Elektrosztatika példák - Töltésen végzett munka

Feladat

1. Mekkora munkát kell végeznünk, ha a $\setbox0\hbox{$Q_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ töltést az ábrán látható $\setbox0\hbox{$Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ töltés környezetében az $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pontból a $\setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pontba visszük át?
   

Megoldás

Először mozgassuk a $\setbox0\hbox{$Q_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ponttöltést az $\setbox0\hbox{$r_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú, $\setbox0\hbox{$Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ középpontú köríven addig, amíg a $\setbox0\hbox{$Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a $\setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és a $\setbox0\hbox{$Q_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ponttöltés egy egyenesre nem esik. Ezen a köríven mozogva a $\setbox0\hbox{$\overline{ds}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ elemi elmozdulások mindvégig merőlegesek a $\setbox0\hbox{$Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ töltés $\setbox0\hbox{$\overline{E}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ elektromos terére, így a mozgatáskor nem történik munkavégzés.

Ezt követően a $\setbox0\hbox{$Q_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ töltést sugárirányban mozgatjuk a $\setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pontig. Ezen út során a $\setbox0\hbox{$\overline{dr}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ elemi elmozdulások mindvégig párhuzamosak a $\setbox0\hbox{$Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ töltés $\setbox0\hbox{$\overline{E}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ elektromos terével, így az általunk végzett munka:

$\[W=-Q_1\int_{r_1}^{r_2}\overline{Edr}=-Q_1\int_{r_1}^{r_2}Edr\]$

ahol $\setbox0\hbox{$r_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a $\setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pont $\setbox0\hbox{$Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-tól mért távolsága. A negatív előjelre azért van szükség, mert az elektromos tér által kifejtett erő $\setbox0\hbox{$\overline{F}=Q_1\overline{E}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A $\setbox0\hbox{$Q_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ töltés mozgatásához viszont ezzel ellentétes irányú, megegyező nagyságú $\setbox0\hbox{$\overline{-F}=-Q_1\overline{E}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ erőre van szükség.

A feladat pedig nem a tér munkájára, hanem a testet mozgató erő munkájára kíváncsi. A $\setbox0\hbox{$Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ponttöltés terét az integrálba behelyettesítve megkapjuk a végzett munkát:

$\[W=-\frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{r_1}^{r_2}\frac{1}{r^2}dr=-\frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0}\left( \frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2} \right)\]$