„Kinematika - 1.2.17” változatai közötti eltérés

A lap 2013. április 9., 16:24-kori változata (lapforrás) Bacsi (vitalap | szerkesztései) (Új oldal, tartalma: „<noinclude> Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 1. Kategória:Szerkesztő: Bácsi Ádám Kategória:Kinematika {{Kísérleti fizika gyakorlat | tárgynév …”)		A lap 2013. április 9., 17:24-kori változata (lapforrás) Bacsi (vitalap | szerkesztései) Újabb szerkesztés →
8. sor:		8. sor:
	}}		}}
	== Feladat ==		== Feladat ==
−	</noinclude><wlatex># (1.2.6.) Egy testet függőleges irányban $50\,\mathrm{\frac{m}{s}}$ sebességgel feldobunk. Milyen magasra emelkedik $3 \,\mathrm{s}$ alatt? Mekkora a legnagyobb magasság, amit elér? Mennyi ideig emelkedik felfelé? Mennyi idő múlva esik vissza a földre? ($g=9,81\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$)	+	</noinclude><wlatex># Egy $l_{0}$ hosszúságú, tökéletesen rugalmas és korlátlanul nyújtható fonál egyik végét falhoz rögzítjük. Erről a végpontról a fonálon mászva $v_{0}$ sebességgel elindul egy hangya a másik vége felé. Ugyanabban a pillanatban azonban egy gonosz manó $c>>v_{0}$ állandó sebességgel elkezdi húzni a fonál szabad végét. A hangyának a fonálhoz viszonyított sebessége az egész mozgás során állandó. Utolérheti-e a hangya a manót? (Mi történik, ha a hangya a manótól indul a fal felé?)
−	</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$t_{km}=\frac{29}{30}\,\mathrm{s}$$$$t_{mv}=\frac{29}{32}\,\mathrm{s}$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>	+	</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Egy általános $t$ időpontban határozzuk meg a fonál hosszát! Tegyük fel, hogy a hangya ekkor $x(t)$ helyen van. Írjuk fel ekkor a sebességet és a gyorsulást a külső megfigyelő rendszerében!}}{{Végeredmény|content=A hangya mindig utoléri a hangyát, és eléri a falat is.}}</wlatex></includeonly><noinclude>
	== Megoldás ==		== Megoldás ==
−	<wlatex># A füttyjel hosszúsága az levegőben $$L=(c-v_{1})t,$$ amennyiben nem fúj a szél. Egy külső, levegőhöz képest álló megfigyelő pontosan annyi ideig hallja a füttyjelet, amíg a hang megteszi az $L$ távolságot, vagyis $$t_{km}=\frac{L}{c}=\frac{c-v_{1}}{c}t=\frac{29}{30}\,\mathrm{s}.$$ A másik vonaton ülő megfigyelő $$t_{mv}=\frac{L}{c+v_{2}}=\frac{c-v_{1}}{c+v_{2}}t=\frac{29}{32}\,\mathrm{s}.$$</wlatex>	+	<wlatex># A fonál hosszúsága az idő függvényében $$l(t)=l_{0}+ct\,,$$ mert a manó egyenletes sebességgel húzza. <br> Ha a hangya faltól mért távolságát $x(t)$-vel jelöljük, akkor egy adott $t$ pillanatban a hangya lába alatt a fonál lokális sebessége $$v_{fon}(t)=c\frac{x(t)}{l(t)}\,.$$ A hangya fonálhoz viszonyított sebessége mindig $v_{0}$, ezért a falhoz viszonyított sebesség $$v(t)=v_{0}+v_{fon}(t)$$$$x'(t)=v_{0}+\frac{cx(t)}{l_{0}+ct}\,.$$ A kapott differenciálegyenletet az $x(0)=0$ kezdeti feltétellel kell megoldani. A megoldás
		+	$$x(t)=\frac{v_{0}}{c}\left(l_{0}+ct\right)\mbox{ln}\left(\frac{l_{0}+ct}{l_{0}}\right)$$ alakban írható (érdemes az eredményt ellenőrizni a differenciálegyenletbe történő visszahelyettesítéssel). <br> A feladatban az a kérdés, hogy a hangya és a manó közti $\Delta s(t)=l(t)-x(t)$ távolság lecsökkenhet-e zérusra. Ha igen, akkor jelöljük $T$-vel azt az időpontot, amikor ez bekövetkezik. $$\Delta s(T)=0$$ $$T=\frac{l_{0}}{c}\left(e^{\frac{c}{v_{0}}}-1\right)$$ A hangya tehát minden esetben utoléri a manót. <br><br> Ha a hangya a manótól indul, akkor a pillanatnyi sebessége $$v(t)=-v_{0}+v_{fon}(t)\,.$$$$x'(t)=-v_{0}+\frac{cx(t)}{l_{0}+ct}\,,$$ amelyet az $x(0)=l_{0}$ kezdeti feltétellel kell megoldani. A megoldás $$x(t)=\frac{v_{0}}{c}(l_{0}+ct)\left[\frac{c}{v_{0}}+\mbox{ln}\left(\frac{l_{0}}{l_{0}+ct}\right)\right]$$ alapján meghatározhatjuk, hogy eléri-e a falat, vagyis létezik-e olyan $T$, melyre $$x(T)=0\,.$$$$T=\frac{l_{0}}{c}\left(e^{\frac{c}{v_{0}}}-1\right)$$ A hangya tehát minden esetben eléri a falat.
		+	</wlatex>
	</noinclude>		</noinclude>

---

A lap 2013. április 9., 17:24-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája: Deriválás Integrálás Mozgástan Erőtan I. Erőtan II. Munka, energia Pontrendszerek Merev testek I. Merev testek II. Rugalmasság, folyadékok Rezgések I. Rezgések II. Hullámok
Kinematika
Feladatok listája:
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

1. Egy hosszúságú, tökéletesen rugalmas és korlátlanul nyújtható fonál egyik végét falhoz rögzítjük. Erről a végpontról a fonálon mászva sebességgel elindul egy hangya a másik vége felé. Ugyanabban a pillanatban azonban egy gonosz manó állandó sebességgel elkezdi húzni a fonál szabad végét. A hangyának a fonálhoz viszonyított sebessége az egész mozgás során állandó. Utolérheti-e a hangya a manót? (Mi történik, ha a hangya a manótól indul a fal felé?)

Megoldás

1. A fonál hosszúsága az idő függvényében
   
   mert a manó egyenletes sebességgel húzza.
   Ha a hangya faltól mért távolságát -vel jelöljük, akkor egy adott pillanatban a hangya lába alatt a fonál lokális sebessége
   
   A hangya fonálhoz viszonyított sebessége mindig , ezért a falhoz viszonyított sebesség
   
   
   A kapott differenciálegyenletet az kezdeti feltétellel kell megoldani. A megoldás

alakban írható (érdemes az eredményt ellenőrizni a differenciálegyenletbe történő visszahelyettesítéssel).
A feladatban az a kérdés, hogy a hangya és a manó közti távolság lecsökkenhet-e zérusra. Ha igen, akkor jelöljük -vel azt az időpontot, amikor ez bekövetkezik. A hangya tehát minden esetben utoléri a manót.

Ha a hangya a manótól indul, akkor a pillanatnyi sebessége amelyet az kezdeti feltétellel kell megoldani. A megoldás alapján meghatározhatjuk, hogy eléri-e a falat, vagyis létezik-e olyan , melyre A hangya tehát minden esetben eléri a falat.