Spektrumanalízis heterodin méréstechnikával
A mérési feladatot összeállította: Simon Ferenc és Halbritter András, BME Fizika Tanszék (2015)
A jegyzettel kapcsolatos javításokat, javaslatokat köszönettel kérjük az címre.
A laborgyakorlat célja, hogy a nagyfrekvenciás méréstechnikában széleskörben alkalmazott Fourier-analízis és heterodin méréstechnika alapjait bemutassa. A laborgyakorlat nagyban támaszkodik a korábbi Méréstechnika tárgyra, ezért az ott elsajátított ismeretek átismétlése elvárás.
Tartalomjegyzék |
Bevezetés és történeti háttér
Az adatátvitel alapfeladata, hogy a lehető legtöbb információt juttassunk el két pont között az információt minél jobban megtartva. Napjainkban amikor a környezetünk zsúfolva van különböző információtovábbító elektromágneses sugárzással, különösen fontos ez a kérdés. Az egyik elterjedt megoldás a különböző információk különböző frekvenciákhoz való rendelése (ún. frekvenciaosztásos multiplexelés). Ez eredményezi a manapság ismert különböző frekvenciájú rádióadások jelenlétét, ahol mindegyik rádiócsatorna adott (vivő)frekvencián sugározza az adását. Az adások információtartalma különböző módon van a vivőhullámba belekódolva. Itt a két legfontosabbat említjük csak, amivel a gyakorlaton is megismerkedünk: AM (amplitúdómoduláció) és FM (frekvenciamoduláció).
Belátható, hogy a továbbított információ mennyisége és az adott jelhez tartozó sávszélesség (
) egymással egyenesen arányos. Például egy állandó frekvenciájú sugárzással - melynek sávszélessége nulla - semmilyen információt nem tudunk továbbítani, de például egy 1 kHz frekvenciával modulált 100 MHz-es vivőhullámmal már tudunk 1 kbit/s információtovábbítást elérni. (Képzeljük el, hogy egy állandó frekvenciájú, időben állandó nagyságú elektromágneses jellel próbálunk információt közvetíteni. Ennek Fourier-transzformáltja egy Dirac-delta függvény, azaz nulla sávszélessége van. Azonban ennek a jelnek az információtartalma is nulla. A legegyszerűbb Morse-adatátvitelhez is már ki-be kell kapcsolgatnunk ezt a jelet, ami már természetesen nem lesz egy állandó frekvenciájú időben állandó nagyságú jel, és így a Fourier-transzformáltja sem lesz Dirac-delta.) Nem véletlen, hogy a hétköznapi gyakorlatban mindeki csak sávszélességről beszél mialatt a továbbított információ mennyiségére utal, miközben ez a fogalom alapvetően a továbbított jel frekvenciaspektrumának szélességére utal. Ebben a jegyzetben mi a hagyományos értelmeben vett (frekvencia-)sávszélességre utalunk.
Az emberi hang torzításmentes továbbításához (mono adás esetén) kb. 20 kHz sávszélességre van szükség. A gyakorlatban az egyes rádióadók frekvenciáját a zavaró interferencia elkerülésére végett ennél távolabbra állítják be, ezért találunk a mindenki által ismert FM sávban (87,5-108 MHz között) kb. 100 kHz-enként rádióállomásokat.
Egy másik gyakorlati megfontolás ami korlátozza az átvihető információ és így a sávszélesség nagyságát, az a zaj kérdése. A Méréstechnika tárgyban ismertetett módon az ún. Johnson-Nyquist vagy termikus zaj teljesítménye és a sávszélesség közötti kapcsolat:
![\[P_{\text{JN-zaj}}=4 k_{\text{B}}T\Delta f\]](/images/math/6/3/4/634a973a440068cc792e939eb2d83b23.png)
ahol 
a Boltzmann-állandó, 
az abszolút hőmérséklet és a sávszélesség.
- A Méréstechnika tárgyban tanultak szerint egy
ellenálláson eső feszültség szórásnégyzete egy sávszélességű frekvenciaablakban mérve a termikus zaj miatt 
, így a termikus zaj teljesítménye 
. A zaj-sávszélességről egy jó leírás található a http://en.wikipedia.org/wiki/Johnson-Nyquist\_noise oldalon.
Eszerint minél nagyobb az elvárt sávszélesség, annál nagyobb lesz a zaj teljesítménye is. A telekommunikációban a termikus zajteljesítmény nagyságára 
képletet használjuk, a 4-es faktor különbség oka, hogy egy valódi adó-vevő rendszerben csak a bejövő/kimenő feszültség fele esik a munkaellenálláson (a másik fele a jelet keltő/vevő egységben). Eszerint 300 K hőmérsékleten a zajteljesítmény nagyságára 
adódik, ami egy 50 Ohmos ellenálláson körülbelül 1 nV feszültségnek felel meg 1 Hz sávszélesség mellett, illetve dBm egységekben 
.
- A dBm egység definíciója:
![\setbox0\hbox{$P[\text{dBm}]=10\cdot \log_{10}(P/1\text{mW}).$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/c/a/d/cada73ee7df8a16390c26128fefd9511.png)
A nagyfrekvenciás méréstechnika alapproblémája tehát, hogy adott sávszélesség mellett minél jobb jel-zaj arányt érjünk el úgy, hogy a különböző információs csatornák frekvenciája különböző. Ennek megvalósítására adott vivőhullám-frekvenciára keverik rá az információt különböző modulációs módszerekkel. Az információt úgy kapjuk vissza, hogy szelektíven csak az adott vivőhullám körüli frekvenciára koncentrálunk és az itt megfigyelt jelet demoduláljuk. A továbbiakban bemutatjuk a különböző modulációs technikákat és azt, hogy milyen módszerrel lehetséges a frekvenciaszelektív mérés.
A jelmoduláció alapjai
A vivőhullám mint harmonikus rezgés általános alakja: ![\setbox0\hbox{$\psi(t)=A_{\text{c}} \cdot \exp\left[\mathrm{i}\left(2\pi f_{\text{c}} t+\phi_{\text{c}}\right)\right]$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/b/3/b/b3b13ee0d818b0289badd6629a78272d.png)
. Lehetőség van mindhárom paraméter (
) modulálására (itt 
jelöli a vivőhullám/carrier frekvenciáját), amit amplitúdó- (AM), frekvencia- (FM), ill. fázismodulálásnak (PM) nevezünk. Itt csak az AM technikával foglalkozunk. Az AM jelet mutatja az 1. ábra.
 |
| 1. ábra. Az amplitúdómodulált jel. |
Az AM jelet felfoghatjuk úgy, hogy a vivőjelet a moduláló jellel összeszorozzuk. Amennyiben a moduláló jel is tiszta harmonikus hullám: 
(itt az 
index a modulálásra vonatkozik), a trigonometrikus azonosságok alapján
![\[\cos(\omega_1 t)\cos(\omega_2 t)=\frac{\cos\big( \left( \omega_1+\omega_2\right) t\big)+\cos\big( \left( \omega_1-\omega_2\right) t\big)}{2}\]](/images/math/6/8/6/6864fa18709c407bfac156d759c2994c.png)
látszik, hogy a két jel szorzata két szintén harmonikus hullám összege, melyek frekvenciája: 
(feltéve, hogy 
). A későbbiekben bemutatjuk, hogyan valósítható meg a szorzás művelete, amit keverésnek is nevezünk. A jel demodulálása (azaz a lényeges információ előállítása) szintén szorzással valósítható meg: amennyiben az AM jelet újra beszorozzuk az frekvenciájú jellel a kapott jelben 3 harmonikus hullám összege jelenik meg: 
, 
. Ezek közül értelemszerűen az első komponens az érdekes, a két másik nagyfrekvenciájú komponens kiszűrése (pl. aluláteresztő szűrővel) után az információt tartalmazó moduláló jel előáll. A tényleges kommunikációban a moduláló jel (pl. AM rádióadásban a továbbított hang) nem egyetlen harmonikus hullámból, hanem különböző frekvenciájú komponensek szuperpozíciójából áll. Látható, hogy ebben az esetben a demodulált jel az eredeti hangot adja vissza. Ezt a technikát nevezik szorzásos vagy \emph{heterodin} (angolul heterodyne) detektálásnak.
Korábban (kb. 50 évvel ezelőttig) az AM jelek demodulálását egyenirányítással (ún. detektoros vétellel) oldották meg (http://en.wikipedia.org/wiki/Envelope_detector). Ez azt használja ki, hogy az amplitúdómodulált vivőjelet egyenirányítva és a nagyfrekvenciás komponenst kiszűrve előáll a moduláló burkoló jel. Ezt a technikát nevezik \emph{burkoló detektoros} vételnek is. Ennek előnye, hogy a vevőegység és hangszóró nem igényel extra energiaforrást (bár a jel persze igen halk lesz) hanem az energiát a vivőjelből veszi. Mára a szorzásos módszer vált a rádiótechnikában egyeduralkodóvá a következő részben ismertetett okoknál fogva.
Frekvencia szelektív detektálás, mixerek
A burkoló detektoros demodulálás hátránya, hogy amennyiben több rádióadás van jelen egyszerre mindegyiket demodulálja, ezért nehéz egy tiszta jelet kapni. Ezen kicsit segíthet az, ha a vevő detektor előtt van egy sávszűrő, ami csak a kívánt vivőfrekvenciát és annak szűk tartományát engedi át. Ennek a megvalósításnak a hátránya, hogy a sávszűrő megépítése és különböző frekvenciákra hangolása nehézkes.
A heterodin detektálási technikában nincs szükség hangolható sávszűrőre, hanem csak egy fix aluláteresztő szűrőre. A kívánt vivőfrekvencia kiválasztását a demodulálásnál lekeveréshez használt frekvencia változtatásával érjük el. Az eddigiekben az a kérdés még nyitva maradt, hogyan érjük el az előző részben ismertetett, harmonikus hullámok összeszorzását.
Az összeszorzás eszköze a keverő vagy mixer. Ez egy olyan félvezető eszköz aminek az áram-feszültség karakterisztikája erősen nemlineáris, emiatt két ráadott váltakozóáramú jel szorzata jelenik meg rajta. A mixer sematikáját 2a. ábra mutatja, a portok elnevezéseinek jelöléseivel. A mixereket használhatjuk le- ill.\ felkeverőként is. Előbbihez az RF bemenetként és IF kimenetként funkcionál, míg utóbbihoz az IF a bemenet és RF-en van a felkevert kimenő jel. A 2b. ábra mutatja a mixert lekeverőként használva a frekvencia spektrumban milyen változás történik: az LO egy jól definiált frekvenciájú jel, míg az RF egy modulált, ezért szélesebb frekvenciaspektrumú jel. Az IF porton a két frekvencia különsége jelenik meg, ami jellegében az RF spektrum tulajdonságait hordozza. Felkeverés esetén pedig az LO bemenetre csatlakozik a jól definiált frekvenciájú vivőhullám-jel, az IF bemenetre csatlakoztatjuk az alacsonyfrekvenciás moduláló jelet, és az RF kimeneten jelenik meg az amplitúdómodulált szorzatjel.
 |
| 2. ábra. a) A mixert jelölő szimbólum és a ki-bemeneti portok jelei (LO bemenet: lokál-oszcillátor, RF ki/bemenet: rádiófrekvenciás jel, IF ki/bemenet: közbülső frekvencia), b) a mixert lekeverőként használva ilyen frekvencia konverzió valósul meg: az IF porton az LO és RF frekvenciák különbsége jelenik meg. |
A mixer egy lehetséges megvalósítását és működését szemléltetjük \aref{mixer_mukodes_fig}. ábrán. Amikor az LO feszültség olyan, hogy az \textbf{a}-\textbf{c} pontok között pozitív feszültség van (
), akkor a baloldali két dióda lezár, míg a jobboldali kettő nyitva van. Ekkor a \textbf{d} pont lebeg (feszültségét az RF port feszültsége adja) míg a \textbf{b} pont a földön van. Ezért az RF bemenetre adott feszültség közvetlenül, azonos előjellel megjelenik az IF kimeneten. Amikor (
), akkor a baloldali két dióda nyit ki, ezért a \textbf{d} pont lesz leföldelve, míg a jobboldali két dióda lezár, ezért ekkor az RF bemenetre adott feszültség -1 szerese jelenik meg az IF kimeneten.
 |
| 3. ábra. Bal panel: A mixer egy lehetséges megvalósításának sematikája az ún. átkapcsoló-mixer (\emph{switching-mixer}). Jobb panelen: a mixerre kapcsolt jelalakok egy példán. LO: 20 MHz-es jel, RF: 18 MHz-es jel, az IF kimeneten kialakuló jel, ill. annak simított (alul áteresztővel megszűrt) változata (zöld folytonos vonal). |
Ezt a viselkedést szemlélteti a 3. ábra jobb oldali panele. A kapcsoló-mixer úgy viselkedik mintha az LO jel +1 és -1 közötti értékével szorzódna be az RF feszültség ami megjelenik az IF kimeneten. Az ábrán mutatott példában LO frekvenciája 20 MHz, RF frekvenciája 18 MHz és a szorzás után megjelenik az IF kimeneten egy alacsony (2 MHz-es) frekvenciával modulált 38 MHz-es jel. Ha ezt a jelet aluláteresztő szűrővel szürjük (példánkban numerikus csúszóátlagolást végeztünk) akkor jól látható az IF kimeneten megjelenő alacsony frekvencia. Ez a leírás egyben azt is megmutatja, hogy az LO feszültség nagyságától nem függ a kimeneti feszültség értéke, de az RF és IF feszültségek egymással arányosak (nem pontosan egyenlők mivel az eszköznek van egy kis vesztesége).
A Lock-in erősítő
A kétcsatornás fázisérzékeny egyenirányító vagy lock-in erősítő blokkdiagrammját a 4. ábra mutatja. Ez lényegében két lekeverő mixerből áll, az IF kimenetet aluláteresztő szűrők követik. A két csatorna azt jelenti, hogy a bejövő RF jelnek mérjük két komponensét: az egyik amelyik fázisban van az LO-val és a másik amelyik 90 fokkal eltolt fázisban van. Előfordulhatna ugyanis, hogy a bejövő RF jel fázisa 90 fokos szöget zár be az LO-éval, ezáltal az IF jel kisfrekvenciás komponense 0 lenne. A két mért csatorna miatt lehetőség van a két kimenet négyzetösszegének meghatározására: 
ami azért előnyős, mert a bejövő jel fázisa a belső oszcillátorhoz képest általában nem ismert, az mennyiség azonban nem függ a fázistól.
 |
4. ábra. A lock-in erősítő blokkdiagrammja. Az elrendezés tükrözi azt a felépítést amivel a kezelőfelületen is találkozunk, de nem mutatja az kimenetet amit a műszer digitálisan állít elő az  és  kimenetekből.
|
A gyakorlaton megismerkedünk a lock-in erősítő alapvető kezelésével, és azzal, hogy a segítségével az AM rádióadás közvetlenül demodulálható. Megjegyezzük, hogy a lock-in erősítő mint több milliós mérőeszköz használata a rádióadás vételére (amit egy filléres rádióval is megoldhatnánk) megmosolyogtató, azonban kiválóan alkalmas e műszer alapvető működésének demonstrációjára.
Nagyfrekvenciás jelek analízise, a Fourier transzformáció
A heterodin detektálás megismerése után ismételjük át, hogy hogyan határozható meg egy jel frekvenciatérbeli felbontása.
Egy 
időfüggvény különböző frekvenciájú komponenseinek felbontását matematikailag a Fourier-transzformált segítségével adhatjuk meg:
![\[f(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} F(t)\mathrm{e}^{-i\omega t}\mathrm{d}t.\]](/images/math/5/9/5/595ba94d38747532dc0a86ce5c451009.png)
Egy valós mérésnél a Fourier-transzformált függvényt csak közelítőleg tudjuk megadni, hiszen egyrészt véges ideig tart a mérésünk, másrészt a mérési adatok csak diszkrét időfelbontással álnak rendelkezésre. Először nézzük meg a véges idejű mérés hatását a Fourier-transzformáltra.
A véges idejű mérés megfelel annak, mintha az eredeti függvényt megszoroznánk a mérési intervallumnak megfelelő 
ablakfüggvénnyel, és ezen szorzatfüggvény Fourier-transzformáltját számolnánk ki:
![\[f_W(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} W(t)\cdot F(t)\mathrm{e}^{-i\omega t}\mathrm{d}t,\]](/images/math/8/3/d/83d2a1130cc875baedfb60e75dbff165.png)
ahol a függvény 
esetén 
, ezen hosszúságú időintervallumon kívül pedig zérus. Megmutatható, hogy egy szorzatfüggvény Fourier-transzformáltja a két komponens Fourier-transzformáltjának a konvolúciója, azaz:
![\[ f_W(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(\omega ')w(\omega - \omega ')\frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi},\ \ \ \ \mathrm{ahol}\ \ \ w(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} W(t)\mathrm{e}^{-i\omega t}\mathrm{d}t. \]](/images/math/0/5/8/0582a6df73925371593d682d300af119.png)
Nézzünk egy egyszerű példát, legyen 
egy harmonikus függvény, melynek a Fourier-transzformáltja egy Dirac-delta függvény: 
. Véges idejű mérés esetén azonban a Fourier integrál értéke a fentiek alapján 
, azaz a harmonikus függvény Fourier-transzormáltjában egy valós mérés esetén a végtelenül keskeny Dirac-delta csúcs helyett az ablakfüggvény Fourier-transzormáltját látjuk az 
középfrekvenciához eltolva. A fent definiált \emph{téglalap ablak} esetén (azaz amikor egy szélességű intervallumban konstans, azon kívül zérus, lásd 5a. ábra, kék folytonos vonal) az ablakfüggvény Fourier-transzformáltja 
, azaz 
(\ref{ablakfv_fig}b.\ ábra, kék folytonos vonal). A véges időintervallumra számolt Fourier-integrál is mutat egy határozott csúcsot az középfrekvencia körül, azonban ez a csúcs véges szélességű, ráadásul a csúcstól távolabb is oszcillációkat látunk a Fourier-transzformáltban, amit spektrális szivárgásnak nevezünk. Az 
függvény melletti első zérushelyeinek a távolsága 
, így az körüli csúcs szélessége 
. Tehát az első fontos konklúzió, hogy {\bf véges időtartamú mérés esetén a jelünket a Fourier-térben csak véges, nagyságrendileg 
frekvenciafelbontással látjuk!}
 |
| 5. ábra. a) ablakfüggvény téglalap ablak (kék folytonos vonal) és Hanning ablak (piros szaggatott vonal) esetén. b) harmonikus jel Fourier-transzformáltjának abszolút érték négyzete téglalap ablak (kék folytonos vonal) és Hanning ablak (piros szaggatott vonal) esetén. A téglalap ablakot Hanning ablakra cserélve az körüli csúcs kiszélesedik, azaz romlik a frekvenciafelbontás, azonban az -tól távolabbi mellékcsúcsok amplitúdója lecsökken, azaz csökken a spektrális szivárgás.
|
Érdemes megjegyezni, hogy a fent említett téglalap ablak helyett választhatunk más ablakfüggvényt is, például 
ún.\ Hanning-ablak esetén a mért jelben elnyomjuk a mintavételezési időablak széleihez közeli részeket (5a.\ ábra, piros szaggatott vonal). Ebben az esetben az körfrekvenciás jel Fourier-transzformáltjában körül egy még szélesebb csúcsot látunk (azaz a frekvenciafelbontás romlik), viszont az -tól távolabbi oszcillációk amplitúdója (az ún.\ spektrális szivárgás) lecsökken (5b.\ ábra, piros szaggatott vonal).
Következő lépésként nézzük meg, hogy mi a hatása annak, hogy a jelünket nem folytonosan látjuk, hanem csak diszkrét mintavételezési időpontokban. Emiatt a jel Fourier-transzformáltját a folytonos integrál helyett kénytelenek vagyunk egy diszkrét összeggel, az ún.\ diszkrét Fourier-transzformálttal (DFT) közelíteni:
![\[ f_W(\omega)=\sum_{n=0}^{N-1} W(n\cdot \Delta t)F(n\cdot \Delta t) \mathrm{e}^{-i\omega n \Delta t}\Delta t, \]](/images/math/1/c/2/1c29d0a765e68527b917bd9e7cc0b666.png)
ahol 
a szomszédos mérési pontok közötti idő, 
pedig a mintavételezett pontok száma.
Az ún.\ Nyquist-Shannon mintavételezési törvény szerint {\bf sűrűségű mintavételezés esetén a jelet 
maximális körfrekvenciáig tudjuk rekonstruálni}.
Könnyen belátható, hogy a diszkrét Fourier-transzformált fenti képlet szerinti kiértékelése 
mérési pont esetén 
művelet (
frekvenciafelbontás és maximális felbontható frekvencia esetén csak 
diszkrét pontban érdemes kiértékelni a diszkrét Fourier-transzformáltat, és a definíció szerint egy adott frekvencián 
művelet a szumma kiszámítása). Egy ügyes trükkel azonban jelentősen csökkenthető a számítási műveletek mennyisége. Megmutatható, hogy ha a mérési pontok száma kettő hatványa (
), és a frekvenciatérben 
diszkrét körfrekvenciáknál értékeljük ki a Fourier-transzformáltat, akkor az ún. Fast Fourier Transform (FFT) algoritmus segítségével a számítási műveletek száma 
-ről 
-re csökken, ami nagy N esetén lényeges különbség.
A mérőműszerek jelentős része, így a laborgyakorlaton használt digitális oszcilloszkóp is az FFT algoritmus numerikus kiértékelése alapján határozza meg a mért jel spektrumát. A legtöbb esetben a műszer nem adja meg külön a spektrum valós és képzetes részét, hanem csak a Fourier-transzformált abszolút érték négyzetét látjuk. Ezen kívül a mérőműszerek általában a frekvencia, és nem a körfrekvencia függvényében adják meg a spektrumot, erre érdemes odafigyelni a mérés kiértékelésénél.
A Fourier transzformáció definiciójánál azt látjuk, hogy a Fourier spektrum komplex mennyiség. Erre azért van szükség, hogy a különböző frekvenciájú harmonikus tagok \emph{fázisát} is le tudjuk írni. Könnyen belátható, hogy amennyiben páros függvény (pl. cos), akkor a Fourier spektrum tisztán valós, amennyiben pedig páratlan függvény (pl. sin), akkor a Fourier spektrum tisztán képzetes. Tetszőleges esetén pedig a Fourier spektrum tartalmaz valós és képzetes tagokat is\footnote{Ilyen értelemben a komplex jelölésnek az a szerepe, hogy a leírást rövidítse, egyébként kétkomponensű vektorokat kellene írnunk.}. Amennyiben a fázis ismerete nem lényeges és csak az egyes Fourier komponensek erősségére vagyunk kiváncsiak akkor a Fourier spektrum valós és képzetes részeinek négyzetösszegének gyökéből képezhetjük az ún. Fourier erősséget (\emph{Fourier magnitude}).
Egy kérdés azonban még nyitva maradt: amikor harmonikus rezgésről beszélünk gyakran mint cos, sin vagy 
-ként hivatkozunk rá. Itt mi a komplex jelölés szerepe? Erre a rövid válasz az, hogy önmagában a cos vagy sin függvény nem adja meg a harmonikus rezgés frekvenciájának \emph{előjelét}. Első hallásra meglepő, hogy harmonikus rezgés frekvenciájának előjele van, azonban gondoljunk csak a mixeres lekeverésre: amennyiben RF frekvenciája kisebb mint az LO frekvenciája, a kapott IF jel alacsonyfrekvenciás komponensének fekvenciája \emph{negatív}. Az előjel elvesztésének bemutatására tekintsük először a 
jelet, ennek \aref{FT_def}. képlet alapján a Fourier transzformáltja valós és tartalmaz 
-nél is egy-egy pozitív csúcsot. Második példánkban tekintsük a 
jelet, aminek Fourier transzformáltja képzetes és -nél mutat egy-egy ellentétes előjelű csúcsot. Tehát egyik példában sem tudjuk a jel frekvenciájának előjelét egyértelműen meghatározni. Ezzel szemben a 
Fourier transzformáltjának 
-nél (előjelhelyesen) van egy csúcsa\footnote{Azaz nincs csúcsa 
-nél.}.
A kifejezés valós és képzetes részei úgy viselkednek mint a trigonometrikus függvények definiciójakor használt egységkörön mozgó pont vetületei, ami foroghat pozitív és negatív körüljáráson is. Ezzel szemben külön-külön a cos és sin vetületek nem érzékenyek az egységkörön mozgó pont körüljárásának irányára.
Már csak azt a kérdést kell megválaszolnunk, hogy méréstechnikában hogyan tudjuk ezt a komplex időfüggő mennyiséget előállítani a mért \emph{valós} jelekből. A válasz az, hogy a valós és képzetes részek a lock-in technikánál bemutatott kvadratúra detektálásból adódnak: azaz a bejövő jelet két, egymástól 90 fokban eltolt jellel keverjük le. Az így kapott két adatsort (
és 
\aref{LI_fig}. ábra jelöléseivel) \emph{tekintjük} a bejövő lekevert jel valós és képzetes részeinek: 
. Az FT után szintén két adatsort kapunk \aref{FT_def}. képlet alapján:
![\[ \widetilde{x}(\omega)=x(\omega)+i y(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} \widetilde{X}(t)\mathrm{e}^{-i\omega t}\mathrm{d}t, \]](/images/math/9/2/4/9249ed81b648f64a445c9b9663aec19f.png)
ezért ezt komplex vagy kétcsatornás Fourier transzformációnak nevezzük.
Ha a tagokat expliciten kiírjuk, akkor belátható, hogy e két adatsor a következőképpen adódik:
![\[ x(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} X(t)\cos(\omega t)\mathrm{d}t+\int_{-\infty}^{\infty} Y(t)\sin(\omega t)\mathrm{d}t,\\ y(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} -X(t)\sin(\omega t)\mathrm{d}t+\int_{-\infty}^{\infty} Y(t)\cos(\omega t)\mathrm{d}t. \]](/images/math/b/1/f/b1fe6427816a97f3bf2e8c54549a936e.png)
E két adatsor négyzetösszegének gyöke: 
adja meg a különböző frekvenciájú komponensek erősségét a Fourier spektrumban.
Spektrumanalizátorok típusai
Egy ismeretlen frekvenciaeloszlású bejövő jel spektrumanalízisére három módszer használatos:
- Az ún. DC körüli FFT-n alapuló spektrumanalízis.
- Az ún. sweepelt heterodin spektrumanalízis.
- Az ún. hibrid heterodin-FFT spektrumanalízis.
 |
| 6. ábra. A háromfajta spektrumanalizátor sematikus blokkdiagrammja. |
Ezen módszerek sematikus blokk-diagrammjait mutatja \aref{spectrum_analyzer_sematika_fig}. ábra. Az első módszerben a bejövő jelet FFT-zve adódik a frekvenciaspektrum (\aref{spectrum_analyzer_sematika_fig}a. ábra). Ez a módszer azonban lényegében csak DC körüli, pl.\ audió jelek spektrumanalízisére használatos, mivel ekkor a Fourier-spektrum mindenképpen DC-től indul, hiszen az FFT algoritmus akkor effektív, ha a teljes 
frekvenciasávra alkalmazzuk. (Pontosabban fogalmazva, kiszámolhatjuk az FFT-t egy szűkebb sávra is, de az gyakorlatilag ugyan annyi számítási művelet, mintha a teljes frekvenciatartományra számolnánk). Ez akkor nem jó módszer, ha pl.\ csak 100 MHz körüli spektrum érdekes egy szűk, mondjuk 10 kHz-es tartományban, amit viszont nagy frekvenciafelbontással szeretnénk megmérni.
A második technika lényege, hogy egy olyan lokáloszcillátort használ aminek a frekvenciáját folyamatosan változtatjuk (``sweepeljük), majd a kapott IF jelet aluláteresztve szűrjük, úgy hogy a lekevert jelnek gyakorlatilag csak a DC komponensét mérjük (\aref{spectrum_analyzer_sematika_fig}a. ábra). Az így kapott szűrt IF jel nagyságát ábrázolva az időben változó LO frekvencia függvényében megkapjuk az RF jel spektrumát. E módszer előnye, hogy viszonylag egyszerűen megvalósítható, lehetővé teszi a frekvenciaspektrum valósidejű vizsgálatát. Hátránya, hogy a sweepelt oszcillátorok frekvenciájának értékét nem könnyű pontosan meghatározni, ill. az, hogy egy időpillanatban csak 1 frekvenciaértéket mér. Azt is érdemes megjegyezni, hogy \aref{spectrum_analyzer_sematika_fig}b. ábrán bemutatott elrendezésben csak a mért jelnek az LO jellel fázisban levő komponensét (\emph{azaz a valós részét}) mérjük, ezért nevezzük ezt az elrendezést egycsatornás spektrumanalizátornak. A teljes Fourier-spektrum meghatározásához (és a Fourier-transzformált abszolút érték négyzetének meghatározásához is) ugyanezt a műveletet az LO jel 90 fokkal eltolt transzformáltjával is el kéne végezni, ami gyakorlatilag a lock-in erősítő \aref{LI_fig}. ábrán bemutatott blokkdiagramjának felel meg.
Az első két módszerből mindkettő legjobb tulajdonságait ötvözi a harmadik technika. Ebben egy fix frekvenciájú lokáloszcillátort használunk és a lekeverés után kapott IF jelet Fourier transzformáljuk FFT algoritmussal. Ezáltal tetszőleges frekvencia kis környezetét vizsgálhatjuk úgy, hogy egyszerre sok frekvenciát mérünk\footnote{Ezt nevezik az FT módszer ún. multiplex tulajdonságának is.}. Emellett az LO frekvenciája nagyon stabil lehet, ezért a kapott frekvenciaspektrum nagyon pontosan kalibrált. Egyetlen hátránya, hogy az FFT művelet aránylag számolásigényes, azonban ez egyre kevésbé jelent limitációt a számítási kapacitás növekedése miatt.
A heterodin-FFT spektrumanalizátoroknál különösen fontos kérdés az IF frekvencia előjelének meghatározása, erre az ún. kvadratúra detektálás kínál megoldást. A probléma az, hogy a mixer fentebb említett tulajdonsága (azaz az LO és RF frekvenciák összegét és különbségét \emph{is} előállítja) miatt \aref{spectrum_analyzer_sematika_fig}c. ábrán mutatott blokkdiagram (ún. egycsatornás hibris heterodin-FFT spektrumanalizátor) esetén pl. LO=100 MHz és RF=99.9 MHz mellett az IF jel 0.1 MHz-es frekvenciájú lesz. Erről a jelről az egycsatornás spektrumanalízis után nem tudjuk megmondani, hogy valójában -0.1 MHz frekvenciához, azaz RF=99.9 MHz-hez tartozik. Ha a lock-in kapcsán bemutatott elv szerint a bejövő RF jelet kettéosztjuk, majd két mixeren szorozzuk össze az LO-val és annak 90 fokos eltoltjával, akkor az így kapott két IF jelet Fourier-transzformálva az IF jel frekvenciája egyértelműen meghatározható. A modern spektrumanalizátorok, így pl. a Méréstechnika előadáson bemutatott Tektronix DPO/MSO oszcilloszkóp/jelanalizátor is kvadratúra üzemmódban működő heterodin-FFT elven alapulnak.
A laborgyakorlat során a spektrumanalízist egyszerűbben oldjuk meg, a felhasznált eszközök adta limitációk okán (nem használhatunk egy nagyértékű spektrumanalizátort). Az FM rádióadások (87.5-108 MHz között) vizsgálatánál a bejövő RF jelet LO-val lekeverjük, majd Fourier transzformáljuk. Ezáltal az IF jel előjelét elveszítjük, ami a rádióállomások azonosításánál problémát okozhat. Ezt úgy kerüljük ki, hogy az LO frekvenciáját 87.5 MHz-re állítjuk be. Tudjuk, hogy ennek közelében rádióadások csak ennél nagyobb frekvenciákon vannak jelen, ezért a kapott IF jelek frekvenciája egyértelmű.
Mérési feladatok
A mérési feladatok előtt gondosan olvassuk el \aref{muszer_fuggelek}. Függelékben az egyes műszerek és a mérőprogram használati útmutatóját. A mixer portjaira adott túl nagy feszültség a mixer meghibásodásához vezethet!
AM modulált rádiójel demodulálása Lock-in erősítővel
- A kartondobozra feltekert hurokantennát csatlakoztassuk a lock-in erősítő bemenetére, a \emph{CH1} kimenetet csatlakoztassuk a hangfalra! A lock-in frekvenciája legyen 540 kHz, bemeneti impedanciája 50 Ohm. Vizsgáljuk meg a hang változását a lock-in erősítőn beállított frekvencia, időállandójának, érzékenységének és a CH1-re beállított kimeneti típusnak (X, R, v. R[dBm]) függvényében. Írjuk le az optimális beállítást!
- A jegyzőkönyvben ismertessük, hogy a lock-in működésének ismeretében miért működik a lock-in AM rádió vevőként, ill. értelmezzük, hogy a fenti lock-in paraméterek hogyan befolyásolják a hallott hangot!
- A lock-in üzemmódjában kiírt feszültség közvetlenül a hurokantennában indukált feszültségget adja. Tudjuk, hogy a Solti Adóállomás 2 MW teljesítményt sugároz ki, távolsága a labortól kb. 80 km. Az antennától távoli sugárzási térben az antenna síkjában a mágneses térerősség érintőirányú nagysága az antennától
távolságra: 
. Az antennában folyó 
áram és a kisugárzott teljesítmény, 
, kapcsolata: 
, ahol 
az antenna ún. sugárzási impedanciája. Hasonlítsuk össze a mért és számított indukált feszültség értékeket!
\item A lock-in \emph{CH1} kimenetét \emph{R} üzemmódban Fourier transzformáljuk az oszcilloszkóp segítségével, a 
tartományra fókuszálva, miközben hallgatjuk is! Írjuk le, hogy a látott Fourier spektrum hogyan változik a LI időállandójának nagysága és a szűrő meredekségének függvényében. Ehhez mentsünk is el néhány Fourier spektrumot. Ezt a feladatot célszerű a következő feladat után elvégezni.
A modulált jelek és a Fourier transzform spektrumanalízis
- A jelgenerátoron állítsunk elő pl. 100 kHz-es jelet és értelmezzük az FT spektrumokat ha a jel i) szinusz, ii) négyszögjel, iii) ramp! A kapott spektrumokat elmentve írjuk le, hogy ezek hogyan függnek az oszilloszkóp időalapjának értékétől és a választott ablakfüggvénytől (rectangular, Hanning, flattop)!
- A jelgenerátoron állítsunk be 100 kHz-es szinusz és négyszögjelet amit 1-20 kHz-cel amplitúdó modulálunk. Ehhez használjuk a jelgenerátor "Mod" gombját (\emph{AM Freq}: 1-20 kHz, \emph{AM depth}: 100 \%). Vizsgáljuk meg a jeleket idő és FT spektrum doménben is ha a moduláció alakja Sine, vagy Square! A két FT spektrumot mentsük is el és értelmezzük az oldalsávok helyét, alakját, számát és nagyságát! \label{modulalo_feladat}
- Az AM modulált jelet állítsuk elő a HP 10534A mixer segítségével! Ehhez az L bementre tegyünk 100 kHz vagy 1 MHz (modulálatlan) szinusz jelet a jelgenerátor egyik kimenetéről (a nagysága 0.5-1 V
legyen), az X bementre 1-100 kHz 0.1 V moduláló jelet a jelgenerátor másik kimenetéről, és az R-et csatlakoztassuk az oszcilloszkópra! Vizsgáljuk meg mind az idő- mind a frekvencia-doménban mért jeleket! Vizsgáljuk meg, hogy mi történik ha a moduláló jel nem szinusz hanem négyszögjel! (Ideális esetben két db oldalsávot kellene csak látnunk, azonban megjelenik a vivőfrekvencia is ill. a 3. harmonikus oldasávok is. A log skála miatt ezek nagynak tűnnek, de valójában sokkal kisebbek, mint a kívánt első harmonikus oldalsávok).
- A jelgenerátorral előállított AM jelet (mint \aref{modulalo_feladat}. feladatban) keverjük most \emph{LE} a HP mixer segítségével. A mixer ki-bemeneteire adott jeleket a fentiekben elsajátított ismeretek segítségével önállóan rakjuk össze! Legyen a vivőfrekvencia 1 MHz és az AM moduláció frekvenciája 20 kHz. Ennek megfelelően az LO frekvencia is legyen 1 MHz. A lekevert jelet DC szint körül, 50 kHz alatt keressük! (Az oszcilloszkóp mintavételezése és a mixer által jelekbe kevert kismértékű jeltorzulások miatt megjelennek nem kívánt jelek is, azonban itt is dominálja a spektrumot a keresett lekevert jel. A nemkívánt jelek jellemzője, hogy helyük független a moduláció frekvenciájától.)
Az FM rádióadások vizsgálata
- A 87.5-108 MHz frekvenciasávban található FM rádióadásokat vizsgáljuk meg! Ehhez a lock-in erősítő \emph{Ref out} kimenetét használjuk 87.5 MHz-en mint lokál oszcillátort, a mixer RF bemenete legyen a szobaantenna (erősítőjét kapcsoljuk be), az IF kimenetet pedig csatlakoztassuk az oszcilloszkópra! Utóbbi eszközt úgy állítsuk be, hogy 25 MHz-es tartományt láthassunk az FT spektrumban. Azonosítsuk a látott FM csatornákat és a kapott eredményt hasonlítsuk össze \aref{Radioadasok}. függelékben megadott táblázattal (ez tartalmaz szándékosan néhány kakukktojást is). Az azonos sugárzási helyről adott adások esetében a relatív intenzitás arányokat is mérjük meg és hasonlítsuk össze a táblázatban megadott értékekkel! (Az FM rádióadások demodulálása túlmutat a laborgyakorlat keretein).
Köszönetnyilvánítás
Köszönjük a jegyzet gondos átolvasását, javítását és az észrevételeket Fülöp Ferencnek, Bernáth Bencének, Márkus Bencének és Gubicza Ágnesnek. A laborgyakorlaton használt mérőprogram elkészítését Bernáth Bencének, az FM rádió állomások táblázatának elkészítését és a vehető állomások tesztelését Márkus Bencének köszönjük.
Ajánlott irodalom
- Simonyi Károly: Elméleti villamosságtan
- David M. Pozar: Microwave Engineering (4th Ed.)
