„Kinematika - 1.4.17” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
| 9. sor: | 9. sor: | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
</noinclude><wlatex># Egy gőzgép hajtókereke egyenletes $\omega$ szögsebességgel forog az $0$ középpontján átmenő tengely körül. A kerék $l$ hosszúságú hajtórúdjának $N$ csuklópontja az $0$-tól $r$ távolságban van, $M$ vége pedig a dugattyúkarhoz csatlakozik, amely vízszintesen mozog ide-oda. (1.4.17. ábra) Mekkora az $M$ pont sebessége abban a pillanatban, amikor $ON$ a vízszintessel $\varphi$ szöget zár be? ($0$ a dugattyú-karral egy egyenesen fekszik.) | </noinclude><wlatex># Egy gőzgép hajtókereke egyenletes $\omega$ szögsebességgel forog az $0$ középpontján átmenő tengely körül. A kerék $l$ hosszúságú hajtórúdjának $N$ csuklópontja az $0$-tól $r$ távolságban van, $M$ vége pedig a dugattyúkarhoz csatlakozik, amely vízszintesen mozog ide-oda. (1.4.17. ábra) Mekkora az $M$ pont sebessége abban a pillanatban, amikor $ON$ a vízszintessel $\varphi$ szöget zár be? ($0$ a dugattyú-karral egy egyenesen fekszik.) | ||
| − | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Az $NOM$ háromszögre cosinus-tételt alkalmazzunk!}}{{Végeredmény|content=$$v( | + | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Az $NOM$ háromszögre cosinus-tételt alkalmazzunk!}}{{Végeredmény|content=$$v(\varphi)=r\omega\sin\varphi\left[1+\frac{r\cos\varphi}{\sqrt{(l-r)^{2}-r^{2}\sin^{2}\varphi}}\right]$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> |
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex>#: Vegyük kezdőpillanatnak azt, amikor az $N$ csuklópont az $OM$ egyenesre illeszkedik, vagyis amikor $\varphi=0.$ Az $M$ pont elmozdulását a hajtókerék irányába jelöljük $x(t)$-vel. Az $NOM$ háromszögre cosinus-tételt alkalmazva $$(l-r)^{2}=r^{2}+(l-x(t))^{2}-2r(l-x(t))\cos(\varphi(t))$$ adódik, ahol $\varphi(t)=\omega t$. Az elmozdulást kifejezve az $$x(t)=l-r\cos(\omega t)\pm\sqrt{(l-r)^{2}-r^{2}\sin^{2}(\omega t)}$$ eredményre jutunk, melyek közül a negatív előjeles megoldás lesz fizikai. Az $M$ pont sebessége $$v(t)=\frac{dx}{dt}=r\omega\sin\varphi\left[1+\frac{r\cos\varphi}{\sqrt{(l-r)^{2}-r^{2}\sin^{2}\varphi}}\right]\,.$$ | <wlatex>#: Vegyük kezdőpillanatnak azt, amikor az $N$ csuklópont az $OM$ egyenesre illeszkedik, vagyis amikor $\varphi=0.$ Az $M$ pont elmozdulását a hajtókerék irányába jelöljük $x(t)$-vel. Az $NOM$ háromszögre cosinus-tételt alkalmazva $$(l-r)^{2}=r^{2}+(l-x(t))^{2}-2r(l-x(t))\cos(\varphi(t))$$ adódik, ahol $\varphi(t)=\omega t$. Az elmozdulást kifejezve az $$x(t)=l-r\cos(\omega t)\pm\sqrt{(l-r)^{2}-r^{2}\sin^{2}(\omega t)}$$ eredményre jutunk, melyek közül a negatív előjeles megoldás lesz fizikai. Az $M$ pont sebessége $$v(t)=\frac{dx}{dt}=r\omega\sin\varphi\left[1+\frac{r\cos\varphi}{\sqrt{(l-r)^{2}-r^{2}\sin^{2}\varphi}}\right]\,.$$ | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> | ||
A lap 2013. április 11., 09:28-kori változata
| Navigáció Pt·1·2·3 |
|---|
| Kísérleti fizika gyakorlat 1. |
| Gyakorlatok listája: |
| Kinematika |
| Feladatok listája: |
| © 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Egy gőzgép hajtókereke egyenletes
szögsebességgel forog az 
középpontján átmenő tengely körül. A kerék 
hosszúságú hajtórúdjának 
csuklópontja az -tól 
távolságban van, 
vége pedig a dugattyúkarhoz csatlakozik, amely vízszintesen mozog ide-oda. (1.4.17. ábra) Mekkora az pont sebessége abban a pillanatban, amikor 
a vízszintessel 
szöget zár be? ( a dugattyú-karral egy egyenesen fekszik.)
Megoldás
- Vegyük kezdőpillanatnak azt, amikor az csuklópont az
egyenesre illeszkedik, vagyis amikor 
Az pont elmozdulását a hajtókerék irányába jelöljük 
-vel. Az 
háromszögre cosinus-tételt alkalmazva adódik, ahol![\[(l-r)^{2}=r^{2}+(l-x(t))^{2}-2r(l-x(t))\cos(\varphi(t))\]](/images/math/8/1/1/811aa713e1d69108c5bf93ded26ae2e2.png)
. Az elmozdulást kifejezve az eredményre jutunk, melyek közül a negatív előjeles megoldás lesz fizikai. Az![\[x(t)=l-r\cos(\omega t)\pm\sqrt{(l-r)^{2}-r^{2}\sin^{2}(\omega t)}\]](/images/math/6/c/5/6c53eaa2f1667f365a16d33c8652c41a.png)
pont sebessége ![\[v(t)=\frac{dx}{dt}=r\omega\sin\varphi\left[1+\frac{r\cos\varphi}{\sqrt{(l-r)^{2}-r^{2}\sin^{2}\varphi}}\right]\,.\]](/images/math/6/7/6/6765f20b6e367f380b9be0bbc291a7db.png)
- Vegyük kezdőpillanatnak azt, amikor az
