„Méréstechnika szerkesztőlap” változatai közötti eltérés
| 175. sor: | 175. sor: | ||
Így frekvenciafüggetlen zajsűrűségek esetén sikerült analitikusan meghatározni, hogy a mérési pontokból miképpen számolható ki a zaj spektrális sűrűsége. | Így frekvenciafüggetlen zajsűrűségek esetén sikerült analitikusan meghatározni, hogy a mérési pontokból miképpen számolható ki a zaj spektrális sűrűsége. | ||
| + | </wlatex> | ||
| + | ===Termikus zaj=== | ||
| + | <wlatex> | ||
| + | Egy kristályban lévő elektronok termikus fluktuációi miatt külső feszültség nélkül az áram időátlaga nulla, azonban az adott időpillanatokban véletlen irányokba mutató áramokból áramfluktuációk alakulnak ki. | ||
| + | Ezt, az elektronok termikus fluktuációjából adódó zajt nevezzük termikus zajnak. Jellegét tekintve ez a zaj egy fehér zaj, azaz a zajsűrűsége független a frekvenciától. | ||
| + | |||
| + | A Drude-modell értelmében az elektronok elektromos tér által nyert impulzusát a kristályráccsal történő ütközése (szóródás, rácsrezgés keltése) során veszíti el. A modell értelmében a fajlagos vezetőképesség ($\sigma$) arányos az elektronok átlagos sűrűségével ($n$), töltésük négyzetével ($e$) és az átlagosan két ütközés között eltelt idővel ($\tau$), továbbá fordítottan arányos az elektron tömegével ($m$): | ||
| + | |||
| + | $$\sigma=\frac{ne^2\tau}{m}.$$ | ||
| + | |||
| + | Most vizsgáljuk meg ugyanezen rendszer áramzaját külső feszültség nélkül. (Tételezzük fel, hogy a vizsgált vezető mintánk két végét egy árammérővel összekötve mérjük az áramfluktuációkat.) A $\tau$ karakterisztikus időnként elszenvedett ütközések miatt az áram korrelációja is elvész. Ezt egy $\tau$ időállandóval jellemzett exponenciálisan lecsengő korrelációs függvénnyel modellezzük: | ||
| + | |||
| + | $$C(\Delta t)=C_0e^{-\frac{|\Delta t|}{\tau}}.$$ | ||
| + | |||
| + | Ilyen korrelációs függvény esetén a zajsűrűségre a következő érték adódik: | ||
| + | |||
| + | $$s_I(\omega)=2c(\omega)=2\int_{-\infty}^{\infty}dte^{-i\omega t}C_0e^{-\frac{|\Delta t|}{\tau}}=\frac{4C_0\tau}{1+\omega^2\tau^2}.$$ | ||
| + | |||
| + | A feladat tehát nem más, mint a $C_0$ érték, azaz az áram teljes szórásnégyzetének a meghatározása a Drude-modell segítségével. | ||
| + | Vizsgáljunk egy $A$ keresztmetszetű, $L$ hosszúságú téglalap alakú dobozt. Ebben egy elektron árama a következőképpen fejezhető ki: | ||
| + | |||
| + | $$I_1=-Anev_x(t)=-\frac{e}{L}v_x(t),$$ | ||
| + | |||
| + | ahol $v_x(t)$ a részecske $x$ irányú, azaz a doboz hosszanti irányába mutató sebessége adott $t$ időpillanatban. | ||
| + | Innen következik egy elektron áram-áram korrelációs függvénye: | ||
| + | |||
| + | $$\langle (\Delta I_1(t))^2\rangle=\frac{e^2}{L^2}\langle v_x^2(t)^2\rangle.$$ | ||
| + | |||
| + | N független elektronra a szórásnégyzetek összeadódnak: | ||
| + | |||
| + | $$\langle (\Delta I(t))^2\rangle=C_0=N\langle (\Delta I_1(t))^2\rangle=N\frac{e^2}{L^2}\langle v_x^2(t)\rangle.$$ | ||
| + | |||
| + | Bővítsük a törtet $\tau Am$-mel, hogy észrevegyük benne a Drude-modell vezetőképességét: | ||
| + | |||
| + | $$C_0=\frac{N}{AL}\frac{e^2\tau}{m}\frac{A}{L}\frac{1}{\tau}m\langle v_x^2(t)\rangle =\frac{G}{\tau}m\langle v_x^2(t)\rangle.$$ | ||
| + | |||
| + | Tovább egyszerűsödik a képlet a klasszikus ekvipartíciós tételt alkalmazva: | ||
| + | |||
| + | $$C_0=\frac{G}{\tau}k_BT.$$ | ||
| + | |||
| + | Ezt felhasználva, továbbá élve azzal a közelítéssel, hogy a frekvencia sokkal kisebb az átlagos ütözkési idő reciprokánál, adódik a termikus áramzaj spektrális sűrűsége: | ||
| + | |||
| + | $$s_I(\omega)=\frac{4C_0\tau}{1+\omega^2\tau^2}=\frac{4k_BTG}{1+\omega^2\tau^2}\approx 4k_BTG.$$ | ||
| + | |||
| + | Felhasználva, hogy $s_V=R^2s_I$ a feszültségzaj spektrális sűrűsége: | ||
| + | |||
| + | $$s_V=4k_BTR.$$ | ||
| + | |||
| + | Ezzel számítással is beláttuk a termikus zaj fehér zaj jellegét, továbbá azt is látjuk, hogy a zaj mértéke arányos a hőmérséklettel és az ellenállás nagyságával. | ||
| + | |||
| + | Meg kell jegyezni továbbá, hogy a számolás két helyen sem volt teljesen korrekt. Egyrészt csak a Fermi-energia körüli $k_BT$ energiasávban lévő elektronok tekinthetők valamilyen szinten függetlennek, a mélyebb energiákon lévő elektronállapotok mindegyike teljesen betöltött, így az áramfluktuációjuk zérus. Másrészt a Fermi-Dirac-eloszlást követő elektronok sebességét nem írhatjuk le az ekvipartíció tétellel, hanem a zajhoz járulékot adó részlegesen betöltött elektronállapotok alapvetően a Fermi-sebességgel mozognak. | ||
| + | Ez a két hiba kompenzálja egymást, és korrekt szilárdtestfizikai számításokkal is a végeredményben kapott képlettel azonos eredményre jutunk. | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
A lap 2018. november 16., 05:38-kori változata
Tartalomjegyzék |
Spektrumanalízis
A heterodin detektálás megismerése után ismételjük át, hogy hogyan határozható meg egy jel frekvenciatérbeli felbontása.
Egy 
időfüggvény különböző frekvenciájú komponenseinek felbontását matematikailag a Fourier-transzformált segítségével adhatjuk meg:
![\[f(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} F(t)\mathrm{e}^{-i\omega t}\mathrm{d}t.\]](/images/math/5/9/5/595ba94d38747532dc0a86ce5c451009.png)
Egy valós mérésnél a Fourier-transzformált függvényt csak közelítőleg tudjuk megadni, hiszen egyrészt véges ideig tart a mérésünk, másrészt a mérési adatok csak diszkrét időfelbontással álnak rendelkezésre. Először nézzük meg a véges idejű mérés hatását a Fourier-transzformáltra.
A véges idejű mérés megfelel annak, mintha az eredeti függvényt megszoroznánk a mérési intervallumnak megfelelő 
ablakfüggvénnyel, és ezen szorzatfüggvény Fourier-transzformáltját számolnánk ki:
![\[f_W(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} W(t)\cdot F(t)\mathrm{e}^{-i\omega t}\mathrm{d}t,\]](/images/math/8/3/d/83d2a1130cc875baedfb60e75dbff165.png)
ahol a függvény 
esetén 
, ezen 
hosszúságú időintervallumon kívül pedig zérus. Megmutatható, hogy egy szorzatfüggvény Fourier-transzformáltja a két komponens Fourier-transzformáltjának a konvolúciója, azaz:
![\[ f_W(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(\omega ')w(\omega - \omega ')\frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi},\ \ \ \ \mathrm{ahol}\ \ \ w(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} W(t)\mathrm{e}^{-i\omega t}\mathrm{d}t. \]](/images/math/0/5/8/0582a6df73925371593d682d300af119.png)
Nézzünk egy egyszerű példát, legyen 
egy harmonikus függvény, melynek a Fourier-transzformáltja egy Dirac-delta függvény: 
. Véges idejű mérés esetén azonban a Fourier integrál értéke a fentiek alapján 
, azaz a harmonikus függvény Fourier-transzormáltjában egy valós mérés esetén a végtelenül keskeny Dirac-delta csúcs helyett az ablakfüggvény Fourier-transzormáltját látjuk az 
középfrekvenciához eltolva. A fent definiált téglalap ablak esetén (azaz amikor egy szélességű intervallumban konstans, azon kívül zérus, lásd 5a. ábra, kék folytonos vonal) az ablakfüggvény Fourier-transzformáltja 
, azaz 
(5b. ábra, kék folytonos vonal). A véges időintervallumra számolt Fourier-integrál is mutat egy határozott csúcsot az középfrekvencia körül, azonban ez a csúcs véges szélességű, ráadásul a csúcstól távolabb is oszcillációkat látunk a Fourier-transzformáltban, amit spektrális szivárgásnak nevezünk. Az 
függvény melletti első zérushelyeinek a távolsága 
, így az körüli csúcs szélessége 
. Tehát az első fontos konklúzió, hogy véges időtartamú mérés esetén a jelünket a Fourier-térben csak véges, nagyságrendileg 
frekvenciafelbontással látjuk!
 |
| 5. ábra. a) ablakfüggvény téglalap ablak (kék folytonos vonal) és Hanning ablak (piros szaggatott vonal) esetén. b) harmonikus jel Fourier-transzformáltjának abszolút érték négyzete téglalap ablak (kék folytonos vonal) és Hanning ablak (piros szaggatott vonal) esetén. A téglalap ablakot Hanning ablakra cserélve az körüli csúcs kiszélesedik, azaz romlik a frekvenciafelbontás, azonban az -tól távolabbi mellékcsúcsok amplitúdója lecsökken, azaz csökken a spektrális szivárgás.
|
Érdemes megjegyezni, hogy a fent említett téglalap ablak helyett választhatunk más ablakfüggvényt is, például 
ún. Hanning-ablak esetén a mért jelben elnyomjuk a mintavételezési időablak széleihez közeli részeket (5a. ábra, piros szaggatott vonal). Ebben az esetben az körfrekvenciás jel Fourier-transzformáltjában körül egy még szélesebb csúcsot látunk (azaz a frekvenciafelbontás romlik), viszont az -tól távolabbi oszcillációk amplitúdója (az ún. spektrális szivárgás) lecsökken (5b. ábra, piros szaggatott vonal).
Következő lépésként nézzük meg, hogy mi a hatása annak, hogy a jelünket nem folytonosan látjuk, hanem csak diszkrét mintavételezési időpontokban. Emiatt a jel Fourier-transzformáltját a folytonos integrál helyett kénytelenek vagyunk egy diszkrét összeggel, az ún. diszkrét Fourier-transzformálttal (DFT) közelíteni:
![\[ f_W(\omega)=\sum_{n=0}^{N-1} W(n\cdot \Delta t)F(n\cdot \Delta t) \mathrm{e}^{-i\omega n \Delta t}\Delta t, \]](/images/math/1/c/2/1c29d0a765e68527b917bd9e7cc0b666.png)
ahol 
a szomszédos mérési pontok közötti idő, 
pedig a mintavételezett pontok száma.
Az ún. Nyquist-Shannon mintavételezési törvény szerint sűrűségű mintavételezés esetén a jelet 
maximális körfrekvenciáig tudjuk rekonstruálni.
Könnyen belátható, hogy a diszkrét Fourier-transzformált fenti képlet szerinti kiértékelése 
mérési pont esetén 
művelet (
frekvenciafelbontás és maximális felbontható frekvencia esetén csak 
diszkrét pontban érdemes kiértékelni a diszkrét Fourier-transzformáltat, és a definíció szerint egy adott frekvencián 
művelet a szumma kiszámítása). Egy ügyes trükkel azonban jelentősen csökkenthető a számítási műveletek mennyisége. Megmutatható, hogy ha a mérési pontok száma kettő hatványa (
), és a frekvenciatérben 
diszkrét körfrekvenciáknál értékeljük ki a Fourier-transzformáltat, akkor az ún. Fast Fourier Transform (FFT) algoritmus segítségével a számítási műveletek száma 
-ről 
-re csökken, ami nagy N esetén lényeges különbség.
A mérőműszerek jelentős része, így a laborgyakorlaton használt digitális oszcilloszkóp is az FFT algoritmus numerikus kiértékelése alapján határozza meg a mért jel spektrumát. A legtöbb esetben a műszer nem adja meg külön a spektrum valós és képzetes részét, hanem csak a Fourier-transzformált abszolút érték négyzetét látjuk. Ezen kívül a mérőműszerek általában a frekvencia, és nem a körfrekvencia függvényében adják meg a spektrumot, erre érdemes odafigyelni a mérés kiértékelésénél.
A Fourier-transzformáció nem csak a jel frekvenciájának a vizsgálatára alkalmas, hanem a jel amplitúdójának a mérésére is. A fenti képletek szerint egy 
harmonikus jel téglalap ablakkal vett Fourier transzformáltja az körfrekvenciánál pontosan 
amplitudóval rendelkezik. Az amplitúdót azonban csak akkor kapjuk vissza, ha a jel körfrekvenciája megegyezik az FFT valamelyik frekvenciapontjával (
), ami akkor teljesül, ha a jelnek pontosan egész számú periódusa fér el a mintavételezési ablakban. (Érdemes megjegyezni, hogy ebben az esetben az FFT összes többi frekvenciapontja a téglalapablakkal számolt Fourier-transzformált zérushelyeivel esik egybe, azaz a spektrális szivárgás is megszűnik.) Azonban ha a mérési ablak szélessége nem egyezik meg a jel periódusidejének egész számú többszörösével, akkor az FFT-algoritmus által számolt frekvenciapontok biztosan eltérnek a mért jelünk frekvenciájától, így az amplitúdóra is pontatlan értéket kapunk. Ha a jel amplitúdója érdekel minket, akkor olyan ablakfüggvényt érdemes választni, melynek a Fourier-transzormáltja a centrális csúcs körüli 
szélességű tartományban minél kevesebbet változik. Téglalapablak esetén az amplitúdópontosság mintegy 36%, Hanning-ablak esetén pedig 15%. Speciális, ún. Flattop-ablakot választva ennél sokkal jobb, mintegy 0.01%-os amplitúdópontosság is elérhető, viszont cserébe lényegesen leromlik a frekvenciafelbontásunk.
Spektrumanalizátorok típusai
Egy ismeretlen frekvenciaeloszlású bejövő jel spektrumanalízisére három módszer használatos:
- Az ún. DC körüli FFT-n alapuló spektrumanalízis.
- Az ún. sweepelt heterodin spektrumanalízis.
- Az ún. hibrid heterodin-FFT spektrumanalízis.
 |
| 6. ábra. A háromfajta spektrumanalizátor sematikus blokkdiagrammja. |
Ezen módszerek sematikus blokk-diagrammjait mutatja 6. ábra. Az első módszerben a bejövő jelet FFT-zve adódik a frekvenciaspektrum (6a. ábra). Ez a módszer azonban lényegében csak DC körüli, pl. audió jelek spektrumanalízisére használatos, mivel ekkor a Fourier-spektrum mindenképpen DC-től indul, hiszen az FFT algoritmus akkor effektív, ha a teljes 
frekvenciasávra alkalmazzuk. (Pontosabban fogalmazva, kiszámolhatjuk az FFT-t egy szűkebb sávra is, de az gyakorlatilag ugyan annyi számítási művelet, mintha a teljes frekvenciatartományra számolnánk). Ez akkor nem jó módszer, ha pl. csak 100 MHz körüli spektrum érdekes egy szűk, mondjuk 10 kHz-es tartományban, amit viszont nagy frekvenciafelbontással szeretnénk megmérni.
A második technika lényege, hogy egy olyan lokáloszcillátort használ aminek a frekvenciáját folyamatosan változtatjuk (sweepeljük), majd a kapott IF jelet aluláteresztve szűrjük, úgy hogy a lekevert jelnek gyakorlatilag csak a DC komponensét mérjük (6a. ábra). Az így kapott szűrt IF jel nagyságát ábrázolva az időben változó LO frekvencia függvényében megkapjuk az RF jel spektrumát. E módszer előnye, hogy viszonylag egyszerűen megvalósítható, lehetővé teszi a frekvenciaspektrum valósidejű vizsgálatát. Hátránya, hogy a sweepelt oszcillátorok frekvenciájának értékét nem könnyű pontosan meghatározni, ill. az, hogy egy időpillanatban csak 1 frekvenciaértéket mér. Azt is érdemes megjegyezni, hogy 6b. ábrán bemutatott elrendezésben csak a mért jelnek az LO jellel fázisban levő komponensét (azaz a valós részét) mérjük, ezért nevezzük ezt az elrendezést egycsatornás spektrumanalizátornak. A teljes Fourier-spektrum meghatározásához (és a Fourier-transzformált abszolút érték négyzetének meghatározásához is) ugyanezt a műveletet az LO jel 90 fokkal eltolt transzformáltjával is el kéne végezni, ami gyakorlatilag a lock-in erősítő 4. ábrán bemutatott blokkdiagramjának felel meg.
Az első két módszerből mindkettő legjobb tulajdonságait ötvözi a harmadik technika. Ebben egy fix frekvenciájú lokáloszcillátort használunk és a lekeverés után kapott IF jelet Fourier transzformáljuk FFT algoritmussal. Ezáltal tetszőleges frekvencia kis környezetét vizsgálhatjuk úgy, hogy egyszerre sok frekvenciát mérünk, ezt nevezik az FT módszer ún. multiplex tulajdonságának is. Emellett az LO frekvenciája nagyon stabil lehet, ezért a kapott frekvenciaspektrum nagyon pontosan kalibrált. Egyetlen hátránya, hogy az FFT művelet aránylag számolásigényes, azonban ez egyre kevésbé jelent limitációt a számítási kapacitás növekedése miatt.
A heterodin-FFT spektrumanalizátoroknál különösen fontos kérdés az IF frekvencia előjelének meghatározása, erre az ún. kvadratúra detektálás kínál megoldást. A probléma az, hogy a mixer fentebb említett tulajdonsága (azaz az LO és RF frekvenciák összegét és különbségét is előállítja) miatt 6c. ábrán mutatott blokkdiagram (ún. egycsatornás hibrid heterodin-FFT spektrumanalizátor) esetén pl. LO=100 MHz és RF=99.9 MHz mellett az IF jel 0.1 MHz-es frekvenciájú lesz. Erről a jelről az egycsatornás spektrumanalízis után nem tudjuk megmondani, hogy valójában -0.1 MHz frekvenciához, azaz RF=99.9 MHz-hez tartozik. Ha a lock-in kapcsán bemutatott elv szerint a bejövő RF jelet kettéosztjuk, majd két mixeren szorozzuk össze az LO-val és annak 90 fokos eltoltjával, akkor az így kapott két IF jelet Fourier-transzformálva az IF jel frekvenciája egyértelműen meghatározható. A modern spektrumanalizátorok, így pl. a Méréstechnika előadáson bemutatott Tektronix DPO/MSO oszcilloszkóp/jelanalizátor is kvadratúra üzemmódban működő heterodin-FFT elven alapulnak. A laborgyakorlat során a spektrumanalízist egyszerűbben oldjuk meg, az FM rádióadások vizsgálatánál az LO frekvenciáját 80 MHz-re állítjuk be. Mivel tudjuk, hogy a vizsgált rádióadások csak ennél nagyobb frekvenciákon vannak jelen (87.5-108 MHz között), ezért a kapott IF jelek frekvenciája egyértelmű.
A Lock-in erősítő
A kétcsatornás fázisérzékeny egyenirányító vagy lock-in erősítő blokkdiagrammját a 4. ábra mutatja. Ez lényegében két lekeverő mixerből áll, az IF kimenetet aluláteresztő szűrők követik. A két csatorna azt jelenti, hogy a bejövő RF jelnek mérjük két komponensét: az egyik amelyik fázisban van az LO-val és a másik amelyik 90 fokkal eltolt fázisban van. Előfordulhatna ugyanis, hogy a bejövő RF jel fázisa 90 fokos szöget zár be az LO-éval, ezáltal az IF jel kisfrekvenciás komponense 0 lenne. A két mért csatorna miatt lehetőség van a két kimenet négyzetösszegének meghatározására: 
ami azért előnyős, mert a bejövő jel fázisa a belső oszcillátorhoz képest általában nem ismert, az 
mennyiség azonban nem függ a fázistól. Az két kimenet (
, 
) alapján a meghajtó jel és a mért jel közötti fázistolás is meghatározható, így ellenőrizhetjük, hogy a mért rendszerünk az elvárásnak megfelelő fázistolást mutatja-e (pl. kondenzátor vagy induktivitás 
-os fázistolása.
 |
 |
| 4. ábra. A kétcsatornás lock-in erősítő blokkdiagrammja (felül); az egycsatornás lock-in erősítő blokkdiagramja (alul). |
Az egyszerűbb lock-in erősítők -így a mérési gyakorlaton összeállított lock-in erősítő is- csak egy mixert alkalmaznak, viszont a kimenetre adott meghajtó jel és a szorzásnál alkalmazott LO referenciajel közötti fázistolás hangolható. Ebben az esetben a fázistolás hangolásával megkeressük a legnagyobb kimeneti jelet, ami annak felel meg, amikor a mért jel és az LO jel fázisban vannak. Az így beállított fázistolás adja meg a meghajtó és a mért jel közötti fáziskülönbséget.
A zaj
A zaj definíciója
Egy 
időben fluktuáló zaj jellegű (azaz széles frekvenciaspektrumú) jelet egy 
középfrekvencia körüli 
szélességű sávszűrűn keresztül vizsgálva azt találjuk, hogy a szűrt jel szórásnégyzete arányos a frekvenciatartomány szélességével, az arányossági tényező a feszültségzaj spektrális sűrűsége (spectral density of noise), azaz a teljesítmény spektrális sűrűsége (Power Spectral Density - PSD):
![\[\left\langle (\Delta V(t|f_0,\Delta f))^2 \right\rangle=s_V(f_0)\Delta f.\]](/images/math/f/c/e/fcef50d6c156742a0f491cc490623688.png)
Ez a zaj kísérleti definíciója. A feszültség szórásnégyzete a zajsűrűség teljes frekvenciatartományra vett integráljával egyenlő.
![\[\langle(\Delta V(t))^2 \rangle=\int_{0}^{\infty} df s_V(f).\]](/images/math/4/e/5/4e5f54e003163e2b26ac0e5c132ede8d.png)
Ez a képlet közvetlenül is használható a zajspektrum kísérleti meghatározásához, azonban emellett jó kiindulópontként szolgál más fizikai mennyiségekkel való kapcsolatának vizsgálatára is. Érdemes megvizsgálni a zajsűrűség és a feszültség korrelációs függvény kapcsolatát. Ez utóbbi a következőképpen definiálható:
![\[C(\Delta t)=\langle\Delta V(t)\cdotp\Delta V(t+\Delta t) \rangle=\lim\limits_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}\int_{0}^{T}dt\Delta V(t)\cdotp\Delta V(t+\Delta t).\]](/images/math/2/2/4/2249b4df683368d4b8351cadfb3df188.png)
Könnyen belátható, hogy a korrelációs függvény 
-ban megegyezik a feszültség szórásnégyzetével.
![\[C(0)=\langle(\Delta V(t))^2 \rangle.\]](/images/math/a/b/5/ab573547effc08d355afcf78edbf2b69.png)
Most fejezzük ki a korrelációs függvényt a Fourier-transzformáltja segítségével:
![\[C(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}d\omega e^{i\omega t}c(\omega).\]](/images/math/9/2/d/92d0898595e749cda299df5939826fab.png)
Ez alapján a feszültség szórásnégyzete:
![\[\langle(\Delta V(t))^2 \rangle=C(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}d\omega c(\omega)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}d\omega c(\omega),\]](/images/math/1/e/f/1eff86c194f06c16f8941773197552b2.png)
mivel 
.
Másrészt a szórásnégyzet és a zaj közötti összefüggésből következik:
![\[\langle(\Delta V(t))^2 \rangle=\frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\infty} d\omega s_V(\omega).\]](/images/math/7/9/7/7975f3b4b9d91fc7591790411d47208e.png)
Az utóbbi két egyenletből látható, hogy a zaj teljesítménysűrűsége a feszültség korrelációs függvény Fourier-transzformáltjának kétszerese.
Sikerült kapcsolatot teremteni a zajsűrűség és a feszültség korrelációs függvény között. Most vizsgáljuk meg a feszültség korrelációs függvény és a feszültség mint mérhető fizikai mennyiségek kapcsolatát. A feszültség átlagtól való eltérésének (
) a Fourier-transzformáltja szerint:
![\[\Delta v(\omega)= \int_{-\infty}^{\infty} dt \Delta V(t)e^{-i\omega t}.\]](/images/math/2/9/6/2965fd4ba4a7bbef8a3053293de74505.png)
Vizsgáljuk ezen Fourier-transzformált abszolút érték négyzetének várható értékét:
![\[\langle|(\Delta v(\omega))|^2 \rangle= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} dt' dt \langle\Delta V(t)\Delta V(t') \rangle e^{-i\omega t} e^{i\omega t'}.\]](/images/math/4/c/e/4ce29a8e2825fd676032ef5e4d3274cb.png)
Az egyenlet jobb oldalán látható korrelációs függvény kifejezhető a következőképpen:
![\[ \langle\Delta V(t)\Delta V(t')\rangle=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}d\omega'c(\omega')e^{i\omega'(t-t')}.\]](/images/math/0/2/0/020ed4a8570c778e72bfcb56197a4710.png)
Továbbá az exponenciális tagokat átcsoportosítva a következő tag integrálja egy Dirac-deltát ad:
![\[\int_{-\infty}^{\infty}dt'\frac{e^{i(\omega+\omega')t'}}{2\pi}=\delta(\omega+\omega').\]](/images/math/0/9/5/095ca08f79957cdab9fa2f6b7d38b462.png)
Így a feszültség Fourier-transzformált abszolút érték négyzetének várható értéke könnyen belátható, hogy arányos a korrelációs függvény Fourier-transzformáltjával, illetve az időablak szélességével:
![\[\langle|(\Delta v(\omega))|^2 \rangle= c(\omega) \int_{-\infty}^{\infty} dt.\]](/images/math/b/e/7/be72f26b149e5ab64d53d20f46b4bc31.png)
Innen könnyen kifejezhető a zaj teljesítménysűrűsége, felhasználva, hogy az a feszültség korrelációs függvény Fourier-transzformáltjának kétszerese.
![\[s_V(\omega)=\lim\limits_{T->\infty} \frac{2}{T}\left\langle |\int_{-T/2}^{T/2} dt \Delta V(t)e^{-i\omega t}|^2\right\rangle.\]](/images/math/f/6/2/f62535c4ffea081a318dd4bd7ac2a654.png)
A mérésünk során diszkrét pontokon történik a mintavételezés, így ugyanez a számolás DFT segítségével a következő módon fejezhető ki:
![\[s_V(\omega)\approx\frac{2}{N\Delta t}|\sum_{n=0}^{N-1} \Delta V(n\Delta t)e^{-i\omega n\Delta t}\Delta t|^2=\frac{2\Delta t}{N}|\sum_{n=0}^{N-1} \Delta V(n\Delta t)e^{-i\omega n\Delta t}|^2.\]](/images/math/6/0/3/603ab5b3fd96cfbcbb85edb29268c6af.png)
A fentiekben sikerült megállapítanunk, hogy a vizsgált 
jel Fourier-transzformáltjából hogyan számolható a zaj spektrális sűrűsége. Azonban ennél a számolásnál nem vettünk figyelembe ablakfüggvényt, vagy fogalmazhatunk úgy is, hogy téglalap ablakkal számoltunk.
Nézzük meg, hogy egy tetszőleges ablakfüggvény esetén hogyan származtatható a zajsűrűség. Sajnos tetszőleges spektrumú zajra és tetszőleges ablakfüggvényre általános összefüggés nem adható, viszont ha fehér zaj, akkor tetszőleges ablakfüggvényre egyszerűen számolható a konverziós faktor.
Az ablakfüggvénnyel szorzott jel Fourier-transzformáltja:
![\[\Delta v_W(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}dt\Delta V(t)W(t)e^{-i\omega t}.\]](/images/math/7/e/f/7efc09e6fe1e8b10c418e39ae67c31c9.png)
Vizsgáljuk meg ezen Fourier-transzformált abszolút érték négyzetének várható értékét, ekkor a következőt kapjuk:
![\[\langle|\Delta v(\omega)|^2\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}dtdt'W(t)W(t')\langle\Delta V(t)\Delta V(t')\rangle e^{-i\omega t}e^{-i\omega t'}.\]](/images/math/7/d/3/7d3c7333af2e34f077367ef15237c488.png)
A fehér zaj jellegéből következik, hogy:
![\[\langle\Delta V(t)\Delta V(t')\rangle=C(t-t')=\frac{s_0}{2}\delta(t-t').\]](/images/math/7/2/c/72c3ab5d9e5160ea1cc93ce4aa1e97ae.png)
Így a Fourier-transzformált abszolút érték négyzetének várható értéke a következőképpen egyszerűsödik:
![\[\langle|\Delta v_W(\omega)|^2\rangle=\frac{s_0}{2}\int_{-\infty}^{\infty}W^2(t)dt.\]](/images/math/6/3/5/6356a96296e2b3eca8d114d91dae4d48.png)
Azaz a zajsűrűség számolása:
![\[s_0=\frac{2\langle|v_W(\omega)|^2\rangle}{\int_{-\infty}^{\infty}W^2(t)dt}.\]](/images/math/9/1/7/917c7b49524f91ef5d3aee98385f13b5.png)
A feszültségzaj spektrális sűrűsége egy normálási faktor erejéig egyenlő a mért feszültségpontok diszkrét Fourier-transzformáltjának abszolútérték-négyzetének kétszeresével. A normálási faktor az ablakfüggvény négyzetének a mérési időablakra vett integrálja. Láttuk, hogy ez téglalap ablakkal számolva . Most vizsgáljuk meg a zajméréshez leggyakrabban használt Hanning-ablakot, melynek ablakfüggvénye:
![\[W(t)=2\sin^2\left(\frac{t\pi}{T}\right).\]](/images/math/d/5/8/d58104d67248c78d0d25e0feb8d3b3ac.png)
A zajsűrűség Hanning-ablakot használva:
![\[s_0=\frac{4\langle|v_W(\omega)|^2\rangle}{3T}.\]](/images/math/b/d/e/bdee8db481fad34233895abf370d61ae.png)
Diszkrét mérési pontok esetén a következőképpen módosul a kifejezés:
![\[s_0\approx\dfrac{2}{\sum_{n=0}^{N-1}W^2(n\Delta t)\Delta t}|\sum_{n=0}^{N-1}W(n\Delta t) V(N\Delta t)e^{-i\omega n\Delta t}\Delta t|^2.\]](/images/math/c/7/9/c798b690d1d9023a3a2741285d12ca1c.png)
Hanning-ablakkal számolva:
![\[s_0\approx\frac{4\Delta t}{3N}|\sum_{n=0}^{N-1}W(n\Delta t)\Delta V(n\Delta t)e^{-i\omega n\Delta t}|^2.\]](/images/math/e/1/1/e11505f5d483e5c169ac48ae35cc33ba.png)
Így frekvenciafüggetlen zajsűrűségek esetén sikerült analitikusan meghatározni, hogy a mérési pontokból miképpen számolható ki a zaj spektrális sűrűsége.
Termikus zaj
Egy kristályban lévő elektronok termikus fluktuációi miatt külső feszültség nélkül az áram időátlaga nulla, azonban az adott időpillanatokban véletlen irányokba mutató áramokból áramfluktuációk alakulnak ki.
Ezt, az elektronok termikus fluktuációjából adódó zajt nevezzük termikus zajnak. Jellegét tekintve ez a zaj egy fehér zaj, azaz a zajsűrűsége független a frekvenciától.
A Drude-modell értelmében az elektronok elektromos tér által nyert impulzusát a kristályráccsal történő ütközése (szóródás, rácsrezgés keltése) során veszíti el. A modell értelmében a fajlagos vezetőképesség (
) arányos az elektronok átlagos sűrűségével (
), töltésük négyzetével (
) és az átlagosan két ütközés között eltelt idővel (
), továbbá fordítottan arányos az elektron tömegével (
):
![\[\sigma=\frac{ne^2\tau}{m}.\]](/images/math/d/2/7/d272d9a77f5c05c819ce3d63089929dc.png)
Most vizsgáljuk meg ugyanezen rendszer áramzaját külső feszültség nélkül. (Tételezzük fel, hogy a vizsgált vezető mintánk két végét egy árammérővel összekötve mérjük az áramfluktuációkat.) A karakterisztikus időnként elszenvedett ütközések miatt az áram korrelációja is elvész. Ezt egy időállandóval jellemzett exponenciálisan lecsengő korrelációs függvénnyel modellezzük:
![\[C(\Delta t)=C_0e^{-\frac{|\Delta t|}{\tau}}.\]](/images/math/8/c/b/8cb50ea92d26e5cfbf8154d9b6460f95.png)
Ilyen korrelációs függvény esetén a zajsűrűségre a következő érték adódik:
![\[s_I(\omega)=2c(\omega)=2\int_{-\infty}^{\infty}dte^{-i\omega t}C_0e^{-\frac{|\Delta t|}{\tau}}=\frac{4C_0\tau}{1+\omega^2\tau^2}.\]](/images/math/2/0/7/20768e384b97f92ab829ba61c33e9941.png)
A feladat tehát nem más, mint a 
érték, azaz az áram teljes szórásnégyzetének a meghatározása a Drude-modell segítségével.
Vizsgáljunk egy keresztmetszetű, 
hosszúságú téglalap alakú dobozt. Ebben egy elektron árama a következőképpen fejezhető ki:
![\[I_1=-Anev_x(t)=-\frac{e}{L}v_x(t),\]](/images/math/4/e/b/4ebadeb87b1e436313b4ff6c953affdf.png)
ahol 
a részecske 
irányú, azaz a doboz hosszanti irányába mutató sebessége adott 
időpillanatban.
Innen következik egy elektron áram-áram korrelációs függvénye:
![\[\langle (\Delta I_1(t))^2\rangle=\frac{e^2}{L^2}\langle v_x^2(t)^2\rangle.\]](/images/math/9/f/b/9fb04c1d2167158df99085550836afbd.png)
N független elektronra a szórásnégyzetek összeadódnak:
![\[\langle (\Delta I(t))^2\rangle=C_0=N\langle (\Delta I_1(t))^2\rangle=N\frac{e^2}{L^2}\langle v_x^2(t)\rangle.\]](/images/math/c/6/9/c69c4ba2e2224f9544750bd1347d921e.png)
Bővítsük a törtet 
-mel, hogy észrevegyük benne a Drude-modell vezetőképességét:
![\[C_0=\frac{N}{AL}\frac{e^2\tau}{m}\frac{A}{L}\frac{1}{\tau}m\langle v_x^2(t)\rangle =\frac{G}{\tau}m\langle v_x^2(t)\rangle.\]](/images/math/b/f/3/bf3b4bc698599d537c0d1d7b318041cc.png)
Tovább egyszerűsödik a képlet a klasszikus ekvipartíciós tételt alkalmazva:
![\[C_0=\frac{G}{\tau}k_BT.\]](/images/math/e/0/c/e0c9b547ca4a0e0d53c308478bda303b.png)
Ezt felhasználva, továbbá élve azzal a közelítéssel, hogy a frekvencia sokkal kisebb az átlagos ütözkési idő reciprokánál, adódik a termikus áramzaj spektrális sűrűsége:
![\[s_I(\omega)=\frac{4C_0\tau}{1+\omega^2\tau^2}=\frac{4k_BTG}{1+\omega^2\tau^2}\approx 4k_BTG.\]](/images/math/c/f/6/cf603a783cd205ed68579aa19284d006.png)
Felhasználva, hogy 
a feszültségzaj spektrális sűrűsége:
![\[s_V=4k_BTR.\]](/images/math/9/d/5/9d568e509d842e9eba8731ca66db5a51.png)
Ezzel számítással is beláttuk a termikus zaj fehér zaj jellegét, továbbá azt is látjuk, hogy a zaj mértéke arányos a hőmérséklettel és az ellenállás nagyságával.
Meg kell jegyezni továbbá, hogy a számolás két helyen sem volt teljesen korrekt. Egyrészt csak a Fermi-energia körüli 
energiasávban lévő elektronok tekinthetők valamilyen szinten függetlennek, a mélyebb energiákon lévő elektronállapotok mindegyike teljesen betöltött, így az áramfluktuációjuk zérus. Másrészt a Fermi-Dirac-eloszlást követő elektronok sebességét nem írhatjuk le az ekvipartíció tétellel, hanem a zajhoz járulékot adó részlegesen betöltött elektronállapotok alapvetően a Fermi-sebességgel mozognak.
Ez a két hiba kompenzálja egymást, és korrekt szilárdtestfizikai számításokkal is a végeredményben kapott képlettel azonos eredményre jutunk.
