Elektrosztatika példák - A potenciál változása egyenletesen töltött körlap tengelye mentén

Feladat

1. $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú szigetelő körlemezre $\setbox0\hbox{$Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ töltést viszünk egyenletes felületi töltéssűrűséggel. A kör középpontja felett, a kör síkjától $\setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságra mekkora a potenciál?

Megoldás

Először határozzuk meg a felület töltéssűrűségét:

$\[\omega=\dfrac{Q}{R^2\pi} \]$

Ezt követően parametrizáljuk a körlap felületét $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ polárkoordináták szerint. Válasszunk ki egy $\setbox0\hbox{$d\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szög alatt látszódó, a középponttól $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságra levő kicsiny felületdarabot, melynek sugár irányú szélessége $\setbox0\hbox{$dr$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ (1. ábra). Ezen infinitezimális felületelem $\setbox0\hbox{$dQ$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ töltése:

$\[dQ=\omega rd\varphi dr\]$

Ezen infinitezimális felületelem ponttöltésnek tekinthető, melynek $\setbox0\hbox{$dU$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ potenciál járuléka a kérdéses pontban:

$\[dU=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{dQ}{t}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{\omega r}{t}d\varphi dr\]$

Ahol $\setbox0\hbox{$t=\sqrt{r^2+z^2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a felületelem és a kérdéses pont távolsága. Ha a teljes felület által keltett potenciálra vagyunk kíváncsiak, a szuperpozíció elve alapján skalárisan összegeznünk kell az egyes felületelemek $\setbox0\hbox{$dU$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ potenciál járulékait:

$\[U=\int_0^R \int_0^{2\pi}dU=\dfrac{\omega}{4\pi\varepsilon_0} \int_0^R \int_0^{2\pi} \dfrac{r}{(r^2+z^2)^{1/2}}d\varphi dr\]$

$\[U=\dfrac{\omega}{4\pi\varepsilon_0} 2\pi\int_0^R \dfrac{r}{(r^2+z^2)^{1/2}} dr=\dfrac{\omega}{2\varepsilon_0}\left( \sqrt{R^2+z^2}-z\right)\]$

Behelyettesítve a felületi töltéssűrűségre kapott összefüggést:

$\[U=\dfrac{Q}{2\pi\varepsilon_0 R^2}\left( \sqrt{R^2+z^2}-z\right)\]$

Érdekesség: Érdemes kiszámítani a kapott $\setbox0\hbox{$U$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ potenciál negatív gradiensét:

$\[E=-\dfrac{\partial U}{\partial z}=-\dfrac{\omega}{2\varepsilon_0}\left( \dfrac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}-1\right)\]$

Mely megadja a kérdéses pontban a térerősséget. Ezt vessük össze az Egyenletesen töltött körlap tengelye mentén az elektromos tér feladat megoldásával, ahol ugyanezen elrendezés elektromos terét kellett meghatározni térerősség vektorok összegzésével:

$\[E=\dfrac{\omega}{2\varepsilon_{0}} \left(1-\dfrac{z}{(R^2+z^2)^{1/2}} \right)\]$