3. Mérés: RC-körök vizsgálata

Elméleti összefoglaló

Időben harmonikusan változó jel

Lineáris áramkörök és harmonikusan változó áram és feszültség jelek részletes tárgyalását lásd a Kisérleti Fizika 1 kurzus rezgésekről szóló fejezetében [1]. A fontosabb mennyiségeket és összefüggéseket alább összefoglaljuk. Az ábrán egy $\setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ periodus idővel változó, $\setbox0\hbox{$f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$=1/$\setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ frekvenciájú feszültség jel látható. Ha a jel amplitúdója $\setbox0\hbox{$U_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és fázisa $\setbox0\hbox{$\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, az időfüggést az alábbi alakban adhatjuk meg: $\[ U(t)=U_0cos(2\pi ft+\varphi).\]$ Hasznos még bevezetni a körfrekvenciát $\setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$=2$\setbox0\hbox{$\pi f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Az időbeli változást leíró differenciál egyenletek könnyebb kezeléséhez érdemes bevezetni az alábbi komplex változót, melynek valós része adja a mérhető jelet: $\[ U(t)=U_0e^{i(\omega t+\varphi)}=U_0e^i\varphi e^{i\omega t}.\]$ A harmonikusan változó feszültség a komplex síkon egy $\setbox0\hbox{$U_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú kört ír le. A komplex számot reprezentáló vektor fázisszöge $\setbox0\hbox{$\omega t+\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ állandó szögsebességgel fordul körbe.

Általános időben harmonikusan változó feszültség

Lineáris áramköri elemek

Lineáris áramköri elemek esetén az áthajtott áramot és az elemen eső fezsültséget vagy azok deriváltjait lineáris összefüggés kapcsolja össze. Legegyszerűbb ilyen elem az ohmikus ellenállás: $\[ U=RI \]$ Az ellenálláson áthaladó áramot az alábbi komplex alakban adhatjuk meg $\[ I=I_0e^{i\omega t}, \]$ melyből kiszámíthatjuk a rajta eső feszültsége: $\[ Ue^{i\omega t}=RI_0e^{i\omega t}. \]$ Tehát az áram és a feszültség fázisa azonos az amplitúdokat pedig a $\setbox0\hbox{$U_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$=$\setbox0\hbox{$RI_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ összefüggéssel számolhatjuk ki.

Általános időben harmonikusan változó feszültség

Egy $\setbox0\hbox{$L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ induktivitással jellemezhető tekercs esetén a tekercs kapocsain mérhető feszültséget az alábbi képlet adja meg: $\[ U=L\frac{dI}{dt} \]$ Az időben harmonikusan változó áramot ismét komplex alakban adjuk meg $\[ I=I_0e^{i\omega t}, \]$ melyből a tekercs kapcsain mérhető feszültség: $\[ Ue^{i\omega t}=i\omega LI_0e^{i\omega t}. \]$ Tehát a feszültség fázisa $\setbox0\hbox{$\frac{\pi}{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-vel eltolódik az áramhoz képest, az amplitúdokat pedig a $\setbox0\hbox{$U_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$=$\setbox0\hbox{$\omega LI_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ összefüggéssel számolhatjuk ki. Érdemes bevezetni az ellenálláshoz hasonló fogalmat, az impedanciát. Ez a komplex mennyiség lineáris áramkörökben megadja a feszülség és az áram komplex arányát. Induktivitás esetén $\setbox0\hbox{$Z_L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$=$\setbox0\hbox{$i\omega L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

Általános időben harmonikusan változó feszültség

A $\setbox0\hbox{$C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kapacitással jellemezhető kondenzátor esetén ismert, hogy $\[ Q=CU. \]$ Ezt az összefüggést deriválva és átrendezve a korábbiakhoz hasonló alakú kifejezést kapunk: $\[ \frac{dU}{dt}=\frac{1}{C}I, \]$ hiszen a kondenzátor eltolási árama a töltésváltozással egyenlő. A komplex feszültség-áram összefüggés az alábbi alakot ölti: $\[ Ue^{i\omega t}=\frac{1}{i\omega C}I_0e^{i\omega t}. \]$ Tehát a feszültség fázisa -$\setbox0\hbox{$\frac{\pi}{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-vel eltolódik az áramhoz képest, az amplitúdokat pedig a $\setbox0\hbox{$U_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$=$\setbox0\hbox{$\frac{I_0}{\omega C}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ összefüggéssel számolhatjuk ki. A kondenzátorhoz tartozó impedancia $\setbox0\hbox{$Z_C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$=$\setbox0\hbox{$\frac{1}{i\omega C}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

Általános időben harmonikusan változó feszültség

Soros RC kör

Az ábrán látható soros RC körrel vizsgálhatjuk egy $\setbox0\hbox{$C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kapacitású kondenzátor feltöltődését és kisülését. Ha hosszú időn keresztül véges $\setbox0\hbox{$U$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ feszültséget kapcsolunk a körre a kondenzátor feltöltődik. Ezt követően, t=0 időpillanatban a kapcsolót átkapcsolva rövidre zárjuk az áramkört, azaz a bemeneti pontok azonos feszültségre kerülnek: $\[ U_R+U_C=0 \]$ Ekkor a kondenzátor fegyverzetein tárolt töltések átáramlanak az ellentétes fegyverzetre, hogy az új egyensúly elérését követően nulla feszültség essen a bemeneten (és a kondenzátoron is). Ezt az áramot például a fenti egyenlet deriválásával számíthatjuk ki: $\[ \frac{dU_R}{dt}+\frac{dU_C}{dt}=R\frac{dI}{dt}+\frac{I}{C}=0 \]$ Tehát az áramkörben folyó időfüggő áram az alábbi differenciál egyenletet elégíti ki: $\[ \frac{dI}{dt}=-\frac{I}{RC} \]$ Az $\setbox0\hbox{$RC$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szorzat láthatóan idő dimenziójú, érdemes bevezetni a $\setbox0\hbox{$\tau$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$=$\setbox0\hbox{$RC$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időállandót. Az exponenciális függvény kielégíti a fenti egyenletet, hiszen deriváltja szintén exponenciális: $\[ I=I_0e^{-t/\tau}, \]$ ahol $\setbox0\hbox{$I_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ később meghatározandó állandó. (Ellenőrízzük, hogy ez a függvény valóban megoldása a fenti differenciál egyenletnek!) Az integrálási állandó meghatározásához használjuk fel, hogy t=0 idő pillanatban ismert $\setbox0\hbox{$U$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ feszültségre volt feltöltve a kondenzátor, tehát az $\setbox0\hbox{$Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$=$\setbox0\hbox{$CU$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ töltést tárolt. A kapcsoló átfordítása után átfolyó töltésmennyiségnek egyenlőnek kell lennie a tárolt töltéssel: $\[ Q=\int_0^\infty I_0e^{-t/\tau}dt= -I_0\tau e^{-\infty/\tau}+I_0\tau e^{0/\tau}=I_0\tau. \]$

Általános időben harmonikusan változó feszültség

Megvizsgálhatjuk a soros RC kör harmonikus meghajtásra adott válaszát is. Például a meghajtó $\setbox0\hbox{$U_{be}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ feszültség $\setbox0\hbox{$U_{ki}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$=$\setbox0\hbox{$U_C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kondenzátor feszültségre gyakorolt hatását. Az eszközökön eső feszültség a meghajtó feszültséggel lesz egyenlő: $\[ U_R+U_C=U_{be} \]$ Az impedanciáról tanultakat felhasználva $\[ U_{be}=RI+Z_CI \]$ $\[ U_{ki}=Z_CI=\frac{Z_C}{R+Z_C}U_{be} \]$ Az amplitúdók arányát és a fáziskülönbséget az alábbi arány számításával határozhatjuk meg: $\[ \frac{U_{ki}}{U_{be}}=\frac{U_{ki}}{U_{be}}e^{\varphi_{ki}-\varphi_{be}} \]$

Általános időben harmonikusan változó feszültség

Mérési feladatok

1. Feladat A próbapanelen állítsunk össze egy $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$=10 k$\setbox0\hbox{$\Omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ellenállásból és az ismeretlen $\setbox0\hbox{$C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kapacitású kondenzártorból (barna áramköri elem) álló soros kapcsolást. $\setbox0\hbox{$U_{be}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ bemenetre csatlakoztassuk a myDAQ mérőkártya AO 0 illetve AGND (referencia pont) kimenetét, és a függvénygenerátor segítségével kapcsoljunk a bemenetre $\setbox0\hbox{$f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$=1 kHz frekvenciájú, $\setbox0\hbox{$V_{pp}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$=1 V-os szinusz jelet. A bemeneti és a kondenzátoron eső $\setbox0\hbox{$U_{ki}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kimeneti feszültséget kapcsoljuk a mérőkártya AI 0+, AI 0- és AI 1+, AI 1- csatlakozói közé. Az oszcilloszkóp mindkét csatornáját kapcsoljuk be, majd állítsuk be a feszültségerősítést, időosztást valamint a triggert.

Rögzítsük mindkét csatornán a feszültség időfüggését, majd az oszcilloszkóp program STOP gombjának megnyomasa után, a LOG gomb segítségével mentsük el a mért jelalakokat. Az IGOR segítségével olvassuk be a jeleket. (A loadwaves/tweaks menu beállításai: az összes elválasztó jelet ki kell pipálni, date format: year.month.day, line containing column label: 2, first line containing data: 5.) A data/change wave scaling menüvel állítsuk be az időtengely lépésközét. (Figyelem az oszcilloszkóp időalapjának változtatásával változik a skálázás is!) Illesszünk szinusz görbét, és az illesztésből határozzuk meg a két jel amplitúdójának arányát, illetve a fázisuk különbséget. Számítsuk ki az ismeretlen $\setbox0\hbox{$C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kapacitást és becsüljük meg a mérés hibáját. Végezzük el a fenti mérést 100 Hz-en, 330 Hz-en, 3.3 kHz-en és 10 kHz-en is. A mért amplitúdó arányokat és fáziskülönbségeket a frekvencia logaritmusának függvényében ábrázoljuk. Miért nevezik ezt a kapcsolást aluláteresztő szűrőnek?

2. Feladat Vizsgáljuk tovább a fenti áramkört! A bemeneti pontokra $\setbox0\hbox{$f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$=100 Hz frekvenciájú négyszögjelet kapcsoljunk. Az oszcilloszkóp beállítása után, mentsük el a kimeneti jelet. A kisülési görbékre exponenciális függvényt illesztve határozzuk meg az időállandót, majd számítsuk ki a $\setbox0\hbox{$C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kapacitás értékét ezzel a módszerrel is.