„3. Mérés: RC-körök vizsgálata” változatai közötti eltérés
45. sor: | 45. sor: | ||
Tehát az áram és a feszültség fázisa azonos az amplitúdokat pedig a $U_0$=$RI_0$ összefüggéssel számolhatjuk ki. | Tehát az áram és a feszültség fázisa azonos az amplitúdokat pedig a $U_0$=$RI_0$ összefüggéssel számolhatjuk ki. | ||
− | | [[File:ZR.jpg|400px|thumb|right| | + | | [[File:ZR.jpg|400px|thumb|right|Áram és feszültség jelek fázis viszonyai ohmikus ellenállás esetén.]] |
|} | |} | ||
64. sor: | 64. sor: | ||
Tehát a feszültség fázisa $\frac{\pi}{2}$-vel eltolódik az áramhoz képest, az amplitúdokat pedig a $U_0$=$\omega LI_0$ összefüggéssel számolhatjuk ki. Érdemes bevezetni az ellenálláshoz hasonló fogalmat, az impedanciát. Ez a komplex mennyiség lineáris áramkörökben megadja a feszülség és az áram komplex arányát. Induktivitás esetén $Z_L$=$i\omega L$. | Tehát a feszültség fázisa $\frac{\pi}{2}$-vel eltolódik az áramhoz képest, az amplitúdokat pedig a $U_0$=$\omega LI_0$ összefüggéssel számolhatjuk ki. Érdemes bevezetni az ellenálláshoz hasonló fogalmat, az impedanciát. Ez a komplex mennyiség lineáris áramkörökben megadja a feszülség és az áram komplex arányát. Induktivitás esetén $Z_L$=$i\omega L$. | ||
− | | [[File:ZL.jpg|400px|thumb|right| | + | | [[File:ZL.jpg|400px|thumb|right|Áram és feszültség jelek fázis viszonyai tekercs esetén.]] |
|} | |} | ||
83. sor: | 83. sor: | ||
Tehát a feszültség fázisa -$\frac{\pi}{2}$-vel eltolódik az áramhoz képest, az amplitúdokat pedig a $U_0$=$\frac{I_0}{\omega C}$ összefüggéssel számolhatjuk ki. A kondenzátorhoz tartozó impedancia $Z_C$=$\frac{1}{i\omega C}$. | Tehát a feszültség fázisa -$\frac{\pi}{2}$-vel eltolódik az áramhoz képest, az amplitúdokat pedig a $U_0$=$\frac{I_0}{\omega C}$ összefüggéssel számolhatjuk ki. A kondenzátorhoz tartozó impedancia $Z_C$=$\frac{1}{i\omega C}$. | ||
− | | [[File:ZC.jpg|400px|thumb|right| | + | | [[File:ZC.jpg|400px|thumb|right|Áram és feszültség jelek fázis viszonyai kondenzátor esetén.]] |
|} | |} | ||
109. sor: | 109. sor: | ||
$$ Q=\int_0^\infty I_0e^{-t/\tau}dt= -I_0\tau e^{-\infty/\tau}+I_0\tau e^{0/\tau}=I_0\tau. $$ | $$ Q=\int_0^\infty I_0e^{-t/\tau}dt= -I_0\tau e^{-\infty/\tau}+I_0\tau e^{0/\tau}=I_0\tau. $$ | ||
− | | [[File:RC_switch.jpg|250px|thumb|right| | + | | [[File:RC_switch.jpg|250px|thumb|right|Soros RC kör kisülése]] |
|} | |} | ||
124. sor: | 124. sor: | ||
$$ U_{ki}=Z_CI=\frac{Z_C}{R+Z_C}U_{be}=\frac{1}{i\omega RC+1}U_{be}=\frac{1}{i\omega\tau+1}U_{be}$$ | $$ U_{ki}=Z_CI=\frac{Z_C}{R+Z_C}U_{be}=\frac{1}{i\omega RC+1}U_{be}=\frac{1}{i\omega\tau+1}U_{be}$$ | ||
− | | [[File:RC.png|250px|thumb|right| | + | | [[File:RC.png|250px|thumb|right|Soros RC kör]] |
|} | |} | ||
144. sor: | 144. sor: | ||
$$ tg(\varphi)=-\omega\tau $$ | $$ tg(\varphi)=-\omega\tau $$ | ||
− | | [[File:RC_trans.jpg|250px|thumb|right| | + | | [[File:RC_trans.jpg|250px|thumb|right|Amplitúdóarány és fáziskülönbség frekvencia függése soros RC körben.]] |
|} | |} | ||
A lap 2019. november 2., 10:27-kori változata
Tartalomjegyzék |
Elméleti összefoglaló
Időben harmonikusan változó jel
Lineáris áramkörök és harmonikusan változó áram és feszültség jelek részletes tárgyalását lásd a Kisérleti Fizika 1 kurzus rezgésekről szóló fejezetében [1]. A fontosabb mennyiségeket és összefüggéseket alább összefoglaljuk. Az ábrán egy periodus idővel változó, =1/ frekvenciájú feszültség jel látható. Ha a jel amplitúdója és fázisa , az időfüggést az alábbi alakban adhatjuk meg:
Hasznos még bevezetni a körfrekvenciát =2. Az időbeli változást leíró differenciál egyenletek könnyebb kezeléséhez érdemes bevezetni az alábbi komplex változót, melynek valós része adja a mérhető jelet: A harmonikusan változó feszültség a komplex síkon egy sugarú kört ír le. A komplex számot reprezentáló vektor fázisszöge állandó szögsebességgel fordul körbe. |
Lineáris áramköri elemek
Lineáris áramköri elemek esetén az áthajtott áramot és az elemen eső fezsültséget vagy azok deriváltjait lineáris összefüggés kapcsolja össze. Legegyszerűbb ilyen elem az ohmikus ellenállás:
Az ellenálláson áthaladó áramot az alábbi komplex alakban adhatjuk meg melyből kiszámíthatjuk a rajta eső feszültsége: Tehát az áram és a feszültség fázisa azonos az amplitúdokat pedig a = összefüggéssel számolhatjuk ki. |
Egy induktivitással jellemezhető tekercs esetén a tekercs kapocsain mérhető feszültséget az alábbi képlet adja meg:
Az időben harmonikusan változó áramot ismét komplex alakban adjuk meg melyből a tekercs kapcsain mérhető feszültség: Tehát a feszültség fázisa -vel eltolódik az áramhoz képest, az amplitúdokat pedig a = összefüggéssel számolhatjuk ki. Érdemes bevezetni az ellenálláshoz hasonló fogalmat, az impedanciát. Ez a komplex mennyiség lineáris áramkörökben megadja a feszülség és az áram komplex arányát. Induktivitás esetén =. |
A kapacitással jellemezhető kondenzátor esetén ismert, hogy
Ezt az összefüggést deriválva és átrendezve a korábbiakhoz hasonló alakú kifejezést kapunk: hiszen a kondenzátor eltolási árama a töltésváltozással egyenlő. A komplex feszültség-áram összefüggés az alábbi alakot ölti: Tehát a feszültség fázisa --vel eltolódik az áramhoz képest, az amplitúdokat pedig a = összefüggéssel számolhatjuk ki. A kondenzátorhoz tartozó impedancia =. |
Soros RC kör
Az ábrán látható soros RC körrel vizsgálhatjuk egy kapacitású kondenzátor feltöltődését és kisülését. Ha hosszú időn keresztül véges feszültséget kapcsolunk a körre a kondenzátor feltöltődik. Ezt követően, t=0 időpillanatban a kapcsolót átkapcsolva rövidre zárjuk az áramkört, azaz a bemeneti pontok azonos feszültségre kerülnek:
Ekkor a kondenzátor fegyverzetein tárolt töltések átáramlanak az ellentétes fegyverzetre, hogy az új egyensúly elérését követően nulla feszültség essen a bemeneten (és a kondenzátoron is). Ezt az áramot például a fenti egyenlet deriválásával számíthatjuk ki: Tehát az áramkörben folyó időfüggő áram az alábbi differenciál egyenletet elégíti ki: Az szorzat láthatóan idő dimenziójú, érdemes bevezetni a = időállandót. Az exponenciális függvény kielégíti a fenti egyenletet, hiszen deriváltja szintén exponenciális: ahol később meghatározandó állandó. (Ellenőrízzük, hogy ez a függvény valóban megoldása a fenti differenciál egyenletnek!) Az integrálási állandó meghatározásához használjuk fel, hogy t=0 idő pillanatban ismert feszültségre volt feltöltve a kondenzátor, tehát az = töltést tárolt. A kapcsoló átfordítása után átfolyó töltésmennyiségnek egyenlőnek kell lennie a tárolt töltéssel: |
Megvizsgálhatjuk a soros RC kör harmonikus meghajtásra adott válaszát is. Például a meghajtó feszültség = kondenzátor feszültségre gyakorolt hatását. Az eszközökön eső feszültség a meghajtó feszültséggel lesz egyenlő:
Az impedanciáról tanultakat felhasználva |
Az amplitúdók arányát és a fáziskülönbséget az alábbi arány számításával határozhatjuk meg:
Az amplitúdóarányt az alábbi Lorentz görbe adja meg: Tehát 1/ körfrekvencia alatt a feszültség nagyrészt a kapacitáson esik, míg nagyobb frekvenciákon az impedanciája és a rajta eső feszültség is lecsökken. A fáziskülönbséghez a komplex szám fázisát kell meghatározni: A fázisszöget a képzetes és valós rész hányadosá adja meg: |
Mérési feladatok
1. Feladat A próbapanelen állítsunk össze egy =10 k ellenállásból és az ismeretlen kapacitású kondenzártorból (barna áramköri elem) álló soros kapcsolást. bemenetre csatlakoztassuk a myDAQ mérőkártya AO 0 illetve AGND (referencia pont) kimenetét, és a függvénygenerátor segítségével kapcsoljunk a bemenetre =1 kHz frekvenciájú, =1 V-os szinusz jelet. A bemeneti és a kondenzátoron eső kimeneti feszültséget kapcsoljuk a mérőkártya AI 0+, AI 0- és AI 1+, AI 1- csatlakozói közé. Az oszcilloszkóp mindkét csatornáját kapcsoljuk be, majd állítsuk be a feszültségerősítést, időosztást valamint a triggert.
Rögzítsük mindkét csatornán a feszültség időfüggését, majd az oszcilloszkóp program STOP gombjának megnyomasa után, a LOG gomb segítségével mentsük el a mért jelalakokat. Az IGOR segítségével olvassuk be a jeleket. (A loadwaves/tweaks menu beállításai: az összes elválasztó jelet ki kell pipálni, date format: year.month.day, line containing column label: 2, first line containing data: 5.) A data/change wave scaling menüvel állítsuk be az időtengely lépésközét. (Figyelem az oszcilloszkóp időalapjának változtatásával változik a skálázás is!) Illesszünk szinusz görbét, és az illesztésből határozzuk meg a két jel amplitúdójának arányát, illetve a fázisuk különbséget. Számítsuk ki az ismeretlen kapacitást és becsüljük meg a mérés hibáját. Végezzük el a fenti mérést 100 Hz-en, 330 Hz-en, 3.3 kHz-en és 10 kHz-en is. A mért amplitúdó arányokat és fáziskülönbségeket a frekvencia logaritmusának függvényében ábrázoljuk. Miért nevezik ezt a kapcsolást aluláteresztő szűrőnek?
2. Feladat Vizsgáljuk tovább a fenti áramkört! A bemeneti pontokra =100 Hz frekvenciájú négyszögjelet kapcsoljunk. Az oszcilloszkóp beállítása után, mentsük el a kimeneti jelet. A kisülési görbékre exponenciális függvényt illesztve határozzuk meg az időállandót, majd számítsuk ki a kapacitás értékét ezzel a módszerrel is.