Függvényillesztés Monte Carlo módszerrel mérésleírás

Bevezetés

A Monte Carlo algoritmusok szerteágazó alkalmazási területei közül a függvényillesztés a számítógépes gyakorlat témája. A leírás áttekinti a szükséges elméleti hátteret, valamint segítséget ad a konkrét megvalósításhoz.

Elméleti háttér

Legyen az illesztendő adatsor $\setbox0\hbox{$ Y_\textrm{orig}(X_\textrm{i})$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ahol $\setbox0\hbox{$i=1\ldots N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Az illesztett adatsor hasonlóan $\setbox0\hbox{$Y_\textrm{fit}(X_\textrm{i}, \vec{A})$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ahol $\setbox0\hbox{$\vec{A}=(A_1,A_2 \ldots A_\textrm{M})$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a paraméterek listája, amelyek hangolásával érjük el, hogy az illesztett adatsor rásimuljon az eredetire. Ez a következő energiakifejezés minimalizálását jelenti:

$\[E(\vec{A})=\sum_{i=1}^{N} \left| Y_\textrm{orig}(X_\textrm{i}) - Y_\textrm{fit}(X_\textrm{i}, \vec{A})\right| \label{MCEnergyEq} \]$

A minimalizálást Monte Carlo--Metropolis algoritmussal végezzük: Változtassuk meg a paramétereket véletlenszerűen: $\setbox0\hbox{$\vec{A}' = \vec{A}+ \vec{\delta A}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Ezzel a \eqref{MCEnergyEq} szerint kiszámolt energia is változik: $\setbox0\hbox{$E(\vec{A}) \rightarrow E(\vec{A}')$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Az új paramétereket elfogadjuk, ha közelebb kerültünk a minimumhoz, tehát $\setbox0\hbox{$E(\vec{A}') < E(\vec{A})$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Célunk elkerülni, hogy az algoritmus befagyjon egy lokális minimumba, ezért $\setbox0\hbox{$p=\textrm{exp}(-\beta(E(\vec{A}')-E(\vec{A})))$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ valószínűséggel dolgozunk tovább az új paraméterekkel, ha $\setbox0\hbox{$E(\vec{A}') > E(\vec{A})$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Vegyük észre, hogy $\setbox0\hbox{$\beta \rightarrow \infty$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ esetben csak lefelé léphetünk, míg a $\setbox0\hbox{$\beta \rightarrow 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ határátmenetben véletlenszerű mozgást kapunk a paramétertérben. Ez adja a fizikai jelentését az algoritmusban szereplő $\setbox0\hbox{$\beta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ értéknek: megfeleltethető egy, a paramétertérben mozgó részecske $\setbox0\hbox{$(kT)^{-1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ inverz hőmérsékletének.

Implementáció

A fentiek megvalósításához a következő felépítést érdemes követni:

1. Készítsünk globális tömböt az eredeti, valamint az illesztett adatsornak;
2. Hasonlóan globális változókban tároljuk az inverz hőmérsékletet, az illesztési paramétereket, valamint azok lépésközét;
3. Deklaráljunk két véletlenszám-generátort: egyet a paraméterek megváltoztatásához és egyet az $\setbox0\hbox{$\exp(-\beta \Delta E)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ valószínűségű lépéshez;
4. Hozzunk létre globális változókat a megváltoztatott paramétereknek, valamint egy tömböt a megváltoztatott paraméterekkel generált illesztőfüggvénynek.

Az illesztés inicializálásához hozzuk létre a szükséges változókat, és olvassuk be a kezdőértékeket a TextBoxokból.

Az illesztést az alábbiak szerint végezzük:

1. Számítsuk ki a $\setbox0\hbox{$E(\vec{A})$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szerinti energiát az aktuális változókkal;
2. Változtassuk meg az egyik paramétert a megadott határok között egyenletes eloszlással;
3. Számítsuk ki az így megváltozott energiát;
4. A régi és új energia különbsége alapján döntsünk arról, hogy elfogadjuk-e a változást: ha az új érték kisebb, akkor minden esetben, ha nem, akkor sorsoljunk egy véletlenszámot, és $\setbox0\hbox{$\exp(-\beta \Delta E)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ valószínűséggel;
5. Ha szükséges, írjuk ki az új értéket a TextBoxba, és ábrázoljuk a megváltozott illesztőfüggvényt;
6. A fentiek szerint járjunk el a többi paraméter esetében.

Feladatok

Készítsünk grafikus függvényillesztő felületet a data.dat fileban található 500 elemű adatsor illesztéséhez a

$\[ y(t)=Ae^{-t/\tau}\sin(2\pi t/T)\]$

függvénnyel, ahol $\setbox0\hbox{$A,\tau,T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a keresett paraméterek. A cél eléréséhez az alábbiak szerint haladjunk:

1. Olvassuk be és ábrázoljuk a data.dat állomány tartalmát!
2. Hozzunk létre TextBoxokat, amelyekkel állíthatóak a függvényillesztés kiinduló paraméterei, azok lépésköze, valamint az inverz hőmérséklet!
3. Hozzunk létre gombokat, amelyekkel elindíthatjuk a függvényillesztést: legyen lehetséges újraindítani az illesztést a TextBoxokban megadott kezdeti paraméterekkel, valamint 1, illetve 100 illesztési ciklust elindítani!
4. A program jelenítse meg az aktuális paramétereket, az $\setbox0\hbox{$E(\vec{A})$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szerinti energiát, valamint az illesztett függvényt!

A jegyzőkönyvben szerepeljen a program felépítésének leírása, valamint a probléma diszkussziója. Vizsgáljuk meg a kezdeti paraméterek, az inverz hőmérséklet, valamint a paraméterek lépésközeinek hatását az illesztés gyorsaságára és jóságára, azaz adjuk meg, hogy átlagosan hány lépés után illeszkedik a generált függvény az eredetire, valamint mekkora a jellemző minimális energia! Opcionálisan próbáljuk ki, hogy lehetséges-e jobb eredményt elérni, ha $\setbox0\hbox{$\beta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-t, illetve a lépésközöket dinamikusan változtatjuk! A dokumentációhoz csatoljuk a program forráskódját!