Termodinamika példák - Van der Waals-gáz fajhőkülönbsége

Feladat

1. Fejezzük ki a $\setbox0\hbox{$C_p-C_V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ különbséget $\setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ mol Van der Waals-gáz esetén a hőmérséklet, a térfogat és a $\setbox0\hbox{$\beta_p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőtágulási együttható segítségével!

Megoldás

A termodinamika első főtételébe ($\setbox0\hbox{$\delta Q = \mathrm{d}U + p\,\mathrm{d}V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) behelyettesítve az $\setbox0\hbox{$U(T,V)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kétváltozós függvény teljes differenciálját

$\[ \delta Q = \left[ p + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T \right] \,\mathrm{d}V + \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V \,\mathrm{d}T \]$

összefüggéshez, és ezt állandó nyomáson $\setbox0\hbox{$\mathrm{d}T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-vel formálisan osztva és a mólhők definícióját alkalmazva

$\[ C_p- C_V = \frac{1}{n} \left[ p + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T \right] \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p \]$

általános fajhőösszefüggéshez jutunk.

A Van der Waals-gáz belső energiáját leíró

$\[ U = n C_V T - n^2\frac{a}{V} \]$

képletből kiszámíthatjuk

$\[ \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = \frac{n^2a}{V^2} \]$

differenciálhányadost, és

$\[ \beta_p = \frac{1}{V} \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p \]$

definíciót beírhatjuk a fajhőösszefüggésbe:

$\[ C_p-C_V = \frac{1}{n} \left(p+\frac{n^2a}{V^2}\right) V \beta_p. \]$

A

$\[ \left(p+\frac{n^2a}{V^2}\right)\left(V-nb\right) = nRT \]$

Van der Waals-gáz állapotegyenletből az első tényezőt kifejezve egyszerűbb kifejezéshez kapunk:

$\[ C_p-C_V = \frac{RT \beta_p}{\displaystyle 1-\frac{nb}{V}}. \]$