Az elektron töltése és a Boltzmann-állandó hányadosának (e/k) mérése. A Planck és a Boltzmann-állandó hányadosának (h/k) mérése.
Tartalomjegyzék |
Az elektron töltése és a Boltzmann-állandó hányadosának (e/k) mérése
A mérés célja:
- termikusan aktivált folyamat tanulmányozása félvezető p–n átmenetben,
- az arány meghatározása.
Ennek érdekében:
- összefoglaljuk a p–n átmeneten folyó áramra vonatkozó elméleti alapismereteket,(a jelenségek igen részletes leírása a megadott irodalomban olvasható),
- kimérjük egy tranzisztor kollektor-áramának a bázis–emitter feszültségtől való függését, és meghatározzuk az arányt.
Elméleti összefoglaló
Az elektron töltése (
) és a Boltzmann-állandó (
) fontos természeti állandók, amelyek ismeretére számos jelenség leírásánál szükségünk van. Az olyan folyamatokat, amelyeknek során pl. egy részecske a továbbhaladásához szükséges energiát a termikus mozgásból származó véletlen energiaközlés révén szerzi meg, termikusan aktivált folyamatoknak nevezik. Ezen jelenségek tanulmányozása lehetőséget ad e két állandó arányának (
) meghatározására. Magával ezzel az aránnyal is gyakran találkozunk, de emellett arra is felhasználhatjuk, hogy az egyik állandó és az arány ismeretében a másik állandó értékét kiszámítsuk.
Félvezetőkben az elektromos áramot elektronok és lyukak (elektronhiányok) mozgása eredményezi. Bizonyos adalék anyagok (foszfor, arzén) hatására a félvezetőkben az elektronok annyira túlsúlyba kerülnek a lyukakhoz képest, hogy gyakorlatilag csak elektronvezetés alakul ki: az ilyen félvezetőt n típusúnak nevezik. Más adalékok (bór, gallium, alumínium) viszont a félvezetőben lyukvezetést hoznak létre: az ilyen félvezetők a p típusú félvezetők.
Ha egy p típusú és egy n típusú félvezetőt érintkezésbe hozunk (ez az ún. p–n átmenet), akkor az érintkezési helyen kontaktpotenciál jön létre, mert energetikai okok miatt az n típusú részből elektronok mennek át a p típusú részbe (így az negatív többlettöltésre tesz szert), a p típusú részből viszont lyukak mennek át az n típusú részbe (így abban pozitív többlettöltés jön létre). A kontaktus létrejöttének pillanatában tehát egy, a p rétegből az n rétegbe irányuló kezdeti áram folyik. Az áram hatására a potenciálkülönbség nő, ami egyre jobban akadályozza a további töltésátmenetet, ezért egy bizonyos feszültség elérése után a p→n irányú áram megszűnik, és kialakul egy állandósult kontaktpotenciál. Ezzel egyidejűleg a kontaktus két oldalán létrejön egy olyan tartomány, amelyben nincsenek mozgásképes töltéshordozók. A töltéshordozók áthaladását (a p→n irányú áramot) ezen a kiürített tartományon át a létrejött 
magasságú potenciálgát akadályozza, ezért külső feszültség nélkül a töltéshordozók csak a termikus mozgás segítségével, véletlenszerűen jutnak át.
Eléggé általánosan igaz, hogy a termikusan aktivált folyamat gyakorisága az 
faktorral arányos, ahol 
a továbbhaladáshoz szükséges energia, a Boltzmann-állandó, 
pedig az abszolút hőmérséklet. Ennek megfelelően annak gyakorisága, hogy egy lyuk p→n irányban vagy egy elektron n→p irányban az magasságú potenciálgáton átugrik, az 
faktorral arányos ( az elektron töltésének nagysága). Ez egyben azt is jelenti, hogy a termikus aktiváció segítségével a potenciálgáton át egy p→n irányú, ún. injektált áram folyik:
![\[ I_I = C_0 e^{-\frac{e U_D}{kT} } \]](/images/math/1/d/d/1ddaf6bd0b87cc549f8469c93b5624ab.png)
A kiürített tartományon át ugyanakkor létrjön egy ellenkező irányú áram is, ami annak következménye, hogy a termikus mozgás (termikus aktiváció) révén, ha kis számban is, de mindig keletkeznek töltéshordozók, így – többek között – a kiürített réteg n oldalán lyukak, p oldalán pedig elektronok jelennek meg. Mivel a kontaktpotenciál ezeknek a mozgását a kontaktuson át éppen elősegíti, ily módon egy n→p irányú, ún. telítési (szaturációs) áram, 
jön létre. Ez az áram nem függ a kontaktuson kialakult feszültségtől, csak a termikusan keltett töltéshordozók mennyiségétől. Külső feszültség nélküli (egyensúlyi) állapotban a két áram egymást kiegyenlíti, vagyis ekkor 
.
Ha a p–n átmenetre 
külső feszültséget kapcsolunk, akkor ez módosítja a potenciálgát magasságát, ezért megváltoztatja az injektált áramot, amely most
![\[ I_I = C e^{-\frac{e\left( U_D - U \right)}{kT} } \]](/images/math/8/d/5/8d52f071d230da35dd0220e54f80dabc.png)
Itt 
állandó, az feszültség pedig negatív, ha a feszültség a kontaktpotenciállal egyirányú, és pozitív, ha azzal ellentétes. Mivel 
esetén 
,
![\[ C=I_se^{\frac{eU_D}{kT} }, \]](/images/math/1/3/4/1348ca7c3a4c1bbff6ab1dbb2f69fa94.png)
amivel az injektált áramra azt kapjuk, hogy
![\[ I_I=I_se^{\frac{eU}{kT} }. \]](/images/math/8/2/5/825146574af2ec40b07a5921788d49ac.png)
A kontaktuson átfolyó 
eredő áram a feszültségfüggő 
injektált áram és a feszültségtől független 
telítési áram különbsége:
![\[ I=I_s\left(e^{\frac{eU}{kt} }-1 \right). \]](/images/math/2/0/3/20373aab9f22485f5557b92b75afa4df.png)
Ez az összefüggés azt az ismert tapasztalatot tükrözi, hogy egy ilyen kontaktus különböző irányban előfeszítve különböző nagyságú áramot bocsát át, más szóval egyenirányít. Az ilyen egyenirányító p–n átmenetet félvezető diódának nevezik.
A mérési módszer
A mérés során egy félvezető eszközben az (5) egyenlettel leírható áram-feszültség összefüggést (ún. áram–feszültség karakterisztikát) mérünk ki, és az exponensben szereplő kifejezés kiértékelésével meghatározzuk az arányt. A mérés könnyebben megvalósítható, ha nem közvetlenül dióda-karakterisztikát vizsgálunk, hanem az 1.ábrán látható elrendezésben egy tranzisztor kollektor-áramának () a bázis–emitter feszültségtől () való függését vizsgáljuk, amely ugyancsak az (5) egyenlettel írható le (a tranzisztor – mint az ábrán is látható – lényegében két egymáshoz kapcsolt félvezető dióda).
Az (5) alakú karakterisztikából az hányados elvileg meghatározható, de az összefüggés egyszerűsítésével a feladat is egyszerűsíthető. Mivel méréseinket szobahőmérséklethez közeli hőmérsékleteken végezzük, érvényes, hogy 
, így az egyenletben az exponenciális tag mellett az „1” elhanyagolható, mivel a félvezetők jellemző tiltott sávszélessége 
nagyságrendű. Ezért jó közelítéssel érvényes, hogy
![\[ I=I_se^{\frac{eU}{kt} }. \]](/images/math/a/7/3/a738095ed4541519d1a47bcf258ead0d.png)
Ha az egyenlet mindkét oldalának a természetes alapú logaritmusát vesszük, akkor az 
összefüggés linearizálható, hiszen
![\[ln I =ln I_s+\frac{e}{kT}U. \]](/images/math/8/8/8/88814faa90c3b80efa94343955c051fb.png)
Ez azt jelenti, hogy ha a hőmérsékletet állandó értéken tartva megmérjük a kollektoráramot különböző bázis–emitter feszültségeknél, majd az áramértékek természetes logaritmusát ábrázoljuk a feszültség függvényében, akkor a pontok egy egyenest adnak. Jelölje a mérési pontokhoz illesztett egyenes meredekségét 
.
![\[ M_U=\frac{e}{kT} \]](/images/math/d/b/e/dbe303f83138bf5e451e17680d13b539.png)
összefüggés, amiből az hányadosra azt kapjuk, hogy
![\[ \frac{e}{k} =M_UT \]](/images/math/7/1/8/718657f25de1d93f7cf2bced52b351ac.png)
A méréshez használt eszközök
- MINISTAT 650 termosztát
- HAMEG digitális multiméter
- HAMEG hármas tápegység
- Mérődoboz az alumínium tömbbe szerelt tranzisztorral és beállító elemekkel.
A mérőberendezés használata
A mérés az 1.ábrán már bemutatott áramkörben történik. Az áramkör és az egyenfeszültséget adó tápegység egy átlátszó műanyag dobozban található, amelyhez a tápfeszültséget az oldallapján levő csatlakozó hüvelyekre kapcsolt 8 V-os egyenfeszültséggel biztosítjuk (2-3.ábrán). Az kollektoráram és az bázis–emitter feszültség mérésére szolgáló műszereket a doboz tetején található hüvelyekhez csatlakoztatjuk, az feszültséget a Pu potenciométerrel változtatjuk.
 |
 |
 |
Mivel az áram erősen függ a hőmérséklettől, a mérésnél a hőmérséklet állandó értéken tartásáról külön gondoskodni kell. A vizsgált tranzisztort tartó alumínium tömbön ezért termosztáttal stabilizált hőmérsékletű vizet áramoltatunk át. A tranzisztor hőmérséklete jó közelítéssel a víz hőmérsékletével egyezik meg, amelyet a termosztát hőmérőjével mérünk. A víz hőmérsékletét a termosztáton található kontakthőmérő segítségével állíthatjuk a kívánt értékre. A mérés a hőmérséklet beállításával kezdődik, az áram–feszültség mérését csak akkor kezdjük el, ha a hőmérséklet kellően stabilizálódott.
Mérési feladatok
- 1. Kb.0.4V-0.5V között 20mV-onként változtatva a bázis–emitter feszültséget, vegye fel az áram–feszültség karakterisztikát 30ºC-on! Ügyeljen arra, hogy a feszültséggel semmiképp ne lépje túl az 1V értéket! Ezután attól a tartománytól kezdve, ahonnan (az exponenciális jelleg miatt) az áram láthatóan gyorsan változik (0.5V környékén várható), sűrítse a mérési pontokat!
Nagyságrendileg mekkora áramokat vár a 0,4V-0,5V intervallumban és mekkorát 0,6 V körül?
A mérést a potenciométer által behatárolt teljes feszültségtartományban végezze el.Ismételje meg a mérést 45, 60, 70, 80 ºC-on ! (A felfűtés után várja ki, amíg a termosztát néhányszori ki-be kapcsolása után biztosan stabilizálódott a tranzisztor hőmérséklete.)
A mérésnél használt multiméter bekapcsolás után automatikus méréshatár üzemmódba áll be. Kis nyitófeszültségnél ez előnyös, mert az ilyenkor folyó nA nagyságrendű áramot is elég pontosan lehet mérni. A dióda nyitása során viszont jelentősen nő az áram, a műszer automatikusan átkapcsol nagyobb mérési tartományba. Mivel a mérőműszer nem ideális, ilyenkor változik a belső ellenállása is!!! Ekkor már a dióda ellenállása is elég kicsi.A két jelenség együttesen azt eredményezi, hogy a mért áram menetében törés keletkezik. Ezt úgy lehet elkerülni,hogy a mérés elején megnézzük, hogy teljes nyitófeszültségnél mekkora áram folyik (a feszültségállító potenciométert az óramutató járásával megegyezően szélső állásba forgatjuk). Az ehhez az áramhoz tartozó optimális méréshatárt állítjuk be a kézi méréshatár állítás üzemmódban. Így a mérés elején kisebb felbontásban mérjük az áramot, de ez nem növeli a mérés hibáját.
- 2. A kapott adatokat ábrázolja az
grafikonon, illesszen egyenest a pontokra, és határozza meg az egyenesek meredekségét!
- 3. A meredekségek mindegyikéből határozza meg az hányadost, átlagolja a kapott értékeket, és becsülje meg a mérés hibáját!
- 4. Számolja ki
értékeit és ábrázolja az 
grafikont!
Irodalom
Aldert van der Ziel: Szilárdtest elektronika, Műszaki Könyvkiadó, 1982
A Planck- és a Boltzmann-állandók hányadosának mérése
A mérés célja:
- Elemi fizikai állandók arányának megállapítása, a hőmérsékleti sugárzás törvényeinek alkalmazása.
Ennek érdekében :
- Megvizsgáljuk egy izzólámpa sugárzásának spektrális eloszlását a volfrámszál hőmérsékletének függvényében.
Ismételje át a Hőmérsékleti sugárzás vizsgálata c. mérés elméleti anyagát. Az alábbiakban annak csak rövid kivonatát ismertetjük.
Elméleti összefoglaló
Valamely test a abszorpcióképessége a testre eső sugárzási energiának az a tört része, amelyet a test elnyel (nem ereszt át, nem ver vissza). (Hasonló módon definiálható a d áteresztő- és az r reflektálóképesség. ) A test e emisszió képességén a test felületének 1 cm2-es darabaja által 1 s alatt az egységnyi térszögben, a felület normálisának irányában kibocsátott fényenergiát értjük.
Mind a, mint e a hőmérsékleten és a λ hullámhosszon kívül nagy mértékben függ a test különböző sajátosságaitól. Azt az ideális testet, amely a rá eső bármely hullámhosszúságú sugárzást teljesen elnyeli, abszolút fekete testnek hívjuk. Ennek abszorpcióképessége tehát 
= 1, emisszió képességét pedig jelöljük -vel.
Az 
viszony minden testnél ugyanaz, és csak λ-nak és -nek a függvénye:
Az 
kifejezés tehát megadja a fekete test által kisugárzott energia hullámhossz szerinti eloszlását a hőmérséklet függvényében. Ez Kirchhoff törvénye. Kiemeljük, hogy a törvény nemcsak az összes sugárzásra, hanem minden egyes hullámhosszra igaz.
A fekete test hőmérséklet- és hullámhosszfüggését a Planck-féle sugárzási törvény adja meg:
![\[ E(\lambda)d\lambda =2c^{2}h\frac{ \lambda^{-5} }{e^{\frac{ch}{\lambda k T} } -1} d\lambda \]](/images/math/7/6/c/76c9134284fbcd0888fffd6ab1494e6b.png)
ahol
- c a fény sebessége,
- λ a hullámhossz,
- k a Boltzmann-állandó,
- T a sugárzó test abszolút hőmérséklete.
A kifejezés jelentése: a fekete test által kisugárzott energia értéke adott hőmérsékleten a 
, hullámhossz intervallumban. A fekete test sugárzását leíró összefüggések nem tartalmaznak semmilyen anyagi állandót, ezért az abszolút fekete test a sugárzások mérésének sugárforrás-standardja. Az abszolút fekete test gyakorlati megvalósításának nehézségei és nehezen mérhető spektrális eloszlása miatt az abszolút fekete test helyett sztenderd volfrámszálas lámpát szokás használni.
Esetünkben a volfrám hőmérsékleti sugárzásának energia eloszlását az alábbi megfontolások alapján adhatjuk meg:
A mérésben előforduló hőmérsékleti sávban (300 K- 3000 K) a Planck-féle sugárzási törvény ( (1) -es képlet) nevezőjében szereplő „1” elhanyagolható, és így ez a Wien-féle közelítésbe megy át:
![\[ E(\lambda)d\lambda = 2c^{2}h\lambda^{-5}e^{-\frac{ch}{\lambda kT} }d\lambda \]](/images/math/9/7/1/971f7bc263dcee30505f9a087a17d75d.png)
Felhasználva, hogy
![\[ e(\lambda,T)=a(\lambda,T)E(\lambda,T), \]](/images/math/c/0/1/c0140ac2ee351d9c9bebb46b695ecc23.png)
![\[ e_\lambda d\lambda = a(\lambda,T)2c^{2}h\lambda^{-5}e^{\frac{ch}{\lambda kT} } \]](/images/math/1/b/3/1b3bd0eaaa2383025632f012d4928b6b.png)
ahol 
a volfrám abszorpcióképessége Ez 1000 és 1800 ºC között jó közelítéssel állandónak vehető a mérésben használt hullámhosszak esetén.
A mérés elve
Egy volfrámsugárzó hullámhossztartományba eső 
intenzitása (4) alapján a következő:
![\[ I:\lambda(T) = C_\lambda a(\lambda,T)2c^{2}h\lambda^{-5}e^{\frac{ch}{\lambda kT} } \]](/images/math/4/4/a/44aa571c64711eac9231a681f20e7fc6.png)
ahol 
az arányossági tényező.
Az (5) összefüggés mindkét oldalának természetes alapú logaritmusát véve:
![\[ ln I_\lambda (T) = A-\frac{B}{T} \]](/images/math/3/c/d/3cd4827ec15beab0096807971d893ed7.png)
ahol
![\[ A = ln C_\lambda a(\lambda,T)2c^{2}h\lambda^{-5}, \]](/images/math/d/f/4/df456c61f050ce822235e5f774a1216e.png)
![\[ B = \frac{ch}{k\lambda} \]](/images/math/b/2/4/b24ad1bdff77da877d08467a63f6c61c.png)
A volfrámizzó fényéből kiszűrt, adott színű fény intenzitását és a szál hőmérsékletét mérve, a kapott adatokból az 
egyenes meredekségét meghatározva, λ ismeretében lehet a 
értékét kiszámítani.
Az izzószál hőmérsékletét az átfolyó áram és a rajta eső feszültség mérésével, ellenállásának kiszámításával az alábbi, a mérési tartományunkban érvényes közelítő polinom segítségével állapítjuk meg:
A méréshez használt eszközök
- volfrámszálas izzólámpa 12 V, 35W, (lámpaházban, kivezetésekkel), optikai padon csúsztatható
- 4 színszűrő optikai padra erősítve
- OHMEG ST-255 tápegység
- 2 db HAMEG multiméter
- GOM-802 milliohm-mérő
- Fényintenzitás-mérő (Luxmérő)Voltcraft MS-1300
 |
 |
 |
A színszűrők hullámhossz-adatai: Sárga: 570±60 nm Narancs: 650±90 nm Zöld: 540±40 nm Kék: 470±60 nm
Mérési feladatok
- 1. Mérje meg az izzó hidegellenállását! A lámpaház végénél a vezetékeken levő két banánhüvelyt kösse össze a GOM-802 milliohm-mérővel (négyhuzalos ellenállásmérés!), a leolvasott érték az izzó hideg ellenállása. Ügyeljen arra, hogy a csatlakozások biztos kontaktust adjanak. Ne felejtse el feljegyezni a laboratórium hőmérsékletét!
- 2. A lámpát árammérő közbeiktatásával kösse rá a tápegységre, és a lámpaház mögötti két banánhüvelyen mérje az izzón eső feszültséget! Győződjön meg arról, hogy a tápegység kimeneti feszültsége 0V-ra van állítva, majd kapcsolja be a tápegységet! A tápegység feszültségének szabályozásával az izzón eső feszültséget állítsa 2 V-ra. Ezt az értéket jegyezze fel az izzón átfolyó árammal együtt! Tolja az izzót és a fénymérőt tartalmazó állványt egymás után az egyes színszűrőkhöz, és olvassa le mindegyiknél a fénymérő által jelzett értéket. A fénymérő lux-ban (fotometriai mértékegység)méri a fényintenzitást, de a számértékére nem lesz szükségünk, mivel csak a logaritmált függvény meredekségét vizsgáljuk.
- 3. Végezze el a 2. feladatot az izzón eső feszültség 12 V-ig, voltonként való növelése mellett. Minden feszültség beállításnál olvassa le az izzón átfolyó áramot is, és ebből számolja az ellenállást Ohm törvényével! Így mind a négy színhez kap egy
adatsort.
- Mit vár, a szűrőkön áthaladó sugárzások intenzitásai hogyan aránylanak egymáshoz? Az adatok elemzése alátámasztja-e ezt a várakozást. Ha nem, akkor mi lehet a magyarázata az eltérésnek?
- 4. Ábrázolja mind a négy színszűrő esetében az
adatokat 
függvényében. Illesszen a pontokra egyenest, és a színszűrők hullámhossz-adatai alapján az egyenesek meredekségéből számítsa ki értékét mind a négy esetben. Számítsa ki ezek átlagát, és vesse össze eredményét a arány irodalmi értékével.
A mérés folyamán ügyeljen arra, hogy az izzóra ne jusson 12V-nál nagyobb feszültség! (A mérőszoba teljes besötétítésével biztosítsa, hogy a fénymérőbe csak az izzó fénye jusson!)
Irodalom
Budó Ágoston–Mátrai Tibor: Kísérleti fizika III. 304-307.§.
A hőmérsékleti sugárzás vizsgálata c. mérés leírása
