogy a foszfor atom körül kialakuló kötött állapotok energiaszintjeit úgy kell meghatározni, hogy a hidrogén atom energiaszintjeit megadó összefüggésbe a vákuum \setbox0\hbox{$\varepsilon_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% dielektromos állandója helyett a szilícium \setbox0\hbox{$\varepsilon_0\varepsilon_r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% dielektromos állandóját írjuk.

Megjegyzés. A részletesebb modell szerint a kristályrács jelenléte egy összetett kvantummechanikai kölcsönhatás révén is megnyilvánul. Ezt az elektron „tömegének” a módosításával tudunk figyelembe venni (ezt nevezzük effektív tömeg közelítésnek). A részleteket azonban csak az MSc kurzuson fogjuk tárgyalni.

Tanultuk, hogy a hidrogén atom kötött elektronjának a lehetséges energiaszintjeit a következő formula adja meg (TK: 1051. és 1078. oldal):

\[ E_n = -\frac{m{\rm e}^4}{8h^2\varepsilon_0^2} \frac{1}{n^2} = -\frac{13,6 \, {\rm eV}}{n^2}, \quad \text{ahol} \quad n = 1,2,3,... . \]

Innen látszik, hogy az \setbox0\hbox{$n = 1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-hez tartozó alapállapotú elektronnak \setbox0\hbox{$13,6 \, {\rm eV}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-nyi energiát kell felvennie ahhoz, hogy az energiája elérje vákuum szintet jelentő \setbox0\hbox{$E=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% energiaszintet (ekkor \setbox0\hbox{$n\to\infty$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%). A szilicium kristályba ágyazott hidrogén atom modell esetén az energiaszinteket (a megadott módosítással) az

\[ E_n = -\frac{m{\rm e}^4}{8h^2 \varepsilon_0^2} \frac{1}{\varepsilon_r} \frac{1}{n^2} = -\frac{13,6 \, {\rm eV}}{\varepsilon_r^2} \frac{1}{n^2} \]

kifejezés adja meg. Mivel szilícium esetén \setbox0\hbox{$\varepsilon_r \approx 12$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, így az ionizációs energiára

\[ \frac{13,6}{12^2} \, {\rm eV} = 0,09 \, {\rm eV} \]

érték adódik.

Megjegyzés. A valódi érték ennek a fele, azaz \setbox0\hbox{$0.045 \, {\rm eV}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. A különbség abból adódik, hogy a \setbox0\hbox{${\rm Si}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% háttér valójában nem folytonos közeg. A kristályrács kvantummechanikai hatását is figyelembe kell venni. Erre szolgál az effektív tömeg fogalma. Ez hozza be e hiányzó \setbox0\hbox{$0.5$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-ös faktort. A részleteket az MSc szinten tárgyaljuk majd.

Mivel a szilícium esetén a tiltott sáv szélessége \setbox0\hbox{$1,1 \, {\rm eV}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, így valójában azt kaptuk, hogy a kötött állapotok energiaszintjei a vezetési sáv alja alatt, ahhoz nagyon közel, a tiltott sávban helyezkednek el.

Szilicium12.jpg

Alapállapotban (0 Kelvin hőmérsékleten) tehát az adalékolt félvezetők elektronszerkezete úgy néz ki, hogy a vegyérték sáv teljesen tele van, a vezetési sáv teljesen üres és a (donor) elektronok a foszfor atomok környezetében kötött állapotban vannak. Már nagyon kis hőmérsékletemelkedésre a kötött állapotban lévő donor elektronok leszakadnak a donor atomokról és felkerülnek a vezetési sávba. Sikerült tehát megnövelni a vezetésben résztvevő elektronok („n” típusú, negatív töltéshordozók) számát. Ezért ezt a félvezetőt n-típusú félvezetőnek szoktuk hívni.

Számoljuk ki a donor atomot modellező hidrogén atom „méretét”. Az ezt jellemző adat lehet az első Bohr-sugár. Mint azt láttuk, vákuumban lévő hidrogén atom esetében ez (TK: 1050. oldal)

\[ r_n = a_0 n^2, \quad \text{ahol} \quad a_0 = \frac{h^2}{\pi n {\rm e}^2} \varepsilon_0 = 0,0529 \, {\rm nm}. \]

Ha most a megbeszéltek szerint a dielektromos állandó helyére \setbox0\hbox{$\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-t írunk, akkor azt kapjuk eredményül, hogy a „modell hidrogén” atomunk sugara kb. 12-szer akkora, mint egy szabad hidrogén atomé. Tételezzük fel, hogy a kristályrácsban az atomok távolsága a szabad hidrogén atom sugarának kb. 3–4-szerese. Ebből az következik, hogy a szilícium kristályban lévő hidrogénszerű atom kb. 60 db. kristályatomot foglal magába. Ez a modell kiindulásául szolgáló „folytonos anyag” feltételezésével nagyjában összhangban van.

Teljesen hasonló a helyzet akkor, ha egy szilícium atomot pl. egy alumínium (\setbox0\hbox{${\rm Al}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) atomra cserélünk ki.

\[ {\rm Al}(13): \quad (1s)^2 (2s)^2 (2p)^6 | (3s)^2 (3p)^1. \]

Most a rendszerből elvettünk egy elektront és egy protont is. Ezért az alumínium atomot akceptor atomnak, a kristályt akceptor félvezetőnek nevezzük. (Akceptor = valamit elfogadó, itt elvevő.) Az egy elektron elvétele azt jelenti, hogy a vegyérték sávban egy üres hely jelenik meg. Megmutatható (MSc kurzus) hogy a vegyérték sáv elektronjainak együttes viselkedése (az elektron hiány miatt) egyetlen, pozitív töltésű részecskeként írható le. Ennek a „fiktív részecskének” a neve lyuk. Ez a pozitív lyuk lép kölcsönhatásba a hiányzó protont modellező negatív ponttöltéssel.

Szilicium3.jpg

Akceptor atom adalékolása esetén a kötött állapotok számítása pontosan úgy történik, mint a donor adalékolás esetén volt. A „negatív töltésű mag” terében a pozitív lyuk kötött állapotba kerül, amelynek az energiaszintjei a tiltott sávban lévő, „vegyérték sáv feletti” energiaszintekként jelennek meg.

Szilicium45.jpg

Az elektronok eloszlása a vegyérték sávban fizikailag ekvivalens a lyukak eloszlásával a lyuk sávban. Azért, hogy ne kellejen külön mindig egy „lyuk sávot” is felrajzolni (ez egy „kényelmi szempont”) a lyukak energia szerinti eloszlásának a szemléltetésére továbbra is az elektronok vegyérték sávját fogjuk használni. Azaz a vegyérték sáv be nem töltött állapotait fogjuk a lyukakkal azonosítani.

Tehát pl. alapállapotban (amikor a vegyérték sáv minden állapota be van töltve elektronnal) azt mondjuk, hogy „a vegyérték sávban nincsen egy lyuk sem”. Azaz a lyukmodell alapján a lyuk szempontjából nézve a vegyérték sáv teljesen „üres”. A lyukak a negatív töltésű rögzített „mag” körül kötött állapotban vannak. Azaz a lyukak betöltik az akceptor nívókat.

A rendszer hőmérsékletének emelkedésével nő a rendszer energiája. A lyukak leszakadnak a „negatív magokról” és szabaddá válnak, azaz újabb szabad lyukak („p” típusú, pozitív töltéshordozók) jelennek meg amelyek részt vesznek félvezető elektromos vezetésében. Ezért ezt a félvezetőt p-típusú félvezetőnek szoktuk nevezni. Az elektronok nyelvén ez azt jelenti, hogy a vegyérték sávból elektronok „ugranak fel az akceptor nívóra” (ld. fenti ábra). Ennek megfelelően a vegyérték sávban üres állapotok keletkeznek. Ez a lyukmodellben azt jelenti, hogy a lyukak felkerültek a „lyuk sávba”, de ehelyett azt szoktuk mondani, hogy „lyukak jelentek meg a vegyérték sávban” (ld. fenti ábra). Tovább növelve a hőmérsékletet, a vegyérték sávot újabb elektronok hagyják el, azaz újabb lyukak jelennek meg és vesznek részt a vezetésben.

A lyukak és az elektronok számát (többek között) a Fermi–Dirac eloszlásfüggvény segítségével tudjuk numerikusan is meghatározni. További praktikus, számítás-technikai részletekkel a szakmai tantárgyaknál illetve az MSc Fizika kurzusban találkozhatunk.

Az alábbi két táblázatban a legfontosabb adalékolt félvezető adatokat mutatjuk be.

Szilícium kristály esetén:

Szilicium felvezetok.jpg

Gallium-Arzenid kristály esetében pedig:

Galliumarzenid felvezetok.jpg

A félvezető alapú elektronikai alkatrészekben lejátszódó jelenségek fizikai alapja az ún. p-n átmenet. Ez úgy állítható elő, hogy egy p-típusú és egy n-típusú félvezetőt szorosan „összeillesztünk”. A kialakult struktúra elektronszerkezete a következő gondolatmenettel érthető meg.

A szilárd testek energia-sávszerkezetének tárgyalásakor nem beszéltünk arról, hogy milyen fizikai viszonyok uralkodnak a félvezető szélénél. Mivel az elektronok „önmaguktól” nem lépnek ki a szilárd anyagból ezt úgy modellezhetjük, hogy az elektronok egy potenciálgödörben vannak. A potenciálgödör valójában az elektron potenciális energia függvényét jelenti. Ebben a „potenciálgödörben” lévő elektronok lehetséges energiaszintjei a tanult „sávokba” rendeződnek. A potenciálgödör „teteje” a vákuum szintet jelenti.

Ha a p-típusú és az n-típusú félvezető felület egymástól nagyon távol van, akkor szükségképpen a vákuumszintjük megegyezik.

Ha két félvezető elegendően közel kerül egymáshoz, akkor a két felület egy potenciálgátat fog alkotni. A vákuumszintek egyenlősége miatt a vezetési sáv egy \setbox0\hbox{$E$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% energiaszintjén a p oldalon sokkal kevesebb elektron van, mint az n oldalon. Így (mivel az elektronok egyforma valószínűséggel mennek „jobbra” vagy „balra”) elektronok lépnek át az n-típusú félvezetőből a p-típusúba.

Pn felvezeto1.jpg

Ennek következtében az érintkező felület két oldala között töltésmegosztás keletkezik, amely potenciálkülönbséget hoz létre a két félvezető között, és ez csökkenti az eredeti Fermi-szintek közötti különbséget.

Ez a töltésmegosztás addig folytatódik, ameddig a rendszer egyensúlyi állapotba nem jut, azaz két Fermi szint egyenlő nem lesz. Ugyanis egyetlen kvantummechanikai rendszerről lévén szó, csak egyetlen Fermi szint lehet. Mivel az átment elektronok \setbox0\hbox{$\Delta N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% száma sokkal kisebb mint a két félvezetőben lévő elektronok (\setbox0\hbox{$N_p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$N_n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) száma, ezért a Fermi-szintnek a saját energiasávjukhoz viszonyított helyzete gyakorlatilag nem változik meg. A (pozitív, illetve a negatív) többlettöltések (a dielektrikumoknak megfelelően) a határoló felület környezetében oszlanak el. A kialakult térfogati töltéssűrűség alakítja ki az eredő elektromos teret és így az elektronok potenciális energia függvényét. A kialakult energiaviszonyokat az alábbi ábrán szemléltettük. A szokásoknak megfelelően ezen egy \setbox0\hbox{$E(x)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvényt ábrázoltunk, ahol \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a p-n átmenetre merőleges irányt jelenti.

Megjegyzés. Általában az \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-et nem szokták kiírni, ezért mi sem tesszük. Az \setbox0\hbox{$E(x)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% közelítő kiszámítására az Elektronika tantárgy kereteiben kerül sor.

Pn felvezeto2.jpg

Az elektronok energia szerinti eloszlását a Fermi–Dirac eloszlásfüggvény határozza meg.

Ha beállt a termikus egyensúly, akkor már nincsen töltésáramlás. Ennek az az oka, hogy az adott energiájú elektronok sűrűsége „mindkét oldalon” ugyanakkora. Ezt az ábrán úgy szimbolizáljuk, hogy egy adott energiaszintre mindkét oldalon ugyanannyi elektront és lyukat rajzoltunk.

Kapcsoljunk a p oldalra pozitív és az n oldalra negatív feszültséget. Ekkor a p-n ,átmenetben egy olyan („külsőnek” nevezett) \setbox0\hbox{${\bf E}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% elektromos tér alakul ki, amely a p-től az n irányába mutat! Így az elektronok vezetési sávbeli energiaszintjei az n oldalon a magasabb energiák irányába tolódnak el. Ezáltal az n oldali betöltött energiaszintek a p oldali csak kevéssé betöltött (mondhatni üres) energiaszintekkel kerülnek azonos nívóra. Ezáltal az n oldali „többségi” töltéshordozók (ezek most az elektronok) átmennek a p oldalra. Így egy erős \setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% (diffúziós) áram indul meg. Ez folyamatosan fennmarad, hiszen az áramkörből állandóan pótlódnak a töltések. Ezt a jelenséget nyitásnak nevezzük. Az ábráról az is leolvasható, hogy ugyanez az effektus igaz a vegyérték sávban lévő pozitív töltéshordozókra azaz a lyukakra is. Ugyanis a „nyitó irányú” tér hatására a p oldalon többségben lévő lyukak átáramlanak az n oldalra, ezzel is növelve a nyitó áram nagyságát. A teljes áram tehát a (többségi töltéshordozókból) elektronokból és lyukakból fog állni. A p-n átmenetre kapcsolt \setbox0\hbox{$U$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% feszültséget nyitó feszültségnek, a folyó áramot nyitó irányú áramnak hívjuk. Mindezt az alábbi ábrán szemléltettük.

Pn felvezeto3.jpg

Ha most az n oldalra kapcsoljuk a pozitív és a p oldalra a negatív feszültséget, akkor (az ellenkező irányú \setbox0\hbox{${\bf E}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% elektromos tér hatására) az n oldalon lévő elektronok energiája lecsökken. Ezáltal az p oldali kevéssé betöltött energiaszintek az n oldali (gyakorlatilag) üres energiaszintekkel kerülnek azonos nívóra. Ezáltal a p oldali „kisebbségi” töltéshordozók (ezek most is az elektronok) átmennek az n oldalra. Azaz egy igen kicsi \setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% áram lép csak fel. Ez szintén folyamatosan fennmarad. Ezt a jelenséget zárásnak nevezzük. A p-n átmenetre kapcsolt ilyen irányú \setbox0\hbox{$U$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% feszültséget záró feszültségnek, a folyó kicsi áramot pedig záró irányú áramnak hívjuk. Hasonlóan magyarázható a vegyérték sávban lévő kisebbségi lyukak áramlása is.

Pn felvezeto4.jpg

A tárgyalt p-n átmenet az ún. félvezető dióda.

A jellegzetes \setbox0\hbox{$I(U)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% dióda (karakterisztika) függvény matematikai formában történő meghatározására szintén az Elektronika tantárgy bevezető fejezeteiben kerül majd sor. Az elmondottak alapján kialakuló dióda karakterisztikát az alábbi ábra szemlélteti.

Dioda karakterisztika.jpg

Ha most tovább növeljük a záró feszültséget, akkor egy igen érdekes effektussal találkozhatunk:

Zener effektus.jpg

Elegendően nagy feszültség esetén ugyanis a p oldal vegyérték sávja az n oldal vezetési sávjával energetikailag azonos szintre kerül. Így az igen sok elektront tartalmazó p oldali vegyérték sávot az igen kevés elektront tartalmazó n oldali vezetési sávtól csak egy keskeny potenciálgát választja el. Nyilvánvaló, hogy ez a „meredeken megdőlt” tiltott sáv annál keskenyebb, minél nagyobb a záró irányú feszültség. Ez a tiltott sáv az elektron számára „ugyanolyan” tartományt jelent, mintha egy „klasszikusan tiltott tartomány” volna. Azaz egy potenciálgátként funkcionál. Ezen a gáton az elektronok alagút effektussal átjuthatnak. Így (mivel igen sok elektronunk van ezeken az energiaszinteken) egy igen erős, ún. letörési áram indul el. Ezt a jelenséget felfedezőjéről Zener-effektusnak nevezik.

Az alábbi ábrán bemutatunk egy valódi mért Zener \setbox0\hbox{$I-U$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% karakterisztikát is a nagyságrendi adatok érzékeltetése végett.

Zener karakterisztika.jpg

Az erősen adalékolt félvezetők és technikai alkalmazásai

Az alagút dióda

Clarence Zeners 1934-ben ajánlotta először egy olyan effektus kísérleti létrehozását, amelyben igen erős (belső) elektromos tér hatására az elektronok a vegyérték sávból a tiltott sávon keresztül a vezetési sávba jutnak. Ő volt az első, aki kiszámította ennek az „átugrásnak” a valószínűségét.

Az effektus kísérleti megvalósítása kb. 30 évet váratott magára. 1957-ben Leo Esaki kísérleti úton igazolta Zener elméleti jóslatát. Kísérleteit a Sony Co. laboratóriumában, Galliummal és Arzénnel erősen adagolt Germániummal végezte. Az eredményei alapján fejlesztette ki a róla elnevezett tunnel diodáts.

Munkássága elismeréseként 1973-ban elnyerte a fizikai Nobel-díjat. (Mindezt az alagúteffektus kapcsán már elmondtuk.)

A következőkben erről az effektusról lesz szó. Mi történik, ha az adalékolás mértékét erősen megnöveljük?

Egy bizonyos „szennyezési” koncentráció felett az adalékolt atomok olyan közel kerülnek egymáshoz, hogy kölcsönhatásba lépnek egymással. Az előzőekben láttuk, hogy egy (szerkezeti) félvezetőbe ágyazott idegen (adalékolt) atom körüli „kötött állapot térbeli mérete” jócskán megnő. Így az adalékolt atomok közötti kölcsönhatás könnyebben létrejön. Ekkor (az előzőekben már bemutatott effektus miatt) a kötött állapotok energiaszintjei sávokká hasadnak fel. Ez a sáv aztán „egybeolvad” a vezetési illetve a vegyérték sávval, mintegy kiszélesítve azt. A Fermi-szint ekkor adalékolt atomok sávja és a félvezető sáv elválasztó határán van.

Az alábbi ábrán mind a donor, mind pedig az akceptor nívók sávvá szélesedését mutatjuk be. (Ezt gyakran a szennyezési nívók elfajulásának is nevezik.)

Nivok savva szelesedese.jpg

Természetesen ezekből a félvezetőkből is csinálhatunk egy p-n átmenetet. Így jutunk el az Esaki-féle alagút diodához. A „szokványos” p-n átmeneteknél alkalmazott záró- és nyitó irányú feszültségeket kell alkalmazni most is.

Kapcsoljunk záró feszültséget a diodánkra. Mint az az alábbi ábrán látható, egy igen erős, záró irányú alagút áram (\setbox0\hbox{$I_{AZ}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) indul el.

Dioda alagut aram zaro.jpg

Ennek oka nyilvánvalóan az, hogy a vegyérték sáv sok elektront tartalmazó energiaszintjei a vezetési sáv majdnem üres energianívóival kerülnek egy szintre. A „tiltott sáv jelentette” viszonylag keskeny potenciálgáton az elektronok könnyen „átalagutaznak”. (A jelenség fizikai lényege „ugyanaz”, mint ami a Zener effektusnál volt.)

Kis nyitó irányú feszültségek esetén egy igen erős (\setbox0\hbox{$I_{\rm ANy}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) alagút áram lép fel (ld. b. ábra).

Dioda alagut aram nyito.jpg

Ennek oka az, hogy a vegyérték sáv üres energiazónája (amely a sávvá szélesedett akceptor nívókból áll) az energiaskálán mintegy „fedésbe” kerül a vezetési sáv betöltött energiazónájával (azaz a donor nívók sávjával). A maximális alagútáram természetesen a maximális „átfedés” esetén lép fel.

Tovább növelve a nyitófeszültséget, a sávok egyre jobban eltolódnak és a kívánt „átfedés” lassan megszűnik. Így az alagútáram csökkeni kezd majd meg is szűnik. A diódán azonban továbbra is folyik egy igen kicsiny \setbox0\hbox{$I_{\rm Ny}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% áram, hiszen a többségi töltéshordozók (a véges \setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hőmérséklet miatt) már megjelentek a magasabb energiaszinteken is (lásd c. ábra, fennebb).

Még tovább növelve a nyitófeszültséget, ez a nyitó irányú \setbox0\hbox{$I_{\rm Ny}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% áram is növekedni fog. A helyzet pontosan ugyanaz, mint az a „hagyományos” p-n átmenetnél volt (ld. d. ábra, fennebb). Így a mostani nyitóirányú \setbox0\hbox{$I-U$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvény is ugyanolyan jellegűvé válik, mint amilyent már láttunk a „normális” diodáknál.

Nyito karakterisztika.jpg

A teljes „áram-feszültség” karakterisztikát a fenti ábra mutatja. Az \setbox0\hbox{$I-U$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvény jellegzetessége az a negatív ellenállású tartomány, amelyik a nyitó irányban lép fel akkor, amikor a növekvő nyitófeszültség ellenére az áram csökken. Pontosan ez a jelenség adja az alagút dióda technikai különlegességét. A karakterisztikának ezt a tartományát pl. „gyorsműködésű” oszcillátorok készítésére szokták felhasználni.

Fénykibocsátó diódák

Az erősen adalékolt p-n átmenetek másik, igen fontos alkalmazási területe a fénykibocsátó félvezetők. Ezek lehetnek

a.) egyszerű fényforrások (LED = Light Emitting Diode) vagy

b.) koherens fényt szolgáltató félvezető LASER-ek.

Az alapeffektus mindkettőnél lényegében ugyanaz, „csak” a megvalósító félvezető és a kiegészítő „struktúra” más. A részleteket az Elektronika tantárgy idevonatkozó fejezeteiből tudhatjuk majd meg. Itt most csak a jelenség fizikai lényegét tudjuk bemutatni, annak is a „sávszerkezetből adódó” (energetikai) részletét.

A LED működési elve az energiasáv-ábra alapján érthető meg.

Led elve.jpg

Ha a nyitó irányú feszültség elegendően nagy, akkor (szemléletesen szólva) a vegyérték sáv üres zónája és a vegyérték sáv betöltött donor sávja a p-n átmenet \setbox0\hbox{$L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tartományában kerül egymással „térbeli átfedésbe”. Ez azt jelenti, hogy a p és az n típusú félvezetőket elválasztó (térbeli) átmeneti tartományban elektronok és lyukak halmozódnak fel. Mivel ezek a tér egy adott térfogatában együtt vannak jelen, így egymással kölcsönhatásba lépve „rekombinálódnak”. Azaz az „állapotok” nyelvén mondva, az \setbox0\hbox{$L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tartományban lévő elektronok a vezetési sávból visszaugranak a vegyérték sáv üres állapotaiba, így csökkentve a rendszer energiáját. Az elektronok az energiájukat egy foton kibocsátásával „vesztik el”. Ezáltal elektronok és lyukak tűnnek el az \setbox0\hbox{$L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% zónából. Erre mondjuk azt, hogy „egy elektron-lyuk pár egy foton kibocsátásával rekombinálódott”. A rekombinációk egymástól függetlenül zajlanak le.

A folyamat állandósul, hiszen a fellépő nyitóáram állandóan gondoskodik az újabb elektron-lyuk párok megjelenéséről az \setbox0\hbox{$L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% zónában. (Ezt a folyamatot injektálásnak nevezi a szakirodalom.) Amíg a megfelelő nyitófeszültég be van kapcsolva, a dióda fényt bocsát ki. A fény frekvenciáját a sávszélesség, a nyitófeszültség és a hőmérséklet (azaz a sávok betöltöttsége) együttesen (de nem egyforma mértékben) határozza meg. A részletek megértse azonban már túlhaladja egy BSc Fizika kurzus kereteit, hiszen mint az bizonyára látszik, komolyabb félvezető-(szilárdtest)-fizikai ismereteket igényel.

Ledek.jpeg

Megjegyzés. A p-n átmenet térbeli \setbox0\hbox{$L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tartományát kiürített rétegnek nevezik. Az amúgy igen „szemléletes” elnevezés részletes fizikai okait az MSc fizika kurzus tárgyalja majd. De az Elektronika tantárgy idevonatkozó részeinél is lesz van szó.

A félvezető LASER működési elvét az energiasáv-ábra alapján lehet elmagyarázni.

Laser mukodesi elv.jpg

Mind a LED, mind pedig a LASER esetén az elemi fény-effektust az „elektron-lyuk párok” rekombinációja szolgáltatja. Nyilvánvaló azonban, hogy amíg a LED esetén a spontán emisszió, addig a LASER esetén az „indukált emisszió” a domináló effektus.

A LASER működés alapelveinél tanultak értelmében, a félvezetőben valami módon egy ún. „inverz populációt” kell létrehozni. Erre elvileg a LED-nél látott \setbox0\hbox{$L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% réteghez hasonló tartomány lehetne alkalmas. Ennek technikai megvalósítsa azonban (a LASER működés biztosításának a követelménye miatt) már komplikáltabb feladat. A (bonyolult) elméleti ismereteknek a hiányában fogadjuk el tényként az alábbiakat.

A félvezető lézerek (egy lehetséges) felépítése a következő. \setbox0\hbox{${\rm Ga \, As}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% (gallium-arzenid) kristály p illetve n típusú \setbox0\hbox{${\rm Ga \, Al \, As}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% (gallium-alumínium-arzenid) réteg között „helyezkedik” el. Ezt az ún. rétegszerkezetet (szendvics szerkezetet) ma már rutinszerűen létre lehet hozni az ún. epitaxiális rétegnövesztés technológiájának az alkalmazásával. Ennek az a lényege, hogy a megadott struktúrát (alakzatot) atomi rétegenként lehet létrehozni, így a különböző félvezető típusú tartományokat csupán csak atomrácsnyi szélességű átmenetek választják el egymástól. Így a \setbox0\hbox{${\rm Ga \, As}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% réteg igen jól lokalizált lesz.

Ez a réteg (itt nem részletezhető elvi okok miatt) már alkalmas arra, hogy benne a szükséges inverz populáció létrejöjjön.

A \setbox0\hbox{$p{\rm Ga \, Al \, As} – {\rm Ga \, As}-n{\rm Ga \, Al \, As}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% „hármas réteget” egy p-n átmenetnek is tekinthetjük. Ha reá nyitó feszültséget kapcsolunk, akkor a \setbox0\hbox{${\rm Ga \, As}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% rétegben inverz populáció alakul ki.

A LASER effektus létrejöttéhez minden körülmény rendelkezésre áll. Mindez az energiasáv ábrán látható (ld. fennebb).

Az indukált emisszió létrejöttéhez szükséges „optikai rezonátort” a \setbox0\hbox{${\rm Ga \, As}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% „külső felületén” alakítják ki. Sokszor ez nem is igényel külön tehnológiát, mert a \setbox0\hbox{${\rm Ga \, As}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% félvezető törésmutatója elég nagy (kb. 2-3), és így a felület kristálysikja elegendően jó visszaverő felületet szolgáltat. Természetesen vigyázni kell a felület kellő megmunkálására.

Így tehát ez a \setbox0\hbox{${\rm Ga \, As}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% réteg lesz az az aktív tartomány, amelyben az elektronok, a lyukak és a fotonok kölcsönható keveréke a LASER effektust produkálni fogja.


A lap eredeti címe: „https://fizipedia.bme.hu/index.php?title=Szilárdtestfizika&oldid=1686”