Elektrosztatika példák - Párhuzamos végtelen síklapok potenciáltere
A Fizipedia wikiből
Feladat
- Két párhuzamos, nagy kiterjedésű vezető sík egyike földelt, a másik felületi töltéssűrűsége
. A lemezek távolsága
.
a) Mekkora a lemezek közötti potenciálkülönbség?
b) Mekkora lesz a potenciálkülönbség, ha a lemezekkel párhuzamosan, tőlük egyenlő távolságra, egyfelületi töltéssűrűségű harmadik lemezt helyezünk?
Megoldás
a) A földelt lemezen felületi töltéssűrűség alakul ki. A lemezek közötti térerősség nagysága:
![\[E=\frac{\omega_{1}}{\epsilon_{0}}\]](/images/math/e/3/1/e31c1f035b1ceaa8ea43fee53bd9a941.png)
Ebből a lemezek közötti potenciálkülönbség:
![\[ U =\frac{\omega_{1}}{\epsilon_{0}}\cdot d \]](/images/math/c/7/9/c7966653df23b09877d552d1a8120db2.png)
b)
Ebben az esetben a földelt lemezen kialakuló felületi töltéssűrűség: hiszen a földelt lemez helyén, a másik két lemez által okozott térerősség húzza fel a töltéseket a földből.Ebből a térerősség földelt és a betett lemezek között:
![\[E_{1}=\frac{\omega_{1}}{2\cdot\epsilon_{0}}+\frac{\omega_{2}}{2\cdot\epsilon_{0}}-\frac{\omega_{3}}{2\cdot\epsilon_{0}}=\frac{\omega_{1}+\omega_{2}}{\epsilon_{0}}\]](/images/math/7/0/8/708da3e353927cd03b13e575f6a9e29a.png)
A betett és a másik lemez között a tér pedig:
![\[E_{2}=\frac{\omega_{1}}{2\cdot\epsilon_{0}}-\frac{\omega_{2}}{2\cdot\epsilon_{0}}-\frac{\omega_{3}}{2\cdot\epsilon_{0}}=\frac{\omega_{1}}{\epsilon_{0}}\]](/images/math/3/4/5/3451d225a9d9622b730423e288add78a.png)
Ebből a potenciál különbség:
![\[U = U_{1}+U_{2} = \frac{\omega_{1}+\omega_{2}}{\epsilon_{0}}\cdot \frac{d}{2} + \frac{\omega_{1}}{\epsilon_{0}}\cdot \frac{d}{2} = \frac{2\omega_{1}+\omega_{2}}{\epsilon_{0}}\cdot \frac{d}{2} \]](/images/math/3/1/7/317fa11b5b04962466e420d09bff5238.png)