„3. Mérés: RC-körök vizsgálata” változatai közötti eltérés
| 20. sor: | 20. sor: | ||
Hasznos még bevezetni a körfrekvenciát $\omega$=2$\pi f$. Az időbeli változást leíró differenciál egyenletek könnyebb kezeléséhez érdemes bevezetni az alábbi komplex változót, melynek valós része adja a mérhető jelet: | Hasznos még bevezetni a körfrekvenciát $\omega$=2$\pi f$. Az időbeli változást leíró differenciál egyenletek könnyebb kezeléséhez érdemes bevezetni az alábbi komplex változót, melynek valós része adja a mérhető jelet: | ||
| − | $$ U(t)=U_0e^{\omega t+\varphi}=U_0e^\varphi e^{\omega t}.$$ | + | $$ U(t)=U_0e^{i(\omega t+\varphi)}=U_0e^i\varphi e^{i\omega t}.$$ |
A harmonikusan változó feszültség a komplex síkon egy $U_0$ sugarú kört ír le. A komplex számot reprezentáló vektor fázisszöge $\omega t+\varphi$ állandó szögsebességgel fordul körbe. | A harmonikusan változó feszültség a komplex síkon egy $U_0$ sugarú kört ír le. A komplex számot reprezentáló vektor fázisszöge $\omega t+\varphi$ állandó szögsebességgel fordul körbe. | ||
| − | | [[File:Uosc.jpg| | + | | [[File:Uosc.jpg|225px|thumb|right|Általános időben harmonikusan változó feszültség]] |
|} | |} | ||
| 37. sor: | 37. sor: | ||
Az ellenálláson áthaladó áramot az alábbi komplex alakban adhatjuk meg | Az ellenálláson áthaladó áramot az alábbi komplex alakban adhatjuk meg | ||
| − | $$ I=I_0e^{\omega t}, $$ | + | $$ I=I_0e^{i\omega t}, $$ |
| − | + | melyből kiszámíthatjuk a rajta eső feszültsége: | |
| − | $$ | + | $$ Ue^{i\omega t}=RI_0e^{i\omega t}. $$ |
Tehát az áram és a feszültség fázisa azonos az amplitúdokat pedig a $U_0$=$RI_0$ összefüggéssel számolhatjuk ki. | Tehát az áram és a feszültség fázisa azonos az amplitúdokat pedig a $U_0$=$RI_0$ összefüggéssel számolhatjuk ki. | ||
| − | | [[File:ZR.jpg| | + | | [[File:ZR.jpg|400px|thumb|right|Általános időben harmonikusan változó feszültség]] |
|} | |} | ||
| + | {| | ||
| + | |- | ||
| + | | Egy $L$ induktivitással jellemezhető tekercs esetén a tekercs kapocsain mérhető feszültséget az alábbi képlet adja meg: | ||
| + | |||
| + | $$ U=L\frac{dI}{dt} $$ | ||
| + | |||
| + | Az időben harmonikusan változó áramot ismét komplex alakban adjuk meg | ||
| + | |||
| + | $$ I=I_0e^{i\omega t}, $$ | ||
| + | |||
| + | melyből a tekercs kapcsain mérhető feszültség: | ||
| + | |||
| + | $$ Ue^{i\omega t}=i\omegaLI_0e^{i\omega t}. $$ | ||
| + | |||
| + | Tehát a feszültség fázisa $\frac{\pi}{2}$-vel eltolódik az áramhoz képest, az amplitúdokat pedig a $U_0$=$\omega LI_0$ összefüggéssel számolhatjuk ki. Érdemes bevezetni az ellenálláshoz hasonló fogalmat, az impedanciát. Ez a komplex mennyiség lineáris áramkörökben megadja a feszülség és az áram komplex arányát. Induktivitás esetén $Z_L$=$\omega L$. | ||
| + | |||
| + | | [[File:ZL.jpg|400px|thumb|right|Általános időben harmonikusan változó feszültség]] | ||
| + | |} | ||
| + | |||
| + | {| | ||
| + | |- | ||
| + | | A $C$ kapacitással jellemezhető kondenzátor esetén ismert, hogy | ||
| + | |||
| + | $$ Q=CU. $$ | ||
| + | |||
| + | Ezt az összefüggést deriválva és átrendezve a korábbiakhoz hasonló alakú kifejezést kapunk: | ||
| + | |||
| + | $$ \frac{dU}{dt}=\frac{1}{C}I, $$ | ||
| + | |||
| + | hiszen a kondenzátor eltolási árama a töltésváltozással egyenlő. A komplex feszültség-áram összefüggés az alábbi alakot ölti: | ||
| + | |||
| + | $$ Ue^{i\omega t}=\frac{1}{i\omega C}I_0e^{i\omega t}. $$ | ||
| + | |||
| + | Tehát a feszültség fázisa -$\frac{\pi}{2}$-vel eltolódik az áramhoz képest, az amplitúdokat pedig a $U_0$=$\frac{I_0}{\omega C}$ összefüggéssel számolhatjuk ki. A kondenzátorhoz tartozó impedancia $Z_C$=$\frac{1}{\omega C}$. | ||
| + | |||
| + | | [[File:ZC.jpg|400px|thumb|right|Általános időben harmonikusan változó feszültség]] | ||
| + | |} | ||
A lap 2019. november 1., 20:15-kori változata
Tartalomjegyzék |
Elméleti összefoglaló
Időben harmonikusan változó jel
Lineáris áramkörök és harmonikusan változó áram és feszültség jelek részletes tárgyalását lásd a Kisérleti Fizika 1 kurzus rezgésekről szóló fejezetében [1]. A fontosabb mennyiségeket és összefüggéseket alább összefoglaljuk. Az ábrán egy  periodus idővel változó,  =1/ frekvenciájú feszültség jel látható. Ha a jel amplitúdója  és fázisa  , az időfüggést az alábbi alakban adhatjuk meg:
![\[ U(t)=U_0cos(2\pi ft+\varphi).\]](/images/math/9/6/e/96eab080ec8a57c04dc37fbab0d08b88.png) Hasznos még bevezetni a körfrekvenciát ![\[ U(t)=U_0e^{i(\omega t+\varphi)}=U_0e^i\varphi e^{i\omega t}.\]](/images/math/6/c/f/6cf8759b3c8131aeac9699b428fc98e7.png) A harmonikusan változó feszültség a komplex síkon egy |
 |
=2
. Az időbeli változást leíró differenciál egyenletek könnyebb kezeléséhez érdemes bevezetni az alábbi komplex változót, melynek valós része adja a mérhető jelet:
állandó szögsebességgel fordul körbe.
Lineáris áramköri elemek
Lineáris áramköri elemek esetén az áthajtott áramot és az elemen eső fezsültséget vagy azok deriváltjait lineáris összefüggés kapcsolja össze. Legegyszerűbb ilyen elem az ohmikus ellenállás:
![\[ U=RI \]](/images/math/0/6/3/063b550b153e506421bd709bd6808ca7.png) Az ellenálláson áthaladó áramot az alábbi komplex alakban adhatjuk meg ![\[ I=I_0e^{i\omega t}, \]](/images/math/b/d/b/bdb488bc3e2778d55a33d3ef116d5107.png) melyből kiszámíthatjuk a rajta eső feszültsége: ![\[ Ue^{i\omega t}=RI_0e^{i\omega t}. \]](/images/math/0/d/8/0d8fb867d5d69c2aac8c45bdf2fdc5e9.png) Tehát az áram és a feszültség fázisa azonos az amplitúdokat pedig a |
 |
összefüggéssel számolhatjuk ki.
Egy  induktivitással jellemezhető tekercs esetén a tekercs kapocsain mérhető feszültséget az alábbi képlet adja meg:
![\[ U=L\frac{dI}{dt} \]](/images/math/6/a/7/6a711b0266b0467282f7b557a011d032.png) Az időben harmonikusan változó áramot ismét komplex alakban adjuk meg melyből a tekercs kapcsain mérhető feszültség: LaTex syntax error
\[ Ue^{i\omega t}=i\omegaLI_0e^{i\omega t}. \]
Tehát a feszültség fázisa |
 |
-vel eltolódik az áramhoz képest, az amplitúdokat pedig a 
összefüggéssel számolhatjuk ki. Érdemes bevezetni az ellenálláshoz hasonló fogalmat, az impedanciát. Ez a komplex mennyiség lineáris áramkörökben megadja a feszülség és az áram komplex arányát. Induktivitás esetén 
=
.
A  kapacitással jellemezhető kondenzátor esetén ismert, hogy
![\[ Q=CU. \]](/images/math/e/c/3/ec33c1bde7608b580162804655742f21.png) Ezt az összefüggést deriválva és átrendezve a korábbiakhoz hasonló alakú kifejezést kapunk: ![\[ \frac{dU}{dt}=\frac{1}{C}I, \]](/images/math/9/3/a/93ad8959bee68c81cbf1f05351c1ae71.png) hiszen a kondenzátor eltolási árama a töltésváltozással egyenlő. A komplex feszültség-áram összefüggés az alábbi alakot ölti: ![\[ Ue^{i\omega t}=\frac{1}{i\omega C}I_0e^{i\omega t}. \]](/images/math/8/d/b/8db535ea01ab073f095b45769b5e1dea.png) Tehát a feszültség fázisa - |
 |
összefüggéssel számolhatjuk ki. A kondenzátorhoz tartozó impedancia 
=
.
Mérési feladatok
1. Feladat
