Termodinamika példák - Hőmérsékletváltozás mérhető mennyiségekkel adiabatikus tágulásban forrásának megtekintése

<noinclude>
[[Kategória:Kísérleti fizika 3. gyakorlat]]
[[Kategória:Szerkesztő:Stippinger]]
[[Kategória:Termodinamika - Kinetikus gázelmélet, transzportfolyamatok]]
{{Kísérleti fizika gyakorlat
| tárgynév    = Kísérleti fizika 3. gyakorlat
| témakör     = Termodinamika - Homogén rendszerek
| rövid       = Homogén rendszerek
}}
== Feladat ==
</noinclude><wlatex># Fejezzük ki mérhető mennyiségekkel (hőtágulási együttható, kompresszibilitás, mólhő) egy rendszer $\mathrm{d}T$ hőmérséklet-változását, ha térfogata adiabatikus, kvázisztatikus folyamat során $\mathrm{d}V$-vel megváltozik! Mutassuk meg, hogy $4 \,\mathrm{^\circ C}$ alatt a víz adiabatikus, kvázisztatikus ''összenyomás''kor lehűl!
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Írjuk fel az első főtételt, írjuk be az $U(T,V)$ függvény teljes differenciálját, alkalmazzuk a belső energia térfogatfüggésére érvényes összefüggést, és a [[Termodinamika példák - Nyomás hőmérsékletfüggése mérhető mennyiségekkel|nyomás hőmérsékletfüggéséről szóló feladat]] eredményét! A víz hőtágulási együtthatója $4\,\mathrm{^\circ C}$ alatt negatív.}}</wlatex></includeonly><noinclude>

== Megoldás ==
<wlatex>Az első főtétel
$$ \mathrm{d}U = T\,\mathrm{d}S - p\,\mathrm{d}V $$
adiabatikus folyamatra egyszerűsödik:
$$ \mathrm{d}U = - p\,\mathrm{d}V. $$

Ezt egyenlővé téve $U(T,V)$
$$ \mathrm{d}U = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V\,\mathrm{d}T + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T\,\mathrm{d}V$$
alakú teljes differenciáljával és felhasználva $C_V=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V$ definíciót
$$ -p\,\mathrm{d}V = C_V\,\mathrm{d}T + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T\,\mathrm{d}V $$
egyenletet kapjuk.

Az [[Termodinamika példák - További differenciális összefüggések, általános változócsere|általános változócseréről]] szóló feladatból ismerjük (vagy [[Termodinamika példák - Állapotjelzők a térfogat és az entrópia függvényeként|egy következő feladat]] alapján kifejezhetjük) a belső energia térfogatfüggésére vonatkozó differenciális összefüggést:
$$ \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = T \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V-p,$$
így az egyenletünk
$$ 0 = C_V\,\mathrm{d}T+T{\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V\,\mathrm{d}V. $$

A [[Termodinamika példák - Nyomás hőmérsékletfüggése mérhető mennyiségekkel|nyomás hőmérsékletfüggéséről szóló feladat]]
$$ \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V = \frac{\beta_p}{\kappa_T} $$
eredményét felhasználva:
$$ 0 = C_V\,\mathrm{d}T + T\frac{\beta_p}{\kappa_T}\,\mathrm{d}V, $$
amiből
$$ \mathrm{d}T = -T\frac{\beta_p}{\kappa_T C_V}\,\mathrm{d}V. $$

$  T_\text{víz} < \left(273+4\right)\,\mathrm{K} $ hőmérsékleten a víz hőtágulási együtthatója negatív ($ -\beta_p > 0 $), ezért adiabatikus összenyomásra ($\mathrm{d}V<0$) a hőmérsékletváltozás
$$ \mathrm{d}T < 0, $$
hiszen a többi tényező pozitív.

</wlatex>
</noinclude>