„Harmonikus rezgések vizsgálata” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
 
(2 szerkesztő 22 közbeeső változata nincs mutatva)
161. sor: 161. sor:
 
Ez az áram – kis veszteségi ellenállást feltételezve – igen nagy feszültségeket hozhat létre a kondenzátoron és a tekercsen. Azonban ezek a feszültségek egymáshoz viszonyítva 180°-os fázisban vannak, abszolút értékük pedig megegyezik (hiszen azonos áram folyik át rajtuk), így egymást kiegyenlítik.
 
Ez az áram – kis veszteségi ellenállást feltételezve – igen nagy feszültségeket hozhat létre a kondenzátoron és a tekercsen. Azonban ezek a feszültségek egymáshoz viszonyítva 180°-os fázisban vannak, abszolút értékük pedig megegyezik (hiszen azonos áram folyik át rajtuk), így egymást kiegyenlítik.
  
−
''Megjegyzés:'' A kondenzátoron és a tekercsen eső feszültségnek nem pontosan az $\omega_0$ rezonanciafrekvencián van maximuma - hasonlóan a mechanikai kényszerrezgés amplitúdórezonanciájához.
+
''Megjegyzés:'' A kondenzátoron és a tekercsen eső feszültségnek nem pontosan az $\omega_0$ rezonanciafrekvencián van maximuma - hasonlóan a mechanikai kényszerrezgés amplitúdórezonanciájához. Miért is?
  
 
====Komplex jelölés====
 
====Komplex jelölés====
  
 
[[Fájl:Fazor.png|bélyegkép|150px|2. ábra]]
 
[[Fájl:Fazor.png|bélyegkép|150px|2. ábra]]
−
Szinuszos gerjesztés esetén, állandósult állapotban minden áram- és feszültségfüggvény azonos $\omega$ körfrekvenciával változik. Az egymáshoz képesti fáziskülönbségeket ilyenkor fazorábrával szemléltethetjük. Az 2. ábrán egy soros RLC-kör (részletesen lásd később) fazorábrája látható. Az áram - a soros kapcsolás miatt - mindhárom elemen ugyanakkora, a feszültségek pedig ehhez viszonyítva sietnek, fázisban vannak, illetve késnek.
+
Szinuszos gerjesztés esetén, állandósult állapotban minden áram- és feszültségfüggvény azonos $\omega$ körfrekvenciával változik. Az egymáshoz képesti fáziskülönbségeket ilyenkor ún. ''fazor ábrával'' szemléltethetjük. Az 2. ábrán egy soros RLC-kör (részletesen lásd később) fazorábrája látható. Az áram - a soros kapcsolás miatt - mindhárom elemen ugyanakkora, a feszültségek pedig ehhez viszonyítva sietnek, fázisban vannak, illetve késnek.
  
 
Az áramkörre kapcsolt feszültség a három, sorbakapcsolt feszültséget jelölő ''fazor'' vektori eredője.
 
Az áramkörre kapcsolt feszültség a három, sorbakapcsolt feszültséget jelölő ''fazor'' vektori eredője.
219. sor: 219. sor:
 
'''Szűrő áramkörök'''
 
'''Szűrő áramkörök'''
  
−
Szűrők segítségével egy különböző frekvenciájú rezgésekből álló elektromos jelből ki lehet szűrni bizonyos frekvenciatartományokat. A legegyszerűbb elsőrendű szűrők egy ellenállást és egy kondenzátort/tekercset tartalmaznak és a feszültségosztás elvén működnek, melyet a komplex jelölést felhasználva egyszerűen az egyenáramú áramkörökben jól ismert $U_1=UR_1/(R_1+R_2)$ feszültségosztó képlettel leírhatunk komplex ellenállások használatával. Ilyen szűrőkre láthatunk példát az 4/a és 4/b ábrákon. A kapcsolások feszültségviszonyai pedig az alábbi képletekkel írhatók le (A vastag betűs mennyiségek komplex változók, $j$ a képzetes egység. Ugyanakkor mérni csak valós mennyiségeket lehet, azaz a komplex mennyiségek abszolút értékét!):
+
Szűrők segítségével egy különböző frekvenciájú rezgésekből álló elektromos jelből ki lehet szűrni bizonyos frekvenciatartományokat. A legegyszerűbb elsőrendű szűrők egy ellenállást és egy kondenzátort/tekercset tartalmaznak és a feszültségosztás elvén működnek, melyet a komplex jelölést felhasználva egyszerűen az egyenáramú áramkörökben jól ismert $U_1=UR_1/(R_1+R_2)$ feszültségosztó képlettel leírhatunk komplex ellenállások használatával. Ilyen szűrőkre láthatunk példát az 4/a és 4/b ábrákon. A kapcsolások feszültségviszonyai pedig az alábbi képletekkel írhatók le (A vastag betűs mennyiségek komplex változók, $j$ a képzetes egység. Ugyanakkor mérni csak valós mennyiségeket lehet!):
  
 
{| cellpadding="2" style="border: 0px solid darkgray;" align="center"
 
{| cellpadding="2" style="border: 0px solid darkgray;" align="center"
265. sor: 265. sor:
 
A körben folyó áramot leíró képlet elemzéséből megállapítható, hogy a párhuzamos RLC kör esetén kis és nagy $\omega$ értékeknél kapunk maximális áramot és az áramnak mimimuma van $\omega$ függvényében az $\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}$ helyen.
 
A körben folyó áramot leíró képlet elemzéséből megállapítható, hogy a párhuzamos RLC kör esetén kis és nagy $\omega$ értékeknél kapunk maximális áramot és az áramnak mimimuma van $\omega$ függvényében az $\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}$ helyen.
  
−
==A méréshez használt eszközök===
+
==A méréshez használt eszközök==
  
 
===A mechanikai rezgések vizsgálatához használt kísérleti berendezés leírása===
 
===A mechanikai rezgések vizsgálatához használt kísérleti berendezés leírása===
271. sor: 271. sor:
 
{{fig2|Kenyszerrezges.png|fig:6|6. ábra}}
 
{{fig2|Kenyszerrezges.png|fig:6|6. ábra}}
  
−
A kísérleti berendezés az [[#fig:6|6. ábrán]] láthatóhoz hasonló saját gyártású mérőeszköz. Az alul elhelyezkedő elektronikai egységben található a meghajtó villanymotor és egy optikai érzékelő, mellyel a meghajtás frekkvenciája mérhető, az egység első lapján találhatók az elektromos csatlakozók (motortáp, optikai értzékelő tápja, illetve jelkimenete), illetve a kényszererőt létrehozó excenter. A kényszererő amplitúdója az amplitúdórúd helyzetének változtatásával szabályozható, ami a kényszert kifejtő zsinór rögzítési pontja és az excenter középpontja közötti távolságot befolyásolja [[#fig:7|(7. ábra)]]. A kényszert továbbító zsinór a tartóoszlop tetején található két csiga vájatain áthaladva egy hurokkal kapcsolódik a vizsgálandó rugó egyik végéhez. A másik véghez a skálával ellátott mérőrúd és a hozzá erősített ún. csillapító rúd csatlakozik. E két rúd alkotja a rezgőmozgást végző „alaptömeget”, melynek értéke 50 g.
+
A kísérleti berendezés az [[#fig:6|6. ábrán]] láthatóhoz hasonló saját gyártású mérőeszköz. Az alul elhelyezkedő elektronikai egységben található a meghajtó villanymotor és egy optikai érzékelő, mellyel a meghajtás frekvenciája mérhető, az egység első lapján találhatók az elektromos csatlakozók (motortáp, optikai értzékelő tápja, illetve jelkimenete), illetve a kényszererőt létrehozó excenter. A kényszererő amplitúdója az amplitúdórúd helyzetének változtatásával szabályozható, ami a kényszert kifejtő zsinór rögzítési pontja és az excenter középpontja közötti távolságot befolyásolja [[#fig:7|(7. ábra)]]. A kényszert továbbító zsinór a tartóoszlop tetején található két csiga vájatain áthaladva egy hurokkal kapcsolódik a vizsgálandó rugó egyik végéhez. A másik véghez a skálával ellátott mérő- és csillapítórúd csatlakozik (továbbiakban mérőrúd), e rúd alkotja a rezgőmozgást végző „alaptömeget”, melynek értéke 50 g.
  
−
A mérőkészlethez tartozik két 50 g tömegű rézkorong is. A korongokat a mérőrudat és csillapitórudat összekötő csavarmenetre lehet felerősíteni. A tartóoszlop középmagasságánál látható a rúdvezető, mérőrudat a rúdvezető téglalap alakú nyílásán kell átvezetni úgy, hogy a mérőrúd egyik oldala sem ér hozzá a rúdvezető nyílásának falához ([[#fig:8|8. ábra]]). A nem jó a beállítás a 9. ábrán látható „b” vagy „c” esetben fordul elő. A „b” esetet az elektronika doboz változtatható magasságú lábainak megfelelő állításával korrigálhatjuk (vízszintezés). A „c” eset a mérőrúd felfüggesztésével (elcsavarásával)javítható.
+
A mérőkészlethez tartozik két 50 g tömegű rézkorong is. A korongokat a mérőrúd aljára lehet felerősíteni egy csavar segítségével. A tartóoszlop középmagasságánál látható a rúdvezető, mérőrudat a rúdvezető téglalap alakú nyílásán kell átvezetni úgy, hogy a mérőrúd egyik oldala sem ér hozzá a rúdvezető nyílásának falához ([[#fig:8|8. ábra]]). A nem jó a beállítás a 9. ábrán látható „b” vagy „c” esetben fordul elő. A „b” esetet az elektronika doboz változtatható magasságú lábainak megfelelő állításával korrigálhatjuk (vízszintezés). A „c” eset a mérőrúd felfüggesztésével (elcsavarásával)javítható.
  
−
Helyes beállítás esetén a rezgés csillapodása – melyet a légellenállás ill. a berendezés egyes elemei között fellépő súrlódás okoz – igen kicsi. Ezért a csillapítás változtatása (növelése) céljából a tartórúdra egy olyan mágnespárt szerelhetünk fel, melynek pofái között a távolság változtatható. Ezen mágnespofák között mozog az alumíniumból készült csillapítórúd. A mágneses tér hatására a mozgó fémrúdban örvényáramok keletkeznek, melyek Joule-hőjének disszipációja okozza a rendszer csillapodását. A mágnespofák közötti távolság csökkentésével a mágneses térerősség növelhető, azaz a disszipáció, vagyis a csillapítás fokozható.
+
Helyes beállítás esetén a rezgés csillapodása – melyet a légellenállás ill. a berendezés egyes elemei között fellépő súrlódás okoz – igen kicsi. Ezért a csillapítás változtatása (növelése) céljából a tartórúdra egy olyan mágnespárt szerelhetünk fel, melynek pofái között a távolság változtatható. Ezen mágnespofák között mozog maga a mérőrúd, ami alumíniumból készült, így a mágneses tér hatására a mozgó fémrúdban örvényáramok keletkeznek, melyek Joule-hőjének disszipációja okozza a rendszer csillapodását. A mágnespofák közötti távolság csökkentésével a mágneses térerősség növelhető, azaz a disszipáció, vagyis a csillapítás fokozható.
  
 
<!--===Beállítás===
 
<!--===Beállítás===
298. sor: 298. sor:
 
|}
 
|}
  
−
A motor egy szabályozható tápegységgel kerül meghajtásra, és a feszültség változtatásával érhetjük el a meghajtás frekvenciájának változását. A mérőrúd pozícióját az idő függvényében (így a rezgés amplitúdóját és frekvenciáját is) egy Vernier GO! Motion ultrahangos távolságmérővel méri a Logger Lite nevű program segítségével (ha saját laptopot szeretne használni a méréshez, akkor telepítse a programot). A meghajtás frekvenciáját mérő optikai jeladó feszülségjele szintén rögzíthető a Logger Lite programban. Az optikai jeladó használatához egy 5V-os DC tápfeszültséget kell kapcsolni a tápbemenetre, melyet szintén a rendelkezésre álló tápegyből tud kivenni.
+
A motor egy szabályozható tápegységgel kerül meghajtásra, és a feszültség változtatásával érhetjük el a meghajtás frekvenciájának változását. A mérőrúd pozícióját az idő függvényében (így a rezgés amplitúdóját és frekvenciáját is) egy Vernier GO! Motion ultrahangos távolságmérővel méri a Logger Lite nevű program segítségével (ha saját laptopot szeretne használni a méréshez, akkor telepítse a programot). A meghajtás frekvenciáját mérő optikai jeladó feszültségjele szintén rögzíthető a Logger Lite programban. Az optikai jeladó használatához egy 5V-os DC tápfeszültséget kell kapcsolni a tápbemenetre, melyet szintén a rendelkezésre álló tápegységből tud kivenni.  
 +
'''FIGYELEM!''' A mérésnél a két szenzort egyszerre kell a számítógéphez csatlakoztatni, ehhez két szabad USB port szükséges! Ha a saját laptopja nem rendelkezik két USB-vel és megfelelő USB bővítője sincs, akkor azt mérés előtt jelezze a mérésvezetőknek!
  
 
===National Instruments myDAQ adatgyűjtő kártya===
 
===National Instruments myDAQ adatgyűjtő kártya===
  
−
A váltóáramú körök méréséhez egy National Instruments myDAQ adatgyűjtőkártyát fog használni, melyet a Matlabbal vezérel. A myDAQ kártya rendelkezik 2-2 db +-10V-os analóg, 1-1db audió, 8db digitális ki- és bemenettel, valamint 5V-os és +-15V-os tápfeszültség kimenettel és digitális multiméter funkcióval. Jelen méréshez a fenti funkciók közül egy analóg kimenetetés két analóg bemenetet használunk.  
+
A váltóáramú körök méréséhez egy National Instruments myDAQ adatgyűjtőkártyát fog használni, melyet a Matlabbal vezérel. A myDAQ kártya rendelkezik 2-2 db +-10V-os analóg, 1-1db audió, 8db digitális ki- és bemenettel, valamint 5V-os és +-15V-os tápfeszültség kimenettel és digitális multiméter funkcióval. Jelen méréshez a fenti funkciók közül egy analóg kimenetet és két analóg bemenetet használunk.  
  
 
A mérőkártya programozásával későbbi tanulmányai során fog megismerkedni, jelen labor keretében az alábbi előre elkészített függvényekkel fog dolgozni, melyek elvégzik a mérőkártya konfigurálását és a jelek kiadását/adatgyűjtés:
 
A mérőkártya programozásával későbbi tanulmányai során fog megismerkedni, jelen labor keretében az alábbi előre elkészített függvényekkel fog dolgozni, melyek elvégzik a mérőkártya konfigurálását és a jelek kiadását/adatgyűjtés:
308. sor: 309. sor:
 
*A ''myDAQ_arb_rw'' függévénnyel egy tetszőleges pontonként definiált jelet tud a kártya "AO0" csatornáján kiadni, miközben az "AI0" és "AI1" csatornákon mintavételez. A szinkronizálásból adódó problémák elkerülése érdekében a tényleges kiadott jel egy 100ms-os előszakasz és egy szintén 100ms-os utószakaszt is tartalmaz, amik alatt a felhasználó által definiált jel első, illetve utolsó feszültségértékét adja ki a mérőkártya. A függvény egyetlen paramétert vár, magát a kiadandó jelet, mely sor- vagy oszlopvektor formátumú kell legyen és a pontonkénti feszültséget tartalmazza Volt egységben. A maximális engedélyezett amplitúdó +-10V. A függvény kimenetként visszaadja (a felsorolás sorrendjében) az időalapot, a kimenetre küldött programozott jelet és a két bemeneti csatornán mért adatokat.
 
*A ''myDAQ_arb_rw'' függévénnyel egy tetszőleges pontonként definiált jelet tud a kártya "AO0" csatornáján kiadni, miközben az "AI0" és "AI1" csatornákon mintavételez. A szinkronizálásból adódó problémák elkerülése érdekében a tényleges kiadott jel egy 100ms-os előszakasz és egy szintén 100ms-os utószakaszt is tartalmaz, amik alatt a felhasználó által definiált jel első, illetve utolsó feszültségértékét adja ki a mérőkártya. A függvény egyetlen paramétert vár, magát a kiadandó jelet, mely sor- vagy oszlopvektor formátumú kell legyen és a pontonkénti feszültséget tartalmazza Volt egységben. A maximális engedélyezett amplitúdó +-10V. A függvény kimenetként visszaadja (a felsorolás sorrendjében) az időalapot, a kimenetre küldött programozott jelet és a két bemeneti csatornán mért adatokat.
 
*A ''myDAQ_sin_rw'' függvénnyel egy 0.1Hz-50kHz frekvenciájú és 0.01-5V amplitúdójú megadott számú periódusból álló szinuszjelet tud a kártya "AO0" csatornáján kiadni, miközben az "AI0" és "AI1" csatornákon mintavétele. A függvény egy szoftveres triggerelést valósít meg (felmenő éra), melyhez egy 100ms-os előszakasz és egy szintén 100ms-os utószakasszal egészíti ki a felhasználó által definiált jelet. A függvény első bemeneti paramétere a szinuszjel frekvenciája Hz egységekben, második paramétere a periódusok száma, míg harmadik (opcionális) paramétere az amplitúdó (alapértelmezett értéke 1V). A függvény kimenetként visszaadja (a felsorolás sorrendjében) az időalapot, a kimenetre küldött programozott jelet és a két bemeneti csatornán mért adatokat.
 
*A ''myDAQ_sin_rw'' függvénnyel egy 0.1Hz-50kHz frekvenciájú és 0.01-5V amplitúdójú megadott számú periódusból álló szinuszjelet tud a kártya "AO0" csatornáján kiadni, miközben az "AI0" és "AI1" csatornákon mintavétele. A függvény egy szoftveres triggerelést valósít meg (felmenő éra), melyhez egy 100ms-os előszakasz és egy szintén 100ms-os utószakasszal egészíti ki a felhasználó által definiált jelet. A függvény első bemeneti paramétere a szinuszjel frekvenciája Hz egységekben, második paramétere a periódusok száma, míg harmadik (opcionális) paramétere az amplitúdó (alapértelmezett értéke 1V). A függvény kimenetként visszaadja (a felsorolás sorrendjében) az időalapot, a kimenetre küldött programozott jelet és a két bemeneti csatornán mért adatokat.
 +
 +
===BNC csatlakozós elektronikai dobozok===
 +
 +
Az elektromos mérések során ún. BNC csatlakozós koaxiális kábeleket használ, melyek egy belső érből és egy külső palástból állnak. Ezeket a kábeleket a gyakorlatban kezelhetjük úgy, mint egy vezetékpárt. Az egyes áramköri elemek (ellenállások, kondenzátor, tekercs) fémbobozokban találhatók és a kivezetésük ún. szigeteletlen BNC csatlakozókkal került megoldásra. Ez azt jelenti, hogy a csatlakozó külső része, azaz a BNC kábel palástja (tehát a vezetékpár egyik vezetéke), elektromosan csatlakozik a fémdobozhoz, így a fémdoboz és minden dobozra csatlakoztatott BNC kábel külső palástja egy ekvipotenciális pontnak tekinthető (tipikusan földpont).
 +
 +
A mérőhelyen rendelkezésre áll egy olyan ellenállásdoboz, melyben több ellenállás található. Az ellenállások egyik lába egy közös kivezetésre, míg a másik láb ellenállásonkánt egy-egy saját kivezetésre van csatlakoztatva. Szintén rendelkezésre áll egy kondenzátort és egy tekercset tartalmazó doboz, amiben hasonló elven a két áramköri elem egy-egy saját kivezetés mellett osztozik egy közös kivezetésen. A lét doboz vázlata az alábbi ábrákon látható:
 +
{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
 +
|-
 +
|{{figN|Resistance_box.png|fig:9|9. ábra: Az ellenállásdoboz sematikus rajza. Az ábrán vastag fekete vonal jelöli a fémdobozt, fekete karika benne piros ponttal a szigeteletlen BNC csatlakozót, a piros vonal a kábel belső erét, míg a szaggatott fekete vonal a kábel palástját.|350px}}
 +
|{{figN|LC_box.png|fig:10|10. ábra: A kondenzátort és a tekercset tartalmazó doboz sematikus rajza. A jelölés megegyezik az ellenállásdoboznál alkalmazottal.|350px}}
 +
|-
 +
|}
 +
 +
Könnyen belátható, hogy a fenti dobozokkal egy-egy áramköri elemre is tudunk csatlakozni (közös csatlakozó és az adott elem saját csatlakozója), de elő tudunk állítani soros és párhuzamos kapcsolásokat is.
  
 
==Mérési feladatok==
 
==Mérési feladatok==
319. sor: 334. sor:
 
'''1.''' A rugóállandó mérése
 
'''1.''' A rugóállandó mérése
  
−
Csavarja be az akasztószemet a rúd alján található menetbe, majd állítsa be a zsinór hosszát úgy, hogy a mérőrúd alja körülbelül a rúdvezető alsó széléhez essen! Akassza rá az egyik 50 g-os rézsúlyt egy kis kampó segítségével a mérőrúdra! Mérje le a rugó sztatikus megnyúlását! Ezután helyezze fel a második (esetleg harmadik) rézsúlyt is, és mérje meg az újabb megnyúlást! Számítsa ki a rugó rugóállandóját!
+
Csavarja be az akasztószemet a rúd alján található menetbe, majd állítsa be a zsinór hosszát úgy, hogy a mérőrúd alja körülbelül a rúdvezető alsó széléhez essen! Akassza rá az egyik 25 g-os rézsúlyt egy kis kampó segítségével a mérőrúdra! Mérje le a rugó sztatikus megnyúlását! Ezután helyezzen fel egymás után több rézsúlyt is (összesen 4 darabot), és mérje meg a megnyúlásokat! Egy súly-megnyúlás értékpárból számolja ki a rugóállandót és jegyezze le a mérési naplóba!
 +
A jegyzőkönyvben ábrázolja az erő - megnyúlás grafikont és illesztéssel határozza meg a rugó rugóállandóját!
 +
*'' Ne feledkezzen meg a hibabecslésről!
  
 
'''2.''' Csillapítatlan rendszer lengésideje
 
'''2.''' Csillapítatlan rendszer lengésideje
325. sor: 342. sor:
 
Szabályozza be a készüléket!
 
Szabályozza be a készüléket!
 
*''Nagyon fontos, hogy a mérőrúd ne érjen a rúdvezető egyik falához se (lásd az [[#Beállítás|előző pontban]])!''
 
*''Nagyon fontos, hogy a mérőrúd ne érjen a rúdvezető egyik falához se (lásd az [[#Beállítás|előző pontban]])!''
−
Ehhez a méréshez szerelje le a csillapító mágnespofákat! Húzza a mérőrudat kb. 5 cm-rel az egyensúlyi helyzete alá, és engedje el! Indítsa el a Logger Lite programban a mintavételezést és rögzítsen legalább 5-10 periódust! Az "Export As" menüpontot használva mentse el az adatokat és töltse be a Matlab-ba, majd határozza meg a rezgés periódusidejét. A mérést üres mérőrúddal, majd 50 és 100 g-os terhelésekkel is végezze el!
+
Ehhez a méréshez szerelje le a csillapító mágnespofákat a tartóval együtt! Húzza a mérőrudat kb. 5 cm-rel az egyensúlyi helyzete alá, és engedje el! Indítsa el a Logger Lite programban a mintavételezést és rögzítsen legalább 5-10 periódust! A Logger Liteban kapott görbe alapján számítsa ki a periódusidőt és jegyezze le a mérési naplóba! A mérést üres mérőrúddal, majd egy és két súly ráhelyezésével is végezze el!
 +
Minden mérés után az "Export As" menüpontot használva mentse el az adatokat .txt formátumú fájlba. Az ottohoni kiértékelés során ezeket töltse be a Matlab-ba, majd határozza meg a rezgés periódusidejét szinusz illesztéssel!
 
*''A Logger Lite szoftver beállításához kérje a mérésvezető segítségét!
 
*''A Logger Lite szoftver beállításához kérje a mérésvezető segítségét!
 +
*''A méréshez a korong alakú súlyokat használja, melyeket a rúd aljára csavarral tud rögzíteni!
 +
*''A mérőrúd tömege 50g, a súlyok (korongok) tömege 50g.
 
*''A mért adatok Matlab-ba való betöltésére (és akár a görbeillesztésre) célszerű egy függvényt készítenie, mert a későbbi méréseknél szintén el kell végezni a betöltést és illesztést.
 
*''A mért adatok Matlab-ba való betöltésére (és akár a görbeillesztésre) célszerű egy függvényt készítenie, mert a későbbi méréseknél szintén el kell végezni a betöltést és illesztést.
 +
*''Ha nehézséget okoz a beolvasó függvény elkészítése, [[Matlab függvény: Logger Lite olvasó kényszerrezgéshez|itt talál hozzá segítséget]]. A szinuszjelek illesztésére és szolgáló függvényhez pedig [[Matlab függvény: szinuszjelek illesztése harmonikus rezgésekhez|itt talál segítséget]].
 
*''Az eredményeket foglalja táblázatba és vesse össze az elmélet alapján kiszámolt értékekkel!''
 
*''Az eredményeket foglalja táblázatba és vesse össze az elmélet alapján kiszámolt értékekkel!''
  
 
'''3.''' Kényszerrezgés amplitúdójának és sebességamplitúdójának vizsgálata a kényszerítő frekvencia függvényében
 
'''3.''' Kényszerrezgés amplitúdójának és sebességamplitúdójának vizsgálata a kényszerítő frekvencia függvényében
  
−
A méréseket két különböző csillapítás esetén, mérőrúd + 50 g tömeggel végezze el! Szerelje vissza a csillapító mágnespofákat! A kis csillapításhoz a csillapító mágnespofákat egymástól kb. 2 cm-re állítsa be! A nagy csillapításhoz tekerje a mágnespofákat a lehető legközelebb, de csak annyira, hogy ne érjenek hozzá a csillapítórúdhoz! Ekkor mérje meg és jegyezze fel a mágnespofák távolságát!
+
A méréseket két különböző csillapítás esetén, mérőrúd + 50 g tömeggel végezze el! Szerelje vissza a csillapító mágnespofákat! A kis csillapításhoz a csillapító mágnespofákat egymástól kb. 2 cm-re állítsa be! A nagy csillapításhoz tekerje a mágnespofákat a lehető legközelebb, de csak annyira, hogy ne érjenek hozzá a mérőrúdhoz! Ekkor mérje meg és jegyezze fel a mágnespofák távolságát!
  
−
Gondosan állítsa be a mérőrúd helyzetét, majd vizsgálja meg a csillapított szabad rezgést midkét csillapítás esetén! Ehhez térítse ki a mérőrudat kb. 5 cm-rel és vegye fel a mozását 60 s-ig.
+
Gondosan állítsa be a mérőrúd helyzetét, majd vizsgálja meg a csillapított szabad rezgést midkét csillapítás esetén! Ehhez térítse ki a mérőrudat kb. 5 cm-rel és vegye fel a mozgását 60 s-ig.
  
−
Következő lépésként a motor feszültségének növelésével indítsa el a kényszerrezgést! A meghajtás elindítását célszerű kézzel segíteni, óvatosan lökje meg a meghajtókereket a nyíllal jelölt irányba. A mérés során lassan (fokozatosan) növelje a frekvenciát a feszültség növelésével, és keresse meg az $f_{max}$ rezonanciafrekvenciát, ahol az amplitúdó maximális!
+
'''A kényszerrezgés elindítása előtt szóljon a mérésvezetőnek, aki megmutatja a berendezés használatát!'''
 +
 
 +
Ha minden beállítás megtörtént, következő lépésként a motor feszültségének növelésével indítsa el a kényszerrezgést! A meghajtás elindítását célszerű kézzel segíteni, óvatosan lökje meg a meghajtókereket a nyíllal jelölt irányba. A mérés során lassan (fokozatosan) növelje a frekvenciát a feszültség növelésével, és keresse meg az $f_{max}$ rezonanciafrekvenciát, ahol az amplitúdó maximális!
 
*''NE HASZNÁLJON TÚL KICSI CSILLAPÍTÁST (túl távoli mágnespofák), mert a rezonanciafrekvencián az amplitúdó túl nagy lehet, ami károsíthatja a berendezést, vagy balesetet okozhat!
 
*''NE HASZNÁLJON TÚL KICSI CSILLAPÍTÁST (túl távoli mágnespofák), mert a rezonanciafrekvencián az amplitúdó túl nagy lehet, ami károsíthatja a berendezést, vagy balesetet okozhat!
 
*''A rezonanciafrekvencia – különösen nagy csillapítás esetében – eltér a sajátfrekvenciától.''
 
*''A rezonanciafrekvencia – különösen nagy csillapítás esetében – eltér a sajátfrekvenciától.''
−
*''Amennyiben a rezgések amplitúdója túl nagy vagy túl kicsi lenne, úgy kapcsolja ki a készüléket és csökkentse, illetve növelje a kényszererő amplitúdóját, majd ellenőrizze a kitérést a rezonanciafrekvenciánál!''
+
*''Amennyiben a rezgések amplitúdója túl nagy vagy túl kicsi lenne, úgy kapcsolja ki a készüléket és csökkentse, illetve növelje a kényszererő amplitúdóját (ehhez egyeztessen a mérésvezetővel), majd ellenőrizze a kitérést a rezonanciafrekvenciánál!''
  
−
Amennyiben mindent rendben talál, végezze el újra a frekvencia hangolását és időről-időre álljon meg és várja meg az állandósult állapotot! A rezonanciafrekvenciánál 1 Hz-cel kisebb és 1 Hz-cel nagyobb frekvenciák közötti intervallumban mérjen kb. 0,1 Hz-enként (és a rezonancia frekvencia közelében ennél sűrűbben is)! Illesztéssel határozza meg az amplitúdókat és a frekvenciákat! Ábrázolja a különböző csillapítással felvett görbéket közös diagrammon! Adja meg minden esetben $f_{max}$ értékét!
+
Amennyiben mindent rendben talál, végezze el újra a frekvencia hangolását és időről-időre álljon meg és várja meg az állandósult állapotot! A rezonanciafrekvenciánál kb. 0.7 Hz-cel kisebb és 0.7 Hz-cel nagyobb frekvenciák közötti intervallumban mérjen kb. 0,1 Hz-enként (és a rezonancia frekvencia közelében ennél sűrűbben is)!
 +
*''A mérés során a rezonanciafrekvenciára és környékére fókuszáljon, ahol az amplitúdó jelentősen változik a frekcencia függvényében. Túl kicsi, vagy túl nagy frekvencián, ahol már nagyon kicsi az amplitúdó elég néhány mérési pontot felvenni.
 +
*''A meghajtás frekvenciáját egy optikai jeladó segítségével tudja mérni, a kívánt frekvencia beállításához mérje a jeladó jelét egy oszcilloszkóppal és ez alapján hangolja a feszültséget! A jeladó jele a rúd kitérésével együtt a Logger Lite programmal is rögzíthető, ezzel a jegyzőkönyvben a frekvencia pontosabban meghatározható.
 
*''Célszerű már a frekvencia hangolása közben elindítani a mintavételezést és a számítógépen figyelni mikor ér véget a tranziens viselkedés.
 
*''Célszerű már a frekvencia hangolása közben elindítani a mintavételezést és a számítógépen figyelni mikor ér véget a tranziens viselkedés.
−
*''Az adott frekvenciához tartozó állandósult állapotban történő méréshez indítson új mintavételezést és vegyen fel 10-20 periódust! Ennek a mérési fájlnak a automatizált betöltése és illesztáse egyszerűbb, mert nem szükséges az adatok levágása.
+
*''Az adott frekvenciához tartozó állandósult állapotban történő méréshez indítson új mintavételezést és vegyen fel 10-20 periódust! Ennek a mérési fájlnak a automatizált betöltése és illesztése egyszerűbb, mert nem szükséges az adatok levágása.
 
*''Rögzítse a motor meghajtófeszültségének értékét is a különböző frekvenciáknál, a későbbi méréseknél segítségére lehet.
 
*''Rögzítse a motor meghajtófeszültségének értékét is a különböző frekvenciáknál, a későbbi méréseknél segítségére lehet.
 
*''Először végezze el a mérést nagyobb frekvencia lépésekben, majd ha szükséges, akkor finomítsa a felbontást!
 
*''Először végezze el a mérést nagyobb frekvencia lépésekben, majd ha szükséges, akkor finomítsa a felbontást!
  
 +
A Logger Lite-ot használva olvassa le a görbékről a rezgés hozzávetőleges amplitúdóját egy-egy adott frekvenciánál és ábrázolja az amplitúdó-frekvencia grafikont a mérési naplóban és ellenőrizze, hogy a görbe alakja egyezik-e az elméletileg várttal. A tapasztalatok alapján szükség esetén végezzen további méréseket! 
 +
 +
A jegyzőkönyvhöz minden mérést mentsen el, majd töltse be Matlab-ba és szinusz illesztéssel határozza meg az amplitúdókat és a frekvenciákat! Ábrázolja a különböző csillapítással felvett amplitúdó - frekvencia görbéket közös diagrammon! Adja meg minden esetben $f_{max}$ értékét!
 
A korábban megmért görbék valamennyi pontjánál (a kitérési amplitúdó és frekvencia ismeretében) számítsa ki a sebeségamplitúdó $(A\cdot 2\pi f=A\omega)$ értékeket! Foglalja táblázatba és ábrázolja diagrammon a sebességamplitúdó – körfrekvencia görbéket!
 
A korábban megmért görbék valamennyi pontjánál (a kitérési amplitúdó és frekvencia ismeretében) számítsa ki a sebeségamplitúdó $(A\cdot 2\pi f=A\omega)$ értékeket! Foglalja táblázatba és ábrázolja diagrammon a sebességamplitúdó – körfrekvencia görbéket!
 
*''A különböző csillapítással felvett görbéket most is közös diagrammon ábrázolja!
 
*''A különböző csillapítással felvett görbéket most is közös diagrammon ábrázolja!
  
−
'''4.''' Csillapítási tényező és jósági tényező meghatározása
+
'''4.''' Csillapítási tényező és jósági tényező meghatározása (otthon elvégzendő feladat)
  
 
A csillapítási tényező kísérleti meghatározásának egyik lehetséges módszere a csillapodási hányados mérésén alapul, ehhez használja a 3. feladat csillapított szabad rezgésnél mért adatsorait! Ekkor egymás utáni lengések amplitúdócsökkenéseit mérjük.
 
A csillapítási tényező kísérleti meghatározásának egyik lehetséges módszere a csillapodási hányados mérésén alapul, ehhez használja a 3. feladat csillapított szabad rezgésnél mért adatsorait! Ekkor egymás utáni lengések amplitúdócsökkenéseit mérjük.
358. sor: 386. sor:
 
'''5.''' Szorgalmi feladat: Lebegés vizsgálata
 
'''5.''' Szorgalmi feladat: Lebegés vizsgálata
  
−
{{fig|A_kényszerrezgés_vizsgálata_5.png|fig:9|9. ábra}}
+
{{fig|A_kényszerrezgés_vizsgálata_5.png|fig:11|11. ábra}}
  
−
Két, kis mértékben különböző frekvenciájú, szinuszhullám szuperpozíciójakor „lebegés” alakul ki [[#fig:9|(9. ábra)]]. Ha $t_A$ időpontban a rezgések éppen fázisban vannak, akkor a hullámok összeadódnak és az eredő rezgés maximális amplitúdójú lesz. Egy későbbi $t_B$ időpontban azonban a frekvencia különbség miatt a rezgések ellentétes fázisba kerülnek, és egymás hatását csökkentve minimális amplitúdót eredményeznek. Az amplitúdó változások burkológörbéje szintén szinuszos. A burkológörbe frekvenciája $f_L=\left(f_1-f_2\right)/2$, ahol $f_1$ és $f_2$ a két összetevő rezgés frekvenciája.
+
Két, kis mértékben különböző frekvenciájú, szinuszhullám szuperpozíciójakor „lebegés” alakul ki [[#fig:11|(11. ábra)]]. Ha $t_A$ időpontban a rezgések éppen fázisban vannak, akkor a hullámok összeadódnak és az eredő rezgés maximális amplitúdójú lesz. Egy későbbi $t_B$ időpontban azonban a frekvencia különbség miatt a rezgések ellentétes fázisba kerülnek, és egymás hatását csökkentve minimális amplitúdót eredményeznek. Az amplitúdó változások burkológörbéje szintén szinuszos. A burkológörbe frekvenciája $f_L=\left(f_1-f_2\right)/2$, ahol $f_1$ és $f_2$ a két összetevő rezgés frekvenciája.
  
 
A kényszerrezgés bekapcsolásakor az állandósult tag mellett egy darabig megfigyelhető a csillapított rendszer idővel elhaló saját rezgése is. A differenciálegyenlet megoldása tartalmazza a bekapcsolás után kialakuló mindkét frekvenciát. A tranziens rezgés körfrekvenciája $\omega’$, az állandósulté pedig $\omega$. Lebegés akkor figyelhető meg, ha a kényszererő $\omega$ körfrekvenciája $\omega’$ közelében van, és a csillapítás elég kicsi. Amint a tranziens elhal, a lebegés is megszűnik.  
 
A kényszerrezgés bekapcsolásakor az állandósult tag mellett egy darabig megfigyelhető a csillapított rendszer idővel elhaló saját rezgése is. A differenciálegyenlet megoldása tartalmazza a bekapcsolás után kialakuló mindkét frekvenciát. A tranziens rezgés körfrekvenciája $\omega’$, az állandósulté pedig $\omega$. Lebegés akkor figyelhető meg, ha a kényszererő $\omega$ körfrekvenciája $\omega’$ közelében van, és a csillapítás elég kicsi. Amint a tranziens elhal, a lebegés is megszűnik.  
387. sor: 415. sor:
 
'''6.''' Egyszerű áramkörök egyenáramu jelének vizsgálata, ismerkedés a myDAQ kártyával és a BNC csatlakozókkal.
 
'''6.''' Egyszerű áramkörök egyenáramu jelének vizsgálata, ismerkedés a myDAQ kártyával és a BNC csatlakozókkal.
  
−
'''a)''' Egy ismert ellenállás felhasználásával állítson össze egy olyan kapcsolást, mellyel megmérhető egy áramköri elem $\approx 1-100\Omega$ tartományba eső DC ellenállása az áram-feszültségkarakterisztika felvételével! Tesztelje az elrendezést egy-két ismert ellenállással!
+
'''a)''' Egy ismert ellenállás felhasználásával állítson össze egy olyan kapcsolást, mellyel megmérhető egy áramköri elem $\approx 1-100\Omega$ tartományba eső DC ellenállása az áram-feszültség karakterisztika felvételével! Tesztelje az elrendezést egy-két ismert ellenállással!
−
** ''A kapcsolás összeállításához használja a mérőhelyen található ellenállásdobozt!
+
* ''A kapcsolás összeállításához használja a mérőhelyen található ellenállásdobozt!
−
** ''Az ellenállás megválasztásakor vegye figyelembe, hogy a myDAQ kártya kimenetén maximum $2mA$ áramot tud kiadni!
+
* '''FIGYELEM!''' A dobozon található csatlakozók kilazulhatnak! A kábelek csatlakoztatásakor ügyeljen arra, hogy a csatlakozó ne forduljon el, mert ez szakadáshoz vezethet, ami elronthatja a mérést! Ha azt tapasztalja, hogy a csatlakozó kilazult, akkor szóljon a mérésvezetőnek!
−
** ''Az I(V) karakterisztika felvételéhez a mérendő áramköri elemen eső feszültséget kell mermérni, az ismert ellenálláson eső feszültségből pedig meghatározható a körben folyó áram.
+
* ''Az ellenállás megválasztásakor vegye figyelembe, hogy a myDAQ kártya kimenetén maximum $2mA$ áramot tud kiadni!
−
** ''Az I(V) karakterisztikát érdemes potitív és negatív tarományban is felvenni, az áramköri elem ellenállása a V-I grafikonra való egyenesillesztéssel kapható meg.
+
* ''Az I(V) karakterisztika felvételéhez a mérendő áramköri elemen eső feszültséget kell mermérni, az ismert ellenálláson eső feszültségből pedig meghatározható a körben folyó áram.
−
** ''A ''myDAQ_arb_rw'' függvény használatával adjon ki egy háromszögjelet és vegye fel az egyes elemeken eső feszültséget!
+
* ''Az I(V) karakterisztikát érdemes potitív és negatív tarományban is felvenni, az áramköri elem ellenállása a V-I grafikonra való egyenesillesztéssel kapható meg.
−
** '' Ideális esetben egy egyszerű ellenállás mérésekor a háromszögjel periódusidejétől nem függ a mért eredmény (ha nem lépjük túl a mérőeszköz határait), de egyéb áramköri elemek esetén ügyelni kell arra, hogy ne változtassuk túl gyorsan a feszültséget, mert különben nem tekinthető a kiadott jelünk egyenáramú jelnek.
+
* ''Az említett illesztést elég a jegyzőkönyvben elvégezni, a gyakorlaton viszont végezzen egy egyszerű ellenőrző számolást és a kapott értéket hasonlítsa össze a dobozra írt értékkel!
 +
* ''A ''myDAQ_arb_rw'' függvény használatával adjon ki egy háromszögjelet és vegye fel az egyes elemeken eső feszültséget!
 +
* '' Ideális esetben egy egyszerű ellenállás mérésekor a háromszögjel periódusidejétől nem függ a mért eredmény (ha nem lépjük túl a mérőeszköz határait), de egyéb áramköri elemek esetén ügyelni kell arra, hogy ne változtassuk túl gyorsan a feszültséget, mert különben nem tekinthető a kiadott jelünk egyenáramú jelnek.
  
 
'''b)''' Mérje meg a tekercs DC ellenállását!
 
'''b)''' Mérje meg a tekercs DC ellenállását!
−
** ''Végezze el a mérést néhány nagyságrendileg különböző frekvenciájú jellel is!
+
* ''Végezze el a mérést néhány nagyságrendileg különböző frekvenciájú jellel is!
  
−
'''c)''' Egy ismert ellenállást és egy kondenzátort felhasználva állítson össze egy egyszerű RC kapcsolást. Hajtsa meg az RC kört egy $1V$-os $100ms$-os pulzussal és közben mérje meg a kondenzátoron eső feszültséget!
+
'''c)''' Egy ismert ellenállást és egy kondenzátort felhasználva állítson össze egy egyszerű RC kapcsolást. Hajtsa meg az RC kört egy $1V$-os $100ms$-os pulzussal és közben mérje meg a kondenzátoron eső feszültséget! Határozza meg a rendszer időállandóját!
−
** ''Használja a mérőhelyen található ellenállásdobozt és a kondenzátort, valamint tekercset tartalmazó dobooz megfelelő csatlakozüit!
+
* ''Használja a mérőhelyen található ellenállásdobozt és a kondenzátort, valamint tekercset tartalmazó doboz megfelelő csatlakozóit!
−
** ''A pulzus kiadására használja a ''myDAQ_arb_rw'' függvényt!
+
* ''A pulzus kiadására használja a ''myDAQ_arb_rw'' függvényt!
−
** ''A kiadott jelet úgy szerkessze meg, hogy az $1V$-os pulzus előtt legyen benen egy rövid $0.5-1s$-os $0V$-os szakasz!
+
* ''A kiadott jelet úgy szerkessze meg, hogy az $1V$-os pulzus előtt legyen benen egy rövid $0.5-1s$-os $0V$-os szakasz!
−
** ''A pulzus utáni $0V$-os szakasz hosszát az ellenállás és a kapacitás névleges értéke alapján becsülje meg úgy, hogy legalább 6-10 időállandónyi legyen!
+
* ''A pulzus utáni $0V$-os szakasz hosszát az ellenállás és a kapacitás névleges értéke alapján becsülje meg úgy, hogy legalább 6-10 időállandónyi legyen!
 +
* ''A gyakorlat alatt elég, ha a kisülési görbe két pontja alapján megbecsüli a időálladót és ezt szerepelteti a naplóban. Precízebb kiértékelést (illesztés) a jegyzőkönyvben végezze el!
  
 
'''7.''' Szűrőkörök vizsgálata
 
'''7.''' Szűrőkörök vizsgálata
  
−
'''a)''' Az előző feladatban vizsgált elrendezés egy aluláteresztő szűrőként funkcionál, mivel a kondenzátor impedanciája a frekvencia növekedésével csökken, ezért a rajta eső feszültség is csökken! Vizsgálja meg ezt a szűrőt! Ehhez hajtsa meg az RC kört különböző frekvenciájú ($\omega$) szinuszjelekkel és mérje meg a (kondenzátoron eső) kimenő feszültséget! A bemeneti és a kimeneti szinuszjelet is mérje vissza, az amplitúdókat és a fázisokat illesztéssel határozza meg! Ábrázolja a $20\lg(U_{ki}/U_{be})$ – $\lg\omega$ és a $\Phi_{ki}-\Phi{be}$ – $\lg\omega$ függvényt! Előbbire illesszen a mért adatokra az elméletnek megfelelő görbét! Az illesztésből határozza meg a szűrőre jellemző $\omega_0 = 1/RC$ körfrekvenciát, majd ebből az ellenállás ismeretében a kondenzátor (mért) $C$ kapacitását! ($U_{be} \approx 1{\rm V}$ legyen!)
+
'''a)''' Az előző feladatban vizsgált elrendezés egy aluláteresztő szűrőként funkcionál, mivel a kondenzátor impedanciája a frekvencia növekedésével csökken, ezért a rajta eső feszültség is csökken! Vizsgálja meg ezt a szűrőt! Ehhez hajtsa meg az RC kört különböző frekvenciájú ($\omega$) szinuszjelekkel és mérje meg a (kondenzátoron eső) kimenő feszültséget! A bemeneti és a kimeneti szinuszjelet is mérje vissza, az amplitúdókat és a fázisokat illesztéssel határozza meg! Ábrázolja a $\lg(U_{ki}/U_{be})$ – $\lg\omega$ és a $\Phi_{ki}-\Phi{be}$ – $\lg\omega$ függvényt! Előbbire illesszen a mért adatokra az elméletnek megfelelő görbét! Az illesztésből határozza meg a szűrőre jellemző $\omega_0 = 1/RC$ körfrekvenciát, majd ebből az ellenállás ismeretében a kondenzátor (mért) $C$ kapacitását! ($U_{be} \approx 1{\rm V}$ legyen!)
 
* ''A szinuszjel kiadásához használja a ''myDAQ_sin_rw'' függvényt!
 
* ''A szinuszjel kiadásához használja a ''myDAQ_sin_rw'' függvényt!
 
'''Figyelem!''' A képletekből $\omega$-t számolunk, de a függvény paramétereként $f$-et kell megadni!''
 
'''Figyelem!''' A képletekből $\omega$-t számolunk, de a függvény paramétereként $f$-et kell megadni!''
−
* ''Készítsen egy olyan függvényt, mely automatikusan elvégzi a mérést és a mért szinuszjelek illesztését a megadott frekvenciatartományban a megadott lépésközzel!
+
* ''Készítsen egy olyan függvényt, mely automatikusan elvégzi a mérést és a mért szinuszjelek illesztését a megadott frekvenciatartományban a megadott lépésközzel! Ha nehézséget okoz a függvény elkészítése, akkor [[Matlab függvény: Bode-diagram mérő|itt talál hozzá segítséget]]. A mérési naplóban egyértelműen jelezze, hogy saját, vagy az előre elkészített függvényt alkalmazza!
 +
* ''Ha az előre elkészített függvényt használja, akkor a bemeneti jelet az AI0 csatornán, míg a kondenzátoron eső feszültséget az AI1 csatornánk mérje!
 
* ''A mérési naplóban írja le, hogy milyen elemeket használt fel a kapcsolás összeállításához! Válaszát számítással indokolja.''
 
* ''A mérési naplóban írja le, hogy milyen elemeket használt fel a kapcsolás összeállításához! Válaszát számítással indokolja.''
 
* ''Mivel az eredményeket logaritmikus skálán fogja ábrázolni, érdemes nagyjából logaritmikusan egyenletes sűrűséggel felvenni az adatokat. Pl.: 1 Hz, 2 Hz, 5 Hz, 10 Hz, 20 Hz, 50 Hz, 100 Hz, ...''
 
* ''Mivel az eredményeket logaritmikus skálán fogja ábrázolni, érdemes nagyjából logaritmikusan egyenletes sűrűséggel felvenni az adatokat. Pl.: 1 Hz, 2 Hz, 5 Hz, 10 Hz, 20 Hz, 50 Hz, 100 Hz, ...''
 
* ''A maximális frekvencia megválasztásánál vegye figyelembe, hogy a mérőkártya mintavételezési frekvenciája $200kHz$!
 
* ''A maximális frekvencia megválasztásánál vegye figyelembe, hogy a mérőkártya mintavételezési frekvenciája $200kHz$!
 +
* ''A naplóban szerepeljen a szűrőre jellemző $\omega_0 = 1/RC$ körfrekvencia hozzávetőleges értéke, amit a mért görbéről tud leolvasni. Az illesztéssel való meghatározást otthoni munkaként célszerű elvégezni és a jegyzőkönyvben kell közölni.
  
−
'''b)''' Az előző elrendezésben cserélje ki az ellenállást a már korábban is vizsgált tekercsre és az előző feladathoz hasonló módon vizsgálja meg az így összeállított LV szűrő!
+
'''b)''' Az előző elrendezésben cserélje ki az ellenállást a már korábban is vizsgált tekercsre és az előző feladathoz hasonló módon vizsgálja meg az így összeállított LC szűrőt!
 +
* ''Kössön be az áramkörbe egy legalább $300\Omega$-os ellenállást is, ami limitálja az áramot és így elkerülhető, hogy a myDAQ kártya áramlimitjébe ütközzünk a méréskor!
 
* ''Vesse össze a két szűrő átviteli karakterisztikáját! Mi tapasztal?
 
* ''Vesse össze a két szűrő átviteli karakterisztikáját! Mi tapasztal?
  
−
'''8.''' Állítson össze párhuzamost LC rezgőkört! $R$ külön elemként legyen bekötve, mert a kör áramát az ellenálláson eső feszültségből fogja meghatározni! A frekvencia függvényében mérje meg $U_R$, $U_L$, és $U_C$ értékeit! Számítsa ki és ábrázolja a körben folyó $I$ áramot és a $Z$ eredő impedanciát $\omega$ függvényében. A mért adatokra illesszen megfelelő függvényeket, és az illesztésből határozza meg $\omega_0$-t. Az eredmény (és a korábban megmért $R$, $R_L$ és $C$ értékek) alapján határozza meg a tekercs $L$ induktivitását!
+
'''8.''' Az előző feladatban vizsgált elrendezés egy soros RLC rezgőkörként is funkcionál! A frekvencia függvényében mérje meg a releváns feszültségeket! Számítsa ki és ábrázolja a körben folyó $I$ áramot és a $Z$ eredő impedanciát $\omega$ függvényében. A mért adatokra illesszen megfelelő függvényeket, és az illesztésből határozza meg $\omega_0$-t.
−
* ''Az illesztésnél vegye figyelembe a tekercs (korábban megmért) ohmos ellenállását is!
+
* ''Elméleti megfontolások alapján határozza meg, hogy mely áramköri elemeken eső feszültséget szükséges mérni.
−
 
+
−
'''9.''' Állítson össze soros rezgőkört és vizsgálja meg az előző feladathoz hasonlóan!
+
 
* ''Melyik ellenállást célszerű választani az RLC-kör összeállításához, ha azt szeretné, hogy a rezonanciagörbe minél élesebb legyen? Válaszát indokolja!''
 
* ''Melyik ellenállást célszerű választani az RLC-kör összeállításához, ha azt szeretné, hogy a rezonanciagörbe minél élesebb legyen? Válaszát indokolja!''
 +
* ''A mérési naplóban elégséges, ha a kapott grafikonról leolvasott közelítő értékeket közli, az illesztést otthoni munkaként végezze el és a jegyzőkönyvben szerepeltesse az eredményeket!
 
* ''Az illesztésnél vegye figyelembe a tekercs (korábban megmért) ohmos ellenállását is!
 
* ''Az illesztésnél vegye figyelembe a tekercs (korábban megmért) ohmos ellenállását is!
  
−
'''10.''' Végezze el az előző mérést egy nagyobb sorba kötött ellenállással is! Végezze el most is az illesztést! Ábrázolja a két mérésnél kapott $I(\omega)$ rezonanciagörbéket közös grafikonban!-->
+
'''9.''' Végezze el az előző mérést egy nagyobb sorba kötött ellenállással is! Végezze el most is az illesztést! Ábrázolja a két mérésnél kapott $I(\omega)$ rezonanciagörbéket közös grafikonban!
 
* ''Vesse össze a mért görbéket az első alkalommal mért mechanikai kényszerrezgések görbéivel! Mit tapasztal?
 
* ''Vesse össze a mért görbéket az első alkalommal mért mechanikai kényszerrezgések görbéivel! Mit tapasztal?
 +
 +
'''10.''' Állítson össze párhuzamost LC rezgőkört! $R$ külön elemként legyen bekötve, mert a kör áramát az ellenálláson eső feszültségből fogja meghatározni! A frekvencia függvényében mérje meg $U_R$, $U_L$, és $U_C$ értékeit! Számítsa ki és ábrázolja a körben folyó $I$ áramot és a $Z$ eredő impedanciát $\omega$ függvényében. A mért adatokra illesszen megfelelő függvényeket, és az illesztésből határozza meg $\omega_0$-t. Az eredmény (és a korábban megmért $R$, $R_L$ és $C$ értékek) alapján határozza meg a tekercs $L$ induktivitását!
 +
* ''A mérési naplóban elégséges, ha a kapott grafikonról leolvasott közelítő értékeket közli, az illesztést otthoni munkaként végezze el és a jegyzőkönyvben szerepeltesse az eredményeket!
 +
* ''Az illesztésnél vegye figyelembe a tekercs (korábban megmért) ohmos ellenállását is!
  
 
[[Fizika laboratórium 2.|Vissza a Fizika laboratórium 2. tárgyoldalára.]]
 
[[Fizika laboratórium 2.|Vissza a Fizika laboratórium 2. tárgyoldalára.]]
  
 
</wlatex>
 
</wlatex>

A lap jelenlegi, 2024. szeptember 18., 19:42-kori változata


A mérés célja:

  • elmélyíteni a hallgatók harmonikus rezgésekről szóló ismereteit,
  • megtapasztalni a mechanikai és az elektromos rezgések közötti analógiát,
  • megismerkedni a váltóáramú mérésekkel és a komplex jelöléssel,
  • valamint egyszerű szűrőkapcsolások tulajdonságaival

Ennek érdekében:

  • a mechanikai rezgések leírásán keresztül áttekintjük a harmonikus rezgések elméletét,
  • megismerjük a különböző áramköri elemek váltóáramú viselkedését,
  • áttekintjük a komlex jelölést
  • megismerkedünk néhány egyszerű szűrőelrendezéssel,
  • megvizsgáljuk a mechanikai rezgéseket,
  • méréseket végzünk alul- és felüláteresztő szűrőkkel,
  • megvizsgáljuk a feszültségviszonyokat soros RLC körökben,
  • megfigyeljük az analógiát a soros RLC és a mechanikai rezgések között.

Tartalomjegyzék


Elméleti összefoglaló

A harmonikus rezgés alapvető fizikai jelenség. Vibrációk, oszcillációk harmonikus rezgéssel modellezhetők, ha az amplitúdók elég kicsinyek. A harmonikus mozgás differenciálegyenlete nem csupán a klasszikus fizikában (mechanika, villamosságtan), de a kvantumfizikában, a szilárdtestfizikában és az optikában is gyakran előfordul. A harmonikus rezgés tulajdonságait a mechanikai rezgések példáján keresztül tárgyaljuk, majd megmutatjuk a soros RLC körökben megfigyelhető elektromos rezgések és a mechanikai rezgések közötti analógiát. Végül pedig bevezetjük a komplex jelölést és megvizsgálunk néhány egyszerű szűrőelrendezést.

Harmonikus mechanikai rezgések leírása

Csillapítatlan mechanikai rezgések

Ha egy \setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegű anyagi pontra a kitéréssel arányos, rugalmas erő hat, akkor a mozgásegyenlet

\[ma=-Dx\]

alakú, ahol \setbox0\hbox{$D$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a rugóállandó, \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a tömegpont kitérése az egyensúlyi helyzetből, \setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a tömeg, és \setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a gyorsulás. A mozgásegyenlet megoldása

\[x(t)=A\sin(\omega_0 t+\alpha)\]

ahol \setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a (kitérési) amplitúdó, \setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a \setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% időpillanathoz tartozó fázis (mindkettőt a kezdeti feltételek határozzák meg),

\[\omega_0=\sqrt{\frac{D}{m}}\]

a csillapítatlan rezgő rendszer körfrekvenciája. (\setbox0\hbox{$\omega_0=2\pi f_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, ahol \setbox0\hbox{$f_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a megfelelő frekvencia.)

A harmonikus rezgőmozgás sebessége

\[v(t)=\frac{\text{d} x}{\text{d} t}=A\omega_0\cos(\omega_0 t+\alpha)\]

ahol \setbox0\hbox{$A\omega_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a maximális sebesség, az ún. sebességamplitúdó.

Csillapodó rezgések

A csillapodást okozó erők gyakran (jó közelítéssel) a sebességgel arányosak: \setbox0\hbox{$F_{cs}=-kv$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, ahol \setbox0\hbox{$k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a csillapítás erősségére jellemző mennyiség. Ekkor a tömegpont mozgásegyenlete:

\[ma=-Dx-kv\]

ami a \setbox0\hbox{$\beta=k/(2m)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% csillapítási tényező bevezetésével és \setbox0\hbox{$\omega_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% definíciójának felhasználásával az alábbi alakra hozható:

\[\frac{\text{d}^2x}{\text{d}t^2}+2\beta\frac{\text{d}x}{\text{d}t}+\omega_0^2 x=0\]

A differenciálegyenlet megoldása \setbox0\hbox{$\omega_0^2\geq\beta^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% esetén időben csökkenő amplitúdójú lengéseket eredményez:

\[x(t)=Ae^{-\beta t}\sin(\omega' t+\alpha)\]

A rezgés körfrekvenciája

\[\omega'=\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}\]

Az amplitúdóváltozás jellemzésére különböző mennyiségeket használnak. A csillapodási hányados két, azonos irányban egymás után következő amplitúdó hányadosa

\[K=\frac{x_n}{x_{n+1} }=e^{\beta T}\]

ahol \setbox0\hbox{$T=2\pi/\omega'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Használatos még a K csillapodási hányados logaritmusa, az ún. logaritmikus dekrementum is:

\[\Lambda=\ln K=\beta T\]

Kényszerrezgések

Egy \setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegre pl. motor és excenter segítségével időben periodikusan változó erőt alkalmazva egy átmeneti időszak után időben állandósult rezgés alakul ki, melynek frekvenciája megegyezik a kényszerítő erő frekvenciájával, míg amplitúdója függ az erőtől, a rugóállandótól, a tömegtől, a csillapítástól valamint a gerjesztő frekvenciától. Az anyagi pont mozgásegyenlete ekkor:

\[ma=-Dx-kv+F_0\sin(\omega t)\]

A korábban bevezetett jelöléseket alkalmazva másodrendű lineáris, inhomogén differenciálegyenletet kapunk:

\[\frac{\text{d}^2x}{\text{d}t^2}+2\beta\frac{\text{d}x}{\text{d}t}+\omega_0^2 x=\frac{F_0}{m}\sin(\omega t)\]

ahol \setbox0\hbox{$F_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a kényszererő maximális értéke. Az egyenlet megoldása:

\[x(t)=A_0e^{-\beta t}\sin(\omega' t+\alpha)+\frac{F_0}{m\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\beta^2\omega^2} }\sin(\omega t+\varphi),\]

melynek második tagja írja le az állandósult állapotot. Az állandósult állapot amplitúdója:

\[A(\omega)=\frac{F_0}{m\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\beta^2\omega^2} },\]

melynek maximuma van az

\[\omega_{max}=\sqrt{\omega_0^2-2\beta^2}\]

körfrekvenciánál. A \setbox0\hbox{$\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% fázisállandó nem az időmérés kezdetétől függ, hanem a kényszerítő erő fázisától való eltérés, ennek tangense:

\[\text{tg}\varphi=\frac{2\beta\omega}{\omega_0^2-\omega^2}.\]

Az amplitúdóhoz hasonlóan megadhatjuk a sebességamplitúdó kifejezését is:

\[A\omega=\frac{F_0\omega}{m\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\beta^2\omega^2}}\]

melynek maximuma – ellentétben a kitérési amplitúdó maximumával – éppen \setbox0\hbox{$\omega_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-nál van, ahol

\[A\omega_0=\frac{F_0}{2m\beta}.\]

A kényszerrezgés energiaviszonyainak jellemezésére az egy periódus alatt disszipált energia \setbox0\hbox{$\langle W\rangle$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és a rendszerben tárolt átlagos energia \setbox0\hbox{$\langle P\rangle$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hányadosával arányos jósági tényezőt használjuk

\[Q=2\pi\frac{\langle W\rangle}{T\langle P\rangle}\approx\frac{\omega_0}{2\beta}\]

Váltakozó áramú kapcsolások

Áramköri elemek áram- és feszültségviszonyai

Ohmos ellenállás

Az ellenálláson eső feszültséget az

\[u(t)=R i(t)\]

összefüggés írja le. Szinuszos gerjesztés [\setbox0\hbox{$i(t)=I\cos\omega t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%] esetén

\[u(t) = R I \cos\omega t,\]

azaz az ohmos ellenálláson a feszültség és az áram azonos fázisban van.

Tekercs

A tekercsben indukálódó feszültséget az

\[u(t) = L \frac{{\rm d}i(t)}{{\rm d}t}\]

egyenlet írja le. Szinuszos gerjesztés [\setbox0\hbox{$i(t)=I\cos\omega t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%] esetén

\[u(t) = -L \omega I \sin\omega t = L \omega I \cos( \omega t + 90^\circ),\]

tehát a tekercsben fellépő feszültség 90°-ot siet az átfolyó áramhoz képest.

Kondenzátor

A kondenzátoron átfolyó áram időfüggését az alábbi egyenlet írja le:

\[i(t) = C \frac{{\rm d}u(t)}{{\rm d}t}.\]

Szinuszos gerjesztés [\setbox0\hbox{$i(t)=I\cos\omega t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%] esetén:

\[u(t) = \frac{I}{C\omega}\sin\omega t = \frac{I}{C\omega}\cos(\omega t - 90^\circ),\]

azaz a kondenzátor feszültsége 90°-kal késik az áramhoz képest.

Soros rezgőkör - a mechanikai kényszerrezgés elektromos megfelelője

Kondenzátor és tekercs soros kapcsolását (a veszteségeket soros ellenállással figyelembe véve) soros rezgőkörnek nevezik (1. ábra). Az alábbiakban láthatjuk, hogy ez az áramkör a korábban ismertetett kényszerrezgés elektromos megfelelője, amennyiben a tömegpont kitérését megfeleltetjük a kondenzátor töltésének, a rugóállandót a kondenzátor kapacitásának, a tömegpont tömegét a tekercs induktivitásának és a csillapítást az ellenállásnak. Ha az RLC körben a kondenzátort feltöltenénk, majd a bemenetet rövidre zárnánk, akkor egy csillapodó rezgést figyelhetnénk meg. A nagy frekvencia és a gyors csillapodás miatt azonban ezt nehezebb megfigyelni, mint egy kitérített, és magára hagyott mechanikai rezgő rendszert. Ha a bemenetre szinuszos gerjesztő feszültséget kapcsolunk, akkor viszont a kényszerrezgéssel teljesen analóg viselkedést figyelhetünk meg.

1. ábra

Viszgáljuk meg a rezgőkör differenciálegyenletét a kondenzátor időfüggő töltésére (\setbox0\hbox{$q(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) felírva, amikor a rezgőkörre \setbox0\hbox{$u_0(t)=U_0\sin\omega t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% feszültséget kapcsolunk:

\[u_{\rm C}=q(t)/C\]
\[i(t)=\dot{q}(t)\]
\[u_{\rm R}=Ri(t)=R\dot{q}(t)\]
\[u_{\rm L}=L\dot{i}(t)=L\ddot{q}(t)\]
\[L\ddot{q}(t)+R\dot{q}(t)+q(t)/C=U_0\sin\omega t\]
\[\ddot{q}(t)+\frac{R}{L}\dot{q}(t)+\frac{1}{LC}q(t)=\frac{U_0}{L}\sin\omega t.\]

Vegyük észre, hogy ez a differenciálegyenlet \setbox0\hbox{$R/L=2\beta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$1/LC=\omega_0^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% jelöléssel a kényszerrezgést leíró differenciálegyenlettel teljesen analóg egyenletet eredményez. Ennek következtében az általános megoldás is teljesen analóg: traniens és állandósult tagokat tartalmaz.

Esetünkben a tranziens tag hamar elhal, és az állandósult tagot tanulmányozhatjuk. Az amplitúdó itt a kondenzátor töltése, de számunkra sokkal érdekesebb ennek deriváltja, a körben folyó áramerősség. Ez tehát az analógia alapján a mechanikai rezgés sebességrezonanciájával egyezik meg:

\[I(\omega)=\frac{U_0}{L\sqrt{\left(\omega^2-\omega_0^2\right)^2+4\beta^2\omega^2}}.\]

Ha behelyettesítjük \setbox0\hbox{$\beta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$\omega_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% értékét, akkor

\[I(\omega)=\frac{U_0}{\sqrt{(\omega L-1/\omega C)^2+R^2}}.\]

Látható, hogy a rezgőkörben folyó áramnak \setbox0\hbox{$\omega L = 1/\omega C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% esetén az

\[\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}\]

körfrekvencián maximuma van. A jelenséget rezonanciának, \setbox0\hbox{$\omega_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-t rezonancia-körfrekvenciának hívják. Ezen a körfrekvencián áramrezonancia alakul ki.

Ez az áram – kis veszteségi ellenállást feltételezve – igen nagy feszültségeket hozhat létre a kondenzátoron és a tekercsen. Azonban ezek a feszültségek egymáshoz viszonyítva 180°-os fázisban vannak, abszolút értékük pedig megegyezik (hiszen azonos áram folyik át rajtuk), így egymást kiegyenlítik.

Megjegyzés: A kondenzátoron és a tekercsen eső feszültségnek nem pontosan az \setbox0\hbox{$\omega_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% rezonanciafrekvencián van maximuma - hasonlóan a mechanikai kényszerrezgés amplitúdórezonanciájához. Miért is?

Komplex jelölés

2. ábra

Szinuszos gerjesztés esetén, állandósult állapotban minden áram- és feszültségfüggvény azonos \setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% körfrekvenciával változik. Az egymáshoz képesti fáziskülönbségeket ilyenkor ún. fazor ábrával szemléltethetjük. Az 2. ábrán egy soros RLC-kör (részletesen lásd később) fazorábrája látható. Az áram - a soros kapcsolás miatt - mindhárom elemen ugyanakkora, a feszültségek pedig ehhez viszonyítva sietnek, fázisban vannak, illetve késnek.

Az áramkörre kapcsolt feszültség a három, sorbakapcsolt feszültséget jelölő fazor vektori eredője.

A fazorokat felfoghatjuk komlex számokként is. Így az egyes áram és feszültségjeleket egy-egy komplex szám jelöli. A fazorokhoz hasonlóan a komplex szám abszolút értéke a jel nagyságát (csúcsértékét), a komplex szám arkusza pedig a jel (a kiválasztott fázishelyzethez viszonyított) fázisát adja meg.

Figyelem! Mivel a villamos hálózatoknál \setbox0\hbox{$i$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% az áram pillanatértékét jelöli, a komplex egység szokásos jelölése itt \setbox0\hbox{$j$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% !

Az 2. ábrán látható fazorábrán szereplő jeleknek megfelelő komplex mennyiségek:

\[\mathbf{I}=I\]
\[\mathbf{U_{\rm R}}=U_{\rm R}=RI\]
\[\mathbf{U_{\rm L}}=jU_{\rm L}=j\omega LI\]
\[\mathbf{U_{\rm C}}=-jU_{\rm C}=I/j\omega C\]

Ekkor az eredő (komplex) feszültséget nem csak megszerkeszthetjük, hanem egyszerű komplex algebrával ki is számolhatjuk:

\[\mathbf{U} = \mathbf{U_{\rm R}}+\mathbf{U_{\rm L}}+\mathbf{U_{\rm C}}= RI + j\omega LI + I/j\omega C\]

Az eredő feszültség nagysága (csúcsértéke) a komplex érték abszolút értéke:

\[U=|\mathbf{U}|=\sqrt{R^2+(\omega L-1/\omega C)^2}I=ZI,\]

ahol \setbox0\hbox{$Z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% az eredő ellenállás.

Az eredő feszültség fázisa a komplex feszültség arkusza:

\[\varphi=\arccos\frac{R}{Z}.\]

A komplex áram és feszültség alapján azonban közvetlenül is fel tudjuk írni az áram és a feszültség időfüggvényét:

\[i(t)=\rm{Re}\left(\mathbf{I}e^{j\omega t}\right)=I\cos \omega t\]
\[u(t)=\rm{Re}\left(\mathbf{U}e^{j\omega t}\right)=U\cos(\omega t+\varphi)=ZI\cos(\omega t+\varphi)\]
3. ábra

Ha az 2. ábrán látható fazorokat leíró komplex feszültségeket elosztjuk az áramerősség nagyságával, akkor ellenállás dimenziójú komplex mennyiségeket kapunk:

\[\frac{\mathbf{U_{\rm R}}}{I}=\mathbf{R}=R\]
\[\frac{\mathbf{U_{\rm L}}}{I}=\mathbf{X_{\rm L}}=j\omega L\]
\[\frac{\mathbf{U_{\rm C}}}{I}=\mathbf{X_{\rm C}}=1/j\omega C\]
\[\frac{\mathbf{U}}{I}=\mathbf{Z}\]

A komplex ellenállásokkal ugyanúgy számolhatunk egy váltóáramú körben, mint az ohmos ellenállásokkal egyenáramú hálózatok esetében.

A mi esetünkben a soros kapcsolás miatt az eredő (komplex) ellenállás az egyes (komplex) ellenállások összege:

\[\mathbf{Z}=\mathbf{R}+\mathbf{X_{\rm L}}+\mathbf{X_{\rm C}}.\]

A komplex jelölésmóddal bármely áramköri elem leírása olyan, mintha egy ohmos ellenállás lenne:

\[\mathbf{U_{\rm R}}=\mathbf{R}\mathbf{I}\]
\[\mathbf{U_{\rm L}}=\mathbf{X_{\rm L}}\mathbf{I}\]
\[\mathbf{U_{\rm C}}=\mathbf{X_{\rm C}}\mathbf{I}\]
\[\mathbf{U}=\mathbf{Z}\mathbf{I}\]

A komplex ellenállás abszolút értéke a skalár ellenállás értéket adja, míg arkusza azt mutatja meg, hogy az adott áramköri elem mennyivel tolja el a fázist.

Egyszerű áramkörök leírása komplex jelöléssel

A komplex leírásmód előnyének szemléltetése céljából az alábbiakban megvizsgálunk néhány negyszerű áramkört.

Szűrő áramkörök

Szűrők segítségével egy különböző frekvenciájú rezgésekből álló elektromos jelből ki lehet szűrni bizonyos frekvenciatartományokat. A legegyszerűbb elsőrendű szűrők egy ellenállást és egy kondenzátort/tekercset tartalmaznak és a feszültségosztás elvén működnek, melyet a komplex jelölést felhasználva egyszerűen az egyenáramú áramkörökben jól ismert \setbox0\hbox{$U_1=UR_1/(R_1+R_2)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% feszültségosztó képlettel leírhatunk komplex ellenállások használatával. Ilyen szűrőkre láthatunk példát az 4/a és 4/b ábrákon. A kapcsolások feszültségviszonyai pedig az alábbi képletekkel írhatók le (A vastag betűs mennyiségek komplex változók, \setbox0\hbox{$j$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a képzetes egység. Ugyanakkor mérni csak valós mennyiségeket lehet!):

4/a ábra
4/b ábra
\[ \begin{array}{rcl} \mathbf{U}_{\rm ki} & = & \mathbf{U}_{\rm be} \frac{1/j\omega C}{R + 1/j\omega C} \\ \\ \frac{\mathbf{U}_{\rm ki}}{\mathbf{U}_{\rm be}} & = & \frac{1}{1 + j\omega RC} \\ \\ \frac{U_{\rm ki}}{U_{\rm be}} & = & \left|\frac{1}{1 + j\omega RC}\right|=\frac{1}{\sqrt{1+(\omega RC)^2}} \end{array} \]
\[ \begin{array}{rcl} \mathbf{U}_{\rm ki} & = & \mathbf{U}_{\rm be} \frac{R}{R + j\omega L} \\ \\ \frac{\mathbf{U}_{\rm ki}}{\mathbf{U}_{\rm be}} & = & \frac{1}{1 + j\omega L/R} \\ \\ \frac{U_{\rm ki}}{U_{\rm be}} & = & \left|\frac{1}{1 + j\omega L/R}\right|=\frac{1}{\sqrt{1+(\omega L/R)^2}} \end{array} \]

A kimeneti és bemeneti feszültségek hányadosa, a hálózatra jellemző, frekvenciafüggő kifejezés, melyeket megvizsgálva látható, hogy formailag azonosak, tehát a két kapcsolás azonos jellegű viselkedést mutat. Ameddig \setbox0\hbox{$\omega RC \ll 1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% vagy \setbox0\hbox{$\omega L/R \ll 1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, a kifejezések értéke 1; ha \setbox0\hbox{$\omega RC \gg 1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% vagy \setbox0\hbox{$\omega L/R \gg 1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, a hányados értéke \setbox0\hbox{$1/\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szerint csökken. Ez azt jelenti, hogy adott \setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, \setbox0\hbox{$C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% esetén az alacsony frekvenciájú jelek csillapítás nélkül jelennek meg a kimeneten, míg magasabb frekvenciákon a kimenő feszültség egyre kisebb. Ezeket a kapcsolásokat aluláteresztő szűrőknek nevezik.

Könnyen belátható továbbá az is, hogy ugyanezeket az elrendezéseket használva felüláteresztő szűrőket is megvalósíthatunk, amennyiben a kondenzátoron (4/a) vagy ellenálláson (4/b) eső feszültség helyett a kapcsolás másik áramköri elemén (ellenállás/tekercs) eső feszültséget tekintjük kimeneti feszültségnek.

Rezgőkörök

A Komplex jelölést bemutató fejezetben egy soros rezgőkör állandósult állapotát írtuk fel a komplex jelölés használatával (fontos megjegyezni, hogy a tranzienseket ebben a leírásban nem lehet vizsgálni), ahol a hálózat eredő impedanciájára:

\[\mathbf{Z}(\omega) = j\omega L + 1/j\omega C + R,\]

az impedancia abszolút értékére és fázisszögére pedig:

\[Z(\omega) = \sqrt{(\omega L-1/\omega C)^2+R^2}\]
\[\varphi = \arccos\frac{R}{Z},\]

összefüggéseket kaptuk.

Így a körben folyó áram (azaz az ellenálláson eső feszültség és az ellenállás hányadosa):

\[I(\omega)= \frac{U_R}{R}= \frac{U_0}{Z}=\frac{U_0}{\sqrt{(\omega L-1/\omega C)^2+R^2}}\]


5. ábra

A komplex felírásmód alkalmazásával hasonlóan egyszerűen megkaphatjuk egy párhuzamos LC rezgőkör jellemzőit is, melyek az alábbiak:

\[\mathbf{Z}(\omega) = \frac{j\omega L}{ 1 - \omega^{2} L C} + R,\]
\[Z(\omega) = \sqrt{\frac{\omega^{2} L^{2}}{(1 - \omega^{2} L C)^2} + R^{2}}\]
\[I(\omega)= \frac{U_0}{Z}=\frac{U_0}{\sqrt{R^2 + \omega^{2} L^{2} / (1 - \omega^{2} L C)^2}}\]

A körben folyó áramot leíró képlet elemzéséből megállapítható, hogy a párhuzamos RLC kör esetén kis és nagy \setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% értékeknél kapunk maximális áramot és az áramnak mimimuma van \setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvényében az \setbox0\hbox{$\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% helyen.

A méréshez használt eszközök

A mechanikai rezgések vizsgálatához használt kísérleti berendezés leírása

6. ábra

A kísérleti berendezés az 6. ábrán láthatóhoz hasonló saját gyártású mérőeszköz. Az alul elhelyezkedő elektronikai egységben található a meghajtó villanymotor és egy optikai érzékelő, mellyel a meghajtás frekvenciája mérhető, az egység első lapján találhatók az elektromos csatlakozók (motortáp, optikai értzékelő tápja, illetve jelkimenete), illetve a kényszererőt létrehozó excenter. A kényszererő amplitúdója az amplitúdórúd helyzetének változtatásával szabályozható, ami a kényszert kifejtő zsinór rögzítési pontja és az excenter középpontja közötti távolságot befolyásolja (7. ábra). A kényszert továbbító zsinór a tartóoszlop tetején található két csiga vájatain áthaladva egy hurokkal kapcsolódik a vizsgálandó rugó egyik végéhez. A másik véghez a skálával ellátott mérő- és csillapítórúd csatlakozik (továbbiakban mérőrúd), e rúd alkotja a rezgőmozgást végző „alaptömeget”, melynek értéke 50 g.

A mérőkészlethez tartozik két 50 g tömegű rézkorong is. A korongokat a mérőrúd aljára lehet felerősíteni egy csavar segítségével. A tartóoszlop középmagasságánál látható a rúdvezető, mérőrudat a rúdvezető téglalap alakú nyílásán kell átvezetni úgy, hogy a mérőrúd egyik oldala sem ér hozzá a rúdvezető nyílásának falához (8. ábra). A nem jó a beállítás a 9. ábrán látható „b” vagy „c” esetben fordul elő. A „b” esetet az elektronika doboz változtatható magasságú lábainak megfelelő állításával korrigálhatjuk (vízszintezés). A „c” eset a mérőrúd felfüggesztésével (elcsavarásával)javítható.

Helyes beállítás esetén a rezgés csillapodása – melyet a légellenállás ill. a berendezés egyes elemei között fellépő súrlódás okoz – igen kicsi. Ezért a csillapítás változtatása (növelése) céljából a tartórúdra egy olyan mágnespárt szerelhetünk fel, melynek pofái között a távolság változtatható. Ezen mágnespofák között mozog maga a mérőrúd, ami alumíniumból készült, így a mágneses tér hatására a mozgó fémrúdban örvényáramok keletkeznek, melyek Joule-hőjének disszipációja okozza a rendszer csillapodását. A mágnespofák közötti távolság csökkentésével a mágneses térerősség növelhető, azaz a disszipáció, vagyis a csillapítás fokozható.


7. ábra
8. ábra

A motor egy szabályozható tápegységgel kerül meghajtásra, és a feszültség változtatásával érhetjük el a meghajtás frekvenciájának változását. A mérőrúd pozícióját az idő függvényében (így a rezgés amplitúdóját és frekvenciáját is) egy Vernier GO! Motion ultrahangos távolságmérővel méri a Logger Lite nevű program segítségével (ha saját laptopot szeretne használni a méréshez, akkor telepítse a programot). A meghajtás frekvenciáját mérő optikai jeladó feszültségjele szintén rögzíthető a Logger Lite programban. Az optikai jeladó használatához egy 5V-os DC tápfeszültséget kell kapcsolni a tápbemenetre, melyet szintén a rendelkezésre álló tápegységből tud kivenni. FIGYELEM! A mérésnél a két szenzort egyszerre kell a számítógéphez csatlakoztatni, ehhez két szabad USB port szükséges! Ha a saját laptopja nem rendelkezik két USB-vel és megfelelő USB bővítője sincs, akkor azt mérés előtt jelezze a mérésvezetőknek!

National Instruments myDAQ adatgyűjtő kártya

A váltóáramú körök méréséhez egy National Instruments myDAQ adatgyűjtőkártyát fog használni, melyet a Matlabbal vezérel. A myDAQ kártya rendelkezik 2-2 db +-10V-os analóg, 1-1db audió, 8db digitális ki- és bemenettel, valamint 5V-os és +-15V-os tápfeszültség kimenettel és digitális multiméter funkcióval. Jelen méréshez a fenti funkciók közül egy analóg kimenetet és két analóg bemenetet használunk.

A mérőkártya programozásával későbbi tanulmányai során fog megismerkedni, jelen labor keretében az alábbi előre elkészített függvényekkel fog dolgozni, melyek elvégzik a mérőkártya konfigurálását és a jelek kiadását/adatgyűjtés:

  • A myDAQ_init nevű függvénnyel tudja elvégezni a mérőkártya inicializálását a mérés elején, azaz konfigurálja az "AO0" kimeneti, valamint az "AI0" és "AI1" bemeneti csatornákat, illetve beállítja a 200kHz-es mintavételezési frekvenciát. Ezt a függvényt csak egyszer szükséges meghívni (kivéve, ha újraindítja a Matlab-ot).
  • A myDAQ_arb_rw függévénnyel egy tetszőleges pontonként definiált jelet tud a kártya "AO0" csatornáján kiadni, miközben az "AI0" és "AI1" csatornákon mintavételez. A szinkronizálásból adódó problémák elkerülése érdekében a tényleges kiadott jel egy 100ms-os előszakasz és egy szintén 100ms-os utószakaszt is tartalmaz, amik alatt a felhasználó által definiált jel első, illetve utolsó feszültségértékét adja ki a mérőkártya. A függvény egyetlen paramétert vár, magát a kiadandó jelet, mely sor- vagy oszlopvektor formátumú kell legyen és a pontonkénti feszültséget tartalmazza Volt egységben. A maximális engedélyezett amplitúdó +-10V. A függvény kimenetként visszaadja (a felsorolás sorrendjében) az időalapot, a kimenetre küldött programozott jelet és a két bemeneti csatornán mért adatokat.
  • A myDAQ_sin_rw függvénnyel egy 0.1Hz-50kHz frekvenciájú és 0.01-5V amplitúdójú megadott számú periódusból álló szinuszjelet tud a kártya "AO0" csatornáján kiadni, miközben az "AI0" és "AI1" csatornákon mintavétele. A függvény egy szoftveres triggerelést valósít meg (felmenő éra), melyhez egy 100ms-os előszakasz és egy szintén 100ms-os utószakasszal egészíti ki a felhasználó által definiált jelet. A függvény első bemeneti paramétere a szinuszjel frekvenciája Hz egységekben, második paramétere a periódusok száma, míg harmadik (opcionális) paramétere az amplitúdó (alapértelmezett értéke 1V). A függvény kimenetként visszaadja (a felsorolás sorrendjében) az időalapot, a kimenetre küldött programozott jelet és a két bemeneti csatornán mért adatokat.

BNC csatlakozós elektronikai dobozok

Az elektromos mérések során ún. BNC csatlakozós koaxiális kábeleket használ, melyek egy belső érből és egy külső palástból állnak. Ezeket a kábeleket a gyakorlatban kezelhetjük úgy, mint egy vezetékpárt. Az egyes áramköri elemek (ellenállások, kondenzátor, tekercs) fémbobozokban találhatók és a kivezetésük ún. szigeteletlen BNC csatlakozókkal került megoldásra. Ez azt jelenti, hogy a csatlakozó külső része, azaz a BNC kábel palástja (tehát a vezetékpár egyik vezetéke), elektromosan csatlakozik a fémdobozhoz, így a fémdoboz és minden dobozra csatlakoztatott BNC kábel külső palástja egy ekvipotenciális pontnak tekinthető (tipikusan földpont).

A mérőhelyen rendelkezésre áll egy olyan ellenállásdoboz, melyben több ellenállás található. Az ellenállások egyik lába egy közös kivezetésre, míg a másik láb ellenállásonkánt egy-egy saját kivezetésre van csatlakoztatva. Szintén rendelkezésre áll egy kondenzátort és egy tekercset tartalmazó doboz, amiben hasonló elven a két áramköri elem egy-egy saját kivezetés mellett osztozik egy közös kivezetésen. A lét doboz vázlata az alábbi ábrákon látható:

9. ábra: Az ellenállásdoboz sematikus rajza. Az ábrán vastag fekete vonal jelöli a fémdobozt, fekete karika benne piros ponttal a szigeteletlen BNC csatlakozót, a piros vonal a kábel belső erét, míg a szaggatott fekete vonal a kábel palástját.
10. ábra: A kondenzátort és a tekercset tartalmazó doboz sematikus rajza. A jelölés megegyezik az ellenállásdoboznál alkalmazottal.

Könnyen belátható, hogy a fenti dobozokkal egy-egy áramköri elemre is tudunk csatlakozni (közös csatlakozó és az adott elem saját csatlakozója), de elő tudunk állítani soros és párhuzamos kapcsolásokat is.

Mérési feladatok

  • A mérés elvégzéséhez és a mérési napló elkészítéséhez a dőlt betűs részekben adunk segítséget.

FELADATOK ELSŐ ALKALOMMAL

A méréshez rendelkezésre álló eszközök

1. A rugóállandó mérése

Csavarja be az akasztószemet a rúd alján található menetbe, majd állítsa be a zsinór hosszát úgy, hogy a mérőrúd alja körülbelül a rúdvezető alsó széléhez essen! Akassza rá az egyik 25 g-os rézsúlyt egy kis kampó segítségével a mérőrúdra! Mérje le a rugó sztatikus megnyúlását! Ezután helyezzen fel egymás után több rézsúlyt is (összesen 4 darabot), és mérje meg a megnyúlásokat! Egy súly-megnyúlás értékpárból számolja ki a rugóállandót és jegyezze le a mérési naplóba! A jegyzőkönyvben ábrázolja az erő - megnyúlás grafikont és illesztéssel határozza meg a rugó rugóállandóját!

  • Ne feledkezzen meg a hibabecslésről!

2. Csillapítatlan rendszer lengésideje

Szabályozza be a készüléket!

  • Nagyon fontos, hogy a mérőrúd ne érjen a rúdvezető egyik falához se (lásd az előző pontban)!

Ehhez a méréshez szerelje le a csillapító mágnespofákat a tartóval együtt! Húzza a mérőrudat kb. 5 cm-rel az egyensúlyi helyzete alá, és engedje el! Indítsa el a Logger Lite programban a mintavételezést és rögzítsen legalább 5-10 periódust! A Logger Liteban kapott görbe alapján számítsa ki a periódusidőt és jegyezze le a mérési naplóba! A mérést üres mérőrúddal, majd egy és két súly ráhelyezésével is végezze el! Minden mérés után az "Export As" menüpontot használva mentse el az adatokat .txt formátumú fájlba. Az ottohoni kiértékelés során ezeket töltse be a Matlab-ba, majd határozza meg a rezgés periódusidejét szinusz illesztéssel!

  • A Logger Lite szoftver beállításához kérje a mérésvezető segítségét!
  • A méréshez a korong alakú súlyokat használja, melyeket a rúd aljára csavarral tud rögzíteni!
  • A mérőrúd tömege 50g, a súlyok (korongok) tömege 50g.
  • A mért adatok Matlab-ba való betöltésére (és akár a görbeillesztésre) célszerű egy függvényt készítenie, mert a későbbi méréseknél szintén el kell végezni a betöltést és illesztést.
  • Ha nehézséget okoz a beolvasó függvény elkészítése, itt talál hozzá segítséget. A szinuszjelek illesztésére és szolgáló függvényhez pedig itt talál segítséget.
  • Az eredményeket foglalja táblázatba és vesse össze az elmélet alapján kiszámolt értékekkel!

3. Kényszerrezgés amplitúdójának és sebességamplitúdójának vizsgálata a kényszerítő frekvencia függvényében

A méréseket két különböző csillapítás esetén, mérőrúd + 50 g tömeggel végezze el! Szerelje vissza a csillapító mágnespofákat! A kis csillapításhoz a csillapító mágnespofákat egymástól kb. 2 cm-re állítsa be! A nagy csillapításhoz tekerje a mágnespofákat a lehető legközelebb, de csak annyira, hogy ne érjenek hozzá a mérőrúdhoz! Ekkor mérje meg és jegyezze fel a mágnespofák távolságát!

Gondosan állítsa be a mérőrúd helyzetét, majd vizsgálja meg a csillapított szabad rezgést midkét csillapítás esetén! Ehhez térítse ki a mérőrudat kb. 5 cm-rel és vegye fel a mozgását 60 s-ig.

A kényszerrezgés elindítása előtt szóljon a mérésvezetőnek, aki megmutatja a berendezés használatát!

Ha minden beállítás megtörtént, következő lépésként a motor feszültségének növelésével indítsa el a kényszerrezgést! A meghajtás elindítását célszerű kézzel segíteni, óvatosan lökje meg a meghajtókereket a nyíllal jelölt irányba. A mérés során lassan (fokozatosan) növelje a frekvenciát a feszültség növelésével, és keresse meg az \setbox0\hbox{$f_{max}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% rezonanciafrekvenciát, ahol az amplitúdó maximális!

  • NE HASZNÁLJON TÚL KICSI CSILLAPÍTÁST (túl távoli mágnespofák), mert a rezonanciafrekvencián az amplitúdó túl nagy lehet, ami károsíthatja a berendezést, vagy balesetet okozhat!
  • A rezonanciafrekvencia – különösen nagy csillapítás esetében – eltér a sajátfrekvenciától.
  • Amennyiben a rezgések amplitúdója túl nagy vagy túl kicsi lenne, úgy kapcsolja ki a készüléket és csökkentse, illetve növelje a kényszererő amplitúdóját (ehhez egyeztessen a mérésvezetővel), majd ellenőrizze a kitérést a rezonanciafrekvenciánál!

Amennyiben mindent rendben talál, végezze el újra a frekvencia hangolását és időről-időre álljon meg és várja meg az állandósult állapotot! A rezonanciafrekvenciánál kb. 0.7 Hz-cel kisebb és 0.7 Hz-cel nagyobb frekvenciák közötti intervallumban mérjen kb. 0,1 Hz-enként (és a rezonancia frekvencia közelében ennél sűrűbben is)!

  • A mérés során a rezonanciafrekvenciára és környékére fókuszáljon, ahol az amplitúdó jelentősen változik a frekcencia függvényében. Túl kicsi, vagy túl nagy frekvencián, ahol már nagyon kicsi az amplitúdó elég néhány mérési pontot felvenni.
  • A meghajtás frekvenciáját egy optikai jeladó segítségével tudja mérni, a kívánt frekvencia beállításához mérje a jeladó jelét egy oszcilloszkóppal és ez alapján hangolja a feszültséget! A jeladó jele a rúd kitérésével együtt a Logger Lite programmal is rögzíthető, ezzel a jegyzőkönyvben a frekvencia pontosabban meghatározható.
  • Célszerű már a frekvencia hangolása közben elindítani a mintavételezést és a számítógépen figyelni mikor ér véget a tranziens viselkedés.
  • Az adott frekvenciához tartozó állandósult állapotban történő méréshez indítson új mintavételezést és vegyen fel 10-20 periódust! Ennek a mérési fájlnak a automatizált betöltése és illesztése egyszerűbb, mert nem szükséges az adatok levágása.
  • Rögzítse a motor meghajtófeszültségének értékét is a különböző frekvenciáknál, a későbbi méréseknél segítségére lehet.
  • Először végezze el a mérést nagyobb frekvencia lépésekben, majd ha szükséges, akkor finomítsa a felbontást!

A Logger Lite-ot használva olvassa le a görbékről a rezgés hozzávetőleges amplitúdóját egy-egy adott frekvenciánál és ábrázolja az amplitúdó-frekvencia grafikont a mérési naplóban és ellenőrizze, hogy a görbe alakja egyezik-e az elméletileg várttal. A tapasztalatok alapján szükség esetén végezzen további méréseket!

A jegyzőkönyvhöz minden mérést mentsen el, majd töltse be Matlab-ba és szinusz illesztéssel határozza meg az amplitúdókat és a frekvenciákat! Ábrázolja a különböző csillapítással felvett amplitúdó - frekvencia görbéket közös diagrammon! Adja meg minden esetben \setbox0\hbox{$f_{max}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% értékét! A korábban megmért görbék valamennyi pontjánál (a kitérési amplitúdó és frekvencia ismeretében) számítsa ki a sebeségamplitúdó \setbox0\hbox{$(A\cdot 2\pi f=A\omega)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% értékeket! Foglalja táblázatba és ábrázolja diagrammon a sebességamplitúdó – körfrekvencia görbéket!

  • A különböző csillapítással felvett görbéket most is közös diagrammon ábrázolja!

4. Csillapítási tényező és jósági tényező meghatározása (otthon elvégzendő feladat)

A csillapítási tényező kísérleti meghatározásának egyik lehetséges módszere a csillapodási hányados mérésén alapul, ehhez használja a 3. feladat csillapított szabad rezgésnél mért adatsorait! Ekkor egymás utáni lengések amplitúdócsökkenéseit mérjük.

Egy másik (esetenként előnyösebb) módszer a csillapítási- és jósági tényezők meghatározásra a sebességamplitúdó frekvenciafüggésének vizsgálata. Ehhez illesszen a 3. feladatban mért sebességamplitúdó adatokra a sebességamplitúdó – körfrekvencia függvénynek megfelelő görbét! Az illesztett görbe illesztési paraméterei között szerepel a \setbox0\hbox{$\beta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% csillapítási tényező és az \setbox0\hbox{$\omega_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% saját körfrekvencia (valamint az \setbox0\hbox{$F_0/m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hányados). Az illesztés alapján határozza meg ezeket a paramétereket és hibájukat. Ezek alapján már meghatározható a jósági tényező is.

5. Szorgalmi feladat: Lebegés vizsgálata

11. ábra

Két, kis mértékben különböző frekvenciájú, szinuszhullám szuperpozíciójakor „lebegés” alakul ki (11. ábra). Ha \setbox0\hbox{$t_A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% időpontban a rezgések éppen fázisban vannak, akkor a hullámok összeadódnak és az eredő rezgés maximális amplitúdójú lesz. Egy későbbi \setbox0\hbox{$t_B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% időpontban azonban a frekvencia különbség miatt a rezgések ellentétes fázisba kerülnek, és egymás hatását csökkentve minimális amplitúdót eredményeznek. Az amplitúdó változások burkológörbéje szintén szinuszos. A burkológörbe frekvenciája \setbox0\hbox{$f_L=\left(f_1-f_2\right)/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, ahol \setbox0\hbox{$f_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$f_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a két összetevő rezgés frekvenciája.

A kényszerrezgés bekapcsolásakor az állandósult tag mellett egy darabig megfigyelhető a csillapított rendszer idővel elhaló saját rezgése is. A differenciálegyenlet megoldása tartalmazza a bekapcsolás után kialakuló mindkét frekvenciát. A tranziens rezgés körfrekvenciája \setbox0\hbox{$\omega’$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, az állandósulté pedig \setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Lebegés akkor figyelhető meg, ha a kényszererő \setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% körfrekvenciája \setbox0\hbox{$\omega’$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% közelében van, és a csillapítás elég kicsi. Amint a tranziens elhal, a lebegés is megszűnik.

Szerelje le újra a csillapító mágnespofákat és állítsa be pontosan a mérőrúd helyzetét. Állítsa a kényszerkeréken az amplitúdót körülbelül 1-2 mm-re! Kapcsolja be a kényszermozgást és szabályozza annak frekvenciáját úgy, hogy körülbelül 0,1 Hz-cel legyen alacsonyabb, mint \setbox0\hbox{$f_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és kapcsolja ki a kényszert! Várjon, amíg a mérőrúd megáll!

Indítsa el az adatgyűjtést, majd kapcsolja be a kényszerrezgést! A lebegés megszűntéig mérjen!

Ábrázolja az amplitúdót az idő függvényében! Határozza meg a burkoló szinuszgörbe periódusidejét és frekvenciáját!

  • Vesse össze az elmélet alapján várható értékekkel!
  • Akkor kap szép lebegést, ha kicsi a csillapítás (leszedett mágnespofák, jól beállított mérőrúd (nem súrlódik).
  • Vigyázzon, hogy leszedett mágnespofák mellett ne hangolja a kényszerrezgést a rendszer sajátfrekvenciájára, mert ekkor az amplitúdó jelentősen megnőhet!

FIGYELEM! A második alkalomra az eddigi feladatok előzetes kiértékelését el kell végezni és meg kell mutatni a mérésvezetőnek.

FELADATOK MÁSODIK ALKALOMMAL

Ha az előző alkalmon valamelyik feladatot nem sikerült befejeznie, vagy esetleg rossz eredményet kapott, akkor ismételje meg a mérést a gyakorlat végén!

  • Általános megjegyzések:
    • A méréshez egy National Instruments myDAQ mérőkártyát használunk egy saját készítésű panellel, melyre BNC csatlakozókkal köthetők be az egyes áramköri elemek!
    • A különböző elemeket tartalmazó fémdobozokon ún. szigeteletlen BNC csatlakozók találhatók, ami azt jelenti, hogy a doboz maga is az áramkör része, ez a koaxiális BNC kábel külső "ere".
    • Az váltóáramú mérési feladatok elvégzésekor azokban a frekvenciatartományokban, ahol jelentős a kimenő jel változása, sűrűbben vegyen fel mérési pontokat!

6. Egyszerű áramkörök egyenáramu jelének vizsgálata, ismerkedés a myDAQ kártyával és a BNC csatlakozókkal.

a) Egy ismert ellenállás felhasználásával állítson össze egy olyan kapcsolást, mellyel megmérhető egy áramköri elem \setbox0\hbox{$\approx 1-100\Omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tartományba eső DC ellenállása az áram-feszültség karakterisztika felvételével! Tesztelje az elrendezést egy-két ismert ellenállással!

  • A kapcsolás összeállításához használja a mérőhelyen található ellenállásdobozt!
  • FIGYELEM! A dobozon található csatlakozók kilazulhatnak! A kábelek csatlakoztatásakor ügyeljen arra, hogy a csatlakozó ne forduljon el, mert ez szakadáshoz vezethet, ami elronthatja a mérést! Ha azt tapasztalja, hogy a csatlakozó kilazult, akkor szóljon a mérésvezetőnek!
  • Az ellenállás megválasztásakor vegye figyelembe, hogy a myDAQ kártya kimenetén maximum \setbox0\hbox{$2mA$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% áramot tud kiadni!
  • Az I(V) karakterisztika felvételéhez a mérendő áramköri elemen eső feszültséget kell mermérni, az ismert ellenálláson eső feszültségből pedig meghatározható a körben folyó áram.
  • Az I(V) karakterisztikát érdemes potitív és negatív tarományban is felvenni, az áramköri elem ellenállása a V-I grafikonra való egyenesillesztéssel kapható meg.
  • Az említett illesztést elég a jegyzőkönyvben elvégezni, a gyakorlaton viszont végezzen egy egyszerű ellenőrző számolást és a kapott értéket hasonlítsa össze a dobozra írt értékkel!
  • A myDAQ_arb_rw függvény használatával adjon ki egy háromszögjelet és vegye fel az egyes elemeken eső feszültséget!
  • Ideális esetben egy egyszerű ellenállás mérésekor a háromszögjel periódusidejétől nem függ a mért eredmény (ha nem lépjük túl a mérőeszköz határait), de egyéb áramköri elemek esetén ügyelni kell arra, hogy ne változtassuk túl gyorsan a feszültséget, mert különben nem tekinthető a kiadott jelünk egyenáramú jelnek.

b) Mérje meg a tekercs DC ellenállását!

  • Végezze el a mérést néhány nagyságrendileg különböző frekvenciájú jellel is!

c) Egy ismert ellenállást és egy kondenzátort felhasználva állítson össze egy egyszerű RC kapcsolást. Hajtsa meg az RC kört egy \setbox0\hbox{$1V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-os \setbox0\hbox{$100ms$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-os pulzussal és közben mérje meg a kondenzátoron eső feszültséget! Határozza meg a rendszer időállandóját!

  • Használja a mérőhelyen található ellenállásdobozt és a kondenzátort, valamint tekercset tartalmazó doboz megfelelő csatlakozóit!
  • A pulzus kiadására használja a myDAQ_arb_rw függvényt!
  • A kiadott jelet úgy szerkessze meg, hogy az \setbox0\hbox{$1V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-os pulzus előtt legyen benen egy rövid \setbox0\hbox{$0.5-1s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-os \setbox0\hbox{$0V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-os szakasz!
  • A pulzus utáni \setbox0\hbox{$0V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-os szakasz hosszát az ellenállás és a kapacitás névleges értéke alapján becsülje meg úgy, hogy legalább 6-10 időállandónyi legyen!
  • A gyakorlat alatt elég, ha a kisülési görbe két pontja alapján megbecsüli a időálladót és ezt szerepelteti a naplóban. Precízebb kiértékelést (illesztés) a jegyzőkönyvben végezze el!

7. Szűrőkörök vizsgálata

a) Az előző feladatban vizsgált elrendezés egy aluláteresztő szűrőként funkcionál, mivel a kondenzátor impedanciája a frekvencia növekedésével csökken, ezért a rajta eső feszültség is csökken! Vizsgálja meg ezt a szűrőt! Ehhez hajtsa meg az RC kört különböző frekvenciájú (\setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) szinuszjelekkel és mérje meg a (kondenzátoron eső) kimenő feszültséget! A bemeneti és a kimeneti szinuszjelet is mérje vissza, az amplitúdókat és a fázisokat illesztéssel határozza meg! Ábrázolja a \setbox0\hbox{$\lg(U_{ki}/U_{be})$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% – \setbox0\hbox{$\lg\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és a \setbox0\hbox{$\Phi_{ki}-\Phi{be}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% – \setbox0\hbox{$\lg\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvényt! Előbbire illesszen a mért adatokra az elméletnek megfelelő görbét! Az illesztésből határozza meg a szűrőre jellemző \setbox0\hbox{$\omega_0 = 1/RC$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% körfrekvenciát, majd ebből az ellenállás ismeretében a kondenzátor (mért) \setbox0\hbox{$C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kapacitását! (\setbox0\hbox{$U_{be} \approx 1{\rm V}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% legyen!)

  • A szinuszjel kiadásához használja a myDAQ_sin_rw függvényt!

Figyelem! A képletekből \setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-t számolunk, de a függvény paramétereként \setbox0\hbox{$f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-et kell megadni!

  • Készítsen egy olyan függvényt, mely automatikusan elvégzi a mérést és a mért szinuszjelek illesztését a megadott frekvenciatartományban a megadott lépésközzel! Ha nehézséget okoz a függvény elkészítése, akkor itt talál hozzá segítséget. A mérési naplóban egyértelműen jelezze, hogy saját, vagy az előre elkészített függvényt alkalmazza!
  • Ha az előre elkészített függvényt használja, akkor a bemeneti jelet az AI0 csatornán, míg a kondenzátoron eső feszültséget az AI1 csatornánk mérje!
  • A mérési naplóban írja le, hogy milyen elemeket használt fel a kapcsolás összeállításához! Válaszát számítással indokolja.
  • Mivel az eredményeket logaritmikus skálán fogja ábrázolni, érdemes nagyjából logaritmikusan egyenletes sűrűséggel felvenni az adatokat. Pl.: 1 Hz, 2 Hz, 5 Hz, 10 Hz, 20 Hz, 50 Hz, 100 Hz, ...
  • A maximális frekvencia megválasztásánál vegye figyelembe, hogy a mérőkártya mintavételezési frekvenciája \setbox0\hbox{$200kHz$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%!
  • A naplóban szerepeljen a szűrőre jellemző \setbox0\hbox{$\omega_0 = 1/RC$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% körfrekvencia hozzávetőleges értéke, amit a mért görbéről tud leolvasni. Az illesztéssel való meghatározást otthoni munkaként célszerű elvégezni és a jegyzőkönyvben kell közölni.

b) Az előző elrendezésben cserélje ki az ellenállást a már korábban is vizsgált tekercsre és az előző feladathoz hasonló módon vizsgálja meg az így összeállított LC szűrőt!

  • Kössön be az áramkörbe egy legalább \setbox0\hbox{$300\Omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-os ellenállást is, ami limitálja az áramot és így elkerülhető, hogy a myDAQ kártya áramlimitjébe ütközzünk a méréskor!
  • Vesse össze a két szűrő átviteli karakterisztikáját! Mi tapasztal?

8. Az előző feladatban vizsgált elrendezés egy soros RLC rezgőkörként is funkcionál! A frekvencia függvényében mérje meg a releváns feszültségeket! Számítsa ki és ábrázolja a körben folyó \setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% áramot és a \setbox0\hbox{$Z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% eredő impedanciát \setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvényében. A mért adatokra illesszen megfelelő függvényeket, és az illesztésből határozza meg \setbox0\hbox{$\omega_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-t.

  • Elméleti megfontolások alapján határozza meg, hogy mely áramköri elemeken eső feszültséget szükséges mérni.
  • Melyik ellenállást célszerű választani az RLC-kör összeállításához, ha azt szeretné, hogy a rezonanciagörbe minél élesebb legyen? Válaszát indokolja!
  • A mérési naplóban elégséges, ha a kapott grafikonról leolvasott közelítő értékeket közli, az illesztést otthoni munkaként végezze el és a jegyzőkönyvben szerepeltesse az eredményeket!
  • Az illesztésnél vegye figyelembe a tekercs (korábban megmért) ohmos ellenállását is!

9. Végezze el az előző mérést egy nagyobb sorba kötött ellenállással is! Végezze el most is az illesztést! Ábrázolja a két mérésnél kapott \setbox0\hbox{$I(\omega)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% rezonanciagörbéket közös grafikonban!

  • Vesse össze a mért görbéket az első alkalommal mért mechanikai kényszerrezgések görbéivel! Mit tapasztal?

10. Állítson össze párhuzamost LC rezgőkört! \setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% külön elemként legyen bekötve, mert a kör áramát az ellenálláson eső feszültségből fogja meghatározni! A frekvencia függvényében mérje meg \setbox0\hbox{$U_R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, \setbox0\hbox{$U_L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, és \setbox0\hbox{$U_C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% értékeit! Számítsa ki és ábrázolja a körben folyó \setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% áramot és a \setbox0\hbox{$Z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% eredő impedanciát \setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvényében. A mért adatokra illesszen megfelelő függvényeket, és az illesztésből határozza meg \setbox0\hbox{$\omega_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-t. Az eredmény (és a korábban megmért \setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, \setbox0\hbox{$R_L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% értékek) alapján határozza meg a tekercs \setbox0\hbox{$L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% induktivitását!

  • A mérési naplóban elégséges, ha a kapott grafikonról leolvasott közelítő értékeket közli, az illesztést otthoni munkaként végezze el és a jegyzőkönyvben szerepeltesse az eredményeket!
  • Az illesztésnél vegye figyelembe a tekercs (korábban megmért) ohmos ellenállását is!

Vissza a Fizika laboratórium 2. tárgyoldalára.


A lap eredeti címe: „https://fizipedia.bme.hu/index.php?title=Harmonikus_rezgések_vizsgálata&oldid=29379”