Elektrosztatika példák - Töltésen végzett munka

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 2.
Gyakorlatok listája:
  1. Erőhatások elektromos erőtérben, elektromos térerősség
  2. Elektromos potenciál
  3. Dielektrikumok, Gauss-tétel. Kapacitás, kondenzátorok
  4. Kapacitás, kondenzátorok. Elrendezések energiája
  5. Vezetőképesség, áramsűrűség
  6. Biot-Savart törvény, gerjesztési törvény
  7. Erőhatások mágneses térben
  8. Mágneses térerősség. Kölcsönös és öninduktivitás
  9. Az indukció törvénye, mozgási indukció
  10. Mágneses tér energiája. Váltakozó áram, eltolási áram
Elektrosztatika - Elektromos potenciál
Feladatok listája:
  1. Potenciál számítása a térerősségből
  2. Elektromos térerősség kiszámítása a potenciálból
  3. Töltésen végzett munka
  4. A potenciál változása egyenletesen töltött körlap tengelye mentén
  5. Párhuzamos végtelen síklapok potenciáltere
  6. Összeolvadt esőcseppek potenciálja
  7. Fém gömbhéjjal koncentrikusan körülvett töltött fémgömb esetén kialakuló potenciáltér
  8. Töltéssel ellátott koaxiális fémhengerek közötti potenciálkülönbség
  9. A potenciál töltött fémszállal koaxiális fémhenger esetén
  10. Vezető félgömb potenciálja a gömb középpontjában
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Mekkora munkát kell végeznünk, ha a \setbox0\hbox{$Q_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% töltést az ábrán látható \setbox0\hbox{$Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% töltés környezetében az \setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pontból a \setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pontba visszük át?
    KFGY2-2-3.png

Megoldás


Először mozgassuk a \setbox0\hbox{$Q_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% ponttöltést az \setbox0\hbox{$r_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú, \setbox0\hbox{$Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% középpontú köríven addig, amíg a \setbox0\hbox{$Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, a \setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és a \setbox0\hbox{$Q_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% ponttöltés egy egyenesre nem esik. Ezen a köríven mozogva a \setbox0\hbox{$\overline{ds}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% elemi elmozdulások mindvégig merőlegesek a \setbox0\hbox{$Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% töltés \setbox0\hbox{$\overline{E}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% elektromos terére, így a mozgatáskor nem történik munkavégzés.

Ezt követően a \setbox0\hbox{$Q_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% töltést sugárirányban mozgatjuk a \setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pontig. Ezen út során a \setbox0\hbox{$\overline{dr}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% elemi elmozdulások mindvégig párhuzamosak a \setbox0\hbox{$Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% töltés \setbox0\hbox{$\overline{E}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% elektromos terével, így az általunk végzett munka:

\[W=-Q_1\int_{r_1}^{r_2}\overline{Edr}=-Q_1\int_{r_1}^{r_2}Edr\]

ahol \setbox0\hbox{$r_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a \setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pont \setbox0\hbox{$Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-tól mért távolsága. A negatív előjelre azért van szükség, mert az elektromos tér által kifejtett erő \setbox0\hbox{$\overline{F}=Q_1\overline{E}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. A \setbox0\hbox{$Q_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% töltés mozgatásához viszont ezzel ellentétes irányú, megegyező nagyságú \setbox0\hbox{$\overline{-F}=-Q_1\overline{E}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% erőre van szükség.

A feladat pedig nem a tér munkájára, hanem a testet mozgató erő munkájára kíváncsi. A \setbox0\hbox{$Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% ponttöltés terét az integrálba behelyettesítve megkapjuk a végzett munkát:

\[W=-\frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{r_1}^{r_2}\frac{1}{r^2}dr=-\frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0}\left( \frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2} \right)\]