Kinematika - Ferde hajítás forrásának megtekintése

<noinclude>
[[Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 1.]]
[[Kategória:Szerkesztő: Bácsi Ádám]]
[[Kategória:Mechanika - Mozgástan]]
{{Kísérleti fizika gyakorlat
| tárgynév    = Kísérleti fizika gyakorlat 1.
| témakör     = Mechanika - Mozgástan
}}
== Feladat ==
</noinclude><wlatex>#  Egy testet vízszintes terepen, a felszínnel $\alpha = 30^{\circ}$-os szöget bezáróan, $v_0 = 40 m/s$ sebességgel lövünk ki. Milyen messzire csapódik be a test a talajba a kilövés helyétől? Milyen magasra jut el mozgása során? Mekkora a pályája görbületi sugara a kilövés helyén, ill. a pálya tetőpontján?($g=9,81\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$)
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content= $$ d = \frac{2 v_0^2 \sin (\alpha) \cos (\alpha)}{g} = 141.3m$$ $$h = \frac{v_0^2 \sin^2 (\alpha)}{2 g} = 20.39m $$ $$R_{start} = \frac{v_0^2}{g \cos(\alpha)} = 188.3 m$$ $$R_{fent} = \frac{v_0^2 \cos^2(\alpha)}{g} = 122.3 m$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>
== Megoldás ==
<wlatex># A koordináta-rendszerünk origóját vegyük fel a kilövés helyén. A test gyorsulásvektora időben állandó, $$\vec{a} = (0,-g) \; .$$
Tudjuk, hogy $t = 0$ időpontban a test sebességvektora $\vec{v}(0) = (v_0 \cos(\alpha), v_0 \sin(\alpha))$, ennek ismeretében a gyorsulás integrálásával,
majd a kezdeti sebesség illesztésével megkapjuk a sebesség-idő függvényt:
$$\vec{v}(t) = (v_0 \cos(\alpha), v_0 \sin(\alpha) - g t )$$.
Ismételt integrálással, kihasználva, hogy az origót a kilövés helyén vettük fel, a test helyvektora:
$$\vec{r}(t) = (v_0 \cos(\alpha) t, v_0 \sin(\alpha) t - \frac{g}{2} t^2) $$
Akkor csapódik a test a földbe, amikor $y(t) = 0$ lesz ismét:
$$v_0 \sin(\alpha) t_{cs} - \frac{g}{2} t_{cs}^2 = 0 $$
Ebből a $t = 0$ megoldás a kilövés pillanatát jelzi. Nekünk a másik kell, ami $$t_{cs} = \frac{2 v_0 \sin(\alpha)}{g}$$
A becsapódás távolságát úgy nyerjük, hogy ezt beírjuk az $x(t)$ kifejezésbe:
$$d = v_0 \cos(\alpha) t_{cs} = \frac{2 v_0^2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)}{g}$$
A maximális magasságot ott éri el a test, ahol $y'(t) = 0$, azaz
$$v_0 \sin(\alpha) - g t_{max} = 0 \; ,$$
amiből
$$t_{max} = \frac{v_0 \sin(\alpha)}{g} \; .$$
Beírva ezt az $y(t)$ függvénybe nyerjük a maximális magasságot:
$$h = y(t_{max}) = \frac{v_0^2 \sin^2(\alpha)}{2 g}$$
A kilövési pontban a sebesség nagysága $v_0$, a gyorsulásnak az erre merőleges komponense $g \cos(\alpha)$, ebből a görbületi sugár:
$$R_{start} = \frac{v_0^2}{g \cos(\alpha)}$$
A tetőponton a sebesség nagysága $v_0 \cos(\alpha)$, a gyorsulás pedig éppen merőleges rá. Ezért a görbületi sugár:
$$R_{fent} = \frac{v_0^2 \cos^2(\alpha)}{g}$$ </wlatex>
</noinclude>