RLC körök mérése

Szerkesztés alatt!

A mérés célja:

-megismerkedni a leggyakrabban használt frekvenciafüggő áramköri elemekkel és az ezekből felépülő szelektív áramkörökkel.

Ennek érdekében:

-áttekintjük a váltakozó áramú hálózatok reaktáns elemeinek tulajdonságait és néhány egyszerű szűrő és egy rezgőkör frekvenciafüggő viselkedését; -méréseket végzünk a fent említett hálózatokon.

Elméleti összefoglaló

Tekercs

A tekercsben indukálódó feszültséget az

$\[ u(t) = L \frac{\textrm{d} i(t)}{\textrm{d} t} \]$

(1)

egyenlet írja le. Szinuszos gerjesztés [ $\setbox0\hbox{$ i(t)=I_0 \textrm{sin}\omega t $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ] esetén

$\[ u(t) = L \omega I_0 \textrm{cos}\omega t, \]$

(2)

ami a következő alakba is írható:

$\[ u(t) = L \omega I_0 \textrm{sin}( \omega t + 90^\circ ), \]$

(3)

tehát a tekercsben fellépő feszültség 90°-ot siet az átfolyó áramhoz képest. A jelenség magyarázata a Lenz-törvényen alapul.

Kondenzátor

A kondenzátoron átfolyó áram időfüggését az alábbi egyenlet írja le:

$\[ i(t) = C \frac{\textrm{d} u(t)}{\textrm{d} t}. \]$

(4)

Szinuszos gerjesztés [ $\setbox0\hbox{$ u(t)=U_0 \textrm{sin}\omega t $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ] esetén:

$\[ i(t) = C \omega U_0 \textrm{cos}\omega t, \]$

(5)

ami a fentiekhez hasonlóan a következő alakba írható:

$\[ i(t) = C \omega U_0 \textrm{sin}( \omega t + 90^\circ ), \]$

(6)

azaz a kondenzátor árama 90°-ot siet a feszültségéhez képest. Magyarázata az, hogy először áram folyik, így töltések kerülnek a lemezekre, és ezek hozzák létre a feszültséget. Gyakran szükséges a kondenzátor feszültségének ismerete, ami (4) alapján az alábbiak szerint számítható:

$\[ u(t) = \frac{1}{C} \int i(t)\textrm{d}t . \]$

(7)

Aluláteresztő szűrő

Írjuk fel az 1.a és 1.b ábrákon látható kapcsolások kimenő feszültségeit! (A vastag betűs mennyiségek komplex változók, $\setbox0\hbox{$j$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a képzetes egység.)

$\[ \begin{array}{rcl} \mathbf{U}_{ki} & = & \mathbf{U}_{be} \frac{1/j\omega C}{R + 1/j\omega C} \\ \\ \mathbf{U}_{ki} & = & \mathbf{U}_{be} \frac{1}{1 + j\omega RC} \end{array} \]$	$\[ \begin{array}{rcl} \mathbf{U}_{ki} & = & \mathbf{U}_{be} \frac{R}{R + j\omega L} \\ \\ \mathbf{U}_{ki} & = & \mathbf{U}_{be} \frac{1}{1 + j\omega L/R} \end{array} \]$

A kimeneti és bemeneti feszültségek hányadosa a hálózatra jellemző, frekvenciafüggő kifejezés.

$\[ \frac{\mathbf{U}_{ki}}{\mathbf{U}_{be}} = \frac{1}{1 + j\omega RC} \]$

$\[ \frac{\mathbf{U}_{ki}}{\mathbf{U}_{be}} = \frac{1}{1 + j\omega L/R} \]$

(8)

A két (8) kifejezés formailag azonos, tehát a két kapcsolás azonos jellegű viselkedést mutat. Ameddig $\setbox0\hbox{$\omega RC \ll 1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vagy $\setbox0\hbox{$\omega L/R \ll 1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a kifejezések értéke 1, ha $\setbox0\hbox{$\omega RC \gg 1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vagy $\setbox0\hbox{$\omega L/R \gg 1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a hányados értéke $\setbox0\hbox{$1/\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szerint csökken. Ez azt jelenti, hogy adott $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ esetén az alacsony frekvenciájú jelek csillapítás nélkül jelennek meg a kimeneten, míg magasabb frekvenciákon a kimenő feszültség egyre kisebb. Ezeket a kapcsolásokat aluláteresztő szűrőknek nevezik.

Felüláteresztő szűrő

A 2.a és a 2.b ábrákon látható kapcsolásokat leíró egyenletek az előző pontban követett eljárás alapján az alábbiak szerint alakulnak.

$\[ \begin{array}{rcl} \mathbf{U}_{ki} & = & \mathbf{U}_{be} \frac{R}{R + 1/j\omega C} \\ \\ \frac{\mathbf{U}_{ki}}{\mathbf{U}_{be}} & = & \frac{1}{1 + 1/j\omega RC} \end{array} \]$	$\[ \begin{array}{rcl} \mathbf{U}_{ki} & = & \mathbf{U}_{be} \frac{j\omega L}{R + j\omega L} \\ \\ \frac{\mathbf{U}_{ki}}{\mathbf{U}_{be}} & = & \frac{1}{1 + R/j\omega L} \end{array} \]$	(9)

A kifejezésekből jól látszik, hogy a kapcsolások a kisfrekvenciás jeleket nem engedik a kimenetre, míg a nagyfrekvenciás jelek csillapítás nélkül jelennek meg a kimeneti pontokon.

3.ábra

Sávzáró szűrő

Alul és felüláteresztő szűrők egymás után kapcsolásával és az áteresztési tartományok helyes megválasztásával előállítható olyan szűrő, amelyik csak egy meghatározott tartományban csillapítja a jelet. Az ilyen kapcsolást nevezik sávzáró szűrőnek. Ennek egy realizálása a kettős T szűrő, a 3. ábrán látható.

A kapcsolás részletes elemzése nélkül is megállapítható, hogy alacsony frekvenciákon a hosszági ellenállásokon, magas frekvenciákon a hosszági kondenzátorokon jut jel a kimenetre.

Sáváteresztő szűrő

Az 1.5 pontban leírtak alapján alul- és felüláteresztő szűrőkből összeállítható olyan kapcsolás is, amely csak egy meghatározott tartományban engedi át a jeleket. Ezek a sáváteresztő szűrök.

Az eddig ismertetett szűrőkapcsolások passzív elemekből állnak, jellemzőjük, hogy a kimeneti jel az áteresztési tartományokban sem nagyobb a bemenetinél. Aktív eszközökkel (pl. műveleti erősítő) készíthető olyan szűrő, amelyik egyben a jel erősítését is elvégzi az áteresztési tartományban.

4.ábra

Soros rezgőkör

Kondenzátor és tekercs soros kapcsolását (a veszteségeket soros ellenállással figyelembe véve) soros rezgőkörnek nevezik (4. ábra).

A hálózat eredő impedanciája:

$\[ \mathbf{Z}(\omega) = R + j\omega L + 1/j\omega C \]$

(10)

Az impedancia abszolút értéke és fázisszöge:

$\[ Z(\omega) = \sqrt{R^2 + (\omega L-1/\omega C)^2} , \]$

$\[ \textrm{tan}\phi = \frac{\omega L - 1/\omega C}{R} \]$

A körben folyó áram:

$\[ I(\omega) = \frac{U_{be}}{\sqrt{R^2 + (\omega L-1/\omega C)^2}} \]$

(11)

A $\setbox0\hbox{$Z(\omega)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$I(\omega)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvényeket ábrázolva a kapcsolás jellegzetes tulajdonságaira derül fény (5. ábra).

5.ábra

Látható, hogy az eredő impedanciának $\setbox0\hbox{$\omega L = 1/\omega C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ esetén az

\[ \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC} \]

(12)

körfrekvencián minimuma van, értéke valós, a veszteségi ellenállással egyezik meg. A jelenséget rezonanciának, $\setbox0\hbox{$\omega_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-t rezonancia-körfrekvenciának hívják. Ezen a körfrekvencián a körben folyó áram értéke maximális, úgynevezett áramrezonancia alakul ki. A bemeneti feszültség és a körben folyó áram közötti fázisszög az impedancia fázisszöge, ebben az esetben nulla. Ez az áram - kis veszteségi ellenállást feltételezve - igen nagy feszültségeket hozhat létre a kondenzátoron és a tekercsen. Azonban ezek a feszültségek egymással 180°-os szöget zárnak be, abszolút értékük megegyezik, hiszen azonos áram folyik át rajtuk (6. ábra).