Magnetosztatika példák - Áram által átjárt üreges hengerben a mágneses tér forrásának megtekintése

<noinclude>
[[Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 2.]]
[[Kategória:Szerkesztő:Beleznai]]
[[Kategória:Magnetosztatika]]
{{Kísérleti fizika gyakorlat
| tárgynév    = Kísérleti fizika gyakorlat 2.
| témakör     = Magnetosztatika - Biot-Savart törvény, gerjesztési törvény|Biot-Savart törvény, gerjesztési törvény
}}
== Feladat ==
</noinclude><wlatex>#Tömör fémből készült, hosszú, egyenes körhengerben ugyancsak henger alakú üreget készítünk. Az üreg tengelye $d$ távolságra van a henger tengelyétől. Az üreges hengerben egyenletes $j$ áramsűrűséggel tengelyirányú áram folyik. Milyen a mágneses térerősség az üreg belsejében?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$\vec{H}=\dfrac{\vec{j}\times \vec{d}}{2}$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>
== Megoldás ==
<wlatex>
Alkalmazzuk a szuperpozíció elvét! Az üreges hengerben folyó áramot elképzelhetjük úgy, mintha egy tömör hengerben folyna áram homogén $j$ áramsűrűséggel, melyhez hozzáadjuk egy kisebb vezető henger ugyancsak homogén, $-j$ áramsűrűség eloszlását. Az árameloszlás két összetevője által keltett mágneses terek szuperpozíciója megegyezik az üreges hengerben folyó áram mágneses terével. A homogén, $j$ áramsűrűséggel átjárt henger belsejében ismerjük a teret az [[Magnetosztatika példák - Áram által átjárt hengeres vezetékben a mágneses tér|Áram által átjárt hengeres vezetékben a mágneses tér]] feladatából:

$$\vec{H}=\dfrac{\vec{j}\times \vec{r}}{2}$$

Mi most egy $j$ és egy $-j$ árammal átjárt henger $\vec{H_1}$ és $\vec{H_2}$ terét határozzuk meg:

$$\vec{H_1}=\dfrac{\vec{j}\times \vec{r}}{2}$$
$$\vec{H_2}=-\dfrac{\vec{j}\times \vec{r'}}{2}$$

Ahol $\vec{r}$ az első, $\vec{r'}$ pedig a második henger tengelyétől a vizsgált pontba mutató vektor. Mivel a hengerek tengelyei egymástól $\vec{d}$ távolságra helyezkednek el, $\vec{r'}$ kifejezhető a következőképpen:

$$\vec{r'}=\vec{r}-\vec{d}$$

Ez alapján $\vec{H_2}$ a következő:

$$\vec{H_2}=-\dfrac{\vec{j}\times \vec{r'}}{2}=-\dfrac{\vec{j}\times \left( \vec{r}-\vec{d} \right) }{2}=\dfrac{\vec{j}\times \vec{d}}{2}-\dfrac{\vec{j}\times \vec{r}}{2}$$

A két henger terének szuperpozíciója megadja a lyukas henger üregében mérhető teret:

$$\vec{H}=\vec{H_1}+\vec{H_2}=\dfrac{\vec{j}\times \vec{r}}{2}+\dfrac{\vec{j}\times \vec{d}}{2}-\dfrac{\vec{j}\times \vec{r}}{2}=\dfrac{\vec{j}\times \vec{d}}{2}$$
 
A megoldás meglepő: Az üregben mérhető tér homogén, nagysága csak henger és az üreg tengelytávolságától függ.   
</wlatex>
</noinclude>