„Időben változó elektromos és mágneses terek kapcsolata” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
 
(egy szerkesztő 39 közbeeső változata nincs mutatva)
19. sor: 19. sor:
 
Azaz az indukciós tér és az infinitezimális felületelemhez tartozó vektor skalárszorzatát kell a felületre kiintegrálni, hogy megkapjuk az indukciós tér fluxusát.  
 
Azaz az indukciós tér és az infinitezimális felületelemhez tartozó vektor skalárszorzatát kell a felületre kiintegrálni, hogy megkapjuk az indukciós tér fluxusát.  
  
−
Több kísérlet is azt mutatja [[Mágneses indukció I.]], hogy az időben változó mágneses fluxus elektromos feszültséget indukál. Ennek matematikai megfogalmazása a '''Faraday törvény''':
+
Több kísérlet is azt mutatja (pl. [[Mágneses indukció I.]] és [[Mágneses indukció III.]]), hogy az időben változó mágneses fluxus elektromos feszültséget indukál. Ennek matematikai megfogalmazása a '''Faraday törvény''':
  
 
{| width = "100%"
 
{| width = "100%"
39. sor: 39. sor:
 
|}
 
|}
  
−
A 1.1.1 a sematikus ábra azt reprezentálja, hogy a kék vonallal jelölt zárt hurokban feszültség keletkezik. (Ha ezt a zárt hurkot egy létező vezetékdarab helyettesítené, akkor abban valóban áram folyna a változó fluxus hatására indukálódott elektromotoros erő miatt.) Rögtön felvetődhet a kérdés, hogy a zárt hurok által kifeszített lehetséges felületek közül - amelyeket éppen maga a zárt hurok határol - melyikre is kell a fluxust számítani (a 1.1.1 b ábra mutat egy ilyen határoló felületet). A válasz az, hogy bármelyik, a 1.1.1 b ábrán látható felülethez hasonló alakzat használható, mert a fluxus ugyanakkorának adódik mindegyikre. Amennyiben ez nem így lenne, akkor a két különböző fluxus-értéket adó felület által kialakított zárt térrész (és az azt határoló zárt felület) esetében a mágneses Gauss-törvény nem működne, ami azt jelentené, hogy mágneses monopólus van benne; ez pedig nem lehet. (Természetesen precízebb matematikai bizonyítás is létezik.) Ezután tekintsünk a 1.1.2 .a ábrán látható egyszerű gyakorlati példát!
+
A 1.1.1 a sematikus ábra azt reprezentálja, hogy a kék vonallal jelölt zárt hurokban feszültség keletkezik. (Ha ezt a zárt hurkot egy létező vezetékdarab helyettesítené, akkor abban valóban áram folyna a változó fluxus hatására indukálódott elektromotoros erő miatt.) Rögtön felvetődhet a kérdés, hogy a zárt hurok által kifeszített lehetséges felületek közül - amelyeket éppen maga a zárt hurok határol - melyikre is kell a fluxust számítani (a 1.1.1 b ábra mutat egy ilyen határoló felületet). A válasz az, hogy bármelyik, a 1.1.1 b ábrán látható felülethez hasonló alakzat használható, mert a fluxus ugyanakkorának adódik mindegyikre. Amennyiben ez nem így lenne, akkor a két különböző fluxus-értéket adó felület által kialakított zárt térrész (és az azt határoló zárt felület) esetében a mágneses Gauss-törvény nem működne, ami azt jelentené, hogy mágneses monopólus van benne; ez pedig nem lehet. (Természetesen precízebb matematikai bizonyítás is létezik.)
 +
 
 +
Ezután tekintsünk a 1.1.2 .a ábrán látható egyszerű gyakorlati példát!
  
 
{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
 
{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
151. sor: 153. sor:
  
  
−
=== A generátor ===
+
=== A [http://en.wikipedia.org/wiki/Generators generátor] ===
  
 
Az indukció jelenségén alapuló berendezések közül valószínűleg a legfontosabb a váltakozó feszültséget (ill. áramot)  keltő generátor, amelynek igen leegyszerűsített vázlata látható az 1.3.1 ábrán:
 
Az indukció jelenségén alapuló berendezések közül valószínűleg a legfontosabb a váltakozó feszültséget (ill. áramot)  keltő generátor, amelynek igen leegyszerűsített vázlata látható az 1.3.1 ábrán:
181. sor: 183. sor:
  
 
A szél és a vízi erőművekben szintén generátort alkalmaznak.   
 
A szél és a vízi erőművekben szintén generátort alkalmaznak.   
 +
 +
 +
=== Az önindukció ===
 +
 +
Idáig olyan példákat vizsgáltunk, amelyeknél a külső mágneses tér fluxus-változása indukálta az elrendezésben kialakuló elektromotoros erőt. Most nézzük meg, hogy mi történik akkor, ha egy A keresztmetszetű, $\ell$ hosszúságú, $N$ menetű szolenoidon átfolyó áram erőssége (esetleg iránya is) időfüggő: $I(t)$. Megmutattuk, hogy a szolenoidban kialakuló csaknem homogén mágneses tér nagyságát hogyan lehet kiszámítani a (Mozgó töltések és áramok által keltett tér 1.2.4) segítségével. Az indukciós tér fluxusa az említett formula alkalmazásával:
 +
 +
{| width = "100%"
 +
|-
 +
| width = "10%" |
 +
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \Phi_m = BA = \frac {\mu NIA}{\ell}  \]</latex></div>
 +
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.4.1) </span>
 +
|}
 +
 +
Itt kihasználtuk azt a tényt, hogy a szolenoidon kívül az indukciós tér erőssége csaknem zérus.
 +
 +
A tekercsben indukált feszültséget most már könnyű kiszámítani a Faraday-törvénnyel:
 +
 +
{| width = "100%"
 +
|-
 +
| width = "10%" |
 +
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \varepsilon = -N\frac {d\phi_m}{dt} = V_ind. (t)= -\frac {\mu N^2IA}{\ell} \frac {dI}{dt} \]</latex></div>
 +
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.4.2) </span>
 +
|}
 +
 +
A mágneses fluxus idő szerinti deriváltját azért kellett $N$ – el beszorozni, mert az indukciós tér fluxusának deriváltjaként megjelenő elektromotoros erő a szolenoid minden egyes menetén indukálódik, és a tekercs menetei sorba vannak kötve. Az eredményt megfogalmazhatjuk általánosabb formában is:
 +
 +
{| width = "100%"
 +
|-
 +
| width = "10%" |
 +
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \varepsilon = -L\frac {dI}{dt}  \]</latex></div>
 +
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.4.3) </span>
 +
|}
 +
 +
ahol $L$ egy szolenoid, egy koaxiális kábel, egy vezetékpár, vagy akár egy körvezető önindukciós együtthatója, amelynek mértékegysége a $Henry = Vs/A$, jele: $H$.
 +
 +
Az előzőek alapján tehát a szolenoid önindukciós együtthatója:
 +
 +
{| width = "100%"
 +
|-
 +
| width = "10%" |
 +
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ L =  \frac {\mu N^2IA}{\ell} \]</latex></div>
 +
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.4.4) </span>
 +
|}
 +
 +
=== Az RL kör ===
 +
 +
Az első alkalmazás, melyet megvizsgálunk, az ábrán látható $RL$ kör, amelyet $t=0$ időpontban zárunk a kapcsolóval.
 +
 +
 +
{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
 +
|-
 +
| [[Fájl:RL_kör.JPG|közép|350px|]]
 +
|-
 +
| align="center"|1.5.1 ábra
 +
|}
 +
 +
 +
A kapcsoló bekapcsolását követően áram kezd el folyni a körben, melynek hatására a tekercsben indukált feszültség keletkezik:
 +
 +
{| width = "100%"
 +
|-
 +
| width = "10%" |
 +
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ V_{ind} = -L\frac {dI}{dt}  \]</latex></div>
 +
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.5.1) </span>
 +
|}
 +
 +
Az áramkörben körbehaladva a huroktörvényt alkalmazhatjuk:
 +
 +
{| width = "100%"
 +
|-
 +
| width = "10%" |
 +
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ V + V_{ind} - IR = 0 \]</latex></div>
 +
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.5.2) </span>
 +
|}
 +
 +
Azaz:
 +
 +
{| width = "100%"
 +
|-
 +
| width = "10%" |
 +
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ V - L\frac {dI}{dt} - IR = 0 \]</latex></div>
 +
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.5.3) </span>
 +
|}
 +
 +
Ezt kissé átrendezve kapunk egy differenciálegyenletet:
 +
 +
{| width = "100%"
 +
|-
 +
| width = "10%" |
 +
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \frac {dI}{dt} = - \frac {R}{L}I + \frac {V}{L} \]</latex></div>
 +
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.5.4) </span>
 +
|}
 +
 +
melynek a megoldása (behelyettesítéssel bárki meggyőződhet róla):
 +
 +
{| width = "100%"
 +
|-
 +
| width = "10%" |
 +
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ I =  \frac {V}{L} \left[1-exp\left ( - \frac {R}{L}t \right ) \right ] \]</latex></div>
 +
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.5.5) </span>
 +
|}
 +
 +
Az áram időfüggését jól mutatja a 1.5.2 ábrán látható grafikon:
 +
 +
{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
 +
|-
 +
| [[Fájl:RL_kör2.JPG|közép|350px|]]
 +
|-
 +
| align="center"|1.5.2 ábra
 +
|}
 +
 +
Amennyiben az ellenállással párhuzamosan bekötünk egy izzót, vagy akár a terhelés maga az izzó, akkor – mint az a levezetés alapján megjósolható – az izzólámpa a felkapcsolás után jóval később (akár 10 s múlva) kezd el világítani, ha a tekercs önindukciós együtthatója elég nagy.
 +
 +
 +
=== A mágneses indukciós tér energiája ===
 +
 +
Tegyük fel, hogy egy $\ell$ hosszúságú, $A$ keresztmetszetű szolenoidban eredetileg nem folyik áram, de $t = 0$ időpontban bekapcsoljuk az $i(t)$ áramot, hogy mágneses indukciós teret hozzunk létre a tekercs belsejében. Tudjuk, hogy a tekercsen eső feszültség:
 +
 +
{| width = "100%"
 +
|-
 +
| width = "10%" |
 +
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \varepsilon =  -L\frac {di}{dt} \]</latex></div>
 +
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.6.1) </span>
 +
|}
 +
 +
A szolenoidba beáramló teljesítmény:
 +
 +
{| width = "100%"
 +
|-
 +
| width = "10%" |
 +
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ P = \left| \varepsilon \right|i = Li \frac {di}{dt} \]</latex></div>
 +
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.6.2) </span>
 +
|}
 +
 +
Most már könnyű kiszámítani, hogy mennyi munkát kell végezni ahhoz, hogy az áram értéke zérusról $I$-re növekedjen, azaz hogy mennyi lesz a tekercs energiája:
 +
 +
{| width = "100%"
 +
|-
 +
| width = "10%" |
 +
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ W = \int\limits_0^I Li \frac {di}{dt}dt = \frac {1}{2}LI^2 \]</latex></div>
 +
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.6.3) </span>
 +
|}
 +
 +
A szolenoidban kialakuló mágneses tér nagyságát megadó képletből az $I$-t kifejezve és a
 +
szolenoid önindukciós együtthatóját megadó hányadost (1.4.4) is behelyettesítve az 1.6.3-ba; kapjuk a tekercs energiáját:
 +
 +
{| width = "100%"
 +
|-
 +
| width = "10%" |
 +
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ W = \frac {1}{2}\frac {B^2}{\mu_0}A\ell \]</latex></div>
 +
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.6.4) </span>
 +
|}
 +
 +
Amennyiben ezt elosztjuk a szolenoid térfogatával, akkor kapjuk az indukciós tér energiasűrűségét:
 +
 +
{| width = "100%"
 +
|-
 +
| width = "10%" |
 +
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \varepsilon_B = \frac {1}{2}\frac {B^2}{\mu_0} \]</latex></div>
 +
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.6.5) </span>
 +
|}
 +
 +
Ez a formula emlékeztet minket az elektromos tér energiasűrűségére:
 +
 +
{| width = "100%"
 +
|-
 +
| width = "10%" |
 +
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \varepsilon_E = \frac {1}{2}\varepsilon_0 {E^2} \]</latex></div>
 +
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.6.6) </span>
 +
|}
 +
 +
Tehát az elektromágneses tér energiasűrűsége:
 +
 +
{| width = "100%"
 +
|-
 +
| width = "10%" |
 +
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \varepsilon = \frac {1}{2}\varepsilon_0 {E^2} + \frac {1}{2}\frac {B^2}{\mu_0} \]</latex></div>
 +
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.6.7) </span>
 +
|}
 +
 +
 +
 +
=== A kölcsönös indukció ===
 +
 +
Az önindukció jelensége – mint azt az előzőekben láttuk –  abban az eszközben hoz létre indukált feszültséget, amelyben az áram változik. Azonban valamely tekercsben vagy szolenoidban egy másik eszköz (egy másik tekercs vagy másik szolenoid, esetleg egy áramjárta vezető) indukciós tere által létrejövő változó mágneses fluxus is feszültséget indukálhat. Ennek a jelenségnek a szemléltetésére tekintsük a következő ábrán látható elrendezést:
 +
 +
{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
 +
|-
 +
| [[Fájl:Kölcs_ind.jpg|közép|200px|]]
 +
|-
 +
| align="center"|1.7.1 ábra
 +
|}
 +
 +
A baloldali hurokban folyó $I_1$ áram hatására létrejövő indukciós tér, amennyiben ez nem állandó, hanem időfüggő, változó fluxust eredményez a másik hurokban, így abban feszültség indukálódhat. Ennek a jelenségnek az egyszerű matematikai megfogalmazása:
 +
 +
{| width = "100%"
 +
|-
 +
| width = "10%" |
 +
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \varepsilon_2 = -M_{21}\frac {dI_1}{dt} \]</latex></div>
 +
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.7.1) </span>
 +
|}
 +
 +
Az effektus visszafelé is működik, azaz a második hurokban folyó $I_2$ áram változása eredményezheti azt, hogy elektromotoros erő lép fel az 1-es hurokban:
 +
 +
{| width = "100%"
 +
|-
 +
| width = "10%" |
 +
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \varepsilon_1 = -M_{12}\frac {dI_2}{dt} \]</latex></div>
 +
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.7.2) </span>
 +
|}
 +
 +
Be lehet bizonyítani, hogy $M_{12} = M_{21}$ és ezután a '''kölcsönös indukciós tényező'''t már csak $M$ – el jelöljük.
 +
 +
Abból, hogy a fluxus arányos az árammal, valamint a fluxus megváltozásával szintén arányos az indukált feszültség, könnyű levezetni a következő két összefüggést:
 +
 +
{| width = "100%"
 +
|-
 +
| width = "10%" |
 +
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[M =  N_2 \frac{\Phi_{B_1}}{I_1} \qquad {\rm vagy} \qquad M =  N_1 \frac{\Phi_{B_2}}{I_2}\]</latex></div>
 +
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.7.3) </span>
 +
|}
 +
 +
ahol $N_1$ és $N_2$ a két hurok vagy tekercs menetszáma és $\Phi_{B_1}$ az egyes tekercs által a második tekercsben létrehozott mágneses fluxus (és $\Phi_{B_2}$ fordítva). Az 1.7.3-ból következik – hasonlóan, mint az önindukciós együttható esetében - , hogy a kölcsönös indukciós tényező csak az elrendezés geometriájától függ. (Erre majd a gyakorlaton és az előadáson számos példát lehet majd látni.)
 +
A kölcsönös indukció zavaró is lehet, hiszen az egymáshoz túl közel haladó kábelek között áthallás jöhet létre. Ez a jelenség az egyik fő oka annak, hogy az elektronikában miért is vannak a miniatürizáslásnak fizikai korlátai.
 +
Egy számítógép néhány áramkörében is szükséges lehet induktivitást alkalmazni, viszont egy szolenoid mágneses erőtérvonalai – mint azt tudjuk – kívül záródnak; ez a kölcsönös indukció miatt zavart okozhat a berendezés más áramköreiben. Ennek kiküszöbölésére toroidot használnak, mert az indukciós tér az eszközön belül marad. (Ha kinyitunk egy számítógépet vagy laptopot, az alaplapján általában látható néhány toroid.)
 +
 +
 +
 +
=== A transzformátor ===
 +
 +
A középiskolai tanulmányok alapján már tudjuk, hogy a váltóáramú körökben az áram és a feszültség az időnek szinuszos függvénye. Az energia (pontosabban a teljesítmény) szállítására alkalmazott távvezetékeken az energiaveszteségért főleg az $I^2 R$ Joule hő felelős. Kézenfekvőnek tűnik, hogy a veszteséget úgy minimalizálhatjuk, hogy az áramerősség értékét jelentősen csökkentjük; ez viszonylag könnyen megvalósítható '''transzformátor''' alkalmazásával. A transzformátor működésének megértéséhez tekintsük a következő ábrán látható elrendezést:
 +
 +
{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
 +
|-
 +
| [[Fájl:Transzformátor_1.jpg|közép|400px|]]
 +
|-
 +
| align="center"|1.8.1 ábra
 +
|}
 +
 +
A berendezés ún. primer oldalán bejövő teljesítmény $U_1 I_1$, ahol $U_1$ a primer oldali váltakozó feszültség és $I_1$ a primer áram. A szekunder oldali körben megjelenő feszültség ill. áram az $U_2$ és $I_2$. A primer kör feszültségét általában egy váltófeszültségű generátor szolgáltatja. Ideális esetben az indukciós erőtér vonalai a vasmagon belül záródnak (nincs kiszóródás), így a mágneses fluxus értéke mind a primer, mind a szekunder oldalon megegyezik. Ez azt jelenti, hogy:
 +
 +
{| width = "100%"
 +
|-
 +
| width = "10%" |
 +
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[\frac{\varepsilon_1}{N_1} = \frac{\varepsilon_2}{N_2}  \]</latex></div>
 +
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.8.1) </span>
 +
|}
 +
 +
ahol $\varepsilon_1$ és $\varepsilon_2$ a két oldalon megjelenő elektromotoros erő. Minthogy a primer oldali terhelés gyakorlatilag elhanyagolható, ezért $\varepsilon_1 = U_1$. A kimenő oldalon pedig az arra kapcsolt terhelésre $U_2 = \varepsilon_1$ feszültség jut. Ideális, azaz veszteségmentes transzformátort feltételezve a bemenő teljesítmény értéke megeszezik a kimenőével, azaz:
 +
 +
{| width = "100%"
 +
|-
 +
| width = "10%" |
 +
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[U_1 I_1 = U_2 I_2  \]</latex></div>
 +
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.8.2) </span>
 +
|}
 +
 +
Az 1.8.1 összefüggés illetve az előbbiekben elmondottakat figyelembe véve könnyen be lehet látni, hogy:
 +
 +
{| width = "100%"
 +
|-
 +
| width = "10%" |
 +
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[\frac{U_2}{U_1} = \frac{N_2}{N_1} \qquad {\rm \acute{e}s} \qquad  \frac{I_2}{I_1} = \frac{N_1}{N_2} \]</latex></div>
 +
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.8.3) </span>
 +
|}
 +
 +
Foglaljuk most össze a kapott eredményt! A kimenő feszültség értéke a primer oldalihoz képest $N_2 / N_1$ arányban megnőhet (amennyiben $N_2 > N_1$) és ez az arány akár 100-nál is nagyobb lehet, míg az áramerősség $N_1 / N_2$ arányban lecsökkent. A primer oldali feszültség – melyet leggyakrabban egy erőmű biztosít – transzformátor segítségével történő '''feltranszformálás'''ával elérhető tehát, hogy a távvezetékekben folyó áramerősség kis értéket vegyen fel, így csökkentve a Joule hő okozta veszteségeket. A fogyasztó előtt természetesen a feszültséget '''letranszformál'''ják az alkalmazott hálózati feszültségre. A hálózati feszültséget otthon aztán még tovább letranszformálhatjuk a kívánt értékre:
 +
 +
{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
 +
|-
 +
| [[Fájl:Sztrafó_5.jpg|közép|200px|]]
 +
|-
 +
| align="center"|1.8.2 ábra
 +
|}
 +
 +
Természetesen felmerül a kérdés, hogy a szekunder oldali terhelés miatt kialakuló áram ill. fluxus változása nem hat-e vissza a primer oldalra. Részletes bizonyítás nélkül fogadjuk el, hogy a feszültséggenerátor többletárammal reagál a visszahatás ellenében, így tartva fenn a primer oldali feszültséget.
 +
A következő képeken egy szétszedhető transzformátor összeszerelési fázisai láthatók.
 +
 +
{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
 +
|-
 +
| [[Fájl:Sztrafó_1.jpg|közép|200px|]]
 +
| [[Fájl:Sztrafó_2.jpg|közép|200px|]]
 +
| [[Fájl:Sztrafó_3.jpg|közép|200px|]]
 +
| [[Fájl:Sztrafó_4.jpg|közép|200px|]]
 +
|-
 +
| align="center"|1.8.3 a ábra
 +
| align="center"|1.8.3 b ábra
 +
| align="center"|1.8.3 c ábra
 +
| align="center"|1.8.3 d ábra
 +
 +
|}
 +
 +
A vasmagban létrejövő örvényáramok által okozott veszteséget úgy igyekeznek csökkenteni, hogy tömör vasmag helyett vékony vaslemezekből alakítják ki a megfelelő formát. Némi veszteség természetesen ilyenkor is felléphet; a Joule hő elvezetéséről általában külön kell gondoskodni pl. olajhűtéssel.
 +
 +
 +
  
 
== Az időben változó elektromos tér ==
 
== Az időben változó elektromos tér ==
 +
 +
=== Az általánosított Ampère-törvény. ===
 +
 +
Az RC kör tárgyalásánál láttuk, hogy ha egy áramkörben az áram időfüggést mutat, akkor a kondenzátor nem tekinthető szakadásnak, azaz $\infty$ nagy ellenállásnak. Felmerülhet a kérdés, hogy ha a kondenzátorhoz csatlakoztatott vezetők körül mágneses indukciós tér alakul ki, akkor mi történik a kondenzátor fegyverzetei között? A kérdésre egy egyszerű, nem egzakt, de szemléletes gondolatkísérlettel adhatjuk meg a választ. Tegyük fel, hogy egy síkkondenzátor lemezei közötti elektromos tér nagysága $E$. Ez természetesen kifejezhető a lemezeken lévő töltés nagyságával:
 +
 +
{| width = "100%"
 +
|-
 +
| width = "10%" |
 +
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ E = \frac{Q}{A \varepsilon_0}  \]</latex></div>
 +
| align = "right" | <span id="eq2"> (2.1.1) </span>
 +
|}
 +
 +
Tehát a kondenzátor fegyverzetein található töltés nagysága:
 +
 +
{| width = "100%"
 +
|-
 +
| width = "10%" |
 +
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ Q = EA \varepsilon_0  \]</latex></div>
 +
| align = "right" | <span id="eq2"> (2.1.2) </span>
 +
|}
 +
 +
Az ebből számítható áramerősség pedig:
 +
 +
{| width = "100%"
 +
|-
 +
| width = "10%" |
 +
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ I = \frac {dQ}{dt} = \varepsilon_0 A \frac {dE}{dt} \]</latex></div>
 +
| align = "right" | <span id="eq2"> (2.1.3) </span>
 +
|}
 +
 +
Az elektromos tér fluxusa a kondenzátor lemezei között: $\Phi_E = EA$, így az előző formula még tovább általánosítható:
 +
 +
{| width = "100%"
 +
|-
 +
| width = "10%" |
 +
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ I = \varepsilon_0 \frac {d\Phi_E}{dt} \]</latex></div>
 +
| align = "right" | <span id="eq2"> (2.1.4) </span>
 +
|}
 +
 +
Amennyiben az Ampère törvényben ezt a tagot pótlólagosan hozzáadjuk a valódi töltött részecskék által létrehozott áramokhoz, akkor kapjuk a következő összefüggést, amely '''az Ampère törvény általános alakja''':
 +
 +
{| width = "100%"
 +
|-
 +
| width = "10%" |
 +
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \oint\limits_s \vec B d\vec s = \mu_0 I + \mu_0 \varepsilon_0 \frac {d\Phi_E}{dt} \]</latex></div>
 +
| align = "right" | <span id="eq2"> (2.1.5) </span>
 +
|}
 +
 +
A formula jobb oldalán a második tag annak a jelenségnek a matematikai megfogalmazása, miszerint változó elektromos tér mágneses indukciós teret indukálhat.
 +
Ennek a kissé erőltetett gondolatmenettel levezetett formulának igen fontos következményei vannak; segítségével tudjuk pl. megmagyarázni az elektromágneses hullámok létezését és terjedését. Az 2.1.5 formula alkalmazásával természetesen most már meg tudjuk határozni a kondenzátor fegyverzeti között kialakuló mágneses indukciós tér nagyságát is (amennyiben a térerősség ill. az elektromos fluxus könnyen felírható; általános esetben ez gyakran nem egyszerű feladat).

A lap jelenlegi, 2012. március 9., 15:19-kori változata



Tartalomjegyzék



A mágneses indukció és alkalmazásai

A Faraday törvény

Idáig arra láttunk néhány példát, hogy az elektromos áram illetve az áramot létrehozó elektromos tér ( emlékszünk rá: \setbox0\hbox{$j = \sigma E$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% ) hogyan kelt indukciós teret maga körül. Kérdés, hogy a mágneses indukciós tér létre tud-e hozni elektromos teret. A válasz az, hogy igen, és ez a fejezet azt tárgyalja, hogy ez hogyan lehetséges. A jelenség vizsgálatához először definiáljuk mi is az indukciós tér fluxusa, amelyet, bár nem neveztük nevén, a mágneses Gauss törvényben már alkalmaztuk. Az elektrosztatikában már használtuk az elektromos tér fluxusának fogalmát. Az analógia most is működik; tehát (az 1.1.1 b ábra alapján) mágneses fluxus:

\[\Phi _m = \int\limits_{A} \vec B d \vec A \]
 (1.1.1)

Azaz az indukciós tér és az infinitezimális felületelemhez tartozó vektor skalárszorzatát kell a felületre kiintegrálni, hogy megkapjuk az indukciós tér fluxusát.

Több kísérlet is azt mutatja (pl. Mágneses indukció I. és Mágneses indukció III.), hogy az időben változó mágneses fluxus elektromos feszültséget indukál. Ennek matematikai megfogalmazása a Faraday törvény:

\[\varepsilon = -\frac {d\Phi _m}{dt} \]
 (1.1.2)

ahol \setbox0\hbox{$\varepsilon$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% az említett elektromos feszültség, más néven az elektromotoros erő. A negatív előjel szerepére még visszatérünk. Lássuk, hogyan is kell értelmezni a 1.1.2 törvényt! Ehhez tekintsük a 1.1.1 a és b ábrákat!

Faraday törv 1.JPG
Magnetic flux 3.JPG
1.1.1 a ábra 1.1.1 b ábra

A 1.1.1 a sematikus ábra azt reprezentálja, hogy a kék vonallal jelölt zárt hurokban feszültség keletkezik. (Ha ezt a zárt hurkot egy létező vezetékdarab helyettesítené, akkor abban valóban áram folyna a változó fluxus hatására indukálódott elektromotoros erő miatt.) Rögtön felvetődhet a kérdés, hogy a zárt hurok által kifeszített lehetséges felületek közül - amelyeket éppen maga a zárt hurok határol - melyikre is kell a fluxust számítani (a 1.1.1 b ábra mutat egy ilyen határoló felületet). A válasz az, hogy bármelyik, a 1.1.1 b ábrán látható felülethez hasonló alakzat használható, mert a fluxus ugyanakkorának adódik mindegyikre. Amennyiben ez nem így lenne, akkor a két különböző fluxus-értéket adó felület által kialakított zárt térrész (és az azt határoló zárt felület) esetében a mágneses Gauss-törvény nem működne, ami azt jelentené, hogy mágneses monopólus van benne; ez pedig nem lehet. (Természetesen precízebb matematikai bizonyítás is létezik.)

Ezután tekintsünk a 1.1.2 .a ábrán látható egyszerű gyakorlati példát!

Faraday törv 2.JPG
Faraday törv 3.JPG
1.1.2 a ábra 1.1.2 b ábra

A két párhuzamos, az \setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% ellenálláshoz kapcsolódó, hosszú, egymástól \setbox0\hbox{$\ell$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% távolságra lévő (nem szigetelt) vezeték-páron mozog \setbox0\hbox{$v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sebességgel egy fémrúd, melynek ellenállása elhanyagolható. Az indukciós tér – melyet a kis körök reprezentálnak – az ábra síkjából kifelé mutat. (Amennyiben a kis körökben kereszt is lenne, akkor befelé mutatna.) A fémrúddal zárttá tett áramkörben elektromotoros erő jön létre, mivel a rúd mozog és emiatt a fluxus változik; az ábra jelöléseit használva:

\[\Delta \Phi _m = B\ell v \Delta t \]
 (1.1.3)

A Faraday-törvény alkalmazásával a zárt körben létrejövő feszültség nagysága:

\[ \left| \varepsilon \right| = \frac {B\ell v \Delta t}{\Delta t} = B\ell v \]
 (1.1.4)

A zárt körben létrejövő, az \setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% ellenálláson is átfolyó áram:

\[ I = \frac {B\ell v }{R} \]
 (1.1.5)

Az áram irányát a rúdban lévő töltésen kialakuló \setbox0\hbox{$\vec F_L = q \vec v \times \vec B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% erő és a belőle származtatható elektromos téresősség \setbox0\hbox{$\vec E = \vec v \times \vec B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% alkalmazásával kapjuk (az indukált térerősség adja az áramirányt).

Az áramjárta vezetőre, vagyis a rúdra ható Lorentz-erő (1.1.2 b ábra):

\[ F_L = BI\ell = \frac {B^2 \ell ^2 v }{R} \]
 (1.1.6)

A rudat egyenletes sebességgel mozgató \setbox0\hbox{$F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% erő nagysága éppen az \setbox0\hbox{$F_L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% – el megegyező, és teljesítménye:

\[ P = F_L v = \frac {B^2 \ell ^2 v^2 }{R} \]
 (1.1.7)

Ez természetesen megegyezik az \setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% ellenálláson disszipált teljesítménnyel:

\[ P = R I^2 = R \left(\frac{B\ell v}{R}\right)^2 = \frac {B^2 \ell ^2 v^2 }{R} \]
 (1.1.8)

Az áram irányát könnyen meghatároztuk ennél az egyszerű elrendezésnél a Lorentz-erő segítségével. Vegyük észre, hogy az említett modell esetében az indukcióval létrejött áram mágneses indukciós tere (Biot-Savart törvény) éppen ellenkező irányú az eredeti B – vel, azaz a rúd mozgatása miatt bekövetkező fluxusnövekedést igyekszik a rendszer "csökkenteni". Ez tehát általában azt jelenti, hogy a rendszer igyekszik kitérni a hatás alól, vagyis negatív visszacsatolás történik; ez az oka annak, hogy a 1.1.2 jobb oldalán megjelenik a negatív előjel. Vegyük észre, hogy ez éppen a Lenz-törvény, azaz: egy zárt körben indukált feszültség iránya olyan, hogy az általa keltett áram mágneses tere a fluxusváltozás, tehát az indukció ellen hat. Ez a törvény természetesen alkalmazható az említett áramkörnél jóval bonyolultabb elrendezések esetében is, és egyszerű magyarázatot ad különböző látványos kísérlet jelenségeire. Néha nem is szükséges, hogy egy zárt hurokban változzon a fluxus. Az indukció jelenségének kialakulásához elegendő ha egy viszonylag nagyméretű vezető darab mozog indukciós térben, esetleg bizonyos részein változik a mágneses fluxus. Ekkor örvényáramok jelennek meg az anyagon belül, melyek szintén – a Lenz-törvénynek megfelelően – negatív visszacsatolást jelentenek. A témához kapcsolódó videó: Mágneses indukció X.. Az örvényáramok megjelenése a Joule hő miatt melegítésre is használható. Az örvényáramok alkalmazására számos példa van villanyóra, indukciós forrasztás, stb…; a legismertebb közülük talán mégis az indukciós sütő vagy főzőlap .

Ind főzőlap.jpg
1.1.3 ábra

A képen jól látható, hogy miért is előnyös indukciós főzőlapot használni. A fém serpenyőt – és benne az ételt – melegíti csak fel az indukcióval létrehozott örvényáram, a főzőlapot magát nem, így a sütés, főzés folyamata is energiatakarékosabb. Az örvényáramok miatti energia-disszipáció gyakran a vezetőből készült test mozgásának fékeződésében jelentkezik. [videó] Az indukció jelenségén alapul az energiatakarékos autókba beépített indukciós fék is, amely fékezésnél a mozgási energia egy részét ”visszatáplálja” az elektromotoros erő segítségével az akkumulátorba, így azt a későbbiekben gyorsításra, stb. lehet használni; egy ilyen autó városi fogyasztása akár 30 - 40%-al is kisebb lehet, mint egy hagyományos autóé (a gyártók szerint).


A mozgási indukció

Amennyiben egy fémvezető mozog indukciós térben, akkor kialakul az ún. mozgási indukció. A jelenség magyarázatához tekintsük az 1.2.1 ábrát!

Mozg ind.JPG
1.2.1 ábra

Egy pozitív – a rúddal együtt mozgó – \setbox0\hbox{$q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% töltésre a \setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% térben hat a Lorentz-erő. Emiatt töltések mozdulnak el a rúd végei felé és ott fel is halmozódnak mindaddig, amíg az általuk keltett elektromos tér hatása ki nem ejti a Lorentz-erőt (hasonló magyarázatot már láttunk a Hall-effektusról szóló fejezetben), azaz:

\[ qE = qvB \qquad \Longrightarrow \qquad E = vB \]
 (1.2.1)

Ebből megkaphatjuk a fémrúd \setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% vége közötti indukált feszültséget, azaz az elektromotoros erőt:

\[ \varepsilon = V_{ab} = E\ell = vB\ell \]
 (1.2.2)

A dinamó működése is a mozgási indukción alapul.


A generátor

Az indukció jelenségén alapuló berendezések közül valószínűleg a legfontosabb a váltakozó feszültséget (ill. áramot) keltő generátor, amelynek igen leegyszerűsített vázlata látható az 1.3.1 ábrán:

Generátor.JPG
1.3.1 ábra

Az \setbox0\hbox{$A = ab$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% területű vezető keret \setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szögsebességgel egyenletesen forog. A mágneses fluxus felírható a \setbox0\hbox{$\Phi_m = BAcos(\omega t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% formában. Faraday-törvényének 1.1.2 felhasználásával kapjuk az indukált feszültséget, más néven a váltakozó feszültséget:

\[ \varepsilon = -\frac {d\Phi _m}{dt}= V(t) = BA\omega sin(\omega t) = V_0 sin(\omega t) \]
 (1.3.1)

A generátor segítségével tehát mechanikai teljesítményt tudunk átalakítani elektromos teljesítménnyé. Az atomerőművek, a szénerőművek, vagy a gáz erőművek a termelt hőmennyiséget alakítják át elektromos energiává. A következő képen egy erőmű generátorai láthatók:

Generátorok.jpg
1.3.2 ábra

A szél és a vízi erőművekben szintén generátort alkalmaznak.


Az önindukció

Idáig olyan példákat vizsgáltunk, amelyeknél a külső mágneses tér fluxus-változása indukálta az elrendezésben kialakuló elektromotoros erőt. Most nézzük meg, hogy mi történik akkor, ha egy A keresztmetszetű, \setbox0\hbox{$\ell$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hosszúságú, \setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% menetű szolenoidon átfolyó áram erőssége (esetleg iránya is) időfüggő: \setbox0\hbox{$I(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Megmutattuk, hogy a szolenoidban kialakuló csaknem homogén mágneses tér nagyságát hogyan lehet kiszámítani a (Mozgó töltések és áramok által keltett tér 1.2.4) segítségével. Az indukciós tér fluxusa az említett formula alkalmazásával:

\[ \Phi_m = BA = \frac {\mu NIA}{\ell} \]
 (1.4.1)

Itt kihasználtuk azt a tényt, hogy a szolenoidon kívül az indukciós tér erőssége csaknem zérus.

A tekercsben indukált feszültséget most már könnyű kiszámítani a Faraday-törvénnyel:

\[ \varepsilon = -N\frac {d\phi_m}{dt} = V_ind. (t)= -\frac {\mu N^2IA}{\ell} \frac {dI}{dt} \]
 (1.4.2)

A mágneses fluxus idő szerinti deriváltját azért kellett \setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% – el beszorozni, mert az indukciós tér fluxusának deriváltjaként megjelenő elektromotoros erő a szolenoid minden egyes menetén indukálódik, és a tekercs menetei sorba vannak kötve. Az eredményt megfogalmazhatjuk általánosabb formában is:

\[ \varepsilon = -L\frac {dI}{dt} \]
 (1.4.3)

ahol \setbox0\hbox{$L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% egy szolenoid, egy koaxiális kábel, egy vezetékpár, vagy akár egy körvezető önindukciós együtthatója, amelynek mértékegysége a \setbox0\hbox{$Henry = Vs/A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, jele: \setbox0\hbox{$H$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.

Az előzőek alapján tehát a szolenoid önindukciós együtthatója:

\[ L = \frac {\mu N^2IA}{\ell} \]
 (1.4.4)

Az RL kör

Az első alkalmazás, melyet megvizsgálunk, az ábrán látható \setbox0\hbox{$RL$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kör, amelyet \setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% időpontban zárunk a kapcsolóval.


RL kör.JPG
1.5.1 ábra


A kapcsoló bekapcsolását követően áram kezd el folyni a körben, melynek hatására a tekercsben indukált feszültség keletkezik:

\[ V_{ind} = -L\frac {dI}{dt} \]
 (1.5.1)

Az áramkörben körbehaladva a huroktörvényt alkalmazhatjuk:

\[ V + V_{ind} - IR = 0 \]
 (1.5.2)

Azaz:

\[ V - L\frac {dI}{dt} - IR = 0 \]
 (1.5.3)

Ezt kissé átrendezve kapunk egy differenciálegyenletet:

\[ \frac {dI}{dt} = - \frac {R}{L}I + \frac {V}{L} \]
 (1.5.4)

melynek a megoldása (behelyettesítéssel bárki meggyőződhet róla):

\[ I = \frac {V}{L} \left[1-exp\left ( - \frac {R}{L}t \right ) \right ] \]
 (1.5.5)

Az áram időfüggését jól mutatja a 1.5.2 ábrán látható grafikon:

RL kör2.JPG
1.5.2 ábra

Amennyiben az ellenállással párhuzamosan bekötünk egy izzót, vagy akár a terhelés maga az izzó, akkor – mint az a levezetés alapján megjósolható – az izzólámpa a felkapcsolás után jóval később (akár 10 s múlva) kezd el világítani, ha a tekercs önindukciós együtthatója elég nagy.


A mágneses indukciós tér energiája

Tegyük fel, hogy egy \setbox0\hbox{$\ell$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hosszúságú, \setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% keresztmetszetű szolenoidban eredetileg nem folyik áram, de \setbox0\hbox{$t = 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% időpontban bekapcsoljuk az \setbox0\hbox{$i(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% áramot, hogy mágneses indukciós teret hozzunk létre a tekercs belsejében. Tudjuk, hogy a tekercsen eső feszültség:

\[ \varepsilon = -L\frac {di}{dt} \]
 (1.6.1)

A szolenoidba beáramló teljesítmény:

\[ P = \left| \varepsilon \right|i = Li \frac {di}{dt} \]
 (1.6.2)

Most már könnyű kiszámítani, hogy mennyi munkát kell végezni ahhoz, hogy az áram értéke zérusról \setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-re növekedjen, azaz hogy mennyi lesz a tekercs energiája:

\[ W = \int\limits_0^I Li \frac {di}{dt}dt = \frac {1}{2}LI^2 \]
 (1.6.3)

A szolenoidban kialakuló mágneses tér nagyságát megadó képletből az \setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-t kifejezve és a szolenoid önindukciós együtthatóját megadó hányadost (1.4.4) is behelyettesítve az 1.6.3-ba; kapjuk a tekercs energiáját:

\[ W = \frac {1}{2}\frac {B^2}{\mu_0}A\ell \]
 (1.6.4)

Amennyiben ezt elosztjuk a szolenoid térfogatával, akkor kapjuk az indukciós tér energiasűrűségét:

\[ \varepsilon_B = \frac {1}{2}\frac {B^2}{\mu_0} \]
 (1.6.5)

Ez a formula emlékeztet minket az elektromos tér energiasűrűségére:

\[ \varepsilon_E = \frac {1}{2}\varepsilon_0 {E^2} \]
 (1.6.6)

Tehát az elektromágneses tér energiasűrűsége:

\[ \varepsilon = \frac {1}{2}\varepsilon_0 {E^2} + \frac {1}{2}\frac {B^2}{\mu_0} \]
 (1.6.7)



A kölcsönös indukció

Az önindukció jelensége – mint azt az előzőekben láttuk – abban az eszközben hoz létre indukált feszültséget, amelyben az áram változik. Azonban valamely tekercsben vagy szolenoidban egy másik eszköz (egy másik tekercs vagy másik szolenoid, esetleg egy áramjárta vezető) indukciós tere által létrejövő változó mágneses fluxus is feszültséget indukálhat. Ennek a jelenségnek a szemléltetésére tekintsük a következő ábrán látható elrendezést:

Kölcs ind.jpg
1.7.1 ábra

A baloldali hurokban folyó \setbox0\hbox{$I_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% áram hatására létrejövő indukciós tér, amennyiben ez nem állandó, hanem időfüggő, változó fluxust eredményez a másik hurokban, így abban feszültség indukálódhat. Ennek a jelenségnek az egyszerű matematikai megfogalmazása:

\[ \varepsilon_2 = -M_{21}\frac {dI_1}{dt} \]
 (1.7.1)

Az effektus visszafelé is működik, azaz a második hurokban folyó \setbox0\hbox{$I_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% áram változása eredményezheti azt, hogy elektromotoros erő lép fel az 1-es hurokban:

\[ \varepsilon_1 = -M_{12}\frac {dI_2}{dt} \]
 (1.7.2)

Be lehet bizonyítani, hogy \setbox0\hbox{$M_{12} = M_{21}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és ezután a kölcsönös indukciós tényezőt már csak \setbox0\hbox{$M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% – el jelöljük.

Abból, hogy a fluxus arányos az árammal, valamint a fluxus megváltozásával szintén arányos az indukált feszültség, könnyű levezetni a következő két összefüggést:

\[M = N_2 \frac{\Phi_{B_1}}{I_1} \qquad {\rm vagy} \qquad M = N_1 \frac{\Phi_{B_2}}{I_2}\]
 (1.7.3)

ahol \setbox0\hbox{$N_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$N_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a két hurok vagy tekercs menetszáma és \setbox0\hbox{$\Phi_{B_1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% az egyes tekercs által a második tekercsben létrehozott mágneses fluxus (és \setbox0\hbox{$\Phi_{B_2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% fordítva). Az 1.7.3-ból következik – hasonlóan, mint az önindukciós együttható esetében - , hogy a kölcsönös indukciós tényező csak az elrendezés geometriájától függ. (Erre majd a gyakorlaton és az előadáson számos példát lehet majd látni.) A kölcsönös indukció zavaró is lehet, hiszen az egymáshoz túl közel haladó kábelek között áthallás jöhet létre. Ez a jelenség az egyik fő oka annak, hogy az elektronikában miért is vannak a miniatürizáslásnak fizikai korlátai. Egy számítógép néhány áramkörében is szükséges lehet induktivitást alkalmazni, viszont egy szolenoid mágneses erőtérvonalai – mint azt tudjuk – kívül záródnak; ez a kölcsönös indukció miatt zavart okozhat a berendezés más áramköreiben. Ennek kiküszöbölésére toroidot használnak, mert az indukciós tér az eszközön belül marad. (Ha kinyitunk egy számítógépet vagy laptopot, az alaplapján általában látható néhány toroid.)



A transzformátor

A középiskolai tanulmányok alapján már tudjuk, hogy a váltóáramú körökben az áram és a feszültség az időnek szinuszos függvénye. Az energia (pontosabban a teljesítmény) szállítására alkalmazott távvezetékeken az energiaveszteségért főleg az \setbox0\hbox{$I^2 R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% Joule hő felelős. Kézenfekvőnek tűnik, hogy a veszteséget úgy minimalizálhatjuk, hogy az áramerősség értékét jelentősen csökkentjük; ez viszonylag könnyen megvalósítható transzformátor alkalmazásával. A transzformátor működésének megértéséhez tekintsük a következő ábrán látható elrendezést:

Transzformátor 1.jpg
1.8.1 ábra

A berendezés ún. primer oldalán bejövő teljesítmény \setbox0\hbox{$U_1 I_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, ahol \setbox0\hbox{$U_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a primer oldali váltakozó feszültség és \setbox0\hbox{$I_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a primer áram. A szekunder oldali körben megjelenő feszültség ill. áram az \setbox0\hbox{$U_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$I_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. A primer kör feszültségét általában egy váltófeszültségű generátor szolgáltatja. Ideális esetben az indukciós erőtér vonalai a vasmagon belül záródnak (nincs kiszóródás), így a mágneses fluxus értéke mind a primer, mind a szekunder oldalon megegyezik. Ez azt jelenti, hogy:

\[\frac{\varepsilon_1}{N_1} = \frac{\varepsilon_2}{N_2} \]
 (1.8.1)

ahol \setbox0\hbox{$\varepsilon_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$\varepsilon_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a két oldalon megjelenő elektromotoros erő. Minthogy a primer oldali terhelés gyakorlatilag elhanyagolható, ezért \setbox0\hbox{$\varepsilon_1 = U_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. A kimenő oldalon pedig az arra kapcsolt terhelésre \setbox0\hbox{$U_2 = \varepsilon_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% feszültség jut. Ideális, azaz veszteségmentes transzformátort feltételezve a bemenő teljesítmény értéke megeszezik a kimenőével, azaz:

\[U_1 I_1 = U_2 I_2 \]
 (1.8.2)

Az 1.8.1 összefüggés illetve az előbbiekben elmondottakat figyelembe véve könnyen be lehet látni, hogy:

\[\frac{U_2}{U_1} = \frac{N_2}{N_1} \qquad {\rm \acute{e}s} \qquad \frac{I_2}{I_1} = \frac{N_1}{N_2} \]
 (1.8.3)

Foglaljuk most össze a kapott eredményt! A kimenő feszültség értéke a primer oldalihoz képest \setbox0\hbox{$N_2 / N_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% arányban megnőhet (amennyiben \setbox0\hbox{$N_2 > N_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) és ez az arány akár 100-nál is nagyobb lehet, míg az áramerősség \setbox0\hbox{$N_1 / N_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% arányban lecsökkent. A primer oldali feszültség – melyet leggyakrabban egy erőmű biztosít – transzformátor segítségével történő feltranszformálásával elérhető tehát, hogy a távvezetékekben folyó áramerősség kis értéket vegyen fel, így csökkentve a Joule hő okozta veszteségeket. A fogyasztó előtt természetesen a feszültséget letranszformálják az alkalmazott hálózati feszültségre. A hálózati feszültséget otthon aztán még tovább letranszformálhatjuk a kívánt értékre:

Sztrafó 5.jpg
1.8.2 ábra

Természetesen felmerül a kérdés, hogy a szekunder oldali terhelés miatt kialakuló áram ill. fluxus változása nem hat-e vissza a primer oldalra. Részletes bizonyítás nélkül fogadjuk el, hogy a feszültséggenerátor többletárammal reagál a visszahatás ellenében, így tartva fenn a primer oldali feszültséget. A következő képeken egy szétszedhető transzformátor összeszerelési fázisai láthatók.

Sztrafó 1.jpg
Sztrafó 2.jpg
Sztrafó 3.jpg
Sztrafó 4.jpg
1.8.3 a ábra 1.8.3 b ábra 1.8.3 c ábra 1.8.3 d ábra

A vasmagban létrejövő örvényáramok által okozott veszteséget úgy igyekeznek csökkenteni, hogy tömör vasmag helyett vékony vaslemezekből alakítják ki a megfelelő formát. Némi veszteség természetesen ilyenkor is felléphet; a Joule hő elvezetéséről általában külön kell gondoskodni pl. olajhűtéssel.




Az időben változó elektromos tér

Az általánosított Ampère-törvény.

Az RC kör tárgyalásánál láttuk, hogy ha egy áramkörben az áram időfüggést mutat, akkor a kondenzátor nem tekinthető szakadásnak, azaz \setbox0\hbox{$\infty$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% nagy ellenállásnak. Felmerülhet a kérdés, hogy ha a kondenzátorhoz csatlakoztatott vezetők körül mágneses indukciós tér alakul ki, akkor mi történik a kondenzátor fegyverzetei között? A kérdésre egy egyszerű, nem egzakt, de szemléletes gondolatkísérlettel adhatjuk meg a választ. Tegyük fel, hogy egy síkkondenzátor lemezei közötti elektromos tér nagysága \setbox0\hbox{$E$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Ez természetesen kifejezhető a lemezeken lévő töltés nagyságával:

\[ E = \frac{Q}{A \varepsilon_0} \]
 (2.1.1)

Tehát a kondenzátor fegyverzetein található töltés nagysága:

\[ Q = EA \varepsilon_0 \]
 (2.1.2)

Az ebből számítható áramerősség pedig:

\[ I = \frac {dQ}{dt} = \varepsilon_0 A \frac {dE}{dt} \]
 (2.1.3)

Az elektromos tér fluxusa a kondenzátor lemezei között: \setbox0\hbox{$\Phi_E = EA$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, így az előző formula még tovább általánosítható:

\[ I = \varepsilon_0 \frac {d\Phi_E}{dt} \]
 (2.1.4)

Amennyiben az Ampère törvényben ezt a tagot pótlólagosan hozzáadjuk a valódi töltött részecskék által létrehozott áramokhoz, akkor kapjuk a következő összefüggést, amely az Ampère törvény általános alakja:

\[ \oint\limits_s \vec B d\vec s = \mu_0 I + \mu_0 \varepsilon_0 \frac {d\Phi_E}{dt} \]
 (2.1.5)

A formula jobb oldalán a második tag annak a jelenségnek a matematikai megfogalmazása, miszerint változó elektromos tér mágneses indukciós teret indukálhat. Ennek a kissé erőltetett gondolatmenettel levezetett formulának igen fontos következményei vannak; segítségével tudjuk pl. megmagyarázni az elektromágneses hullámok létezését és terjedését. Az 2.1.5 formula alkalmazásával természetesen most már meg tudjuk határozni a kondenzátor fegyverzeti között kialakuló mágneses indukciós tér nagyságát is (amennyiben a térerősség ill. az elektromos fluxus könnyen felírható; általános esetben ez gyakran nem egyszerű feladat).

A lap eredeti címe: „https://fizipedia.bme.hu/index.php?title=Időben_változó_elektromos_és_mágneses_terek_kapcsolata&oldid=3475”