Zaj mint jel
A mérés célja
Különböző mennyiségek mérésénél általában a vizsgált mennyiség várható értékére vagyunk kíváncsiak, és a várható érték körüli fluktuációt zavaró tényezőnek tekintjük. Sok esetben viszont egy fizikai mennyiség zaja több információt hordoz a rendszerről, mint maga a várható érték [1]. A mérési gyakorlatok alkalmával különböző zajjelenségeket vizsgálunk egy mérőrendszer segítségével. Az első mérési alkalom során megismerkedünk a jelfeldolgozás alapjaival, majd ellenállások termikus zajának mérése alapján meghatározzuk a Boltzmann-állandó értékét. A második mérési alkalmon egy félvezető dióda zajának méréséből az elektrontöltés értékét határozzuk meg, majd megvizsgálunk egy 1/f jellegű zajspektrumot mutató rendszert.
Elméleti összefoglalás
A zaj definíciója
 |
| 1. ábra. Időben változó fizikai mennyiség időbeli fluktuációi. |
Egy időben változó mennyiség (pl. 
áram, lásd 1. ábra) mérésekor definiálhatjuk a mért mennyiség időbeli átlagát, 
, illetve az átlagtól vett eltérést, 
. A zajt jellemezhetnénk egyszerűen az áram szórásnégyzetével, 
, azonban ekkor nem vennénk figyelembe hogy mérőrendszerünk csak véges sávszélességgel tud mérni, azaz egy bizonyos határfrekvencia fölött már nem tudjuk felbontani a jel időbeli fluktuációit. Ezért célszerű a zaj értékét a 2. ábrán szemléltetett módon egy bizonyos frekvenciasávra vonatkoztatni: az jelet egy 
középfrekvencia körüli 
szélességű sáváteresztő szűrőn keresztül mérjük, azaz csak az adott frekvenciasávra jellemző 
szórásnégyzetet mérünk.
 |
| 2. ábra. Időben változó mennyiség fluktuációinak mérése véges sávszélességgel. |
Az így kapott szórásnégyzet kis esetén arányos a sávszélességgel, az arányossági tényezőt pedig a zaj spektrális sűrűségének nevezzük:
![\[\left<(\Delta I(t|f_0,\Delta f))^2\right>=S_I(f_0)\Delta f.\]](/images/math/3/3/f/33ff88a562de7a830d972009efd5d850.png)
Áramzaj esetén az 
spektrális sűrűség mértékegysége 
. A mérnöki gyakorlatban gyakran a spektrális sűrűség négyzetgyökével jellemzik egy eszköz zaját 
mértékegységgel.
![\[\left<(\Delta V(t|f_0,\Delta f))^2\right>=S_V(f_0)\Delta f.\]](/images/math/8/9/a/89add176c6c234d68ca1a7b6097619e0.png)
Egy egyszerű ellenállás esetén 
, azaz 
. Egy nemlineáris eszköznél, például egy diódánál 
, ahol 
az eszköz differenciális ellenállása a mérésnél alkalmazott munkapontban.
Spektrumanalízis
Egy időben változó jel spektrumát a Fourier-transzformáció segítségével ismerhetjük meg.
![\[f(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}F(t)e^{-i\omega t}dt.\]](/images/math/8/5/e/85ef324eb4aa203303778f249b1a850f.png)
Azonban a gyakorlatban a méréseket véges időintervallumban végezzük. A véges ideig mért jel spektrumára gyakorlatilag úgy tekinthetünk, mintha az a T ideig mért jel periodikus kiterjesztésének a spektruma lenne. Ha a mért jelünk a T időablakban nem periodikus, akkor a periodikusan kiterjesztett jel az időablak határain ugrásokat mutathat, melyek miatt fals nagyfrekvenciás komponensek jelennek meg a spektrumban. Ezen probléma kiküszöbölésére olyan ablakfüggvények használatára van szükség, amelyek a mérési intervallum szélén eltűnnek. A Fourier-transzformációt tehát a vizsgált jel és az ablakfüggvény szorzatán végezzük
![\[f_W(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}W(t)F(t)e^{-i\omega t}dt,\]](/images/math/3/5/8/358e08414d5fd63a56b0bd3f383c0404.png)
ahol 
súlyfüggvény egy T időablakon kívül zérus.
A Fourier-transzformált amplitúdó- és frekvenciapontossága, valamint a spektrális szivárgás mértéke az ablakfüggvény választásától függ. Ezen tulajdonságokra, valamint az ablakfüggvények alaposabb leírására a Méréstechnika tantárgy keretein belül került sor. Emlékeztetőül a 3. ábrán látható a mérés során használt kétféle ablakfüggvény.
 |
| 3. ábra. Hanning és Flat Top ablakfüggvények. |
Ezen kívül a gyakorlatban a mért jelet nem folytonosan, hanem diszkrét pontokon mintavételezzük, így arra van szükség, hogy az ablakfüggvénnyel szorzott jel integrálját ennek megfelelően egy diszkrét összeggel közelítjük:
![\[f_W(\omega)=\sum_{n=0}^{N-1}F(n\Delta t)W(n\Delta t)e^{-i\omega n\Delta t}\Delta t,\]](/images/math/8/1/e/81e072541760e95c8c13a9926ef052ec.png)
ahol 
a két diszkrét mintavételezés között eltelt idő (a mérési idő 
). A diszkrét pontokon felvett függvény spektrumát diszkrét Fourier-transzformációnak (DFT) nevezzük.
Egy feszültségjel diszkrét Fourier-transzformáltjának abszolútérték-négyzetét a jel teljesítményspektrumának (PS, Power Spectrum) nevezzük. A mérést N diszkrét ponton végezve (DFT), illetve beszorozva azt egy W(t) ablakfüggvénnyel a kifejezés a következőképpen alakul:
![\[PS=|f_W(\omega)|^2=|\sum_{n=0}^{N-1}V(n\Delta t)W(n\Delta t)e^{-i\omega n\Delta t}\Delta t|^2.\]](/images/math/d/e/c/decb08682c6f0bb4ad7bec82a7bcbadf.png)
A mérés során a zaj jellemzésére fontos spektrum, a fentebb bevezetett 
spektrális sűrűség (PSD, Power Spectral Density). A spektrális sűrűség a fenti, kísérleti definícióján kívül leírható a feszültség átlagtól való eltérésének 
a Fourier-transzformáltja abszolútértékének négyzetével is:
![\[PSD=S_V(\omega)=\lim\limits_{T->\infty}\frac{2}{T}|\int_{-T/2}^{T/2} dt \Delta V(t)e^{-i\omega t}|^2\]](/images/math/7/6/0/76059eb42af8bd17da6f2190c2ae42d5.png)
Mindezt a gyakorlatban diszkrét mérési pontokra számíthatjuk ki, és így W(t) ablakfüggvénnyel a következő formát ölti:
![\[S_V(\omega)\approx\frac{2}{\sum_{n=0}^{N-1}W^2(n\Delta t)\Delta t}|\sum_{n=0}^{N-1} W(n\Delta t) V(n\Delta t)e^{-i\omega n\Delta t}\Delta t|^2=\frac{2\Delta t}{\sum_{n=0}^{N-1}W^2(n\Delta t)}|\sum_{n=0}^{N-1} W(n\Delta t) V(n\Delta t)e^{-i\omega n\Delta t}|^2.\]](/images/math/1/f/5/1f508caab4527a8f9648bb3346fa7724.png)
A gyakorlatban használt spektrumanalizátorok ezt a számítást végzik el akkor, amikor a mintavételezett feszültség értékekből legyártják a jel zajspektrumát. Az így a feldolgozott jel amplitúdóját a W(t) ablakfüggvény ismeretében kaphatjuk vissza.
A kapott zajspektrumot a teljes frekvenciatartományra kiintegrálva a kísérleti definíció alapján a feszültség szórásnégyzetét kapjuk:
![\[\langle(\Delta V(t))^2 \rangle=\int_{0}^{\infty} df S_V(f).\]](/images/math/7/7/0/770f54409d1421821777633436868b47.png)
A fentiekben a legfontosabb összefüggések kerültek bemutatásra, azonban a spektrumanalízisről szükséges részletes tudnivalók összefoglalója elérhető a Méréstechnika c. tárgy Spektrumanalízis szerkesztőlap fejezetéről készített szöveges összefoglalóban.
Aliasing jelenség
A DFT a mért jel spektrumát 
és 
frekvenciák közötti diszkrét pontokon értékeli ki. A Nyquist-Shannon mintavételezési törvény értelmében mintavételezési idővel legfeljebb 
maximális frekvenciáig lehetséges a jel rekonstrukciója. Ez a gyakorlatban azt jelenti, hogy a mintavételezési frekvenciát legalább kétszer akkorára kell megválasztani, mint a jel legmagasabb frekvenciakomponense. Azonban felmerül a kérdés, hogy ha mégsem így történik, akkor az -nál nagyobb frekvenciakomponenseket tartalmazó jelnél mi történik a magas frekvenciakomponensekkel.
Vizsgáljunk egy 
frekvenciájú tiszta szinuszos jelet, és Fourier-transzformáltját:
![\[F(t)=A_0e^{i\omega_0t},\]](/images/math/6/c/c/6cc4cde7ae170df63a2c439ab120a41a.png)
![\[f(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}A_0e^{i\omega_0t}e^{-i\omega t}dt=A_02\pi\delta(\omega-\omega_0).\]](/images/math/8/8/7/88791b26a657f44c0a4a149987bb78bc.png)
A jel Fourier-transzformáltja tehát a várakozásnak megfelelően egy Dirac-delta. Most nézzük meg, hogy a DFT számolása során hogyan változik a spektrum meghatározása a gyakorlatban. Fontos megjegyezni, hogy egy adatgyűjtő kártya vagy oszcilloszkóp alapvetően időközönként -nél jóval rövidebb ideig mintavételez, és nem az történik, hogy ideig átlagolja a jelet.
![\[DFT(\omega_k)=\sum_{n=0}^{N-1}A_0e^{i\omega_0n\Delta t}W(n\Delta t)e^{-i\omega_k n\Delta t}\Delta t.\]](/images/math/7/7/4/77454b64a192deb67b7e8ea793f4485d.png)
Vegyük észre, hogy
![\[DFT(\omega_k)=DFT\left(\omega_k+\frac{2\pi m}{\Delta t}\right),\]](/images/math/f/d/3/fd376985dc4b0bb692451f12d2b4dc6c.png)
ahol 
egész szám. Másrészt
![\[DFT(\omega_k)=DFT^*(-\omega_k),\]](/images/math/5/e/6/5e6d6b14e0209e2955a599f2e5c37a67.png)
azaz
![\[\left|DFT(\omega_k)\right|=|DFT(-\omega_k)|.\]](/images/math/8/0/d/80ddbb4ed0ee9ca1958dfae37b6c7c3e.png)
Így belátható, hogy tetszőleges magas körfrekvenciájú jelet úgy látunk, mintha az a ![\setbox0\hbox{$\left[0,\omega_{max}=\dfrac{2\pi}{2\Delta t}\right]$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/1/d/5/1d5edc142dda0da53e19be6704cd946e.png)
tartományban lévő jel lenne a saját 
amplitúdójával, lásd a 4. ábrát.
 |
| 4. ábra. A mért adatpontok két, különböző frekvenciájú szinuszjelnek felelhetnek meg, és így fals frekvenciakomponens okoznak a diszkrét Fourier-spektrumban. |
Ezt a jelenséget aliasingnak, azaz magas frekvenciájú komponensek beszűrődésének nevezzük. Fontos megjegyezni, hogy az aliasing kialakulásának az oka a DFT diszkrét mintavételezése, és független a mérési pontok 
számától. Beláttuk, hogy a gyakorlatban a magas frekvenciájú jelek fals spektrumot okozhatnak, így gondoskodni kell kiszűrésükről egy aluláteresztő szűrővel. A gyakorlatban a legtöbbször az erősítők, vagy a mérőkártyák rendelkeznek beépített anti-aliasing szűrővel, ami a maximális frekvencia fölött rendszerint élesen levágja a spektrumot, ezzel megakadályozva, hogy a sávszélességen kívüli jelek a spektrumanalizátorba jussanak.
Zajmérésnél folytonos frekvenciaeloszlást látunk, és az egyes frekvenciakomponensek egymástól független fázisúak, így a magas frekvenciáról aliasing miatt lekonvertált frekvenciakomponensek teljesítménysűrűsége, azaz a Fourier transzformált abszolút érték négyzete hozzáadódik a valós, adott frekvencián mérendő zajsűrűséghez. Matematikailag úgy fogalmazhatjuk meg, hogy a 
frekvenciatartományokban lévő komponensek az 
frekvencián jelennek meg a spektrumban, míg a 
tartományokban lévők a 
frekvencián.
Ez leginkább úgy képzelhető el, mint a magas frekvenciás tartományok 
-einek a ![\setbox0\hbox{$[0,\omega_{max}]$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/5/8/9/589da9a19c34b829d19740c9873851cf.png)
intervallumra történő visszahajtogatása (5. ábra). Az fölötti részt visszahajtjuk ![\setbox0\hbox{$[-\infty; \omega_{max}]$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/7/e/1/7e1583c668f4dc9fea3cf73d3c7fb0ab.png)
intervallumra. Majd ezt a visszahajtott spektrumot 
-nél előrehajtjuk, stb. Ezt mindaddig folytatjuk, amíg minden jelentős frekvenciakomponenst be nem hajtottunk a intervallumba.
 |
| 5. ábra. Anti-aliasing szűrő alkalmazásának szemléltetése. |
Zajtípusok
Puskalövések zaja
A zaj fogalma egy klasszikus példával is jól szemléltethető, nézzük meg hogy mi történik ha egy puskából véletlenszerűen lövöldözünk, úgy hogy a lövések időpontja egymástól teljesen független. Ha a szomszédos lövések között eltelt átlagos idő 
akkor idő alatt a lövések átlagos száma értelemszerűen 
. A tényleges lövésszám azonban nyilvánvalóan fluktuálni fog az átlagérték körül. A szórásnégyzet meghatározásához érdemes kiszámolni a 
valószínűséget, azaz annak a valószínűségét, hogy idő alatt lövés dördül. Ha értékét ismerjük, akkor 
értéke a
![\[P_N(\Delta t+dt)=P_{N-1}(\Delta t)\frac{dt}{\tau}+P_N(\Delta t)\left(1-\frac{dt}{\tau}\right)\]](/images/math/3/f/4/3f4062d58cc637d85054d98f2b6b3f49.png)
egyenlettel írható fel, azaz a kezdeti és az utána következő 
idő alatt vagy 
ill. 
vagy ill. lövés dördül. A megfelelő valószínűségeket a lövések függetlensége miatt szorozhatjuk össze.
A fenti egyenlet átrendezésével a
![\[\frac{dP_N(\Delta t)}{dt}=\frac{P_{N-1}(\Delta t)-P_N(\Delta t)}{\tau}\]](/images/math/b/6/4/b64ef404ea69d3816419cfebef01952b.png)
differenciálegyenletet kapjuk. Megmutatható, hogy ezen feltételt a
![\[P_N(\Delta t)=\frac{(\Delta t)^N}{\tau^N N!}e^{-\Delta t/\tau}\]](/images/math/f/b/b/fbb852541ecee469bb9e8e91c30241fe.png)
Poisson eloszlás elégíti ki. A Poisson eloszlás speciális tulajdonsága, hogy a szórásnégyzet megegyezik a várható értékkel, azaz
![\[\left< (\Delta N)^2 \right>=\left< N \right>=\frac{\Delta t}{\tau}.\]](/images/math/c/9/2/c925d13d542008c08786e26fc2259b03.png)
Elektronok sörétzaja
A fenti gondolatmenetet vonatkoztathatjuk elektronokra is ha teljesül az, hogy az elektronok véletlenszerűen, egymástól függetlenül jutnak át az egyik elektródából a másikba. Tegyük fel, hogy mérőrendszerünkkel az elektromos áramot időbeli felbontással tudjuk mérni. Egy szélességű mintavételezési intervallum alatt 
áramot detektálunk ahol a idő alatt áthaladó eletronok számának eloszlását a fenti Poisson eloszlás adja meg. Így a mért áram várható értéke 
, míg az áram szórásnégyzete 
.
Az eddigiekben feltettük, hogy a az az időtartomány, amelyen belül az elektronok számának várható értéke és szórásnégyzete megegyezik. Ha egy ilyen időablakra átlagolunk egy jelet, az a konvolúció egy olyan szűrőként viselkedik a frekvenciatérben, melyen keresztül fehér zajt mérve az áram szórásnégyzete egyenlő lesz egy 
tökéletes sávszűrőn mért szórásnégyzettel. Ennek a részletes levezetése a Méréstechnika tárgy Poisson zaj szerkesztőlap jegyzetében található.
Ez alapján az áram szórásnégyzete:
![\[\left< (\Delta I)^2 \right>=\int_0^{f_\mathrm{max}}S_I(f)df=2e\left< I \right>\cdot f_\mathrm{max},\]](/images/math/0/2/d/02d4546bad22d8b92bbfec96ba35ed53.png)
azaz:
![\[S_I=2e\left< I \right>.\]](/images/math/1/a/c/1ac0f27491897d7a5c456a1b44bb8271.png)
A puskagolyós analógia alapján az elektronok diszkrét töltéséből adódó áramzajt sörétzajnak szokták nevezni. Fontos megemlíteni, hogy a fenti képlet alapján a sörétzaj fehér zaj, azaz a spektrális sűrűség frekvenciafüggetlen. Az előbbiekben levezetett zajformula a sörétzajnak is egyik speciális esetét írja le, az ún. Poisson zajt, mely egymástól független elektronok detektálására vonatkozik. A kvantummechanikából ismert Pauli elv szerint két elektron nem lehet ugyan abban az állapotban, azaz egy adott időpontban nem tudunk két teljesen egyforma állapotú elektront detektálni. Egy makroszkópikus vezetőben az elektronok nem egymástól függetlenül, hanem inkább sorban egymást követve érkeznek az árammérőhöz, így a fenti zajformula nem érvényes. Azonban a Poisson zaj feltételét megvalósíthatjuk akkor, ha az elektronok útjába egy olyan akadályt helyezünk, melyen véletlenszerűen az elektronoknak csak egy kis része tud keresztüljutni (6a. ábra).
Az első sörétzaj-mérést Walter Schottky végezte 1918-ban [2]: híres kísérletében egy vákuumdióda anódáramának zaját vizsgálta. A vákuumdióda felépítését a 6b. ábra szemlélteti. Egy fűtött katódból véletlenszerűen kilépő elektronok a katód és anód közé kapcsolt feszültség hatására eljutnak az anódba, ahol áramot detektálunk. A vákuumdióda ideális eszköz a sörétzaj tanulmányozásához, hiszen az elektronok valóban véletlenül, és egymástól függetlenül emittálódnak, így a mért zajsűrűség és az áram hányadosából az elektrontöltés a Poisson zaj formulája alapján meghatározható.
 |
 |
| 6a. ábra | 6b. ábra |
Poisson zajt modern elektronikai eszközökben is tapasztalhatunk, például egy diódát alkotó félvezető p-n átmenet is biztosítja az elektronok véletlen és független emisszióját megfelelően kicsi áram esetén.
Termikus zaj
Az előbbiekben bemutatott sörétzaj egy nemegyensúlyi zaj, melyet csak akkor tapasztalunk, ha a vizsgált áramköri elemen áramot folyatunk keresztül. Zajt azonban egyensúlyi állapotban is tapasztalhatunk pusztán az elektronok termikus fluktuációi miatt. A termikus zaj megértése komolyabb elméleti hátteret igényel (részletes levezetés a Méréstechnika tárgy Termikus zaj szerkesztőlap jegyzeténél megtekinthető), azonban maga a jelenség egy nagyon egyszerű formulával leírható: egy 
elektromos ellenállással rendelkező áramköri elemen
![\[S_V=4k_B T\cdot R\]](/images/math/8/5/0/8500771d360277ebaf7f4f7c0a6fef77.png)
feszültségzaj-sűrűséget mérhetünk attól függetlenül, hogy pontosan milyen fizikai rendszer adja az ellenállást.
A termikus zaj szintén fehér zaj, azaz a zajsűrűség nem függ a frekvenciától.
Ezen jelenség segítségével a 
hőmérséklet és az ellenállás ismeretében a feszültségzaj méréséből a Boltzmann-állandó meghatározható.
1/f zaj
A termikus zaj és a sörétzaj mellett érdemes megemlékezni az 1/f zajról, mely a zajsűrűség tipikus 
jellegű frekvenciafüggéséről kapta a nevét. (
)
Az 1/f zaj tipikusan alacsonyfrekvenciás méréseknél dominál, míg magasabb frekvenciákon a termikus zaj, illetve bizonyos eszközökben a sörétzaj a legfontosabb zajforrás. Ezen zajtípus forrása számos fizikai folyamatból származó ellenállásfluktuáció lehet. Ilyen fizikai folyamat például a szennyezők és rácshibák véletlen mozgása, vagy egy térvezérelt tranzisztorban a kapuelektróda alatti dielektrikumban lévő töltéscsapdák hatása a töltéshordozókra.
Az 1/f zaj a sörétzajhoz hasonlóan nemegyensúlyi zaj, a spektrális sűrűség a feszültség növelésével nő. Ha feszültségzajt mérünk konstans árammeghajtásnál, akkor 
alapján:
![\[S_V(f_0)=\left< (\Delta V(t|f_0,\Delta f))^2 \right> / \Delta f=I^2 \cdot \left< (\Delta R(t|f_0,\Delta f))^2 \right> / \Delta f= I^2 \cdot S_R\]](/images/math/3/d/6/3d610d0e314ff557fb72c95b2aea3310.png)
Azaz, mivel az 1/f zaj alapvetően ellenállásfluktuációból eredő ellenállászaj, ezért az Ohm törvény alapján az 1/f zaj miatti feszültségzaj a meghajtó áram négyzetével skálázódik!
Egyéb zajforrások
Az eddigiekben csak a vizsgált rendszerünk belső zajáról beszéltünk, azonban zajmérésnél mindig fontos a külső forrásokból adódó elektromágneses zavarokra is gondolni. Egy áramkör kapacitív vagy induktív csatolással könnyen felvesz zajt a környezetből például az elektromos hálózat 50 Hz-es frekvenciájánál, monitorok képernyőjének frissítési frekvenciájánál, kapcsoló üzemű tápok működési frekvenciájánál, vagy akár rádióállomások, mobiltelefonok sugárzási frekvenciájánál. Ezen zavaró tényezők kiküszöbölésének alapvető módszere a vizsgált áramkör árnyékolása: alacsony jelszintű méréseknél mindig árnyékolt kábeleket, illetve fém dobozba zárt áramköröket érdemes használni.
Mérési elrendezés
A méréshez használt eszközök
- A méréshez egy NI myDAQ adatgyűjtő kártyát használunk használunk. A kártya 200 kS/s sebességgel képes mintavételezni, illetve a továbbiak szempontjából fontos tulajdonsága, hogy nem rendelkezik anti-aliasing szűrűvel. Részletes specifikációk és leírás a műszer adatlapjában érhető el. A műszer egy analóg bemenetére (AI1) és egy analóg kimenetére (AO1) BNC csatlakozókat rögzítettünk a vizsgált rendszerek egyszerűbb csatlakoztatása céljából.
- Az adatgyűjtő kártya USB porton keresztül csatlakozik a számítógéphez, ahol a jelet az NI ELVISmx programcsomagban található spektrumanalizátor (Dynamic Signal Analyzer) segítségével dolgozzuk fel. A program részletes használati útmutatása lentebb olvasható.
- Az alacsony zajszintek felerősítéséhez egy Femto DLPVA 100-F-S erősítőt használunk. Az erősítő kelezőfelülete a 7. ábrán látható. Az erősítő AC- vagy DC-csatolásban használható. Az erősítő alaperősítése 20 dB, további 60 dB (40 dB + 20 dB) erősítés opcionális. Az erősítési tartomány 1 kHz vagy 100 kHz közül választható. A választott frekvencia fölött egy beépített aluláteresztő szűrő levágja az erősített jelet.
- A feszültségerősítő bemeneti zaja - specifikációja alapján - 80 dB erősítés esetén
. Ez azt jelenti, hogy az erősítő bemenetét rövidre zárva a várt zérus feszültség helyett az erősítő saját feszültségzaját látjuk, melynek a szórása 5,5 nV az 1 Hz-es sávszélességű mérés esetén. Ennél kisebb feszültségzajt így ezzel az erősítővel nem tudunk mérni.
- Méréseink során 80 dB-es erősítést és 100 kHz-es sávszélességet használjunk, és mindig figyeljünk oda, hogy ne kerüljön az erősítő overload-ba. Ezt egy piros LED égő kigyulladása jelzi.
 |
| 7. ábra. A mérésekhez használt Femto DLPVA 100-F-S feszültségerősítő. |
- Mivel az erősítőbe épített 100 kHz-es sávszélesség a mérések szempontjából túl nagy, ezért egy lezárható alumínium dobozban található harmadrendű RLC aluláteresztő szűrőt építünk be az erősítő után, mely alacsonyabb levágási frekvenciával rendelkezik. A doboz oldalán lévő két BNC csatlakozó a be-, illetve kimenetet biztosítja.
- Több mérési feladat során vizsgálunk, vagy használunk harmonikus jeleket, melyeket egy Siglent függvénygenerátorból adunk ki. A beállított jel a kimeneti BNC csatlakozó feletti Output gomb megnyomásával kerül a kimenetre. A jel amplitúdójának beállításánál ügyeljünk a mértékegységre (
, 
, 
).
- A méréshez rendelkezésre álló további eszközök:
- Egy BNC csatlakozóval rendelkező, árnyékolásra szolgáló alumíniumdoboz a termikus zaj méréséhez,
- Három BNC csatlakozóval, továbbá egy 9V-os elemmel és a hozzá tartozó kapcsolóval rendelkező alumíniumdoboz az elektrontöltés meghatározásához és a szénszál vizsgálatához. Kérjük győződjön meg arról, hogy a mérőgyakorlat befejeztével a tápkapcsolót kikapcsolt állapotban hagyta. Ezen dobozon belül a megfelelő kapcsolások összeállítása a hallgató feladata.
- Az 1/f zaj mérés alanyaként szolgáló szénszálköteg egy különálló feketére festett alumíniumdobozban található. A dobozt megtekintés céljából ki lehet nyitni, a dobozon belül azonban nincs szükség semmilyen műveletre.
- Ellenállások, kondenzátorok, BNC-BNC toldó, BNC csatlakozós koax kábelek.
- A méréstechnikában ökölszabály, hogy egy alacsony szintű jel a lehető legrövidebb kábellel jusson az erősítőhöz. Ezért a mérési összeállításban a mérni kívánt rendszert tartalmazó doboz megfelelő kimenetét közvetlenül az erősítőhöz csatlakoztatjuk egy BNC-BNC toldó segítségével. A a felerősített jelet az aluláteresztő szűrőn keresztül a mérőkártyához. Bizonyos méréseknél az erősítőt és/vagy az aluláteresztő szűrőt kihagyjuk a mérési összeállításból, azonban ezt minden alkalommal jelezi a feladatleírás.
A termikus zaj mérésének elve
A termikus zaj mérésénél a mérni kívánt ellenállást közvetlenül az erősítőre kötve mérjük meg. A megfelelő árnyékolás érdekében viszont a rendelkezésre álló egy BNC csatlakozóval rendelkező dobozba rögzítjük be, a BNC csatlakozó belső pontja és földpontja közé. A BNC csatlakozót egy BNC-BNC toldó segítségével közvetlenül az erősítő bemenetére kötjük és ebben az elrendezésben mérjük az ellenállás feszültségzaját. Mivel a mért termikus zaj összemérhető az erősítő bemeneti zajával (
) ezért a mért zaj a termikus zaj és az erősítő bemeneti zajának összege lesz:
![\[S_V=4k_B T\cdot R + S_0.\]](/images/math/a/b/d/abd2e7c79dbc44dd178c08da8a388ecc.png)
Ha a mérést több ellenálláson is megismételjük akkor az 
függvény meredekségéből a szobahőmérséklet ismeretében megkapjuk a Boltzmann-állandó értékét, a tengelymetszetéből pedig az erősítő bemeneti zaját.
A sörétzaj mérésének elve
A sörétzaj mérésekor az 8. ábrán bemutatott kapcsolást érdemes alkalmazni. Tápegységként használjunk egy 9 V-os elemet, így a meghajtó feszültségünk zaja kisebb lesz, mint ha bármilyen elektromos hálózatra kötött tápegységet használnánk. A teleppel kössünk sorba egy nagy ellenállást (
) és egy félvezető diódát. Diódaként érdemes egy alacsony zajszintű tranzisztort használni úgy, hogy azt az 8. ábra szerint nyitó irányban a bázis és emitter kontaktusokon keresztül kötjük az áramkörbe és a kollektor elektródát nem használjuk.
 |
 |
| 8. ábra. A mérési elrendezés az elektron töltésének meghatározásához. A dióda differenciális
ellenállásának meghatározásához a piros színnel jelölt elemeket kell bekötni. |
9. ábra. A váltóáramú meghajtással való differenciális ellenállás-mérés szemléltetése. |
A diódán jelentkező feszültségzaj () meghatározásához a 8. ábrán pirossal jelölt részeket egyelőre ne kössük be az áramkörbe. Az elméleti bevezető alapján ismert, hogy a feszültségzaj felírható a következő összefüggéssel:
![\[S_V=S_I \cdot R_\mathrm{d}^2 +S_0=2e\left< I \right> \cdot R_\mathrm{d}^2 +S_0,\]](/images/math/2/8/3/2835161a7536db1a8dd00cfe04424a12.png)
ahol 
a dióda differenciális ellenállása a beállított munkapontban, pedig az erősítő bemeneti zaja. A körben folyó 
egyenáramot könnyen meghatározhatjuk az ellenállás és a rajta eső feszültség mérése alapján. A feszültség- és ellenállás-méréshez használjunk 4.5 digites Goodwill digitális multimétert. Az áram meghatározása után mérjük meg a dióda feszültségzaját.
A következő lépés a dióda differenciális ellenállásának a meghatározása, szemléltetésül a 9. ábra szolgál. Emlékeztetőül a differenciális ellenállás definiciója: A diódára kapcsolt egyenfeszültség egy állandó átfolyó áramot határoz meg, vagyis meghatározza a dióda karakterisztikájának egy pontját, ezt nevezzük munkapontnak. A munkapontban tudjuk definiálni a dióda egyenáramú ellenállását, ami a rákapcsolt egyenfeszültség és az átfolyó áram hányadosa. A feszültség kis változtatásának (modulálás) hatása az áramra attól függ, hogy hol van a munkapont, hiszen a karakterisztika nemlineáris. A dióda differenciális (dinamikus) ellenállásának az adott munkaponti feszültség kis változását és a kialakuló áramváltozás hányadosát nevezzük.
A differenciális ellenállás meghatározásához a függvénygenerátorból egy 
ellenálláson és egy 
kondenzátoron keresztül váltóáramot keverünk a telepből jövő egyenáramhoz, és a mérőrendszerrel megmérjük a váltóáramú feszültségesést a diódán a meghajtó jellel azonos frekvencián. A függvénygenerátorból kiadott jel feszültségszintjét és az ellenállást úgy kell megválasztani hogy a diódán folyó váltóáram effektív értéke az egyenáramnál legalább két nagyságrenddel kisebb legyen. A kapacitás azt a célt szolgálja, hogy a telepből jövő egyenáramból semennyi ne tudjon a függvénygenerátor kimenete felé elfolyni. értékét úgy választjuk meg, hogy a meghajtó frekvencián vett impedancia lényegesen kisebb legyen -nél. Így a differenciális ellenállást
képlet szerint számoljuk, ahol 
diódán folyó váltóáram effektív értéke, 
pedig a diódán mért váltóáramú feszültség effektív értéke. értékét a függvénygenerátorból kiadott váltófeszültség effektív értékének és ellenállásnak a hányadosa, -t pedig a diódán mért teljesítményspektrum meghajtó frekvencián mért effektív amplitúdója adja.
Ha különböző ellenállásokkal (különböző munkapontokban) megmérjük , és 
értékét akkor az 
függvényre egyenest illesztve megkapjuk az elektron töltésének értékét, míg az egyenes tengelymetszete megadja az erősítő bemeneti zajának értékét.
Az 1/f zaj mérésének elve
Az 1/f zaj méréséhez egy szénszálköteget fogunk vizsgálni a 10. ábrán bemutatott kapcsolási elrendezésben. Tápegységként ismét a 9 V-os elemet használjuk. Az egyenáram nagyságának beállításához a teleppel kössünk sorba egy, a vizsgált rendszernél jóval nagyobb ellenállást (), illetve a vizsgált szénszálköteget. (Azért van szükség jóval nagyobb ellenállásra, hogy a rendszer meghajtása áramgenerátoros legyen. Az áramgenerátoros meghajtás ugyanis feltétele a feszültségzaj mérésének.)
 |
| 10. ábra. A szénzálköteg 1/f zaj mérésének elrendezése. A sorba kötött ellenállás értékét a szénszál ellenálláánál jóval nagyobbra kell választani.
|
A soros ellenállás változtatásával az egyenáram értéke pontosan beállítható. A mért feszültségzaj spektrum négyzetes függést fog mutatni az egyenáramtól, hiszen a zaj forrása a rendszer ellenállás-fluktuációja:
![\[S_V(f)= I^2 \cdot S_R(f)\]](/images/math/5/0/4/5042ff7dd976ab25cf7adc1cfa1226b8.png)
A mért spektrumra log-log skálán egyenest illesztve meghatározható az függés pontos kitevője, illetve az 
-re vonatkoztatott zajsűrűség. Az illesztett egyenes extrapolálható egy szélesebb frekvenciatartományra, melyen kiintegrálva a feszültség szórásnégyzete megkapható:
A szórás és a mintán eső feszültség hányadosával meghatározható a rendszerre jellemző jel-zaj arány (Signal-Noise Ratio, CNR):
![\[SNR=\dfrac{\sqrt{\langle(\Delta V(t))^2 \rangle}}{I\cdot R}.\]](/images/math/0/7/3/0732c554cb8f2096405e3c74ce5d274f.png)
A Dynamic Signal Analyzer használata és beállítása
A Dynamic Signal Analyzer program az adatgyűjtő kártya bemenetén mért jel Fourier-spektrumát határozza meg. Kezelőfelületét a 11. ábrán láthatjuk.
 |
| 11. ábra |
- A program kijelzőjén láthatjuk a mért spektrumot decibeles, azaz logaritmikus skálán, míg a frekvenciatengely felosztása lineáris. Ez alatt a kisebb kijelzőn a mérőkártya által mért feszültség időfelbontása látható.
- A kijelző alatti legördülő menüben állítható be, hogy a jel komplex Fourier transzformáltjának négyzetgyökét (teljesítményspektrum, Power Spectrum) vagy a spektrális zajsűrűség (PSD) akarjuk mérni. Belátható hogy a PSD a Fourier transzformált abszolútérték-négyzete megfelelő normálással.
- A mérőprogram teljesítményspektrum amplitúdóját
mértékegységgel, a zajsűrűség amplitúdóját pedig 
mértékegységgel adja meg. Ezeket a kiértékelés során váltsuk át a gyakorlatban használatos , valamint 
mértékegységekre.
- Az Input Settings menüben állítható be mintavételezési csatorna, illetve a mintavételezési feszültségtartomány. Ezek változtatására a laborgyakorlat során nincs szükség.
- Az FFT Settings menüben állítható be a maximális mintavételezési frekvencia (legfeljebb 100 kHz), a frekvenciapontok száma (Resolution), illetve a használni kívánt ablakfüggvény. PSD mérésnél a kis spektrális szivárgást adó Hanning ablakot, míg teljesítményspektrum mérésénél a jó amplitúdópontosságot mutató Flat Top ablakot célszerű használni.
- Az Averaging menüben állítható be az átlagolás módja, illetve az átlagolt eredmények súlyozása. Előbbi esetén négyzetes középértéket (rms), utóbbi esetén lineáris súlyozást használjunk. Szintén itt állíthatjuk be az átlagolt görbék számát, ezt célszerű legalább 100-ra választani Power Spectrum mérésénél, és 500-ra állítani PSD mérésénél.
- A Frequency Display menüben állíthatjuk be a kapott spektrum megtekintésének módját, itt javasoljuk a dB skálán való ábrázolást, illetve az RMS mód használatát.
- A Instrument Control menüben az Acquisition mode legördülő sávban választhatjuk ki, hogy folyamatos legyen a mintavételezés, vagy a beállított görbeszámot követően álljon le.
- A mintavételezést a Run gombbal indíthatjuk, és a Stop gombbal állíthatjuk le.
- Folyamatos mintavételezés esetén a beállított görbeszám elkészülését követően a Restart gomb elérhetővé válik, ekkor az átlagolás befejeződött, és a spektrum kimenthető a Stop gomb megnyomása után. Fontos figyelembe venni ilyenkor, hogy a Run gombbal indított mérés a korábbi adatpontokat beleátlagolja a mérésbe, vagyis folytatja az átlagolást, míg a Restart a korábbi adatpontokat törli, és elölről kezdi az átlagolást. Ezért új méréseket a Restart gombbal kell indítani.
- A Log gomb megnyomásával kiválaszthatjuk, hogy mely fájlba írja ki a program a legutóbb befejeződött mérés eredményét. Kerüljük el, hogy már létező fájl kiválasztását, hiszen ekkor a friss mérési adatok a korábbi adatok után íródnak, így azok visszafejtése meglehetősen nehéz lesz. A mentéshez a D meghajtóban hozzunk létre egy saját mappát.
Mérési feladatok
1. Amplitúdópontosság meghatározása (első mérési alkalom)
Ismerkedjen meg a mérőprogram használatával a leirat A Dynamic Signal Analyzer használata és beállítása alfejezete alapján!
Adjon az Siglent függvénygenerátorból rendre 1 kHz, 4 kHz, 6 kHz, 9 kHz, 11 kHz és végül 14 kHz frekvenciájú, 100 mV amplitúdójú harmonikus jelet közvetlenül a mérőkártya bemenetére. Vizsgálja a teljesítményspektrumot (Power Spectrum) Flat Top ablakkal 5 kHz-ig 3200 frekvenciapontos felbontással. Mit tapasztal? Számítással ellenőrizze, hogy a mért 1 kHz-es komponens amplitúdója megegyezik-e a jelgenerátorból kiadott jel amplitúdójával!
2. Amplitúdópontosság mérése a mérési paraméterek függvényében (első mérési alkalom)
Állítsuk át az N frekvenciapontok számát az összes lehetséges értékere, és mérjük vissza ezekkel a beállításokkal egy 1 kHz frekvenciájú, 100 mV amplitúdójú jel amplitúdópontosságát. Mit tapasztal?
Állítsuk át a programot PSD (Power Spectral Density) mérésre, és használjunk Hanning ablakot. Ismételten vizsgáljuk, hogy a frekvenciapontok számának változtatásával különböző frekvenciafelbontásoknál milyen amplitúdót mérünk! Mit tapasztal?
Szorgalmi feladat: Ismerve a Hanning-ablak függvényét (
) számítsa ki a PSD mérés eredményéből a függvénygenerátorból kiadott jel amplitúdóját!
3. Külső zajok azonosítása (első mérési alkalom)
Azonosítsuk a zajspektrumban jelentkező nagyobb csúcsok forrását! Ehhez a rendelkezésre álló árnyékolás nélküli kábelt csatlakoztassuk a spektrumanalizátorhoz, és a kábelvég mozgatása közben figyeljük meg, hogy hol nő, illetve csökken a spektrumban megjelenő csúcsok amplitúdója. Keressünk jellemző zajfrekvenciákat a számítógép tápegységénél, a monitora körül, a multiméter közelében és értelmezzük azokat!
4. Az erősítő bemeneti zajának kísérleti meghatározása (első mérési alkalom)
Zárja az erősítő bemenetét rövidre, a kimenetét pedig vezesse közvetlenül a mérőkártyára! Mérje meg az erősítő bemeneti zaját 100 kHz-es frekvenciatartományon Hanning-ablakkal! Hasonlítsa össze a mért feszültségzaj-sűrűséget a Femto DLPVA 100-F-S erősítő adatlapjában megadott bemeneti zajával!
5. Az aluláteresztő szűrő átviteli karakterisztikájának meghatározása (első mérési alkalom)
A nagykomponensű jelek kiszűrése céljából használja a rendelkezésre álló aluláteresztő szűrőt! Mérje meg az aluláteresztő szűrő karakterisztikáját az erősítő bemeneti zajának vizsgálatával! Határozza meg a szűrő levágási frekvenciáját! A továbbiakban a szűrővel és a levágási frekvenciának megfelelő mintavételezési frekvenciával mérje meg a zajspektrumokat!
6. A Boltzmann-állandó meghatározása (első mérési alkalom)
Mérje meg különböző ellenállások feszültségzaját, majd illesztésből határozza meg a Boltzmann-állandó és az erősítő bemeneti zajának értékét! A méréshez használjon 1 kΩ-os, 3,3 kΩ-os, 6,8 kΩ-os és 10 kΩ-os ellenállásokat. A méréshez továbbra is Hanning-ablakot használjon! A mérés során számolja ki az adott ellenállásra várt zajsűrűség értékét, és ezt hasonlítsa össze a mért értékkel!
A mért spektrumból csak azokat a tartományokat vegyük figyelembe, ahol egyértelműen termikus zajra utaló fehérzajt látunk. Alacsony frekvencián ettől eltérést okozhat az 1/f zaj, magas frekvencián pedig a szűrő levágása. A spektrumban a környezetben elhelyezett műszerekre jellemző frekvenciáknál csúcsok jelenhetnek meg, ezeket ki kell hagyni az átlagos zajsűrűség számolásánál.
7. Az elektron töltésének mérése (második mérési alkalom)
Állítsuk össze az 8. ábrán szemléltetett kapcsolást (piros rész nélkül) olyan ellenállásokkal, hogy a diódán keresztül nagyjából 1, 3 és 10 μA áram folyjon. Az áram értékét mindig pontosan határozzuk meg az ellenálláson eső feszültség mérése alapján. Mérjük meg a BD139 tranzisztor feszültségzaját a különböző ellenállásoknál (PSD mérés, Hanning ablak). A feszültségzaj meghatározásához átlagoljuk azt a frekvenciatartományt, ahol már lecseng az alacsony frekvenciás 1/f zaj, de még nem kezd el levágni a zajsűrűség az RC időállandók, vagy a szűrő levágása miatt.
Minden ellenállás-értéknél mérjük meg a dióda differenciális ellenállását három különböző váltófeszültség-amplitúdóval, egy fix ellenállással. A mérés során a függvénygenerátorból kiadott 1 kHz-es váltóáramot keverjük a 9 V-os elemből jövő egyenáramhoz egy csatoló kondenzátoron és egy ellenálláson keresztül. A váltófeszültség amplitúdóját és az ellenállást úgy válassza meg, hogy az effektív váltóáram két (~10 nA), három (~1 nA), valamint négy (~0.1 nA) nagyságrenddel kisebb legyen az egyenáram értékeknél. Az ellenállást MΩ-os nagyságrendűnek válasszuk, majd pontos értéke alapján számoljuk ki, mekkora váltófeszültségre van szükség.
A csatoló kondenzátor értéke 100 nF, számítással igazoljuk, hogy ennek 1 kHz-es impedanciája elhanyagolható a váltóáramú kör összes ellenállása mellett.
Az áramkör összeállítása előtt érdemes a függvénygenerátor által kiadott jelet közvetlenül a mérőkártya bemenetére kötni, és megmérni a pontos kimeneti feszültséget (PS, Flattop ablak), majd ebből és az értékéből meghatározni a váltóáram effektív nagyságát. Majd ezt követően csatlakoztassuk az 8. ábrán pirossal jelölt áramköri részt a diódához, és mérjük meg annak teljesítményspektrumát szintén Flat Top ablakkal. A spektrumban lévő 1 kHz-es csúcs adja a diódán eső effektív váltófeszültséget. A diódán eső váltófeszültség és a váltóáram hányadosával a differenciális ellenállás meghatározható.
Ábrázoljuk a mért értékeket 
függvényében (9 mérési pontot kapunk). Az ábrán jelöljük, hogy mely pontok milyen meghajtó váltófeszültséggel lettek mérve, majd a három adatsorra egy-egy egyenes illesztéséből határozzuk meg az elektron töltését és az erősítő bemeneti zaját. Melyik váltóárammal mért adatsor meredeksége adja vissza leginkább az elektrontöltés értékét, és miért?
8. 1/f zaj mérése (második mérési alkalom)
Állítsuk össze az 10. ábrán szemléltetett kapcsolást, és mérjük meg a szénszál feszültségzaját különböző ellenállásoknál úgy, hogy a szénszálon keresztül nagyjából 10, 30, 100, 300, 1000 μA áram folyjon. Az áram értékét mindig pontosan határozzuk meg az ellenálláson eső feszültség mérése alapján. Mérjük meg továbbá a szénszál termikus zaját is, majd a különböző áramoknál mért spektrumból ezeket vonjuk le, így tisztán az ellenállás-fluktuációkból származó 1/f jellegű spektrumot kapjuk.
Az így kapott spektrumokat ábrázolja log-log skálán, majd illesszen azok -jellegű szakaszára egyenest. Határozza meg az α kitevőt, illetve az 1 Hz-re vonatkoztatott zajsűrűséget.
Az egyenest integrálja ki az 1 Hz - 1 MHz frekvenciatartományon, és határozza meg a szénszál jel-zaj arányát!
Kitekintés
A mérési gyakorlat keretében két - más mérésből jól ismert - fizikai állandó értékét mérjük meg zajmérés segítségével. Kutató laboratóriumokban azonban a zajmérést gyakran olyan területen alkalmazzák, ahol más mérési módszer csak korlátozottan, vagy egyáltalán nem áll rendelkezésre [1]. A következőkben ilyen mérésekből adunk rövid ízelítőt.
- A pontos hőmérsékletmérés - különösen extrém körülmények között - sokszor nehézséget jelent, hiszen számos fizikai folyamat (pl. fémek ellenállásváltozása, higanyszál megnyúlása) alkalmas a hőmérsékletváltozás detektálásra, azonban ezek a hőmérők az abszolút hőmérséklet mérésére csak pontos kalibráció után alkalmasak. Ezzel szemben a zajmérés segítségével közvetlenül az abszolút hőmérsékletet lehet meghatározni [3], így zajmérés megfelelő (a laborgyakorlat mérésénél lényegesen nagyobb) pontosság esetén akár hőmérsékletstandardként is használható.
- Az elektron töltését jól ismerjük, azonban számos olyan rendszer ismert ahol a kvázirészecskék az elektrontöltés többszörösét vagy tört részét hordozzák. Ezen rendszereknél a zajmérés kiválóan alkalmas a kvázirészecske-töltés meghatározására [4,5].
- Az elemi részecskék speciális statisztikákat követnek. Az elektronok például fermionként viselkednek, és a Pauli elv miatt két elektron nem lehet azonos kvantummechanikai állapotban, ezzel szemben a fotonok bosonként viselkednek, és szeretnek olyan állapotba szóródni amiben már több foton is található (lásd indukált emisszió a lézerekben). Ezen különbségek zajméréssel kiválóan kimutathatók, hiszen megfelelően megválasztott rendszerekben a fermionok a Poisson zajnál kisebb, míg a bosonok a Poisson zajnál nagyobb zajt mutatnak [6-8].
- A klasszikus és kvantumos kaotikus rendszerek jelentősen különböznek egymástól. A klasszikus káosz esetén ugyan a rendszer viselkedése érzékenyen függ a kezdeti feltételektől azonban mégis teljesen determinisztikus mozgást kapunk. Ezzel szemben kvantumkáosz esetén a részecskék viselkedése alapvetően véletlenszerű. A klasszikus és a kvantumkáosz közötti átmenet jól megmutatható zajmérésekkel, hiszen az előbbi esetben zérus, míg az utóbbiban véges sörétzajt várunk [9].
Zajmérésekkel részletesebben az Új kísérletek a nanofizikában tárgy keretében ismerkedhetünk meg.
Hivatkozások
[1] C. W. J. Beenakker, C. Schönenberger: Quantum shot noise, Physics Today 56, p37 (2003)
[5] R. de-Picciotto et al.: Direct observation of a fractional charge, Nature 389, p162 (1997)
[7] W.D. Oliver et al.: Hanbury Brown and Twiss-Type Experiment with Electrons, Science 284, p299 (1999)
[8] M. Henny et al.: The Fermionic Hanbury Brown and Twiss Experiment, Science 284, p296 (1999)
