„Spektrumanalízis heterodin méréstechnikával” változatai közötti eltérés

A lap 2015. április 3., 13:06-kori változata

A mérési feladatot összeállította: Simon Ferenc és Halbritter András, BME Fizika Tanszék (2015)

A jegyzettel kapcsolatos javításokat, javaslatokat köszönettel kérjük az címre.

A laborgyakorlat célja, hogy a nagyfrekvenciás méréstechnikában széleskörben alkalmazott Fourier-analízis és heterodin méréstechnika alapjait bemutassa. A laborgyakorlat nagyban támaszkodik a korábbi Méréstechnika tárgyra, ezért az ott elsajátított ismeretek átismétlése elvárás.

Bevezetés és történeti háttér

Az adatátvitel alapfeladata, hogy a lehető legtöbb információt juttassunk el két pont között az információt minél jobban megtartva. Napjainkban amikor a környezetünk zsúfolva van különböző információtovábbító elektromágneses sugárzással, különösen fontos ez a kérdés. Az egyik elterjedt megoldás a különböző információk különböző frekvenciákhoz való rendelése (ún. frekvenciaosztásos multiplexelés). Ez eredményezi a manapság ismert különböző frekvenciájú rádióadások jelenlétét, ahol mindegyik rádiócsatorna adott (vivő)frekvencián sugározza az adását. Az adások információtartalma különböző módon van a vivőhullámba belekódolva. Itt a két legfontosabbat említjük csak, amivel a gyakorlaton is megismerkedünk: AM (amplitúdómoduláció) és FM (frekvenciamoduláció).

Belátható, hogy a továbbított információ mennyisége és az adott jelhez tartozó sávszélesség () egymással egyenesen arányos. Például egy állandó frekvenciájú sugárzással - melynek sávszélessége nulla - semmilyen információt nem tudunk továbbítani, de például egy 1 kHz frekvenciával modulált 100 MHz-es vivőhullámmal már tudunk 1 kbit/s információtovábbítást elérni. (Képzeljük el, hogy egy állandó frekvenciájú, időben állandó nagyságú elektromágneses jellel próbálunk információt közvetíteni. Ennek Fourier-transzformáltja egy Dirac-delta függvény, azaz nulla sávszélessége van. Azonban ennek a jelnek az információtartalma is nulla. A legegyszerűbb Morse-adatátvitelhez is már ki-be kell kapcsolgatnunk ezt a jelet, ami már természetesen nem lesz egy állandó frekvenciájú időben állandó nagyságú jel, és így a Fourier-transzformáltja sem lesz Dirac-delta.) Nem véletlen, hogy a hétköznapi gyakorlatban mindeki csak sávszélességről beszél mialatt a továbbított információ mennyiségére utal, miközben ez a fogalom alapvetően a továbbított jel frekvenciaspektrumának szélességére utal. Ebben a jegyzetben mi a hagyományos értelmeben vett (frekvencia-)sávszélességre utalunk.

Az emberi hang torzításmentes továbbításához (mono adás esetén) kb. 20 kHz sávszélességre van szükség. A gyakorlatban az egyes rádióadók frekvenciáját a zavaró interferencia elkerülésére végett ennél távolabbra állítják be, ezért találunk a mindenki által ismert FM sávban (87,5-108 MHz között) kb. 100 kHz-enként rádióállomásokat.

Egy másik gyakorlati megfontolás ami korlátozza az átvihető információ és így a sávszélesség nagyságát, az a zaj kérdése. A Méréstechnika tárgyban ismertetett módon az ún. Johnson-Nyquist vagy termikus zaj teljesítménye és a sávszélesség közötti kapcsolat:

ahol a Boltzmann-állandó, az abszolút hőmérséklet és a sávszélesség.

• A Méréstechnika tárgyban tanultak szerint egy ellenálláson eső feszültség szórásnégyzete egy sávszélességű frekvenciaablakban mérve a termikus zaj miatt , így a termikus zaj teljesítménye . A zaj-sávszélességről egy jó leírás található a http://en.wikipedia.org/wiki/Johnson-Nyquist\_noise oldalon.

Eszerint minél nagyobb az elvárt sávszélesség, annál nagyobb lesz a zaj teljesítménye is. A telekommunikációban a termikus zajteljesítmény nagyságára képletet használjuk, a 4-es faktor különbség oka, hogy egy valódi adó-vevő rendszerben csak a bejövő/kimenő feszültség fele esik a munkaellenálláson (a másik fele a jelet keltő/vevő egységben). Eszerint 300 K hőmérsékleten a zajteljesítmény nagyságára adódik, ami egy 50 Ohmos ellenálláson körülbelül 1 nV feszültségnek felel meg 1 Hz sávszélesség mellett, illetve dBm egységekben .

• A dBm egység definíciója:

A nagyfrekvenciás méréstechnika alapproblémája tehát, hogy adott sávszélesség mellett minél jobb jel-zaj arányt érjünk el úgy, hogy a különböző információs csatornák frekvenciája különböző. Ennek megvalósítására adott vivőhullám-frekvenciára keverik rá az információt különböző modulációs módszerekkel. Az információt úgy kapjuk vissza, hogy szelektíven csak az adott vivőhullám körüli frekvenciára koncentrálunk és az itt megfigyelt jelet demoduláljuk. A továbbiakban bemutatjuk a különböző modulációs technikákat és azt, hogy milyen módszerrel lehetséges a frekvenciaszelektív mérés.

A jelmoduláció alapjai

A vivőhullám mint harmonikus rezgés általános alakja: . Lehetőség van mindhárom paraméter () modulálására (itt jelöli a vivőhullám/carrier frekvenciáját), amit amplitúdó- (AM), frekvencia- (FM), ill. fázismodulálásnak (PM) nevezünk. Itt csak az AM technikával foglalkozunk. Az AM jelet mutatja az 1. ábra.

1. ábra. Az amplitúdómodulált jel.

Az AM jelet felfoghatjuk úgy, hogy a vivőjelet a moduláló jellel összeszorozzuk. Amennyiben a moduláló jel is tiszta harmonikus hullám: (itt az index a modulálásra vonatkozik), a trigonometrikus azonosságok alapján

látszik, hogy a két jel szorzata két szintén harmonikus hullám összege, melyek frekvenciája: (feltéve, hogy ). A későbbiekben bemutatjuk, hogyan valósítható meg a szorzás művelete, amit keverésnek is nevezünk. A jel demodulálása (azaz a lényeges információ előállítása) szintén szorzással valósítható meg: amennyiben az AM jelet újra beszorozzuk az frekvenciájú jellel a kapott jelben 3 harmonikus hullám összege jelenik meg: , . Ezek közül értelemszerűen az első komponens az érdekes, a két másik nagyfrekvenciájú komponens kiszűrése (pl. aluláteresztő szűrővel) után az információt tartalmazó moduláló jel előáll. A tényleges kommunikációban a moduláló jel (pl. AM rádióadásban a továbbított hang) nem egyetlen harmonikus hullámból, hanem különböző frekvenciájú komponensek szuperpozíciójából áll. Látható, hogy ebben az esetben a demodulált jel az eredeti hangot adja vissza. Ezt a technikát nevezik szorzásos vagy \emph{heterodin} (angolul heterodyne) detektálásnak.

Korábban (kb. 50 évvel ezelőttig) az AM jelek demodulálását egyenirányítással (ún. detektoros vétellel) oldották meg (http://en.wikipedia.org/wiki/Envelope_detector). Ez azt használja ki, hogy az amplitúdómodulált vivőjelet egyenirányítva és a nagyfrekvenciás komponenst kiszűrve előáll a moduláló burkoló jel. Ezt a technikát nevezik \emph{burkoló detektoros} vételnek is. Ennek előnye, hogy a vevőegység és hangszóró nem igényel extra energiaforrást (bár a jel persze igen halk lesz) hanem az energiát a vivőjelből veszi. Mára a szorzásos módszer vált a rádiótechnikában egyeduralkodóvá a következő részben ismertetett okoknál fogva.

Frekvencia szelektív detektálás, mixerek

A burkoló detektoros demodulálás hátránya, hogy amennyiben több rádióadás van jelen egyszerre mindegyiket demodulálja, ezért nehéz egy tiszta jelet kapni. Ezen kicsit segíthet az, ha a vevő detektor előtt van egy sávszűrő, ami csak a kívánt vivőfrekvenciát és annak szűk tartományát engedi át. Ennek a megvalósításnak a hátránya, hogy a sávszűrő megépítése és különböző frekvenciákra hangolása nehézkes.

A heterodin detektálási technikában nincs szükség hangolható sávszűrőre, hanem csak egy fix aluláteresztő szűrőre. A kívánt vivőfrekvencia kiválasztását a demodulálásnál lekeveréshez használt frekvencia változtatásával érjük el. Az eddigiekben az a kérdés még nyitva maradt, hogyan érjük el az előző részben ismertetett, harmonikus hullámok összeszorzását.

Az összeszorzás eszköze a keverő vagy mixer. Ez egy olyan félvezető eszköz aminek az áram-feszültség karakterisztikája erősen nemlineáris, emiatt két ráadott váltakozóáramú jel szorzata jelenik meg rajta. A mixer sematikáját 2a. ábra mutatja, a portok elnevezéseinek jelöléseivel. A mixereket használhatjuk le- ill.\ felkeverőként is. Előbbihez az RF bemenetként és IF kimenetként funkcionál, míg utóbbihoz az IF a bemenet és RF-en van a felkevert kimenő jel. A 2b. ábra mutatja a mixert lekeverőként használva a frekvencia spektrumban milyen változás történik: az LO egy jól definiált frekvenciájú jel, míg az RF egy modulált, ezért szélesebb frekvenciaspektrumú jel. Az IF porton a két frekvencia különsége jelenik meg, ami jellegében az RF spektrum tulajdonságait hordozza. Felkeverés esetén pedig az LO bemenetre csatlakozik a jól definiált frekvenciájú vivőhullám-jel, az IF bemenetre csatlakoztatjuk az alacsonyfrekvenciás moduláló jelet, és az RF kimeneten jelenik meg az amplitúdómodulált szorzatjel.

2. ábra. a) A mixert jelölő szimbólum és a ki-bemeneti portok jelei (LO bemenet: lokál-oszcillátor, RF ki/bemenet: rádiófrekvenciás jel, IF ki/bemenet: közbülső frekvencia), b) a mixert lekeverőként használva ilyen frekvencia konverzió valósul meg: az IF porton az LO és RF frekvenciák különbsége jelenik meg.

A mixer egy lehetséges megvalósítását és működését szemléltetjük \aref{mixer_mukodes_fig}. ábrán. Amikor az LO feszültség olyan, hogy az \textbf{a}-\textbf{c} pontok között pozitív feszültség van (), akkor a baloldali két dióda lezár, míg a jobboldali kettő nyitva van. Ekkor a \textbf{d} pont lebeg (feszültségét az RF port feszültsége adja) míg a \textbf{b} pont a földön van. Ezért az RF bemenetre adott feszültség közvetlenül, azonos előjellel megjelenik az IF kimeneten. Amikor (), akkor a baloldali két dióda nyit ki, ezért a \textbf{d} pont lesz leföldelve, míg a jobboldali két dióda lezár, ezért ekkor az RF bemenetre adott feszültség -1 szerese jelenik meg az IF kimeneten.

3. ábra. Bal panel: A mixer egy lehetséges megvalósításának sematikája az ún. átkapcsoló-mixer (\emph{switching-mixer}). Jobb panelen: a mixerre kapcsolt jelalakok egy példán. LO: 20 MHz-es jel, RF: 18 MHz-es jel, az IF kimeneten kialakuló jel, ill. annak simított (alul áteresztővel megszűrt) változata (zöld folytonos vonal).

Ezt a viselkedést szemlélteti a 3. ábra jobb oldali panele. A kapcsoló-mixer úgy viselkedik mintha az LO jel +1 és -1 közötti értékével szorzódna be az RF feszültség ami megjelenik az IF kimeneten. Az ábrán mutatott példában LO frekvenciája 20 MHz, RF frekvenciája 18 MHz és a szorzás után megjelenik az IF kimeneten egy alacsony (2 MHz-es) frekvenciával modulált 38 MHz-es jel. Ha ezt a jelet aluláteresztő szűrővel szürjük (példánkban numerikus csúszóátlagolást végeztünk) akkor jól látható az IF kimeneten megjelenő alacsony frekvencia. Ez a leírás egyben azt is megmutatja, hogy az LO feszültség nagyságától nem függ a kimeneti feszültség értéke, de az RF és IF feszültségek egymással arányosak (nem pontosan egyenlők mivel az eszköznek van egy kis vesztesége).

A Lock-in erősítő

A kétcsatornás fázisérzékeny egyenirányító vagy lock-in erősítő blokkdiagrammját a 4. ábra mutatja. Ez lényegében két lekeverő mixerből áll, az IF kimenetet aluláteresztő szűrők követik. A két csatorna azt jelenti, hogy a bejövő RF jelnek mérjük két komponensét: az egyik amelyik fázisban van az LO-val és a másik amelyik 90 fokkal eltolt fázisban van. Előfordulhatna ugyanis, hogy a bejövő RF jel fázisa 90 fokos szöget zár be az LO-éval, ezáltal az IF jel kisfrekvenciás komponense 0 lenne. A két mért csatorna miatt lehetőség van a két kimenet négyzetösszegének meghatározására: ami azért előnyős, mert a bejövő jel fázisa a belső oszcillátorhoz képest általában nem ismert, az mennyiség azonban nem függ a fázistól.

4. ábra. A lock-in erősítő blokkdiagrammja. Az elrendezés tükrözi azt a felépítést amivel a kezelőfelületen is találkozunk, de nem mutatja az kimenetet amit a műszer digitálisan állít elő az és kimenetekből.

A gyakorlaton megismerkedünk a lock-in erősítő alapvető kezelésével, és azzal, hogy a segítségével az AM rádióadás közvetlenül demodulálható. Megjegyezzük, hogy a lock-in erősítő mint több milliós mérőeszköz használata a rádióadás vételére (amit egy filléres rádióval is megoldhatnánk) megmosolyogtató, azonban kiválóan alkalmas e műszer alapvető működésének demonstrációjára.

Nagyfrekvenciás jelek analízise, a Fourier transzformáció

A heterodin detektálás megismerése után ismételjük át, hogy hogyan határozható meg egy jel frekvenciatérbeli felbontása.

Egy időfüggvény különböző frekvenciájú komponenseinek felbontását matematikailag a Fourier-transzformált segítségével adhatjuk meg:

Egy valós mérésnél a Fourier-transzformált függvényt csak közelítőleg tudjuk megadni, hiszen egyrészt véges ideig tart a mérésünk, másrészt a mérési adatok csak diszkrét időfelbontással álnak rendelkezésre. Először nézzük meg a véges idejű mérés hatását a Fourier-transzformáltra.

A véges idejű mérés megfelel annak, mintha az eredeti függvényt megszoroznánk a mérési intervallumnak megfelelő ablakfüggvénnyel, és ezen szorzatfüggvény Fourier-transzformáltját számolnánk ki:

ahol a függvény esetén , ezen hosszúságú időintervallumon kívül pedig zérus. Megmutatható, hogy egy szorzatfüggvény Fourier-transzformáltja a két komponens Fourier-transzformáltjának a konvolúciója, azaz:

Nézzünk egy egyszerű példát, legyen egy harmonikus függvény, melynek a Fourier-transzformáltja egy Dirac-delta függvény: . Véges idejű mérés esetén azonban a Fourier integrál értéke a fentiek alapján , azaz a harmonikus függvény Fourier-transzormáltjában egy valós mérés esetén a végtelenül keskeny Dirac-delta csúcs helyett az ablakfüggvény Fourier-transzormáltját látjuk az középfrekvenciához eltolva. A fent definiált \emph{téglalap ablak} esetén (azaz amikor egy szélességű intervallumban konstans, azon kívül zérus, lásd 5a. ábra, kék folytonos vonal) az ablakfüggvény Fourier-transzformáltja , azaz (\ref{ablakfv_fig}b.\ ábra, kék folytonos vonal). A véges időintervallumra számolt Fourier-integrál is mutat egy határozott csúcsot az középfrekvencia körül, azonban ez a csúcs véges szélességű, ráadásul a csúcstól távolabb is oszcillációkat látunk a Fourier-transzformáltban, amit spektrális szivárgásnak nevezünk. Az függvény melletti első zérushelyeinek a távolsága , így az körüli csúcs szélessége . Tehát az első fontos konklúzió, hogy {\bf véges időtartamú mérés esetén a jelünket a Fourier-térben csak véges, nagyságrendileg frekvenciafelbontással látjuk!}

5. ábra. a) ablakfüggvény téglalap ablak (kék folytonos vonal) és Hanning ablak (piros szaggatott vonal) esetén. b) harmonikus jel Fourier-transzformáltjának abszolút érték négyzete téglalap ablak (kék folytonos vonal) és Hanning ablak (piros szaggatott vonal) esetén. A téglalap ablakot Hanning ablakra cserélve az körüli csúcs kiszélesedik, azaz romlik a frekvenciafelbontás, azonban az -tól távolabbi mellékcsúcsok amplitúdója lecsökken, azaz csökken a spektrális szivárgás.

Érdemes megjegyezni, hogy a fent említett téglalap ablak helyett választhatunk más ablakfüggvényt is, például ún.\ Hanning-ablak esetén a mért jelben elnyomjuk a mintavételezési időablak széleihez közeli részeket (5a.\ ábra, piros szaggatott vonal). Ebben az esetben az körfrekvenciás jel Fourier-transzformáltjában körül egy még szélesebb csúcsot látunk (azaz a frekvenciafelbontás romlik), viszont az -tól távolabbi oszcillációk amplitúdója (az ún.\ spektrális szivárgás) lecsökken (5b.\ ábra, piros szaggatott vonal).

Következő lépésként nézzük meg, hogy mi a hatása annak, hogy a jelünket nem folytonosan látjuk, hanem csak diszkrét mintavételezési időpontokban. Emiatt a jel Fourier-transzformáltját a folytonos integrál helyett kénytelenek vagyunk egy diszkrét összeggel, az ún.\ diszkrét Fourier-transzformálttal (DFT) közelíteni:

ahol a szomszédos mérési pontok közötti idő, pedig a mintavételezett pontok száma. Az ún.\ Nyquist-Shannon mintavételezési törvény szerint {\bf sűrűségű mintavételezés esetén a jelet maximális körfrekvenciáig tudjuk rekonstruálni}.

Könnyen belátható, hogy a diszkrét Fourier-transzformált fenti képlet szerinti kiértékelése mérési pont esetén művelet ( frekvenciafelbontás és maximális felbontható frekvencia esetén csak diszkrét pontban érdemes kiértékelni a diszkrét Fourier-transzformáltat, és a definíció szerint egy adott frekvencián művelet a szumma kiszámítása). Egy ügyes trükkel azonban jelentősen csökkenthető a számítási műveletek mennyisége. Megmutatható, hogy ha a mérési pontok száma kettő hatványa (), és a frekvenciatérben diszkrét körfrekvenciáknál értékeljük ki a Fourier-transzformáltat, akkor az ún. Fast Fourier Transform (FFT) algoritmus segítségével a számítási műveletek száma -ről -re csökken, ami nagy N esetén lényeges különbség.

A mérőműszerek jelentős része, így a laborgyakorlaton használt digitális oszcilloszkóp is az FFT algoritmus numerikus kiértékelése alapján határozza meg a mért jel spektrumát. A legtöbb esetben a műszer nem adja meg külön a spektrum valós és képzetes részét, hanem csak a Fourier-transzformált abszolút érték négyzetét látjuk. Ezen kívül a mérőműszerek általában a frekvencia, és nem a körfrekvencia függvényében adják meg a spektrumot, erre érdemes odafigyelni a mérés kiértékelésénél.

A Fourier transzformáció definiciójánál azt látjuk, hogy a Fourier spektrum komplex mennyiség. Erre azért van szükség, hogy a különböző frekvenciájú harmonikus tagok \emph{fázisát} is le tudjuk írni. Könnyen belátható, hogy amennyiben páros függvény (pl. cos), akkor a Fourier spektrum tisztán valós, amennyiben pedig páratlan függvény (pl. sin), akkor a Fourier spektrum tisztán képzetes. Tetszőleges esetén pedig a Fourier spektrum tartalmaz valós és képzetes tagokat is\footnote{Ilyen értelemben a komplex jelölésnek az a szerepe, hogy a leírást rövidítse, egyébként kétkomponensű vektorokat kellene írnunk.}. Amennyiben a fázis ismerete nem lényeges és csak az egyes Fourier komponensek erősségére vagyunk kiváncsiak akkor a Fourier spektrum valós és képzetes részeinek négyzetösszegének gyökéből képezhetjük az ún. Fourier erősséget (\emph{Fourier magnitude}).

Egy kérdés azonban még nyitva maradt: amikor harmonikus rezgésről beszélünk gyakran mint cos, sin vagy -ként hivatkozunk rá. Itt mi a komplex jelölés szerepe? Erre a rövid válasz az, hogy önmagában a cos vagy sin függvény nem adja meg a harmonikus rezgés frekvenciájának \emph{előjelét}. Első hallásra meglepő, hogy harmonikus rezgés frekvenciájának előjele van, azonban gondoljunk csak a mixeres lekeverésre: amennyiben RF frekvenciája kisebb mint az LO frekvenciája, a kapott IF jel alacsonyfrekvenciás komponensének fekvenciája \emph{negatív}. Az előjel elvesztésének bemutatására tekintsük először a jelet, ennek \aref{FT_def}. képlet alapján a Fourier transzformáltja valós és tartalmaz -nél is egy-egy pozitív csúcsot. Második példánkban tekintsük a jelet, aminek Fourier transzformáltja képzetes és -nél mutat egy-egy ellentétes előjelű csúcsot. Tehát egyik példában sem tudjuk a jel frekvenciájának előjelét egyértelműen meghatározni. Ezzel szemben a Fourier transzformáltjának -nél (előjelhelyesen) van egy csúcsa\footnote{Azaz nincs csúcsa -nél.}.

A kifejezés valós és képzetes részei úgy viselkednek mint a trigonometrikus függvények definiciójakor használt egységkörön mozgó pont vetületei, ami foroghat pozitív és negatív körüljáráson is. Ezzel szemben külön-külön a cos és sin vetületek nem érzékenyek az egységkörön mozgó pont körüljárásának irányára.

Már csak azt a kérdést kell megválaszolnunk, hogy méréstechnikában hogyan tudjuk ezt a komplex időfüggő mennyiséget előállítani a mért \emph{valós} jelekből. A válasz az, hogy a valós és képzetes részek a lock-in technikánál bemutatott kvadratúra detektálásból adódnak: azaz a bejövő jelet két, egymástól 90 fokban eltolt jellel keverjük le. Az így kapott két adatsort ( és \aref{LI_fig}. ábra jelöléseivel) \emph{tekintjük} a bejövő lekevert jel valós és képzetes részeinek: . Az FT után szintén két adatsort kapunk \aref{FT_def}. képlet alapján:

ezért ezt komplex vagy kétcsatornás Fourier transzformációnak nevezzük.

Ha a tagokat expliciten kiírjuk, akkor belátható, hogy e két adatsor a következőképpen adódik:

E két adatsor négyzetösszegének gyöke: adja meg a különböző frekvenciájú komponensek erősségét a Fourier spektrumban.