Spektrumanalízis heterodin méréstechnikával

A mérési feladatot összeállította: Simon Ferenc és Halbritter András, BME Fizika Tanszék (2015) A jegyzettel kapcsolatos javításokat, javaslatokat köszönettel kérjük az \underline{f.simon@eik.bme.hu} címre.

Bevezetés és történeti háttér

A laborgyakorlat célja, hogy a nagyfrekvenciás méréstechnikában széleskörben alkalmazott Fourier-analízis és heterodin méréstechnika alapjait bemutassa. A laborgyakorlat nagyban támaszkodik a korábbi Méréstechnika tárgyra, ezért az ott elsajátított ismeretek átismétlése elvárás.

Az adatátvitel alapfeladata, hogy a lehető legtöbb információt juttassunk el két pont között az információt minél jobban megtartva. Napjainkban amikor a környezetünk zsúfolva van különböző információtovábbító elektromágneses sugárzással, különösen fontos ez a kérdés. Az egyik elterjedt megoldás a különböző információk különböző frekvenciákhoz való rendelése (ún. frekvenciaosztásos multiplexelés). Ez eredményezi a manapság ismert különböző frekvenciájú rádióadások jelenlétét, ahol mindegyik rádiócsatorna adott (vivő)frekvencián sugározza az adását. Az adások információtartalma különböző módon van a vivőhullámba belekódolva. Itt a két legfontosabbat említjük csak, amivel a gyakorlaton is megismerkedünk: AM (amplitúdómoduláció) és FM (frekvenciamoduláció).

Belátható, hogy a továbbított információ mennyisége és az adott jelhez tartozó sávszélesség ($\setbox0\hbox{$\Delta f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) egymással egyenesen arányos. Például egy állandó frekvenciájú sugárzással - melynek sávszélessége nulla - semmilyen információt nem tudunk továbbítani, de például egy 1 kHz frekvenciával modulált 100 MHz-es vivőhullámmal már tudunk 1 kbit/s információtovábbítást elérni. (Képzeljük el, hogy egy állandó frekvenciájú, időben állandó nagyságú elektromágneses jellel próbálunk információt közvetíteni. Ennek Fourier-transzformáltja egy Dirac-delta függvény, azaz nulla sávszélessége van. Azonban ennek a jelnek az információtartalma is nulla. A legegyszerűbb Morse-adatátvitelhez is már ki-be kell kapcsolgatnunk ezt a jelet, ami már természetesen nem lesz egy állandó frekvenciájú időben állandó nagyságú jel, és így a Fourier-transzformáltja sem lesz Dirac-delta.) Nem véletlen, hogy a hétköznapi gyakorlatban mindeki csak sávszélességről beszél mialatt a továbbított információ mennyiségére utal, miközben ez a fogalom alapvetően a továbbított jel frekvenciaspektrumának szélességére utal. Ebben a jegyzetben mi a hagyományos értelmeben vett (frekvencia-)sávszélességre utalunk.

Az emberi hang torzításmentes továbbításához (mono adás esetén) kb. 20 kHz sávszélességre van szükség. A gyakorlatban az egyes rádióadók frekvenciáját a zavaró interferencia elkerülésére végett ennél távolabbra állítják be, ezért találunk a mindenki által ismert FM sávban (87,5-108 MHz között) kb. 100 kHz-enként rádióállomásokat.

Egy másik gyakorlati megfontolás ami korlátozza az átvihető információ és így a sávszélesség nagyságát, az a zaj kérdése. A Méréstechnika tárgyban ismertetett módon az ún. Johnson-Nyquist vagy termikus zaj teljesítménye és a sávszélesség közötti kapcsolat:

$\[P_{\text{JN-zaj}}=4 k_{\text{B}}T\Delta f\]$

ahol $\setbox0\hbox{$k_{\text{B}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a Boltzmann-állandó, $\setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az abszolút hőmérséklet és $\setbox0\hbox{$\Delta f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a sávszélesség\footnote{A \emph{Méréstechnika} tárgyban tanultak szerint egy $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ellenálláson eső feszültség szórásnégyzete egy $\setbox0\hbox{$\Delta f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sávszélességű frekvenciaablakban mérve a termikus zaj miatt $\setbox0\hbox{$\left< V^2 \right>=4 k_{\text{B}}T\Delta f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, így a termikus zaj teljesítménye $\setbox0\hbox{$P=\left< V^2 \right>/R=4 k_{\text{B}}T\Delta f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A zaj-sávszélességről egy jó leírás található a http://en.wikipedia.org/wiki/Johnson-Nyquist\_noise oldalon.}. Eszerint minél nagyobb az elvárt sávszélesség, annál nagyobb lesz a zaj teljesítménye is. A telekommunikációban a termikus zajteljesítmény nagyságára $\setbox0\hbox{$P_{\text{vett zaj}}=k_{\text{B}}T\Delta f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ képletet használjuk, a 4-es faktor különbség oka, hogy egy valódi adó-vevő rendszerben csak a bejövő/kimenő feszültség fele esik a munkaellenálláson (a másik fele a jelet keltő/vevő egységben). Eszerint $\setbox0\hbox{$300\,$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$K hőmérsékleten a zajteljesítmény nagyságára $\setbox0\hbox{$P_{\text{vett zaj}}(300\text{K})=k_{\text{B}}T\Delta f=4.1\cdot 10^{-21}\,\text{J} \cdot \Delta f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ adódik, ami egy 50 Ohmos ellenálláson körülbelül $\setbox0\hbox{$1\,$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$nV feszültségnek felel meg $\setbox0\hbox{$1\,$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$Hz sávszélesség mellett, illetve dBm egységekben $\setbox0\hbox{$-174\,\text{dBm}\cdot 1\,\text{Hz}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. (A dBm egység definíciója: $\setbox0\hbox{$P[\text{dBm}]=10\cdot \log_{10}(P/1\text{mW}).)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$

A nagyfrekvenciás méréstechnika alapproblémája tehát, hogy adott sávszélesség mellett minél jobb jel-zaj arányt érjünk el úgy, hogy a különböző információs csatornák frekvenciája különböző. Ennek megvalósítására adott vivőhullám-frekvenciára keverik rá az információt különböző modulációs módszerekkel. Az információt úgy kapjuk vissza, hogy szelektíven csak az adott vivőhullám körüli frekvenciára koncentrálunk és az itt megfigyelt jelet demoduláljuk. A továbbiakban bemutatjuk a különböző modulációs technikákat és azt, hogy milyen módszerrel lehetséges a frekvenciaszelektív mérés.