Termodinamika példák - Van der Waals-gáz fajhőkülönbsége forrásának megtekintése

<noinclude>
[[Kategória:Kísérleti fizika 3. gyakorlat]]
[[Kategória:Szerkesztő:Stippinger]]
[[Kategória:Termodinamika]]
{{Kísérleti fizika gyakorlat
| tárgynév    = Kísérleti fizika 3. gyakorlat
| témakör     = Termodinamika - Állapotváltozás, I. főtétel
| rövid       = Állapotváltozás, I. főtétel
}}
== Feladat ==
</noinclude><wlatex># Fejezzük ki a $C_p-C_V$ különbséget $n$ mol ''Van der Waals''-gáz esetén a hőmérséklet, a térfogat és a $\beta_p$ hőtágulási együttható segítségével!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használjuk fel az általános $$C_p-C_V=\frac{1}{n}\left(p+\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T\right)\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p$$ egyenletet, a Van der Waals-gáz belső energiájára vonatkozó összefüggést és a hőtágulási együttható definícióját.}}{{Végeredmény|content=$$C_p-C_V=\frac{RT\beta_p}{1-nb/V}.$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>

== Megoldás ==
<wlatex>A termodinamika első főtételébe ($\delta Q = \mathrm{d}U + p\,\mathrm{d}V$) behelyettesítve az $U(T,V)$ kétváltozós függvény teljes differenciálját
$$ \delta Q = \left[ p + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T \right] \,\mathrm{d}V + \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V \,\mathrm{d}T $$
összefüggéshez, és ezt állandó nyomáson $\mathrm{d}T$-vel formálisan osztva és a mólhők definícióját alkalmazva
$$ C_p- C_V = \frac{1}{n} \left[ p + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T \right] \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p $$
általános fajhőösszefüggéshez jutunk.

A ''Van der Waals''-gáz belső energiáját leíró
$$ U = n C_V T - n^2\frac{a}{V} $$
képletből kiszámíthatjuk
$$ \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = \frac{n^2a}{V^2} $$
differenciálhányadost, és
$$ \beta_p = \frac{1}{V} \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p $$
definíciót beírhatjuk a fajhőösszefüggésbe:
$$ C_p-C_V = \frac{1}{n} \left(p+\frac{n^2a}{V^2}\right) V \beta_p. $$

A 
$$ \left(p+\frac{n^2a}{V^2}\right)\left(V-nb\right) = nRT $$
Van der Waals-gáz állapotegyenletből az első tényezőt kifejezve egyszerűbb kifejezéshez kapunk:
$$ C_p-C_V = \frac{RT \beta_p}{\displaystyle 1-\frac{nb}{V}}. $$
</wlatex>
</noinclude>