Elektrosztatika példák - Fém gömbhéjjal koncentrikusan körülvett töltött fémgömb esetén kialakuló potenciáltér forrásának megtekintése

<noinclude>
[[Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 2.]]
[[Kategória:Szerkesztő:Beleznai]]
[[Kategória:Elektrosztatika]]
{{Kísérleti fizika gyakorlat
| tárgynév    = Kísérleti fizika gyakorlat 2.
| témakör     = Elektrosztatika - Elektromos potenciál
}}
== Feladat ==
</noinclude><wlatex>#Egy $R_{1}$ sugarú tömör fémgömböt koncentrikusan vesz körül, egy $d$ falvastagságú fém gömbhéj, aminek a belső átmérője $R_{2}$. Közöttük levegő van. A belső fémgömböt feltöltjük, úgy, hogy a felületi töltéssűrűsége $\omega$. <br> '''a)''' Határozzuk meg a számszerűen a térerősséget a gömbök felszínén.<br>'''b)''' Ábrázoljuk a térerősséget, mint a középponttól mért távolság függvényét, ha a külső gömb földeletlen, illetve földelt.<br>'''c)''' Mekkora a gömbök közötti potenciálkülönbség?<br>'''d)''' Legfeljebb mekkora feszültség kapcsolható a gömbökre, ha $E_{kr}$ dielektromos szilárdságú szigetelőt teszünk közéjük?
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Földeletlen esetben a külső gömbön töltésmegosztás jön létre. Ha az $R_{1}$ sugarú gömb töltése $Q$ akkor a külső gömb belső felületén $-Q$, külső felületén pedig $Q$ töltés jön létre.A különböző térrészekre írjuk fel a Gauss-tételt:}}{{Végeredmény|content= '''a)''' A belső gömb:$$\vec{E}=\frac{\omega}{\epsilon_{0}}$$ külső gömb: $$\vec{E}=\frac{\omega\cdot R_{1}^{2}}{\epsilon_{0}\cdot R_{3}^{2}}$$ '''b)''' <br> 1: $r < R_{1}$ $$\vec{E}\cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = 0 \Rightarrow \vec{E}=0$$ <br> 2: $R_{1} < r < R_{2}$ $$\vec{E}\cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = \frac{\omega}{\epsilon_{0}}\cdot 4\cdot R_{1}^{2}\cdot\pi \Rightarrow \vec{E}= \frac{\omega\cdot R_{1}^{2}}{\epsilon_{0}\cdot r^{2}}$$ 3: $R_{2} < r < R_{3}$ $$\vec{E}\cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = 0 \Rightarrow \vec{E}=0$$ 4.a: (földeletlen): $R_{3} < r $ $$\vec{E}\cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = \frac{\omega}{\epsilon_{0}}\cdot 4\cdot R_{1}^{2}\cdot\pi \Rightarrow \vec{E}= \frac{\omega\cdot R_{1}^{2}}{\epsilon_{0}\cdot r^{2}}$$ 4.b: (földelet): $R_{3} < r $ <br> '''c)''' $$ \Delta U = \frac{\omega\cdot R_{1}^{2}}{\epsilon_{0}}\cdot [\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}]$$ '''d)''' $$ \Delta U = E_{kr}\cdot R_{1}^{2}\cdot [\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}]$$ }}
</wlatex></includeonly><noinclude>
== Megoldás ==
<wlatex>
'''a)''' Földeletlen esetben a külső gömbön töltésmegosztás jön létre. Ha az $R_{1}$ sugarú gömb töltése $Q$ akkor a külső gömb belső felületén $-Q$, külső felületén pedig $Q$ töltés jön létre.

A belső gömb felszínére felírva a Gauss-tételt:
$$E\cdot 4\cdot R_{1}^{2}\cdot\pi = \frac{\omega}{\epsilon_{0}}\cdot 4\cdot R_{1}^{2}\cdot\pi$$
$$E=\frac{\omega}{\epsilon_{0}}$$

A külső gömb külső sugara $R_{3} = R_{2}+d$ erre felírva a Gauss-tételt:
$$E\cdot 4\cdot R_{3}^{2}\cdot\pi = \frac{\omega}{\epsilon_{0}}\cdot 4\cdot R_{1}^{2}\cdot\pi$$
$$E=\frac{\omega\cdot R_{1}^{2}}{\epsilon_{0}\cdot R_{3}^{2}}$$

'''b)''' Különböztessünk meg négy esetet és írjuk fel rájuk a Gauss tételt: <br>
1: $r < R_{1}$
$$E\cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = 0 \Rightarrow \vec{E}=0$$
2: $R_{1} < r < R_{2}$
$$E\cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = \frac{\omega}{\epsilon_{0}}\cdot 4\cdot R_{1}^{2}\cdot\pi \Rightarrow E= \frac{\omega\cdot R_{1}^{2}}{\epsilon_{0}\cdot r^{2}}$$
3: $R_{2} < r < R_{3}$
$$E\cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = 0 \Rightarrow \vec{E}=0$$
4.a: (földeletlen): $R_{3} < r $
$$E\cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = \frac{\omega}{\epsilon_{0}}\cdot 4\cdot R_{1}^{2}\cdot\pi \Rightarrow E= \frac{\omega\cdot R_{1}^{2}}{\epsilon_{0}\cdot r^{2}}$$
4.b: (földelet): $R_{3} < r $ 

Ekkor annyi töltés jelenik meg a külső gömb külső felszínén, hogy a külső gömb összes töltése $-Q$ legyen.
$$E\cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = 0 \Rightarrow \vec{E}=0$$
'''c)''' A gömbök közötti potenciálkülönbség:
$$\Delta U = -\int_{R_{1}}^{R_{2}}\vec{E}\vec{dr}=-\int_{R_{1}}^{R_{2}}\frac{\omega\cdot R_{1}^{2}}{\epsilon_{0}\cdot r^{2}}\vec{dr}$$
$$ \Delta U = \frac{\omega\cdot R_{1}^{2}}{\epsilon_{0}}\cdot [\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}]$$
'''d)''' A legnagyobb térerősség a belső gömbbe felszínén van:$E_{max} = \frac{\omega}{\epsilon_{0}}$. Ezzel felírva a gömbök közötti potenciálkülönbséget: $$ \Delta U = E_{max}\cdot R_{1}^{2}\cdot [\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}]$$
A gömbre, akkora potenciálkülönbséget rakhatunk, hogy a kialakuló tér maximális értéke ne legyen nagyobb mint $E_{kr}$ . Ezzel a gömbökre kapcsolható legnagyobb potenciálkülönbség:
$$ \Delta U = E_{kr}\cdot R_{1}^{2}\cdot [\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}]$$
</wlatex>