Elektrosztatika példák - Összeolvadt esőcseppek potenciálja

Feladat

1. Nyolc esőcsepp mindengyikének potenciálja $\setbox0\hbox{$U$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Egyetlen cseppé egyesülésük után mekkora lesz ennek a cseppnek a potenciálja?

Megoldás

Egyetlen $\setbox0\hbox{$Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ töltésű $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú cseppnek a potenciálja végtelen távoli ponthoz képest:

$\[U = k\cdot\frac{Q}{r}\]$

Az egyesült csepp térfogata, a kis cseppek térfogatainak az összege, vagyis:

$\[8\cdot\frac{4}{3}\cdot r^{3}\cdot\pi = \frac{4}{3}\cdot R^{3}\cdot\pi\]$

amiből az egyesült csepp sugara:

$\[R = 2r\]$

.

Töltése pedig a cseppek töltéseinek összege, vagyis $\setbox0\hbox{$8Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Ebből az egyesült csepp potenciálja:

$\[\frac{k\cdot 8\cdot Q}{2\cdot r} = 4\cdot\frac{k\cdot Q}{r} = 4\cdot U\]$