Kinematika - Ferde hajítás

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Mechanika - Mozgástan
Feladatok listája:
  1. Kinematika - 1.1.7
  2. Kinematika - 1.2.6
  3. Kinematika - 1.2.8
  4. Kinematika - 1.3.1
  5. Kinematika - Változó mozgás
  6. Kinematika - 1.3.8
  7. Kinematika - 1.4.6
  8. Kinematika - 1.4.7
  9. Kinematika - 1.4.10
  10. Kinematika - 1.4.17
  11. Kinematika - 1.4.18
  12. Kinematika - 1.4.20
  13. Kinematika - 1.4.23
  14. Kinematika - Ferde hajítás
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Egy testet vízszintes terepen, a felszínnel \setbox0\hbox{$\alpha = 30^{\circ}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-os szöget bezáróan, \setbox0\hbox{$v_0 = 40 m/s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sebességgel lövünk ki. Milyen messzire csapódik be a test a talajba a kilövés helyétől? Milyen magasra jut el mozgása során? Mekkora a pályája görbületi sugara a kilövés helyén, ill. a pálya tetőpontján?(\setbox0\hbox{$g=9,81\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%)

Megoldás

  1. A koordináta-rendszerünk origóját vegyük fel a kilövés helyén. A test gyorsulásvektora időben állandó,
    \[\vec{a} = (0,-g) \; .\]

Tudjuk, hogy \setbox0\hbox{$t = 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% időpontban a test sebességvektora \setbox0\hbox{$\vec{v}(0) = (v_0 \cos(\alpha), v_0 \sin(\alpha))$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, ennek ismeretében a gyorsulás integrálásával, majd a kezdeti sebesség illesztésével megkapjuk a sebesség-idő függvényt:

\[\vec{v}(t) = (v_0 \cos(\alpha), v_0 \sin(\alpha) - g t )\]
.

Ismételt integrálással, kihasználva, hogy az origót a kilövés helyén vettük fel, a test helyvektora:

\[\vec{r}(t) = (v_0 \cos(\alpha) t, v_0 \sin(\alpha) t - \frac{g}{2} t^2) \]

Akkor csapódik a test a földbe, amikor \setbox0\hbox{$y(t) = 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% lesz ismét:

\[v_0 \sin(\alpha) t_{cs} - \frac{g}{2} t_{cs}^2 = 0 \]
Ebből a \setbox0\hbox{$t = 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% megoldás a kilövés pillanatát jelzi. Nekünk a másik kell, ami
\[t_{cs} = \frac{2 v_0 \sin(\alpha)}{g}\]

A becsapódás távolságát úgy nyerjük, hogy ezt beírjuk az \setbox0\hbox{$x(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kifejezésbe:

\[d = v_0 \cos(\alpha) t_{cs} = \frac{2 v_0^2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)}{g}\]

A maximális magasságot ott éri el a test, ahol \setbox0\hbox{$y'(t) = 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, azaz

\[v_0 \sin(\alpha) - g t_{max} = 0 \; ,\]

amiből

\[t_{max} = \frac{v_0 \sin(\alpha)}{g} \; .\]

Beírva ezt az \setbox0\hbox{$y(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvénybe nyerjük a maximális magasságot:

\[h = y(t_{max}) = \frac{v_0^2 \sin^2(\alpha)}{2 g}\]

A kilövési pontban a sebesség nagysága \setbox0\hbox{$v_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, a gyorsulásnak az erre merőleges komponense \setbox0\hbox{$g \cos(\alpha)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, ebből a görbületi sugár:

\[R_{start} = \frac{v_0^2}{g \cos(\alpha)}\]

A tetőponton a sebesség nagysága \setbox0\hbox{$v_0 \cos(\alpha)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, a gyorsulás pedig éppen merőleges rá. Ezért a görbületi sugár:

\[R_{fent} = \frac{v_0^2 \cos^2(\alpha)}{g}\]