Elektrosztatika példák - A potenciál változása egyenletesen töltött körlap tengelye mentén forrásának megtekintése

<noinclude>
[[Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 2.]]
[[Kategória:Szerkesztő:Beleznai]]
[[Kategória:Elektrosztatika]]
{{Kísérleti fizika gyakorlat
| tárgynév    = Kísérleti fizika gyakorlat 2.
| témakör     = Elektrosztatika - Elektromos potenciál
}}
== Feladat ==
</noinclude><wlatex>#$R$ sugarú szigetelő körlemezre $Q$ töltést viszünk egyenletes felületi töltéssűrűséggel.   A kör középpontja felett, a kör síkjától $z$ távolságra mekkora a potenciál?
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Először parametrizáljuk a körlap felületét $r$ és $\varphi$ polárkoordináták szerint, a szuperpozíció elve alapján skalárisan összegeznünk kell az egyes felületelemek $dU$ potenciál járulékait.}}{{Végeredmény|content=$$U=\dfrac{Q}{2\pi\varepsilon_0 R^2}\left( \sqrt{R^2+z^2}-z\right)$$}}
</wlatex></includeonly><noinclude>
== Megoldás ==
<wlatex>
[[Kép:KFGY2-2-4uj.png|none|400px]]
Először határozzuk meg a felület töltéssűrűségét:

$$\omega=\dfrac{Q}{R^2\pi} $$

Ezt követően parametrizáljuk a körlap felületét $r$ és $\varphi$ polárkoordináták szerint. Válasszunk ki egy $d\varphi$ szög alatt látszódó, a középponttól $r$ távolságra levő kicsiny felületdarabot, melynek sugár irányú szélessége $dr$ (1. ábra). Ezen infinitezimális felületelem $dQ$ töltése:

$$dQ=\omega rd\varphi dr$$

Ezen infinitezimális felületelem ponttöltésnek tekinthető, melynek $dU$ potenciál járuléka a kérdéses pontban:

$$dU=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{dQ}{t}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{\omega r}{t}d\varphi dr$$

Ahol $t=\sqrt{r^2+z^2}$ a felületelem és a kérdéses pont távolsága. Ha a teljes felület által keltett potenciálra vagyunk kíváncsiak, a szuperpozíció elve alapján skalárisan összegeznünk kell az egyes felületelemek $dU$ potenciál járulékait:

$$U=\int_0^R \int_0^{2\pi}dU=\dfrac{\omega}{4\pi\varepsilon_0} \int_0^R \int_0^{2\pi} \dfrac{r}{(r^2+z^2)^{1/2}}d\varphi dr$$
$$U=\dfrac{\omega}{4\pi\varepsilon_0} 2\pi\int_0^R  \dfrac{r}{(r^2+z^2)^{1/2}} dr=\dfrac{\omega}{2\varepsilon_0}\left( \sqrt{R^2+z^2}-z\right)$$

Behelyettesítve a felületi töltéssűrűségre kapott összefüggést:

$$U=\dfrac{Q}{2\pi\varepsilon_0 R^2}\left( \sqrt{R^2+z^2}-z\right)$$

Érdekesség:
Érdemes kiszámítani a kapott $U$ potenciál negatív gradiensét:

$$E=-\dfrac{\partial U}{\partial z}=-\dfrac{\omega}{2\varepsilon_0}\left( \dfrac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}-1\right)$$

Mely megadja a kérdéses pontban a térerősséget. Ezt vessük össze az [[Elektrosztatika példák - Egyenletesen töltött körlap tengelye mentén az elektromos tér|Egyenletesen töltött körlap tengelye mentén az elektromos tér]] feladat megoldásával, ahol ugyanezen elrendezés elektromos terét kellett meghatározni térerősség vektorok összegzésével:

$$E=\dfrac{\omega}{2\varepsilon_{0}} \left(1-\dfrac{z}{(R^2+z^2)^{1/2}} \right)$$


</wlatex>
</noinclude>