„3. Mérés: RC-körök vizsgálata” változatai közötti eltérés
20. sor: | 20. sor: | ||
Hasznos még bevezetni a körfrekvenciát $\omega$=2$\pi f$. Az időbeli változást leíró differenciál egyenletek könnyebb kezeléséhez érdemes bevezetni az alábbi komplex változót, melynek valós része adja a mérhető jelet: | Hasznos még bevezetni a körfrekvenciát $\omega$=2$\pi f$. Az időbeli változást leíró differenciál egyenletek könnyebb kezeléséhez érdemes bevezetni az alábbi komplex változót, melynek valós része adja a mérhető jelet: | ||
− | $$ U(t)=U_0e^{\omega t+\varphi}=U_0e^\varphi e^{\omega t}.$$ | + | $$ U(t)=U_0e^{i(\omega t+\varphi)}=U_0e^i\varphi e^{i\omega t}.$$ |
A harmonikusan változó feszültség a komplex síkon egy $U_0$ sugarú kört ír le. A komplex számot reprezentáló vektor fázisszöge $\omega t+\varphi$ állandó szögsebességgel fordul körbe. | A harmonikusan változó feszültség a komplex síkon egy $U_0$ sugarú kört ír le. A komplex számot reprezentáló vektor fázisszöge $\omega t+\varphi$ állandó szögsebességgel fordul körbe. | ||
− | | [[File:Uosc.jpg| | + | | [[File:Uosc.jpg|225px|thumb|right|Általános időben harmonikusan változó feszültség]] |
|} | |} | ||
37. sor: | 37. sor: | ||
Az ellenálláson áthaladó áramot az alábbi komplex alakban adhatjuk meg | Az ellenálláson áthaladó áramot az alábbi komplex alakban adhatjuk meg | ||
− | $$ I=I_0e^{\omega t}, $$ | + | $$ I=I_0e^{i\omega t}, $$ |
− | + | melyből kiszámíthatjuk a rajta eső feszültsége: | |
− | $$ | + | $$ Ue^{i\omega t}=RI_0e^{i\omega t}. $$ |
Tehát az áram és a feszültség fázisa azonos az amplitúdokat pedig a $U_0$=$RI_0$ összefüggéssel számolhatjuk ki. | Tehát az áram és a feszültség fázisa azonos az amplitúdokat pedig a $U_0$=$RI_0$ összefüggéssel számolhatjuk ki. | ||
− | | [[File:ZR.jpg| | + | | [[File:ZR.jpg|400px|thumb|right|Általános időben harmonikusan változó feszültség]] |
|} | |} | ||
+ | {| | ||
+ | |- | ||
+ | | Egy $L$ induktivitással jellemezhető tekercs esetén a tekercs kapocsain mérhető feszültséget az alábbi képlet adja meg: | ||
+ | |||
+ | $$ U=L\frac{dI}{dt} $$ | ||
+ | |||
+ | Az időben harmonikusan változó áramot ismét komplex alakban adjuk meg | ||
+ | |||
+ | $$ I=I_0e^{i\omega t}, $$ | ||
+ | |||
+ | melyből a tekercs kapcsain mérhető feszültség: | ||
+ | |||
+ | $$ Ue^{i\omega t}=i\omegaLI_0e^{i\omega t}. $$ | ||
+ | |||
+ | Tehát a feszültség fázisa $\frac{\pi}{2}$-vel eltolódik az áramhoz képest, az amplitúdokat pedig a $U_0$=$\omega LI_0$ összefüggéssel számolhatjuk ki. Érdemes bevezetni az ellenálláshoz hasonló fogalmat, az impedanciát. Ez a komplex mennyiség lineáris áramkörökben megadja a feszülség és az áram komplex arányát. Induktivitás esetén $Z_L$=$\omega L$. | ||
+ | |||
+ | | [[File:ZL.jpg|400px|thumb|right|Általános időben harmonikusan változó feszültség]] | ||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | {| | ||
+ | |- | ||
+ | | A $C$ kapacitással jellemezhető kondenzátor esetén ismert, hogy | ||
+ | |||
+ | $$ Q=CU. $$ | ||
+ | |||
+ | Ezt az összefüggést deriválva és átrendezve a korábbiakhoz hasonló alakú kifejezést kapunk: | ||
+ | |||
+ | $$ \frac{dU}{dt}=\frac{1}{C}I, $$ | ||
+ | |||
+ | hiszen a kondenzátor eltolási árama a töltésváltozással egyenlő. A komplex feszültség-áram összefüggés az alábbi alakot ölti: | ||
+ | |||
+ | $$ Ue^{i\omega t}=\frac{1}{i\omega C}I_0e^{i\omega t}. $$ | ||
+ | |||
+ | Tehát a feszültség fázisa -$\frac{\pi}{2}$-vel eltolódik az áramhoz képest, az amplitúdokat pedig a $U_0$=$\frac{I_0}{\omega C}$ összefüggéssel számolhatjuk ki. A kondenzátorhoz tartozó impedancia $Z_C$=$\frac{1}{\omega C}$. | ||
+ | |||
+ | | [[File:ZC.jpg|400px|thumb|right|Általános időben harmonikusan változó feszültség]] | ||
+ | |} | ||
A lap 2019. november 1., 21:15-kori változata
Tartalomjegyzék |
Elméleti összefoglaló
Időben harmonikusan változó jel
Lineáris áramkörök és harmonikusan változó áram és feszültség jelek részletes tárgyalását lásd a Kisérleti Fizika 1 kurzus rezgésekről szóló fejezetében [1]. A fontosabb mennyiségeket és összefüggéseket alább összefoglaljuk. Az ábrán egy ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Hasznos még bevezetni a körfrekvenciát ![]() A harmonikusan változó feszültség a komplex síkon egy |
Lineáris áramköri elemek
Lineáris áramköri elemek esetén az áthajtott áramot és az elemen eső fezsültséget vagy azok deriváltjait lineáris összefüggés kapcsolja össze. Legegyszerűbb ilyen elem az ohmikus ellenállás:
![]() Az ellenálláson áthaladó áramot az alábbi komplex alakban adhatjuk meg ![]() melyből kiszámíthatjuk a rajta eső feszültsége: ![]() Tehát az áram és a feszültség fázisa azonos az amplitúdokat pedig a |
Egy ![]() ![]() Az időben harmonikusan változó áramot ismét komplex alakban adjuk meg ![]() melyből a tekercs kapcsain mérhető feszültség: LaTex syntax error
\[ Ue^{i\omega t}=i\omegaLI_0e^{i\omega t}. \] Tehát a feszültség fázisa |
A ![]() ![]() Ezt az összefüggést deriválva és átrendezve a korábbiakhoz hasonló alakú kifejezést kapunk: ![]() hiszen a kondenzátor eltolási árama a töltésváltozással egyenlő. A komplex feszültség-áram összefüggés az alábbi alakot ölti: ![]() Tehát a feszültség fázisa - |
Mérési feladatok
1. Feladat