Méréstechnika szerkesztőlap

Spektrumanalízis

A heterodin detektálás megismerése után ismételjük át, hogy hogyan határozható meg egy jel frekvenciatérbeli felbontása.

Egy $\setbox0\hbox{$F(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időfüggvény különböző frekvenciájú komponenseinek felbontását matematikailag a Fourier-transzformált segítségével adhatjuk meg:

$\[f(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} F(t)\mathrm{e}^{-i\omega t}\mathrm{d}t.\]$

Egy valós mérésnél a Fourier-transzformált függvényt csak közelítőleg tudjuk megadni, hiszen egyrészt véges ideig tart a mérésünk, másrészt a mérési adatok csak diszkrét időfelbontással álnak rendelkezésre. Először nézzük meg a véges idejű mérés hatását a Fourier-transzformáltra.

A véges idejű mérés megfelel annak, mintha az eredeti függvényt megszoroznánk a mérési intervallumnak megfelelő $\setbox0\hbox{$W(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ablakfüggvénnyel, és ezen szorzatfüggvény Fourier-transzformáltját számolnánk ki:

$\[f_W(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} W(t)\cdot F(t)\mathrm{e}^{-i\omega t}\mathrm{d}t,\]$

ahol a $\setbox0\hbox{$W(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvény $\setbox0\hbox{$|t|<T/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ esetén $\setbox0\hbox{$1/T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ezen $\setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú időintervallumon kívül pedig zérus. Megmutatható, hogy egy szorzatfüggvény Fourier-transzformáltja a két komponens Fourier-transzformáltjának a konvolúciója, azaz:

$\[ f_W(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(\omega ')w(\omega - \omega ')\frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi},\ \ \ \ \mathrm{ahol}\ \ \ w(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} W(t)\mathrm{e}^{-i\omega t}\mathrm{d}t. \]$

Nézzünk egy egyszerű példát, legyen $\setbox0\hbox{$F(t)=A\cdot \exp(i\omega_0 t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ egy harmonikus függvény, melynek a Fourier-transzformáltja egy Dirac-delta függvény: $\setbox0\hbox{$f(\omega)=A\cdot 2\pi\delta(\omega-\omega_0)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Véges idejű mérés esetén azonban a Fourier integrál értéke a fentiek alapján $\setbox0\hbox{$f_W(\omega)=A\cdot w(\omega-\omega_0)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, azaz a harmonikus függvény Fourier-transzormáltjában egy valós mérés esetén a végtelenül keskeny Dirac-delta csúcs helyett az ablakfüggvény Fourier-transzormáltját látjuk az $\setbox0\hbox{$\omega_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ középfrekvenciához eltolva. A fent definiált téglalap ablak esetén (azaz amikor $\setbox0\hbox{$W(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ egy $\setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szélességű intervallumban konstans, azon kívül zérus, lásd 5a. ábra, kék folytonos vonal) az ablakfüggvény Fourier-transzformáltja $\setbox0\hbox{$w(\omega)=(2/\omega T)\cdot \sin(\omega T/2)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, azaz $\setbox0\hbox{$f_W(\omega)=A\cdot\left(2/(\omega-\omega_0 ) T \right)\cdot \sin\left((\omega-\omega_0 ) T/2\right)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ (5b. ábra, kék folytonos vonal). A véges időintervallumra számolt Fourier-integrál is mutat egy határozott csúcsot az $\setbox0\hbox{$\omega_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ középfrekvencia körül, azonban ez a csúcs véges szélességű, ráadásul a csúcstól távolabb is oszcillációkat látunk a Fourier-transzformáltban, amit spektrális szivárgásnak nevezünk. Az $\setbox0\hbox{$f_W(\omega)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvény $\setbox0\hbox{$\omega_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ melletti első zérushelyeinek a távolsága $\setbox0\hbox{$4\pi/T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, így az $\setbox0\hbox{$\omega_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ körüli csúcs szélessége $\setbox0\hbox{$\sim 2\pi/T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Tehát az első fontos konklúzió, hogy véges időtartamú mérés esetén a jelünket a Fourier-térben csak véges, nagyságrendileg $\setbox0\hbox{$\Delta \omega \approx 2\pi/T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ frekvenciafelbontással látjuk!

5. ábra. a) $\setbox0\hbox{$W(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ablakfüggvény téglalap ablak (kék folytonos vonal) és Hanning ablak (piros szaggatott vonal) esetén. b) $\setbox0\hbox{$F(t)=A\cdot \exp(i\omega_0 t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ harmonikus jel Fourier-transzformáltjának abszolút érték négyzete téglalap ablak (kék folytonos vonal) és Hanning ablak (piros szaggatott vonal) esetén. A téglalap ablakot Hanning ablakra cserélve az $\setbox0\hbox{$\omega_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ körüli csúcs kiszélesedik, azaz romlik a frekvenciafelbontás, azonban az $\setbox0\hbox{$\omega_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-tól távolabbi mellékcsúcsok amplitúdója lecsökken, azaz csökken a spektrális szivárgás.

Érdemes megjegyezni, hogy a fent említett téglalap ablak helyett választhatunk más ablakfüggvényt is, például $\setbox0\hbox{$W(t)=\cos^2(t\pi/T)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ún. Hanning-ablak esetén a mért jelben elnyomjuk a $\setbox0\hbox{$|t|<T/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ mintavételezési időablak széleihez közeli részeket (5a. ábra, piros szaggatott vonal). Ebben az esetben az $\setbox0\hbox{$\omega_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ körfrekvenciás jel Fourier-transzformáltjában $\setbox0\hbox{$\omega_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ körül egy még szélesebb csúcsot látunk (azaz a frekvenciafelbontás romlik), viszont az $\setbox0\hbox{$\omega_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-tól távolabbi oszcillációk amplitúdója (az ún. spektrális szivárgás) lecsökken (5b. ábra, piros szaggatott vonal).

Következő lépésként nézzük meg, hogy mi a hatása annak, hogy a jelünket nem folytonosan látjuk, hanem csak diszkrét mintavételezési időpontokban. Emiatt a jel Fourier-transzformáltját a folytonos integrál helyett kénytelenek vagyunk egy diszkrét összeggel, az ún. diszkrét Fourier-transzformálttal (DFT) közelíteni:

$\[ f_W(\omega)=\sum_{n=0}^{N-1} W(n\cdot \Delta t)F(n\cdot \Delta t) \mathrm{e}^{-i\omega n \Delta t}\Delta t, \]$

ahol $\setbox0\hbox{$\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a szomszédos mérési pontok közötti idő, $\setbox0\hbox{$N=T/\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pedig a mintavételezett pontok száma. Az ún. Nyquist-Shannon mintavételezési törvény szerint $\setbox0\hbox{$\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sűrűségű mintavételezés esetén a jelet $\setbox0\hbox{$\omega_\mathrm{max}=2\pi/2\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ maximális körfrekvenciáig tudjuk rekonstruálni.

Könnyen belátható, hogy a diszkrét Fourier-transzformált fenti képlet szerinti kiértékelése $\setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ mérési pont esetén $\setbox0\hbox{$\sim N^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ művelet ($\setbox0\hbox{$\Delta \omega \approx 2\pi/N\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ frekvenciafelbontás és $\setbox0\hbox{$\omega_\mathrm{max}=2\pi/2\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ maximális felbontható frekvencia esetén csak $\setbox0\hbox{$\omega_\mathrm{max}/\Delta \omega\approx N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ diszkrét pontban érdemes kiértékelni a diszkrét Fourier-transzformáltat, és a definíció szerint egy adott frekvencián $\setbox0\hbox{$~N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ művelet a szumma kiszámítása). Egy ügyes trükkel azonban jelentősen csökkenthető a számítási műveletek mennyisége. Megmutatható, hogy ha a mérési pontok száma kettő hatványa ($\setbox0\hbox{$N=2^p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$), és a frekvenciatérben $\setbox0\hbox{$\omega_k=2\pi k/N\Delta t,\ \ \ k=0,1,...,N/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ diszkrét körfrekvenciáknál értékeljük ki a Fourier-transzformáltat, akkor az ún. Fast Fourier Transform (FFT) algoritmus segítségével a számítási műveletek száma $\setbox0\hbox{$N^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ről $\setbox0\hbox{$N\log_2 N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-re csökken, ami nagy N esetén lényeges különbség.

A mérőműszerek jelentős része, így a laborgyakorlaton használt digitális oszcilloszkóp is az FFT algoritmus numerikus kiértékelése alapján határozza meg a mért jel spektrumát. A legtöbb esetben a műszer nem adja meg külön a spektrum valós és képzetes részét, hanem csak a Fourier-transzformált abszolút érték négyzetét látjuk. Ezen kívül a mérőműszerek általában a frekvencia, és nem a körfrekvencia függvényében adják meg a spektrumot, erre érdemes odafigyelni a mérés kiértékelésénél.

A Fourier-transzformáció nem csak a jel frekvenciájának a vizsgálatára alkalmas, hanem a jel amplitúdójának a mérésére is. A fenti képletek szerint egy $\setbox0\hbox{$A\exp(i\omega_0 t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ harmonikus jel téglalap ablakkal vett Fourier transzformáltja az $\setbox0\hbox{$\omega_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ körfrekvenciánál pontosan $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ amplitudóval rendelkezik. Az $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ amplitúdót azonban csak akkor kapjuk vissza, ha a jel körfrekvenciája megegyezik az FFT valamelyik frekvenciapontjával ($\setbox0\hbox{$\omega_0=2\pi n/T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$), ami akkor teljesül, ha a jelnek pontosan egész számú periódusa fér el a $\setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ mintavételezési ablakban. (Érdemes megjegyezni, hogy ebben az esetben az FFT összes többi frekvenciapontja a téglalapablakkal számolt Fourier-transzformált zérushelyeivel esik egybe, azaz a spektrális szivárgás is megszűnik.) Azonban ha a mérési ablak szélessége nem egyezik meg a jel periódusidejének egész számú többszörösével, akkor az FFT-algoritmus által számolt frekvenciapontok biztosan eltérnek a mért jelünk frekvenciájától, így az amplitúdóra is pontatlan értéket kapunk. Ha a jel amplitúdója érdekel minket, akkor olyan ablakfüggvényt érdemes választni, melynek a Fourier-transzormáltja a centrális csúcs körüli $\setbox0\hbox{$2\pi/T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szélességű tartományban minél kevesebbet változik. Téglalapablak esetén az amplitúdópontosság mintegy 36%, Hanning-ablak esetén pedig 15%. Speciális, ún. Flattop-ablakot választva ennél sokkal jobb, mintegy 0.01%-os amplitúdópontosság is elérhető, viszont cserébe lényegesen leromlik a frekvenciafelbontásunk.

Spektrumanalizátorok típusai

Egy ismeretlen frekvenciaeloszlású bejövő jel spektrumanalízisére három módszer használatos:

1. Az ún. DC körüli FFT-n alapuló spektrumanalízis.
2. Az ún. sweepelt heterodin spektrumanalízis.
3. Az ún. hibrid heterodin-FFT spektrumanalízis.

6. ábra. A háromfajta spektrumanalizátor sematikus blokkdiagrammja.

Ezen módszerek sematikus blokk-diagrammjait mutatja 6. ábra. Az első módszerben a bejövő jelet FFT-zve adódik a frekvenciaspektrum (6a. ábra). Ez a módszer azonban lényegében csak DC körüli, pl. audió jelek spektrumanalízisére használatos, mivel ekkor a Fourier-spektrum mindenképpen DC-től indul, hiszen az FFT algoritmus akkor effektív, ha a teljes $\setbox0\hbox{$0\le f \le f_\mathrm{max}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ frekvenciasávra alkalmazzuk. (Pontosabban fogalmazva, kiszámolhatjuk az FFT-t egy szűkebb sávra is, de az gyakorlatilag ugyan annyi számítási művelet, mintha a teljes frekvenciatartományra számolnánk). Ez akkor nem jó módszer, ha pl. csak 100 MHz körüli spektrum érdekes egy szűk, mondjuk 10 kHz-es tartományban, amit viszont nagy frekvenciafelbontással szeretnénk megmérni.

A második technika lényege, hogy egy olyan lokáloszcillátort használ aminek a frekvenciáját folyamatosan változtatjuk (sweepeljük), majd a kapott IF jelet aluláteresztve szűrjük, úgy hogy a lekevert jelnek gyakorlatilag csak a DC komponensét mérjük (6a. ábra). Az így kapott szűrt IF jel nagyságát ábrázolva az időben változó LO frekvencia függvényében megkapjuk az RF jel spektrumát. E módszer előnye, hogy viszonylag egyszerűen megvalósítható, lehetővé teszi a frekvenciaspektrum valósidejű vizsgálatát. Hátránya, hogy a sweepelt oszcillátorok frekvenciájának értékét nem könnyű pontosan meghatározni, ill. az, hogy egy időpillanatban csak 1 frekvenciaértéket mér. Azt is érdemes megjegyezni, hogy 6b. ábrán bemutatott elrendezésben csak a mért jelnek az LO jellel fázisban levő komponensét (azaz a valós részét) mérjük, ezért nevezzük ezt az elrendezést egycsatornás spektrumanalizátornak. A teljes Fourier-spektrum meghatározásához (és a Fourier-transzformált abszolút érték négyzetének meghatározásához is) ugyanezt a műveletet az LO jel 90 fokkal eltolt transzformáltjával is el kéne végezni, ami gyakorlatilag a lock-in erősítő 4. ábrán bemutatott blokkdiagramjának felel meg.

Az első két módszerből mindkettő legjobb tulajdonságait ötvözi a harmadik technika. Ebben egy fix frekvenciájú lokáloszcillátort használunk és a lekeverés után kapott IF jelet Fourier transzformáljuk FFT algoritmussal. Ezáltal tetszőleges frekvencia kis környezetét vizsgálhatjuk úgy, hogy egyszerre sok frekvenciát mérünk, ezt nevezik az FT módszer ún. multiplex tulajdonságának is. Emellett az LO frekvenciája nagyon stabil lehet, ezért a kapott frekvenciaspektrum nagyon pontosan kalibrált. Egyetlen hátránya, hogy az FFT művelet aránylag számolásigényes, azonban ez egyre kevésbé jelent limitációt a számítási kapacitás növekedése miatt.

A heterodin-FFT spektrumanalizátoroknál különösen fontos kérdés az IF frekvencia előjelének meghatározása, erre az ún. kvadratúra detektálás kínál megoldást. A probléma az, hogy a mixer fentebb említett tulajdonsága (azaz az LO és RF frekvenciák összegét és különbségét is előállítja) miatt 6c. ábrán mutatott blokkdiagram (ún. egycsatornás hibrid heterodin-FFT spektrumanalizátor) esetén pl. LO=100 MHz és RF=99.9 MHz mellett az IF jel 0.1 MHz-es frekvenciájú lesz. Erről a jelről az egycsatornás spektrumanalízis után nem tudjuk megmondani, hogy valójában -0.1 MHz frekvenciához, azaz RF=99.9 MHz-hez tartozik. Ha a lock-in kapcsán bemutatott elv szerint a bejövő RF jelet kettéosztjuk, majd két mixeren szorozzuk össze az LO-val és annak 90 fokos eltoltjával, akkor az így kapott két IF jelet Fourier-transzformálva az IF jel frekvenciája egyértelműen meghatározható. A modern spektrumanalizátorok, így pl. a Méréstechnika előadáson bemutatott Tektronix DPO/MSO oszcilloszkóp/jelanalizátor is kvadratúra üzemmódban működő heterodin-FFT elven alapulnak. A laborgyakorlat során a spektrumanalízist egyszerűbben oldjuk meg, az FM rádióadások vizsgálatánál az LO frekvenciáját 80 MHz-re állítjuk be. Mivel tudjuk, hogy a vizsgált rádióadások csak ennél nagyobb frekvenciákon vannak jelen (87.5-108 MHz között), ezért a kapott IF jelek frekvenciája egyértelmű.