„RLC körök mérése” változatai közötti eltérés
| 42. sor: | 42. sor: | ||
A tekercsben indukálódó feszültséget az | A tekercsben indukálódó feszültséget az | ||
| − | $$u(t) = L \frac{\rm{d} i(t)}{\rm{d} t}$$ | + | $$u(t) = L \frac{\rm{d}i(t)}{\rm{d}t}$$ |
egyenlet írja le. Szinuszos gerjesztés [ $ i(t)=I_0 \textrm{sin}\omega t $ ] esetén | egyenlet írja le. Szinuszos gerjesztés [ $ i(t)=I_0 \textrm{sin}\omega t $ ] esetén | ||
A lap 2012. február 12., 14:03-kori változata
A mérés célja:
- megismerkedni a leggyakrabban használt frekvenciafüggő áramköri elemekkel és az ezekből felépülő szelektív áramkörökkel.
Ennek érdekében:
- áttekintjük a váltakozó áramú hálózatok reaktáns elemeinek tulajdonságait és néhány egyszerű szűrő, valamint egy rezgőkör frekvenciafüggő viselkedését,
- méréseket végzünk a fent említett hálózatokon.
Tartalomjegyzék |
Elméleti összefoglaló
Tekercs
A tekercsben indukálódó feszültséget az
![\[u(t) = L \frac{\rm{d}i(t)}{\rm{d}t}\]](/images/math/3/e/3/3e3f93a97aaea5d3ed6cfdad08398446.png)
egyenlet írja le. Szinuszos gerjesztés [ 
] esetén
![\[ u(t) = L \omega I_0 \textrm{cos}\omega t, \]](/images/math/0/3/5/035e8061307b0fb1e88ab24eea483f20.png) |
(2) |
ami a következő alakba is írható:
![\[ u(t) = L \omega I_0 \textrm{sin}( \omega t + 90^\circ ), \]](/images/math/f/1/c/f1c9d1f12cf58ff6ee685253d1a0780f.png) |
(3) |
tehát a tekercsben fellépő feszültség 90°-ot siet az átfolyó áramhoz képest. A jelenség magyarázata a Lenz-törvényen alapul.
Kondenzátor
A kondenzátoron átfolyó áram időfüggését az alábbi egyenlet írja le:
![\[ i(t) = C \frac{\textrm{d} u(t)}{\textrm{d} t}. \]](/images/math/3/a/5/3a59cf6674a1e812bd6efebb50d10387.png) |
(4) |
Szinuszos gerjesztés [ 
] esetén:
![\[ i(t) = C \omega U_0 \textrm{cos}\omega t, \]](/images/math/2/4/9/249f0a17c4e98375ef0b67a874a7fd59.png) |
(5) |
ami a fentiekhez hasonlóan a következő alakba írható:
![\[ i(t) = C \omega U_0 \textrm{sin}( \omega t + 90^\circ ), \]](/images/math/3/8/7/38735ee3e3c4984f666b1b322710f6f7.png) |
(6) |
azaz a kondenzátor árama 90°-ot siet a feszültségéhez képest. Magyarázata az, hogy először áram folyik, így töltések kerülnek a lemezekre, és ezek hozzák létre a feszültséget. Gyakran szükséges a kondenzátor feszültségének ismerete, ami (4) alapján az alábbiak szerint számítható:
![\[ u(t) = \frac{1}{C} \int i(t)\textrm{d}t . \]](/images/math/6/7/0/670d10edef033c504ff445211a4ae29e.png) |
(7) |
Aluláteresztő szűrő
Írjuk fel az 1.a és 1.b ábrákon látható kapcsolások kimenő feszültségeit! (A vastag betűs mennyiségek komplex változók, 
a képzetes egység.)
 |
 |
![\[ \begin{array}{rcl} \mathbf{U}_{ki} & = & \mathbf{U}_{be} \frac{1/j\omega C}{R + 1/j\omega C} \\ \\ \mathbf{U}_{ki} & = & \mathbf{U}_{be} \frac{1}{1 + j\omega RC} \end{array} \]](/images/math/b/7/c/b7c626c15eb78b040394ba7114fd43ac.png) |
![\[ \begin{array}{rcl} \mathbf{U}_{ki} & = & \mathbf{U}_{be} \frac{R}{R + j\omega L} \\ \\ \mathbf{U}_{ki} & = & \mathbf{U}_{be} \frac{1}{1 + j\omega L/R} \end{array} \]](/images/math/8/d/5/8d535a5d400eee015ae924bfc0899e45.png) |
A kimeneti és bemeneti feszültségek hányadosa a hálózatra jellemző, frekvenciafüggő kifejezés.
![\[ \frac{\mathbf{U}_{ki}}{\mathbf{U}_{be}} = \frac{1}{1 + j\omega RC} \]](/images/math/b/4/a/b4ac9a1d7d323374047107f0f4c351ef.png) |
![\[ \frac{\mathbf{U}_{ki}}{\mathbf{U}_{be}} = \frac{1}{1 + j\omega L/R} \]](/images/math/b/d/8/bd868eaf7f755a0d4b16d6196eceb5e8.png) |
(8) |
A két (8) kifejezés formailag azonos, tehát a két kapcsolás azonos jellegű viselkedést mutat. Ameddig 
vagy 
, a kifejezések értéke 1; ha 
vagy 
, a hányados értéke 
szerint csökken. Ez azt jelenti, hogy adott 
, 
és 
esetén az alacsony frekvenciájú jelek csillapítás nélkül jelennek meg a kimeneten, míg magasabb frekvenciákon a kimenő feszültség egyre kisebb. Ezeket a kapcsolásokat aluláteresztő szűrőknek nevezik.
Felüláteresztő szűrő
A 2.a és a 2.b ábrákon látható kapcsolásokat leíró egyenletek az előző pontban követett eljárás alapján az alábbiak szerint alakulnak.
 |
 | |
![\[ \begin{array}{rcl} \mathbf{U}_{ki} & = & \mathbf{U}_{be} \frac{R}{R + 1/j\omega C} \\ \\ \frac{\mathbf{U}_{ki}}{\mathbf{U}_{be}} & = & \frac{1}{1 + 1/j\omega RC} \end{array} \]](/images/math/e/6/6/e669f6954b5a319f927877a2718d09c3.png) |
![\[ \begin{array}{rcl} \mathbf{U}_{ki} & = & \mathbf{U}_{be} \frac{j\omega L}{R + j\omega L} \\ \\ \frac{\mathbf{U}_{ki}}{\mathbf{U}_{be}} & = & \frac{1}{1 + R/j\omega L} \end{array} \]](/images/math/2/9/8/298063be4f4115fe576ac7cfac5f7f4a.png) |
(9) |
A kifejezésekből jól látszik, hogy a kapcsolások a kisfrekvenciás jeleket nem engedik a kimenetre, míg a nagyfrekvenciás jelek csillapítás nélkül jelennek meg a kimeneti pontokon.
Sávzáró szűrő
Alul és felüláteresztő szűrők egymás után kapcsolásával és az áteresztési tartományok helyes megválasztásával előállítható olyan szűrő, amelyik csak egy meghatározott tartományban csillapítja a jelet. Az ilyen kapcsolást nevezik sávzáró szűrőnek. Ennek egy realizálása a kettős T szűrő, a 3. ábrán látható.
A kapcsolás részletes elemzése nélkül is megállapítható, hogy alacsony frekvenciákon a hosszági ellenállásokon, magas frekvenciákon a hosszági kondenzátorokon jut jel a kimenetre.
Sáváteresztő szűrő
Az 1.5 pontban leírtak alapján alul- és felüláteresztő szűrőkből összeállítható olyan kapcsolás is, amely csak egy meghatározott tartományban engedi át a jeleket. Ezek a sáváteresztő szűrök.
Az eddig ismertetett szűrőkapcsolások passzív elemekből állnak, jellemzőjük, hogy a kimeneti jel az áteresztési tartományokban sem nagyobb a bemenetinél. Aktív eszközökkel (pl. műveleti erősítő) készíthető olyan szűrő, amelyik egyben a jel erősítését is elvégzi az áteresztési tartományban.
Soros rezgőkör
Kondenzátor és tekercs soros kapcsolását (a veszteségeket soros ellenállással figyelembe véve) soros rezgőkörnek nevezik (4. ábra).
A hálózat eredő impedanciája:
![\[ \mathbf{Z}(\omega) = R + j\omega L + 1/j\omega C \]](/images/math/9/d/6/9d6af5d312b9e43f456f36075669994e.png) |
(10) |
Az impedancia abszolút értéke és fázisszöge:
![\[ Z(\omega) = \sqrt{R^2 + (\omega L-1/\omega C)^2} , \]](/images/math/d/8/3/d8390aabf94076fa241a14a1292e587b.png) |
![\[ \textrm{tan}\phi = \frac{\omega L - 1/\omega C}{R} \]](/images/math/f/2/5/f2518becda23a81cee59ffcc238878d6.png) |
A körben folyó áram:
![\[ I(\omega) = \frac{U_{be}}{\sqrt{R^2 + (\omega L-1/\omega C)^2}} \]](/images/math/6/3/d/63d66ef8473ad020971f6bda056bebc0.png) |
(11) |
A 
és 
függvényeket ábrázolva a kapcsolás jellegzetes tulajdonságaira derül fény (5. ábra).
Látható, hogy az eredő impedanciának 
esetén az
![\[ \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \]](/images/math/7/1/0/7103f4ab2b02728bc54093dd64f2299c.png) |
(12) |
körfrekvencián minimuma van, értéke valós, a veszteségi ellenállással egyezik meg. A jelenséget rezonanciának, 
-t rezonancia-körfrekvenciának hívják. Ezen a körfrekvencián a körben folyó áram értéke maximális, úgynevezett áramrezonancia alakul ki. A bemeneti feszültség és a körben folyó áram közötti fázisszög az impedancia fázisszöge, ebben az esetben nulla.
Ez az áram - kis veszteségi ellenállást feltételezve - igen nagy feszültségeket hozhat létre a kondenzátoron és a tekercsen. Azonban ezek a feszültségek egymással 180°-os szöget zárnak be, abszolút értékük megegyezik, hiszen azonos áram folyik át rajtuk (6. ábra).
 |
![\[ \begin{array}{rcl} \mathbf{U}_L & = & \mathbf{I}j\omega L \\ \\ \mathbf{U}_R & = & \mathbf{I}R \\ \\ \mathbf{U}_C & = & \mathbf{I}/j\omega C \end{array} \]](/images/math/c/6/4/c647c10d0048963efd42fa691670fac4.png) |
Mérési feladatok
- A mérés elvégzéséhez és a mérési napló elkészítéséhez a dőlt betűs részekben adunk segítséget.
1. Állítson össze aluláteresztő szűrőt kondenzátor felhasználásával! Mérje meg a kimenő feszültséget 
függvényében! Ábrázolja a 
- 
függvényt! Ugyanitt ábrázolja a számításból adódó értékeket is. (
, 
, a feszültségeket multiméterrel mérje és oszcilloszkópon ellenőrizze!)
2. Állítson össze aluláteresztő szűrőt tekercs felhasználásával. Végezze el az 1. pont szerinti feladatokat! Itt 
legyen!
3. Állítson össze felüláteresztő szűrőt kondenzátor felhasználásával! A feladatokat az 1. pont szerint végezze el! Itt legyen!
4. Állítson össze felüláteresztő szűrőt tekercs felhasználásával! A feladatokat az 1. pont szerint végezze el! Itt legyen!
5. Állítson össze kettős T-szűrőt! Mérje a kimenő feszültséget függvényében! Ábrázolja -t függvényében! (A feszültségeket multiméterrel mérje és oszcilloszkópon ellenőrizze!)
6. Mérje meg mindkét aktív szűrő kimenő feszültségét függvényében! Ábrázolja a - függvényt! (A feszültségeket multiméterrel mérje és oszcilloszkópon ellenőrizze!)
7. Állítson össze soros rezgőkört! ( külön elemként legyen bekötve!) A frekvencia függvényében mérje meg 
, 
, és 
értékeit! Számítsa ki és ábrázolja a körben folyó áramot és az eredő impedanciát függvényében és határozza meg -t.
Megjegyzések: A méréshez szükséges alkatrészek egy átlátszó plexidobozban találhatók, banánhüvelyes kivezetésekkel. Az alkatrészek értékei a dobozról leolvashatók. Az egyes mérési feladatok elvégzésekor a mérési pontokat úgy válasszuk meg, hogy ahol jelentős a kimenő jel változása, ott sűrűbben, ahol kisebb, ott ritkábban helyezkedjenek el!
