„3. Mérés: RC-körök vizsgálata” változatai közötti eltérés
a |
|||
(2 szerkesztő 33 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
18. sor: | 18. sor: | ||
$$ U(t)=U_0cos(2\pi ft+\varphi).$$ | $$ U(t)=U_0cos(2\pi ft+\varphi).$$ | ||
− | Hasznos még bevezetni a körfrekvenciát $\omega$=2$\pi | + | Hasznos még bevezetni a körfrekvenciát $\omega$=2$\pi f$. Az időbeli változást leíró differenciál egyenletek könnyebb kezeléséhez érdemes bevezetni az alábbi komplex változót, melynek valós része adja a mérhető jelet: |
− | $$ U(t)=U_0e^{\omega t+\varphi}=U_0e^\varphi e^{\omega t}.$$ | + | $$ U(t)=U_0e^{i(\omega t+\varphi)}=U_0e^{i\varphi} e^{i\omega t}.$$ |
A harmonikusan változó feszültség a komplex síkon egy $U_0$ sugarú kört ír le. A komplex számot reprezentáló vektor fázisszöge $\omega t+\varphi$ állandó szögsebességgel fordul körbe. | A harmonikusan változó feszültség a komplex síkon egy $U_0$ sugarú kört ír le. A komplex számot reprezentáló vektor fázisszöge $\omega t+\varphi$ állandó szögsebességgel fordul körbe. | ||
| [[File:Uosc.jpg|225px|thumb|right|Általános időben harmonikusan változó feszültség]] | | [[File:Uosc.jpg|225px|thumb|right|Általános időben harmonikusan változó feszültség]] | ||
|} | |} | ||
+ | |||
===Lineáris áramköri elemek=== | ===Lineáris áramköri elemek=== | ||
30. sor: | 31. sor: | ||
{| | {| | ||
|- | |- | ||
− | | Lineáris áramköri elemek esetén az áthajtott áramot és az elemen eső | + | | Lineáris áramköri elemek esetén az áthajtott áramot és az elemen eső feszültséget vagy azok deriváltjait lineáris összefüggés kapcsolja össze. Legegyszerűbb ilyen elem az ohmikus ellenállás: |
$$ U=RI $$ | $$ U=RI $$ | ||
− | Az ellenálláson áthaladó áramot az alábbi komplex alakban adhatjuk meg | + | Az ellenálláson áthaladó áramot az alábbi komplex alakban adhatjuk meg |
− | $$ I=I_0e^{\omega t}, $$ | + | |
− | + | $$ I=I_0e^{i\omega t}, $$ | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | melyből kiszámíthatjuk a rajta eső feszültsége: | |
− | + | $$ Ue^{i\omega t}=RI_0e^{i\omega t}. $$ | |
− | $$ | + | Tehát az áram és a feszültség fázisa azonos az amplitúdokat pedig a $U_0$=$RI_0$ összefüggéssel számolhatjuk ki. |
− | + | | [[File:ZR.jpg|400px|thumb|right|Áram és feszültség jelek fázis viszonyai ohmikus ellenállás esetén.]] | |
− | | [[File: | + | |} |
+ | |||
+ | {| | ||
+ | |- | ||
+ | | Egy $L$ induktivitással jellemezhető tekercs esetén a tekercs kapocsain mérhető feszültséget az alábbi képlet adja meg: | ||
+ | |||
+ | $$ U=L\frac{dI}{dt}. $$ | ||
+ | |||
+ | Az időben harmonikusan változó áramot ismét komplex alakban adjuk meg | ||
+ | |||
+ | $$ I=I_0e^{i\omega t}, $$ | ||
+ | |||
+ | melyből a tekercs kapcsain mérhető feszültség: | ||
+ | |||
+ | $$ Ue^{i\omega t}=i\omega LI_0e^{i\omega t}. $$ | ||
+ | |||
+ | Tehát a feszültség fázisa $\frac{\pi}{2}$-vel eltolódik az áramhoz képest, az amplitúdokat pedig a $U_0$=$\omega LI_0$ összefüggéssel számolhatjuk ki. Érdemes bevezetni az ellenálláshoz hasonló fogalmat, az impedanciát. Ez a komplex mennyiség lineáris áramkörökben megadja a feszülség és az áram komplex arányát. Induktivitás esetén $Z_L$=$i\omega L$. | ||
+ | |||
+ | | [[File:ZL.jpg|400px|thumb|right|Áram és feszültség jelek fázis viszonyai tekercs esetén.]] | ||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | {| | ||
+ | |- | ||
+ | | A $C$ kapacitással jellemezhető kondenzátor esetén ismert, hogy | ||
+ | |||
+ | $$ Q=CU. $$ | ||
+ | |||
+ | Ezt az összefüggést deriválva és átrendezve a korábbiakhoz hasonló alakú kifejezést kapunk: | ||
+ | |||
+ | $$ \frac{dU}{dt}=\frac{1}{C}I, $$ | ||
+ | |||
+ | hiszen a kondenzátor eltolási árama a töltésváltozással egyenlő. A komplex feszültség-áram összefüggés az alábbi alakot ölti: | ||
+ | |||
+ | $$ Ue^{i\omega t}=\frac{1}{i\omega C}I_0e^{i\omega t}. $$ | ||
+ | |||
+ | Tehát a feszültség fázisa -$\frac{\pi}{2}$-vel eltolódik az áramhoz képest, az amplitúdokat pedig a $U_0$=$\frac{I_0}{\omega C}$ összefüggéssel számolhatjuk ki. A kondenzátorhoz tartozó impedancia $Z_C$=$\frac{1}{i\omega C}$. | ||
+ | |||
+ | | [[File:ZC.jpg|400px|thumb|right|Áram és feszültség jelek fázis viszonyai kondenzátor esetén.]] | ||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | ===Soros RC kör=== | ||
+ | |||
+ | {| | ||
+ | |- | ||
+ | | Az ábrán látható soros RC körrel vizsgálhatjuk egy $C$ kapacitású kondenzátor feltöltődését és kisülését. Ha hosszú időn keresztül véges $U$ feszültséget kapcsolunk a körre a kondenzátor feltöltődik. Ezt követően, t=0 időpillanatban a kapcsolót átkapcsolva rövidre zárjuk az áramkört, azaz a bemeneti pontok azonos feszültségre kerülnek: | ||
+ | |||
+ | $$ U_R+U_C=0. $$ | ||
+ | |||
+ | Ekkor a kondenzátor fegyverzetein tárolt töltések átáramlanak az ellentétes fegyverzetre, hogy az új egyensúly elérését követően nulla feszültség essen a bemeneten (és a kondenzátoron is). Ezt az áramot például a fenti egyenlet deriválásával számíthatjuk ki: | ||
+ | |||
+ | $$ \frac{dU_R}{dt}+\frac{dU_C}{dt}=R\frac{dI}{dt}+\frac{I}{C}=0. $$ | ||
+ | |||
+ | Tehát az áramkörben folyó időfüggő áram az alábbi differenciálegyenletet elégíti ki: | ||
+ | |||
+ | $$ \frac{dI}{dt}=-\frac{I}{RC}. $$ | ||
+ | |||
+ | Az $RC$ szorzat láthatóan idő dimenziójú, érdemes bevezetni a $\tau$=$RC$ időállandót. Az exponenciális függvény kielégíti a fenti egyenletet, hiszen deriváltja szintén exponenciális: | ||
+ | |||
+ | $$ I=I_0e^{-t/\tau}, $$ | ||
+ | |||
+ | ahol $I_0$ később meghatározandó állandó. (Ellenőrizzük, hogy ez a függvény valóban megoldása a fenti differenciálegyenletnek!) Az integrálási állandó meghatározásához használjuk fel, hogy t=0 idő pillanatban ismert $U$ feszültségre volt feltöltve a kondenzátor, tehát az $Q$=$CU$ töltést tárolt. A kapcsoló átfordítása után átfolyó töltésmennyiségnek egyenlőnek kell lennie a tárolt töltéssel: | ||
+ | $$ Q=\int_0^\infty I_0e^{-t/\tau}dt= -I_0\tau e^{-\infty/\tau}+I_0\tau e^{0/\tau}=I_0\tau. $$ | ||
+ | |||
+ | | [[File:RC_switch.jpg|250px|thumb|right|Soros RC kör kisülése]] | ||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | {| | ||
+ | |- | ||
+ | | Megvizsgálhatjuk a soros RC kör harmonikus meghajtásra adott válaszát is. Például a meghajtó $U_{be}$ feszültség $U_{ki}$=$U_C$ kondenzátor feszültségre gyakorolt hatását. Az eszközökön eső feszültség a meghajtó feszültséggel lesz egyenlő: | ||
+ | |||
+ | $$ U_R+U_C=U_{be}. $$ | ||
+ | |||
+ | Az impedanciáról tanultakat felhasználva | ||
+ | |||
+ | $$ U_{be}=RI+Z_CI, $$ | ||
+ | $$ U_{ki}=Z_CI=\frac{Z_C}{R+Z_C}U_{be}=\frac{1}{i\omega RC+1}U_{be}=\frac{1}{i\omega\tau+1}U_{be}. $$ | ||
+ | |||
+ | | [[File:RC.png|250px|thumb|right|Soros RC kör]] | ||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | {| | ||
+ | |- | ||
+ | | Az amplitúdók arányát és a fáziskülönbséget az alábbi arány számításával határozhatjuk meg: | ||
+ | |||
+ | $$ \frac{U_{ki}}{U_{be}}=\frac{\vert U_{ki}\vert}{\vert U_{be}\vert} e^{\varphi_{ki}-\varphi_{be}}. $$ | ||
+ | |||
+ | Az amplitúdóarányt az alábbi Lorentz görbe adja meg: | ||
+ | |||
+ | $$ \frac{\vert U_{ki}\vert^2}{\vert U_{be}\vert^2}=\frac{1}{1+(\omega\tau)^2}. $$ | ||
+ | |||
+ | Tehát 1/$\tau$ körfrekvencia alatt a feszültség nagyrészt a kapacitáson esik, míg nagyobb frekvenciákon az impedanciája és a rajta eső feszültség is lecsökken. A fáziskülönbséghez a komplex szám fázisát kell meghatározni: | ||
+ | |||
+ | $$ \frac{U_{ki}}{U_{be}}=\frac{1-i\omega\tau}{1+(\omega\tau)^2}. $$ | ||
+ | |||
+ | A fázisszöget a képzetes és valós rész hányadosa adja meg: | ||
+ | |||
+ | $$ tg(\varphi)=-\omega\tau. $$ | ||
+ | | [[File:RC_trans.jpg|250px|thumb|right|Amplitúdóarány és fáziskülönbség frekvencia függése soros RC körben.]] | ||
|} | |} | ||
==Mérési feladatok== | ==Mérési feladatok== | ||
− | '''1. Feladat''' | + | '''1. Feladat''' A próbapanelen állítsuk össze az alábbi kapcsolást. Az R ellenállás legyen 10 k$\Omega$, a C kapacitás pedig az ismeretlen, barna áramköri elem. U$_{be}$ bemenetre csatlakoztassuk a myDAQ mérőkártya AO 0 illetve AGND (referencia pont) kimenetét, és a függvénygenerátor segítségével kapcsoljunk a bemenetre f=1 kHz frekvenciájú, V$_{pp}$=1 V-os szinusz jelet. A bemeneti és a kondenzátoron eső U$_{ki}$ kimeneti feszültséget kapcsoljuk a mérőkártya AI 0+, AI 0- és AI 1+, AI 1- csatlakozói közé. Az oszcilloszkóp mindkét csatornáját kapcsoljuk be, majd állítsuk be a feszültségerősítést, időosztást valamint a triggert. |
+ | |||
+ | Rögzítsük mindkét csatornán a feszültség időfüggését, majd az oszcilloszkóp program STOP gombjának megnyomása után, a LOG gomb segítségével mentsük el a mért jelalakokat. A MATLAB segítségével olvassuk be a jeleket. Az ASCII file-ból olvassuk le az időtengely lépésközét. (Figyelem, az oszcilloszkóp időalapjának változtatásával változik a skálázás is!) Illesszünk szinusz görbét, és az illesztésből határozzuk meg a két jel amplitúdójának arányát, illetve a fázisuk különbséget. Számítsuk ki az ismeretlen C kapacitást és becsüljük meg a mérés hibáját. Végezzük el a fenti mérést 100 Hz-en, 330 Hz-en, 3.3 kHz-en és 10 kHz-en is. A mért amplitúdó arányokat és fáziskülönbségeket a frekvencia logaritmusának függvényében ábrázoljuk. Miért nevezik ezt a kapcsolást aluláteresztő szűrőnek? | ||
+ | |||
+ | '''2. Feladat''' | ||
+ | Vizsgáljuk tovább a fenti áramkört! A bemeneti pontokra f=100 Hz frekvenciájú négyszögjelet kapcsoljunk. Az oszcilloszkóp beállítása után, mentsük el a kimeneti jelet. A kisülési görbékre exponenciális függvényt illesztve határozzuk meg az időállandót, majd számítsuk ki a C kapacitás értékét ezzel a módszerrel is. | ||
</wlatex> | </wlatex> |
A lap jelenlegi, 2021. december 3., 16:08-kori változata
Tartalomjegyzék |
Elméleti összefoglaló
Időben harmonikusan változó jel
Lineáris áramkörök és harmonikusan változó áram és feszültség jelek részletes tárgyalását lásd a Kisérleti Fizika 1 kurzus rezgésekről szóló fejezetében [1]. A fontosabb mennyiségeket és összefüggéseket alább összefoglaljuk. Az ábrán egy ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Hasznos még bevezetni a körfrekvenciát ![]() A harmonikusan változó feszültség a komplex síkon egy |
Lineáris áramköri elemek
Lineáris áramköri elemek esetén az áthajtott áramot és az elemen eső feszültséget vagy azok deriváltjait lineáris összefüggés kapcsolja össze. Legegyszerűbb ilyen elem az ohmikus ellenállás:
![]() Az ellenálláson áthaladó áramot az alábbi komplex alakban adhatjuk meg ![]() melyből kiszámíthatjuk a rajta eső feszültsége: ![]() Tehát az áram és a feszültség fázisa azonos az amplitúdokat pedig a |
Egy ![]() ![]() Az időben harmonikusan változó áramot ismét komplex alakban adjuk meg ![]() melyből a tekercs kapcsain mérhető feszültség: ![]() Tehát a feszültség fázisa |
A ![]() ![]() Ezt az összefüggést deriválva és átrendezve a korábbiakhoz hasonló alakú kifejezést kapunk: ![]() hiszen a kondenzátor eltolási árama a töltésváltozással egyenlő. A komplex feszültség-áram összefüggés az alábbi alakot ölti: ![]() Tehát a feszültség fázisa - |
Soros RC kör
Az ábrán látható soros RC körrel vizsgálhatjuk egy ![]() ![]() ![]() Ekkor a kondenzátor fegyverzetein tárolt töltések átáramlanak az ellentétes fegyverzetre, hogy az új egyensúly elérését követően nulla feszültség essen a bemeneten (és a kondenzátoron is). Ezt az áramot például a fenti egyenlet deriválásával számíthatjuk ki: ![]() Tehát az áramkörben folyó időfüggő áram az alábbi differenciálegyenletet elégíti ki: ![]() Az ![]() ahol ![]() |
Megvizsgálhatjuk a soros RC kör harmonikus meghajtásra adott válaszát is. Például a meghajtó ![]() ![]() ![]() ![]() Az impedanciáról tanultakat felhasználva ![]() ![]() |
Az amplitúdók arányát és a fáziskülönbséget az alábbi arány számításával határozhatjuk meg:
![]() Az amplitúdóarányt az alábbi Lorentz görbe adja meg: ![]() Tehát 1/ ![]() A fázisszöget a képzetes és valós rész hányadosa adja meg: ![]() |
Mérési feladatok
1. Feladat A próbapanelen állítsuk össze az alábbi kapcsolást. Az R ellenállás legyen 10 k, a C kapacitás pedig az ismeretlen, barna áramköri elem. U
bemenetre csatlakoztassuk a myDAQ mérőkártya AO 0 illetve AGND (referencia pont) kimenetét, és a függvénygenerátor segítségével kapcsoljunk a bemenetre f=1 kHz frekvenciájú, V
=1 V-os szinusz jelet. A bemeneti és a kondenzátoron eső U
kimeneti feszültséget kapcsoljuk a mérőkártya AI 0+, AI 0- és AI 1+, AI 1- csatlakozói közé. Az oszcilloszkóp mindkét csatornáját kapcsoljuk be, majd állítsuk be a feszültségerősítést, időosztást valamint a triggert.
Rögzítsük mindkét csatornán a feszültség időfüggését, majd az oszcilloszkóp program STOP gombjának megnyomása után, a LOG gomb segítségével mentsük el a mért jelalakokat. A MATLAB segítségével olvassuk be a jeleket. Az ASCII file-ból olvassuk le az időtengely lépésközét. (Figyelem, az oszcilloszkóp időalapjának változtatásával változik a skálázás is!) Illesszünk szinusz görbét, és az illesztésből határozzuk meg a két jel amplitúdójának arányát, illetve a fázisuk különbséget. Számítsuk ki az ismeretlen C kapacitást és becsüljük meg a mérés hibáját. Végezzük el a fenti mérést 100 Hz-en, 330 Hz-en, 3.3 kHz-en és 10 kHz-en is. A mért amplitúdó arányokat és fáziskülönbségeket a frekvencia logaritmusának függvényében ábrázoljuk. Miért nevezik ezt a kapcsolást aluláteresztő szűrőnek?
2. Feladat Vizsgáljuk tovább a fenti áramkört! A bemeneti pontokra f=100 Hz frekvenciájú négyszögjelet kapcsoljunk. Az oszcilloszkóp beállítása után, mentsük el a kimeneti jelet. A kisülési görbékre exponenciális függvényt illesztve határozzuk meg az időállandót, majd számítsuk ki a C kapacitás értékét ezzel a módszerrel is.