Termodinamika példák - Hőmérsékletváltozás mérhető mennyiségekkel adiabatikus tágulásban

Feladat

1. Fejezzük ki mérhető mennyiségekkel (hőtágulási együttható, kompresszibilitás, mólhő) egy rendszer $\setbox0\hbox{$\mathrm{d}T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérséklet-változását, ha térfogata adiabatikus, kvázisztatikus folyamat során $\setbox0\hbox{$\mathrm{d}V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-vel megváltozik! Mutassuk meg, hogy $\setbox0\hbox{$4 \,\mathrm{^\circ C}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ alatt a víz adiabatikus, kvázisztatikus összenyomáskor lehűl!

Megoldás

Az első főtétel

$\[ \mathrm{d}U = T\,\mathrm{d}S - p\,\mathrm{d}V \]$

adiabatikus folyamatra egyszerűsödik:

$\[ \mathrm{d}U = - p\,\mathrm{d}V. \]$

Ezt egyenlővé téve $\setbox0\hbox{$U(T,V)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$

$\[ \mathrm{d}U = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V\,\mathrm{d}T + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T\,\mathrm{d}V\]$

alakú teljes differenciáljával és felhasználva $\setbox0\hbox{$C_V=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ definíciót

$\[ -p\,\mathrm{d}V = C_V\,\mathrm{d}T + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T\,\mathrm{d}V \]$

egyenletet kapjuk.

Az általános változócseréről szóló feladatból ismerjük (vagy egy következő feladat alapján kifejezhetjük) a belső energia térfogatfüggésére vonatkozó differenciális összefüggést:

$\[ \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = T \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V-p,\]$

így az egyenletünk

$\[ 0 = C_V\,\mathrm{d}T+T{\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V\,\mathrm{d}V. \]$

A nyomás hőmérsékletfüggéséről szóló feladat

$\[ \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V = \frac{\beta_p}{\kappa_T} \]$

eredményét felhasználva:

$\[ 0 = C_V\,\mathrm{d}T + T\frac{\beta_p}{\kappa_T}\,\mathrm{d}V, \]$

amiből

$\[ \mathrm{d}T = -T\frac{\beta_p}{\kappa_T C_V}\,\mathrm{d}V. \]$

$\setbox0\hbox{$ T_\text{víz} < \left(273+4\right)\,\mathrm{K} $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékleten a víz hőtágulási együtthatója negatív ($\setbox0\hbox{$ -\beta_p > 0 $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$), ezért adiabatikus összenyomásra ($\setbox0\hbox{$\mathrm{d}V<0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) a hőmérsékletváltozás

$\[ \mathrm{d}T < 0, \]$

hiszen a többi tényező pozitív.