Elektrosztatika példák - Fém gömbhéjjal koncentrikusan körülvett töltött fémgömb esetén kialakuló potenciáltér

Feladat

1. Egy $\setbox0\hbox{$R_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú tömör fémgömböt koncentrikusan vesz körül, egy $\setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ falvastagságú fém gömbhéj, aminek a belső átmérője $\setbox0\hbox{$R_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Közöttük levegő van. A belső fémgömböt feltöltjük, úgy, hogy a felületi töltéssűrűsége $\setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.
   a) Határozzuk meg a számszerűen a térerősséget a gömbök felszínén.
   b) Ábrázoljuk a térerősséget, mint a középponttól mért távolság függvényét, ha a külső gömb földeletlen, illetve földelt.
   c) Mekkora a gömbök közötti potenciálkülönbség?
   d) Legfeljebb mekkora feszültség kapcsolható a gömbökre, ha $\setbox0\hbox{$E_{kr}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ dielektromos szilárdságú szigetelőt teszünk közéjük?

Megoldás

a) Földeletlen esetben a külső gömbön töltésmegosztás jön létre. Ha az $\setbox0\hbox{$R_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú gömb töltése $\setbox0\hbox{$Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ akkor a külső gömb belső felületén $\setbox0\hbox{$-Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, külső felületén pedig $\setbox0\hbox{$Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ töltés jön létre.

A belső gömb felszínére felírva a Gauss-tételt:

$\[E\cdot 4\cdot R_{1}^{2}\cdot\pi = \frac{\omega}{\epsilon_{0}}\cdot 4\cdot R_{1}^{2}\cdot\pi\]$

$\[E=\frac{\omega}{\epsilon_{0}}\]$

A külső gömb külső sugara $\setbox0\hbox{$R_{3} = R_{2}+d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ erre felírva a Gauss-tételt:

$\[E\cdot 4\cdot R_{3}^{2}\cdot\pi = \frac{\omega}{\epsilon_{0}}\cdot 4\cdot R_{1}^{2}\cdot\pi\]$

$\[E=\frac{\omega\cdot R_{1}^{2}}{\epsilon_{0}\cdot R_{3}^{2}}\]$

b) Különböztessünk meg négy esetet és írjuk fel rájuk a Gauss tételt:
1: $\setbox0\hbox{$r < R_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$

$\[E\cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = 0 \Rightarrow \vec{E}=0\]$

2: $\setbox0\hbox{$R_{1} < r < R_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$

$\[E\cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = \frac{\omega}{\epsilon_{0}}\cdot 4\cdot R_{1}^{2}\cdot\pi \Rightarrow E= \frac{\omega\cdot R_{1}^{2}}{\epsilon_{0}\cdot r^{2}}\]$

3: $\setbox0\hbox{$R_{2} < r < R_{3}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$

$\[E\cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = 0 \Rightarrow \vec{E}=0\]$

4.a: (földeletlen): $\setbox0\hbox{$R_{3} < r $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$

$\[E\cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = \frac{\omega}{\epsilon_{0}}\cdot 4\cdot R_{1}^{2}\cdot\pi \Rightarrow E= \frac{\omega\cdot R_{1}^{2}}{\epsilon_{0}\cdot r^{2}}\]$

4.b: (földelet): $\setbox0\hbox{$R_{3} < r $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$

Ekkor annyi töltés jelenik meg a külső gömb külső felszínén, hogy a külső gömb összes töltése $\setbox0\hbox{$-Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ legyen.

$\[E\cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = 0 \Rightarrow \vec{E}=0\]$

c) A gömbök közötti potenciálkülönbség:

$\[\Delta U = -\int_{R_{1}}^{R_{2}}\vec{E}\vec{dr}=-\int_{R_{1}}^{R_{2}}\frac{\omega\cdot R_{1}^{2}}{\epsilon_{0}\cdot r^{2}}\vec{dr}\]$

$\[ \Delta U = \frac{\omega\cdot R_{1}^{2}}{\epsilon_{0}}\cdot [\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}]\]$

d) A legnagyobb térerősség a belső gömbbe felszínén van:$\setbox0\hbox{$E_{max} = \frac{\omega}{\epsilon_{0}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Ezzel felírva a gömbök közötti potenciálkülönbséget:

$\[ \Delta U = E_{max}\cdot R_{1}^{2}\cdot [\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}]\]$

A gömbre, akkora potenciálkülönbséget rakhatunk, hogy a kialakuló tér maximális értéke ne legyen nagyobb mint $\setbox0\hbox{$E_{kr}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ . Ezzel a gömbökre kapcsolható legnagyobb potenciálkülönbség:

$\[ \Delta U = E_{kr}\cdot R_{1}^{2}\cdot [\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}]\]$